Ein Vektorraum ist eine mathematische durch eine Sammlung von Vektoren gebildete Struktur: Gegenstände, die zusammen hinzugefügt und ("erklettert") durch Zahlen, genannt Skalare in diesem Zusammenhang multipliziert werden können. Skalare werden häufig genommen, um reelle Zahlen zu sein, aber es gibt auch Vektorräume mit der Skalarmultiplikation durch komplexe Zahlen, rationale Zahlen, oder allgemein jedes Feld. Die Operationen der Vektor-Hinzufügung und Skalarmultiplikation müssen bestimmte Voraussetzungen, genannt Axiome befriedigen, die unten verzeichnet sind. Ein Beispiel eines Vektorraums ist das von Euklidischen Vektoren, die verwendet werden können, um physische Mengen wie Kräfte zu vertreten: Irgendwelche zwei Kräfte (desselben Typs) können hinzugefügt werden, um ein Drittel nachzugeben, und die Multiplikation eines Kraft-Vektoren durch einen echten Vermehrer ist ein anderer Kraft-Vektor. In derselben Ader, aber in einem geometrischeren Sinn, bilden Vektoren, die Versetzungen im Flugzeug oder im dreidimensionalen Raum auch vertreten, Vektorräume.

Vektorräume sind das Thema der geradlinigen Algebra und werden aus diesem Gesichtspunkt gut verstanden, da Vektorräume durch ihre Dimension charakterisiert werden, die, grob das Sprechen, die Zahl von unabhängigen Richtungen im Raum angibt. Ein Vektorraum kann mit der zusätzlichen Struktur, wie eine Norm oder Skalarprodukt ausgestattet sein. Solche Räume entstehen natürlich in der mathematischen Analyse hauptsächlich in der Gestalt von unendlich-dimensionalen Funktionsräumen, deren Vektoren Funktionen sind. Analytische Probleme verlangen nach der Fähigkeit zu entscheiden, ob eine Folge von Vektoren zu einem gegebenen Vektoren zusammenläuft. Das wird durch das Betrachten von Vektorräumen mit der zusätzlichen Struktur, größtenteils Räume ausgestattet mit einer passenden Topologie, so das Erlauben der Rücksicht der Nähe und Kontinuitätsprobleme vollbracht. Diese topologischen Vektorräume, in besonderen Räumen von Banach spaces und Hilbert, haben eine reichere Theorie.

Historisch können die ersten Ideen, die zu Vektorräumen führen, zurück so weit die analytische Geometrie des 17. Jahrhunderts, matrices, Systeme von geradlinigen Gleichungen und Euklidische Vektoren verfolgt werden. Die moderne, abstraktere Behandlung, die zuerst von Giuseppe Peano gegen Ende des 19. Jahrhunderts formuliert ist, umfasst allgemeinere Gegenstände als Euklidischer Raum, aber viel von der Theorie kann als eine Erweiterung von klassischen geometrischen Ideen wie Linien, Flugzeuge und ihre hoch-dimensionalen Analoga gesehen werden.

Heute werden Vektorräume überall in der Mathematik, Wissenschaft und Technik angewandt. Sie sind der passende geradlinig-algebraische Begriff, um sich mit Systemen von geradlinigen Gleichungen zu befassen; bieten Sie ein Fachwerk für die Vergrößerung von Fourier an, die in Bildkompressionsroutinen verwendet wird; oder stellen Sie eine Umgebung zur Verfügung, die für Lösungstechniken für teilweise Differenzialgleichungen verwendet werden kann. Außerdem statten Vektorräume eine abstrakte, koordinatenfreie Weise aus, sich mit geometrischen und physischen Gegenständen wie Tensor zu befassen. Das erlaubt der Reihe nach die Überprüfung lokaler Eigenschaften von Sammelleitungen durch linearization Techniken. Vektorräume können auf mehrere Weisen verallgemeinert werden, zu fortgeschritteneren Begriffen in der Geometrie und abstrakten Algebra führend.

