In der abstrakten Algebra ist ein Abteilungsring, auch genannt ein verdrehen Feld, ein Ring, in dem Abteilung möglich ist. Spezifisch ist es ein nichttrivialer Ring in der jedes Nichtnullelement ein Haben eines multiplicative Gegenteils, d. h., ein Element x damit. Festgesetzt verschieden ist ein Ring ein Abteilungsring, wenn, und nur wenn die Gruppe von Einheiten der Satz aller Nichtnullelemente ist.

Abteilungsringe unterscheiden sich von Feldern nur, in denen ihre Multiplikation nicht erforderlich ist, auswechselbar zu sein. Jedoch durch den kleinen Lehrsatz von Wedderburn sind alle begrenzten Abteilungsringe auswechselbar und deshalb begrenzte Felder. Historisch sind Abteilungsringe manchmal Felder genannt geworden, während Felder "Ersatzfelder" genannt wurden.

Beziehung zu Feldern und geradliniger Algebra

Alle Felder sind Abteilungsringe; interessantere Beispiele sind die Nichtersatzabteilungsringe. Das am besten bekannte Beispiel ist der Ring von quaternions H. Wenn wir nur vernünftig statt echter Koeffizienten in den Aufbauten des quaternions erlauben, erhalten wir einen anderen Abteilungsring. Im Allgemeinen, wenn R ein Ring ist und S ein einfaches Modul über R ist, dann, durch das Lemma von Schur, ist der Endomorphismus-Ring von S ein Abteilungsring; jeder Abteilungsring entsteht auf diese Mode aus einem einfachen Modul.

Viel geradlinige Algebra kann formuliert werden, und bleibt richtig für (linke) Module über Abteilungsringe statt Vektorräume über Felder. Jedes Modul über einen Abteilungsring hat eine Basis; geradlinige Karten zwischen endlich-dimensionalen Modulen über einen Abteilungsring können durch matrices beschrieben werden, und der Beseitigungsalgorithmus von Gaussian bleibt anwendbar. Unterschiede zwischen der geradlinigen Algebra über Felder und verdrehen Felder kommen wann auch immer die Ordnung der Faktoren in einem Produkt Sachen vor. Zum Beispiel klingelt der Beweis, dass die Säulenreihe einer Matrix über ein Feld seinen Reihe-Reihe-Erträgen für matrices über die Abteilung gleichkommt, nur, dass die linke Säulenreihe seiner richtigen Reihe-Reihe gleichkommt: Es hat Sinn nicht, über die Reihe einer Matrix über einen Abteilungsring zu sprechen.

Das Zentrum eines Abteilungsrings ist auswechselbar und deshalb ein Feld. Jeder Abteilungsring ist deshalb eine Abteilungsalgebra über sein Zentrum. Abteilungsringe können gemäß grob klassifiziert werden, ob sie endlich-dimensional oder über ihre Zentren unendlich-dimensional sind. Der erstere wird zentral begrenzt und die zentral unendlichen Letzteren genannt. Jedes Feld ist natürlich über sein Zentrum, eindimensional. Der Quaternion-Ring bildet eine 4-dimensionale Algebra über sein Zentrum, das zu den reellen Zahlen isomorph ist.

Ringlehrsätze

Der kleine Lehrsatz von Wedderburn: Alle begrenzten Abteilungsringe sind auswechselbar und deshalb begrenzte Felder. (Ernst Witt hat einen einfachen Beweis gegeben.)

Lehrsatz von Frobenius: Die einzigen endlich-dimensionalen Abteilungsalgebra über den reals sind der reals selbst, die komplexen Zahlen und der quaternions.

Zusammenhängende Begriffe

Abteilungsringe haben gepflegt, "Felder" in einem älteren Gebrauch genannt zu werden. Auf vielen Sprachen wird eine Wortbedeutung "Körper" für Abteilungsringe auf einigen Sprachen verwendet, die entweder Ersatz- oder Nichtersatzabteilungsringe benennen, während in anderen spezifisch Kennzeichnung von Ersatzabteilungsringen (was wir jetzt Felder in Englisch nennen). Ein mehr ganzer Vergleich wird im Artikel Field (Mathematik) gefunden.

Verdrehen Sie Felder haben eine interessante semantische Eigenschaft: Ein Modifikator (hier "verdrehen"), macht das Spielraum des Grundbegriffes (hier "Feld") breiter. So ist ein Feld ein besonderer Typ dessen verdrehen Feld, und nicht alle verdrehen Felder sind Felder.

Während, wie man annimmt, Abteilungsringe und Algebra, wie besprochen, hier assoziative Multiplikation haben, sind nichtassoziative Abteilungsalgebra wie der octonions auch von Interesse.

Ein nahes Feld ist eine algebraische einem Abteilungsring ähnliche Struktur, außer dass es nur ein der zwei verteilenden Gesetze hat.

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Links

• Beweis des Lehrsatzes von Wedderburn an der Planet-Mathematik