Einführung und Definition

Das erste Beispiel: Pfeile im Flugzeug

Das Konzept des Vektorraums wird zuerst durch das Beschreiben zwei besonderer Beispiele erklärt. Das erste Beispiel eines Vektorraums besteht aus Pfeilen in einem festen Flugzeug, an einem festem Punkt anfangend. Das wird in der Physik verwendet, um Kräfte oder Geschwindigkeiten zu beschreiben. In Anbetracht irgendwelcher zwei solcher Pfeile, v und w, enthält das durch diese zwei Pfeile abgemessene Parallelogramm einen diagonalen Pfeil, der am Ursprung auch anfängt. Dieser neue Pfeil wird die Summe der zwei Pfeile genannt und wird angezeigt. Eine andere Operation, die mit Pfeilen getan werden kann, klettert: In Anbetracht jeder positiven reellen Zahl a wird der Pfeil, der dieselbe Richtung wie v hat, aber ausgedehnt oder durch das Multiplizieren seiner Länge durch a zusammenschrumpfen gelassen wird, Multiplikation von v durch a genannt. Es wird angezeigt. Wenn negativ zu sein, als der Pfeil definiert wird, der in der entgegengesetzten Richtung stattdessen hinweist.

Die folgenden Shows einige Beispiele: Wenn der resultierende Vektor dieselbe Richtung wie w hat, aber zur doppelten Länge von w (richtiges Image unten) gestreckt wird. Gleichwertig 2w ist die Summe. Außerdem, hat die entgegengesetzte Richtung und dieselbe Länge wie v (blauer Vektor, der unten im richtigen Image hinweist).

Das zweite Beispiel: befohlene Paare von Zahlen

Ein zweites Schlüsselbeispiel eines Vektorraums wird von Paaren von reellen Zahlen x und y zur Verfügung gestellt. (Die Ordnung der Bestandteile x und y ist bedeutend, so wird solch ein Paar auch ein befohlenes Paar genannt.) Solch ein Paar wird als (x, y) geschrieben. Die Summe von zwei solchen Paaren und Multiplikation eines Paares mit einer Zahl werden wie folgt definiert:

: (x, y) + (x, y) = (x + x, y + y)

und

:a  (x, y) = (Axt, ja).

Definition

Ein Vektorraum über Feld F ist ein Satz V zusammen mit zwei binären Operationen, die die acht Axiome befriedigen, die unten verzeichnet sind. Elemente V werden Vektoren genannt. Elemente von F werden Skalare genannt. In diesem Artikel sind Vektoren von Skalaren durch die Fettschrift bemerkenswert. In den zwei Beispielen oben besteht unser Satz aus den planaren Pfeilen mit dem festen Startpunkt und Paare von reellen Zahlen beziehungsweise, während unser Feld die reellen Zahlen ist. Die erste Operation, Vektor-Hinzufügung, nimmt irgendwelche zwei Vektoren v und w und teilt ihnen einen dritten Vektoren zu, der als allgemein geschrieben und die Summe dieser zwei Vektoren genannt wird. Die zweite Operation nimmt jeden Skalar a und jeden Vektoren v und gibt einem anderen. Im Hinblick auf das erste Beispiel, wo die Multiplikation durch das Wiederschuppen des Vektoren v durch einen Skalar a getan wird, wird die Multiplikation Skalarmultiplikation von v durch a genannt.

Um sich als ein Vektorraum zu qualifizieren, müssen der Satz V und die Operationen der Hinzufügung und Multiplikation an mehreren Voraussetzungen genannt Axiome kleben. In der Liste unten, lassen Sie u, v und w willkürliche Vektoren in V, und a und b Skalare in F. sein

Diese Axiome verallgemeinern Eigenschaften der in den obengenannten Beispielen eingeführten Vektoren. Tatsächlich hängt das Ergebnis der Hinzufügung von zwei befohlenen Paaren (als im zweiten Beispiel oben) von der Ordnung des summands nicht ab:

: (x, y) + (x, y) = (x, y) + (x, y),

Ebenfalls, im geometrischen Beispiel von Vektoren als Pfeile, v + w = w + v, da ist das Parallelogramm, das die Summe der Vektoren definiert, der Ordnung der Vektoren unabhängig. Alle anderen Axiome können auf eine ähnliche Weise in beiden Beispielen überprüft werden. So, durch das Ignorieren der konkreten Natur des besonderen Typs von Vektoren, vereinigt die Definition diese zwei und noch viele Beispiele in einem Begriff des Vektorraums.

Die Subtraktion von zwei Vektoren und Abteilung durch einen (nichtnull)-Skalar kann als definiert werden

:v  w = v + (w),

:v/a = (1/a) v.

Das Konzept, das oben eingeführt ist, wird einen echten Vektorraum genannt. Das "echte" Wort bezieht sich auf die Tatsache, dass Vektoren mit reellen Zahlen im Vergleich mit, sagen wir, komplexen Zahlen multipliziert werden können. Wenn Skalarmultiplikation für komplexe Zahlen definiert wird, wird der Bezeichnungskomplex-Vektorraum verwendet. Diese zwei Fälle sind diejenigen verwendet meistenteils in der Technik. Die allgemeinste Definition eines Vektorraums erlaubt Skalaren, Elemente eines festen Feldes F zu sein. Der Begriff ist dann als F-Vektorräume oder ein Vektorraum über F bekannt. Ein Feld, ist im Wesentlichen, eine Reihe von Zahlen, die Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation und Abteilungsoperationen besitzt. Zum Beispiel bilden rationale Zahlen auch ein Feld.

Im Gegensatz zur Intuition, die von Vektoren im Flugzeug und den hoch-dimensionalen Fällen stammt, gibt es, in allgemeinen Vektorräumen, keinem Begriff der Nähe, Winkel oder Entfernungen. Um sich mit solchen Sachen zu befassen, werden besondere Typen von Vektorräumen eingeführt; sieh unten.

Alternative Formulierungen und elementare Folgen

Die Voraussetzung, dass Vektor-Hinzufügung und Skalarmultiplikation, binäre Operationen sein (definitionsgemäß binärer Operationen) ein Eigentum genannt Verschluss einschließen: Das u + v und av ist in V für alle in F und u, v in V. Einige ältere Quellen erwähnen diese Eigenschaften als getrennte Axiome.

Im Sprachgebrauch der abstrakten Algebra können die ersten vier Axiome untergeordnet werden, indem sie den Satz von Vektoren verlangt wird, eine abelian Gruppe unter der Hinzufügung zu sein. Die restlichen Axiome geben dieser Gruppe eine F-Modul-Struktur. Mit anderen Worten gibt es einen Ringhomomorphismus-ƒ von Feld F in den Endomorphismus-Ring der Gruppe von Vektoren. Dann wird Skalarmultiplikation av als (ƒ (a)) (v) definiert.

Es gibt mehrere direkte Folgen der Vektorraum-Axiome. Einige von ihnen sind auf elementare Gruppentheorie zurückzuführen, die auf die zusätzliche Gruppe von Vektoren angewandt ist: Zum Beispiel ist der Nullvektor 0 V und das zusätzliche Gegenteil v jedes Vektoren v einzigartig. Andere Eigenschaften folgen aus dem verteilenden Gesetz, zum Beispiel ist av 0 gleich, wenn, und nur wenn ein Gleichkommen 0 oder v 0 gleich sind.

Geschichte

Vektorräume stammen von der affine Geometrie, über die Einführung von Koordinaten im Flugzeug oder dreidimensionalen Raum. 1636 haben Descartes und Fermat analytische Geometrie gegründet, indem sie Lösungen einer Gleichung von zwei Variablen mit Punkten auf einer Flugzeug-Kurve ausgeglichen haben. Geometrische Lösungen zu erreichen, ohne Koordinaten, Bolzano eingeführt, 1804, bestimmte Operationen auf Punkten, Linien und Flugzeugen zu verwenden, die Vorgänger von Vektoren sind. Diese Arbeit wurde von in der Vorstellung von Barycentric-Koordinaten von Möbius 1827 Gebrauch gemacht. Das Fundament der Definition von Vektoren war der Begriff von Bellavitis des bipoint, ein orientiertes Segment eines sind dessen Enden der Ursprung und der andere ein Ziel. Vektoren wurden mit der Präsentation von komplexen Zahlen von Argand und Hamilton und dem Beginn von quaternions und biquaternions von den Letzteren nachgeprüft. Sie sind Elemente in R, R, und R; das Behandeln von ihnen, geradlinige Kombinationen verwendend, geht zu Laguerre 1867 zurück, der auch Systeme von geradlinigen Gleichungen definiert hat.

1857 hat Cayley die Matrixnotation eingeführt, die eine Harmonisierung und Vereinfachung von geradlinigen Karten berücksichtigt. Um dieselbe Zeit hat Grassmann die barycentric von Möbius begonnene Rechnung studiert. Er hat sich Sätze von abstrakten mit Operationen ausgestatteten Gegenständen vorgestellt. In seiner Arbeit sind die Konzepte der geradlinigen Unabhängigkeit und Dimension, sowie Skalarprodukte da. Wirklich überschreitet die 1844-Arbeit von Grassmann das Fachwerk von Vektorräumen seit seinem Betrachten, dass Multiplikation ihn auch dazu geführt hat, was heute Algebra genannt wird. Peano war erst, um die moderne Definition von Vektorräumen und geradlinigen Karten 1888 zu geben.

Eine wichtige Entwicklung von Vektorräumen ist wegen des Aufbaus von Funktionsräumen durch Lebesgue. Das wurde später von Banach und Hilbert 1920 formalisiert. Damals haben Algebra und das neue Feld der Funktionsanalyse begonnen, namentlich mit Schlüsselkonzepten wie Räume von P-Integrable-Funktionen und Räume von Hilbert aufeinander zu wirken. Vektorräume, einschließlich unendlich-dimensionaler, sind dann ein fest feststehender Begriff geworden, und viele mathematische Zweige haben angefangen, von diesem Konzept Gebrauch zu machen.

Beispiele

Koordinatenräume

Das erste Beispiel eines Vektorraums über Feld F ist das Feld selbst, ausgestattet mit seiner Standardhinzufügung und Multiplikation. Das ist n = der Fall 1 eines Vektorraums hat gewöhnlich F angezeigt, der als der Koordinatenraum bekannt ist, dessen Elemente N-Tupel (Folgen der Länge n) sind:

: (a, a..., a), wo Elemente von F sind.

Der Fall F = R und n = 2 wurde in der Einführung oben besprochen.

Die komplexen Zahlen und anderen Felderweiterungen

Der Satz von komplexen Zahlen C, d. h., Zahlen, die in der Form x + ich y für reelle Zahlen x und y geschrieben werden können, wo die imaginäre Einheit ist, bildet einen Vektorraum über den reals mit der üblichen Hinzufügung und Multiplikation: (x + ich y) + (+ ich b) = (x + a) + ich (y + b) und für reelle Zahlen x, y, a, b und c. Die verschiedenen Axiome eines Vektorraums folgen aus der Tatsache, dass dieselben Regeln für die Arithmetik der komplexen Zahl halten.

Tatsächlich ist das Beispiel von komplexen Zahlen im Wesentlichen dasselbe (d. h. es ist isomorph) zum Vektorraum von befohlenen Paaren von reellen Zahlen, die oben erwähnt sind: Wenn wir an die komplexe Zahl x + ich y als das Vertreten des befohlenen Paares denken (x, y) im komplizierten Flugzeug dann sehen wir, dass die Regeln für die Summe und das Skalarprodukt genau zu denjenigen im früheren Beispiel entsprechen.

Mehr allgemein stellen Felderweiterungen eine andere Klasse von Beispielen von Vektorräumen, besonders in der Algebra und Theorie der algebraischen Zahl zur Verfügung: Feld F, das ein kleineres Feld E enthält, ist ein E-Vektorraum durch die gegebenen Multiplikations- und Hinzufügungsoperationen von F. Zum Beispiel sind die komplexen Zahlen ein Vektorraum über R, und die Felderweiterung ist ein Vektorraum über Q.

Funktionsräume

Funktionen von jedem festen Satz Ω nach Feld F bilden auch Vektorräume, durch das Durchführen der Hinzufügung und Skalarmultiplikation pointwise. D. h. die Summe von zwei Funktions-ƒ und g ist die Funktion (f + g) gegeben durch

:(ƒ + g) (w) = ƒ (w) + g (w),

und ähnlich für die Multiplikation. Solche Funktionsräume kommen in vielen geometrischen Situationen vor, wenn Ω die echte Linie oder ein Zwischenraum oder anderen Teilmengen von R ist. Viele Begriffe in der Topologie und Analyse, wie Kontinuität, integrability oder differentiability sind in Bezug auf die Linearität wohl erzogen: Summen und Skalarvielfachen von Funktionen, die solch ein Eigentum noch besitzen, haben dieses Eigentum. Deshalb, der Satz solcher Funktionen sind Vektorräume. Sie werden im größeren Detail mit den Methoden der Funktionsanalyse studiert, sehen unten. Algebraische Einschränkungen geben auch Vektorräume nach: Gegeben durch polynomische Funktionen zu sein:

:ƒ (x) = r + rx +... + rx + rx, wo die Koeffizienten r..., r in F sind.

Geradlinige Gleichungen

Systeme von homogenen geradlinigen Gleichungen werden an Vektorräume nah gebunden. Zum Beispiel, die Lösungen von

:

wird durch gegeben verdreifacht sich mit willkürlichem a, b = a/2, und c = −5a/2. Sie bilden einen Vektorraum: Summen und Skalarvielfachen von solchem verdreifachen sich noch befriedigen dieselben Verhältnisse der drei Variablen; so sind sie Lösungen auch. Matrices kann verwendet werden, um vielfache geradlinige Gleichungen als oben in eine Vektor-Gleichung, nämlich zu kondensieren

:

wo =

1 & 3 & 1 \\

4 & 2 & 2\end {bmatrix} </Mathematik> ist die Matrix, die die Koeffizienten der gegebenen Gleichungen enthält, x ist die Vektor-Axt zeigt an, dass das Matrixprodukt und 0 = (0, 0) der Nullvektor ist. In einer ähnlichen Ader bilden die Lösungen homogener linearer Differenzialgleichungen Vektorräume. Zum Beispiel

:

Erträge (x) ƒ = a e + bx e, wo a und b willkürliche Konstanten und e sind, sind die natürliche Exponentialfunktion.

Basen und Dimension

offenbaren Sie die Struktur von Vektorräumen auf eine kurze Weise. Eine Basis wird definiert, weil (begrenzt oder unendlich) untergeht, gehen B = {v} Vektoren v mit einem Inhaltsverzeichnis versehen durch einen Index I unter, der den ganzen Raum abmisst, und mit diesem Eigentum minimal ist. Die ehemaligen Mittel, dass jeder Vektor v als eine begrenzte Summe ausgedrückt werden kann (hat geradlinige Kombination genannt), der Basiselemente

:

wo Skalare und v (k = 1..., n) Elemente der Basis sind, wird B. Minimality andererseits formell gemacht, indem er B verlangt, linear unabhängig zu sein. Wie man sagt, ist eine Reihe von Vektoren linear unabhängig, wenn keines seiner Elemente als eine geradlinige Kombination der restlichen ausgedrückt werden kann. Gleichwertig, eine Gleichung

:

kann nur wenn alle Skalare a..., eine gleiche Null halten. Geradlinige Unabhängigkeit stellt sicher, dass die Darstellung jedes Vektoren in Bezug auf Basisvektoren, von denen die Existenz durch die Voraussetzung versichert wird, dass die Basisspanne V, einzigartig ist. Das wird den coordinatized Gesichtspunkt von Vektorräumen, durch die Betrachtung von Basisvektoren als Generalisationen von Koordinatenvektoren x, y, z in R und ähnlich in hoch-dimensionalen Fällen genannt.

Die Koordinatenvektoren e = (1, 0..., 0), e = (0, 1, 0..., 0), zu e = (0, 0..., 0, 1), bilden eine Basis von F, genannt die Standardbasis seit jedem Vektoren (x, x..., x) kann als eine geradlinige Kombination dieser Vektoren einzigartig ausgedrückt werden:

: (x, x..., x) = x (1, 0..., 0) + x (0, 1, 0..., 0) +... + x (0..., 0, 1) = xe + xe +... + xe.

Jeder Vektorraum hat eine Basis. Das folgt aus dem Lemma von Zorn, einer gleichwertigen Formulierung des Axioms der Wahl. In Anbetracht der anderen Axiome der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre ist die Existenz von Basen zum Axiom der Wahl gleichwertig. Das Ultrafilterlemma, das schwächer ist als das Axiom der Wahl, deutet an, dass alle Basen eines gegebenen Vektorraums dieselbe Zahl der Elemente oder cardinality (vgl Dimensionslehrsatz für Vektorräume) haben. Es wird die Dimension des Vektorraums, angezeigt dunkel V genannt. Wenn der Raum durch begrenzt viele Vektoren abgemessen wird, können die obengenannten Behauptungen ohne solchen grundsätzlichen Eingang von der Mengenlehre bewiesen werden.

Die Dimension des Koordinatenraums F ist n durch die Basis, die oben ausgestellt ist. Die Dimension des polynomischen Rings F [x] eingeführt ist oben zählbar unendlich, eine Basis wird durch 1, x, x gegeben... Ein fortiori, die Dimension von allgemeineren Funktionsräumen, wie der Raum von Funktionen auf einigen (begrenzt oder unbegrenzt) Zwischenraum, ist unendlich. Unter passenden Regelmäßigkeitsannahmen auf den beteiligten Koeffizienten kommt die Dimension des Lösungsraums einer homogenen gewöhnlichen Differenzialgleichung dem Grad der Gleichung gleich. Zum Beispiel wird der Lösungsraum für die obengenannte Gleichung durch e und xe erzeugt. Diese zwei Funktionen sind über R linear unabhängig, so ist die Dimension dieses Raums zwei, wie der Grad der Gleichung ist.

Die Dimension (oder Grad) der Felderweiterung Q (α) über Q hängt von α ab. Wenn α eine polynomische Gleichung befriedigt

:q&alpha; + q&alpha; +... + q = 0, mit vernünftigen Koeffizienten q..., q.

(" α ist" algebraisch), die Dimension ist begrenzt. Genauer kommt es dem Grad des minimalen Polynoms gleich, das α als eine Wurzel hat. Zum Beispiel sind die komplexen Zahlen C ein zweidimensionaler echter Vektorraum, der durch 1 und die imaginäre Einheit i erzeugt ist. Der Letztere befriedigt mich + 1 = 0, eine Gleichung des Grads zwei. So ist C ein zweidimensionaler R-Vektorraum (und, als jedes Feld, eindimensional als ein Vektorraum über sich, C). Wenn α nicht algebraisch ist, ist die Dimension von Q (α) über Q unendlich. Zum Beispiel, für α = &pi; es gibt keine solche Gleichung, mit anderen Worten ist π transzendental.

Geradlinige Karten und matrices

Die Beziehung von zwei Vektorräumen kann durch die geradlinige Karte oder geradlinige Transformation ausgedrückt werden. Sie sind Funktionen, die die Vektorraum-Struktur widerspiegeln — d. h. sie bewahren Summen und Skalarmultiplikation:

:&fnof; (x + y) = &fnof; (x) + &fnof; (y) und &fnof; (&middot; x) = &middot; &fnof; (x) für den ganzen x und y in V, alle in F.

Ein Isomorphismus ist eine geradlinige solche Karte, dass dort eine umgekehrte Karte besteht, die eine solche Karte ist, dass die zwei möglichen Zusammensetzungen und Identitätskarten sind. Gleichwertig ist ƒ (injective) als auch auf (surjective) sowohl isomorph. Wenn dort ein Isomorphismus zwischen V und W besteht, wie man sagt, sind die zwei Räume isomorph; sie sind dann als Vektorräume im Wesentlichen identisch, da die ganze Identität, die in V hält über den ƒ ist, der zu ähnlichen in W, und umgekehrt über g transportiert ist.

Zum Beispiel sind die "Pfeile im Flugzeug" und "den befohlenen Paaren von Zahlen" Vektorräume in der Einführung isomorph: Ein planarer Pfeil v, am Ursprung von einem (festen) Koordinatensystem fortgehend, kann als ein befohlenes Paar durch das Betrachten des x- und Y-Bestandteils des Pfeils, wie gezeigt, im Image am Recht ausgedrückt werden. Umgekehrt, in Anbetracht eines Paares (x, y), weist der Pfeil, der durch x nach rechts (oder nach links geht, wenn x negativ ist), und y (unten, wenn y negativ ist), den Pfeil v. zurück

Geradlinige Karten V  W zwischen zwei festen Vektorräumen bilden einen Vektorraum Hom (V, W), haben auch L (V, W) angezeigt. Der Raum von geradlinigen Karten von V bis F wird den Doppelvektorraum, angezeigt V genannt. Über die injective natürliche Karte V  V kann jeder Vektorraum in seinen bidual eingebettet werden; die Karte ist ein Isomorphismus, wenn, und nur wenn der Raum endlich-dimensional ist.

Sobald eine Basis V gewählt wird, werden geradlinige Karten durch das Spezifizieren der Images der Basisvektoren völlig bestimmt, weil jedes Element V einzigartig als eine geradlinige Kombination von ihnen ausgedrückt wird. Wenn dunkel V = W, 1 zu 1 verdunkeln, verursacht die Ähnlichkeit zwischen festen Basen V und W eine geradlinige Karte, die jedes Basiselement V zum entsprechenden Basiselement von W kartografisch darstellt. Es ist ein Isomorphismus durch seine wirkliche Definition. Deshalb sind zwei Vektorräume isomorph, wenn ihre Dimensionen zustimmen und umgekehrt. Eine andere Weise, das auszudrücken, besteht darin, dass jeder Vektorraum (bis zum Isomorphismus) durch seine Dimension, eine einzelne Zahl völlig klassifiziert wird. Insbesondere jeder n-dimensional F-Vektorraum V ist zu F isomorph. Es, gibt jedoch, keinen "kanonischen" oder bevorzugten Isomorphismus; wirklich ist ein Isomorphismus zur Wahl einer Basis V gleichwertig, indem er die Standardbasis von F zu V, über φ kartografisch dargestellt wird. Die Freiheit, eine günstige Basis zu wählen, ist im unendlich-dimensionalen Zusammenhang besonders nützlich, sieh unten.

Matrices

Matrices sind ein nützlicher Begriff, um geradlinige Karten zu verschlüsseln. Sie werden als eine rechteckige Reihe von Skalaren als im Image am Recht geschrieben. Jede m-by-n Matrix A führt Anstieg zu einer geradlinigen Karte von F bis F durch den folgenden

:, wo Summierung, anzeigt

oder, mit der Matrixmultiplikation der Matrix mit dem Koordinatenvektoren x:

:

Außerdem, nach dem Wählen von Basen V und W, wird jede geradlinige Karte durch eine Matrix über diese Anweisung einzigartig vertreten.

Die Determinante det (A) einer Quadratmatrix A ist ein Skalar, der erzählt, ob die verbundene Karte ein Isomorphismus ist oder nicht: Um so zu sein, ist es genügend und notwendig, dass die Determinante Nichtnull ist. Die geradlinige Transformation von R entsprechend einer echten n-by-n Matrix ist Orientierungsbewahrung, wenn, und nur wenn seine Determinante positiv ist.

Eigenvalues und Eigenvektoren

Endomorphismen, geradlinige Karten, sind seitdem in diesem Fall besonders wichtig Vektoren v können im Vergleich zu ihrem Image unter dem ƒ, (v) ƒ sein. Jeder Nichtnullvektor v, λv = (v) ƒ befriedigend, wo λ ein Skalar ist, wird einen Eigenvektoren von ƒ mit eigenvalue λ genannt. Gleichwertig ist v ein Element des Kerns des Unterschieds (wo Id die Identitätskarte ist, Wenn V endlich-dimensional ist, kann das mit Determinanten umformuliert werden: ƒ, der eigenvalue λ hat, ist zu gleichwertig

:det (&fnof; &minus; λ · Id) = 0.

Dadurch, die Definition der Determinante, der Ausdruck linker Hand darzulegen, wie man sehen kann, ist Seite eine polynomische Funktion in λ, genannt das charakteristische Polynom von ƒ. Wenn Feld F groß genug ist, um eine Null dieses Polynoms zu enthalten (der automatisch für F algebraisch geschlossen, wie F = C geschieht), hat jede geradlinige Karte mindestens einen Eigenvektoren. Der Vektorraum V kann oder kann keinen eigenbasis, eine Basis besitzen, die aus Eigenvektoren besteht. Dieses Phänomen wird durch die Jordannormalform der Karte geregelt. Der Satz aller Eigenvektoren entsprechend einem besonderen eigenvalue von ƒ bildet einen Vektorraum bekannt als der eigenspace entsprechend dem eigenvalue (und ƒ) fraglich. Um den geisterhaften Lehrsatz zu erreichen, sieht die entsprechende Behauptung im unendlich-dimensionalen Fall, die Maschinerie der Funktionsanalyse ist erforderlich, unten.

Grundlegende Aufbauten

Zusätzlich zu den obengenannten konkreten Beispielen gibt es mehrere algebraische geradlinige Standardaufbauten, die mit gegebenen verbundene Vektorräume nachgeben. Zusätzlich zu den Definitionen, die unten gegeben sind, werden sie auch durch universale Eigenschaften charakterisiert, die einen Gegenstand X durch das Spezifizieren der geradlinigen Karten von X bis jeden anderen Vektorraum bestimmen.

Subräume und Quotient-Räume

Eine nichtleere Teilmenge W eines Vektorraums V, der unter der Hinzufügung und Skalarmultiplikation geschlossen wird (und enthält deshalb die 0-Vektoren-von V), wird einen Subraum V genannt. Subräume V sind Vektorräume (über dasselbe Feld) in ihrem eigenen Recht. Die Kreuzung aller Subräume, die einen gegebenen enthalten, ist untergegangen S von Vektoren wird seine Spanne genannt, und ist der kleinste Subraum V, den Satz S enthaltend. Ausgedrückt in Bezug auf Elemente ist die Spanne der Subraum, der aus allen geradlinigen Kombinationen von Elementen von S besteht.

Die Kopie zu Subräumen ist Quotient-Vektorräume. In Anbetracht jedes Subraums W  V der Quotient-Raum wird V/W ("V modulo W") wie folgt definiert: Als ein Satz besteht es aus v + W = {v + w, w  W}, wo v ein willkürlicher Vektor in V ist. Die Summe von zwei solchen Elementen v + W und v + W ist, und Skalarmultiplikation wird durch a gegeben · (v + W) = (a · v) + W. Der Stichpunkt in dieser Definition ist, dass v + W = v + W wenn, und nur wenn der Unterschied von v und v in W liegt. Auf diese Weise "vergisst" der Quotient-Raum Information, die im Subraum W enthalten wird.

Der Kern ker (ƒ) eines geradlinigen Karte-ƒ: V  W bestehen aus Vektoren v, die zu 0 in W kartografisch dargestellt werden. Sowohl Kern als auch Image im (ƒ) = {(v) ƒ, v  V} sind Subräume V und W beziehungsweise. Die Existenz von Kernen und Images ist ein Teil der Behauptung, dass die Kategorie von Vektorräumen (über ein festes Feld F) eine abelian Kategorie, d. h. ein Korpus von mathematischen Gegenständen und Struktur bewahrenden Karten zwischen ihnen ist (eine Kategorie), der sich viel wie die Kategorie von abelian Gruppen benimmt. Wegen dessen, viele Behauptungen wie der erste Isomorphismus-Lehrsatz (auch genannt Lehrsatz der Reihe-Ungültigkeit in matrixzusammenhängenden Begriffen)

:V / ker (&fnof;) &cong; im (&fnof;).

und der zweite und dritte Isomorphismus-Lehrsatz kann formuliert und in einem Weg bewiesen werden, der den entsprechenden Behauptungen für Gruppen sehr ähnlich ist.

Ein wichtiges Beispiel ist der Kern einer geradlinigen Karte x  Axt für eine feste Matrix A als oben. Der Kern dieser Karte ist der Subraum von Vektoren x solch, dass Axt = 0, der genau der Satz von Lösungen des Systems von homogenen geradlinigen Gleichungen ist, die A gehören. Dieses Konzept streckt sich auch bis zu lineare Differenzialgleichungen aus

:, wo die Koeffizienten Funktionen in x auch sind.

In der entsprechenden Karte

:

die Ableitungen des Funktions-ƒ erscheinen geradlinig (im Vergleich mit dem ƒ

Direktes Produkt und direkte Summe

Das direkte Produkt einer Familie von Vektorräumen V besteht aus dem Satz aller Tupel (v), die für jeden Index i in einem Index-Satz I ein Element v von V angeben. Hinzufügung und Skalarmultiplikation werden componentwise durchgeführt. Eine Variante dieses Aufbaus ist die direkte Summe (auch hat coproduct genannt und hat angezeigt), wo nur Tupeln mit begrenzt vielen Nichtnullvektoren erlaubt wird. Wenn der Index-Satz ich, bin die zwei Aufbauten begrenzt, zustimmt, aber sich sonst unterscheidet.

Tensor-Produkt

Das Tensor-Produkt V  W, oder sind einfach V  W, zwei Vektorräume V und W einer der Hauptbegriffe der mehrgeradlinigen Algebra, die sich mit sich ausstreckenden Begriffen wie geradlinige Karten zu mehreren Variablen befasst. Eine Karte wird bilinear genannt, wenn g in beiden Variablen v und w geradlinig ist. Das heißt, für festen w ist die Karte im Sinn oben und ebenfalls für festen v geradlinig.

Das Tensor-Produkt ist ein besonderer Vektorraum, der ein universaler Empfänger von bilinearen Karten g wie folgt ist. Es wird als der Vektorraum definiert, der aus begrenzten (formellen) Summen von Symbolen genannt Tensor besteht

:v  w + v  w +... + v  w,

unterwerfen Sie den Regeln

:

: (v + v)  w = v  w + v  w, und

:v  (w + w) = v  w + v  w. </cite>

Diese Regeln stellen dass der Karte-ƒ von den V &times sicher; W zu V  W, der ein Tupel (v, w) dazu kartografisch darstellt, ist bilinear. Die Allgemeinheit stellt fest, dass gegeben jeder Vektorraum X und jede bilineare Karte dort eine einzigartige Karte u besteht, die im Diagramm mit einem punktierten Pfeil gezeigt ist, dessen Zusammensetzung mit dem ƒ g gleichkommt: u (v  w) = g (v, w). Das wird das universale Eigentum des Tensor-Produktes, ein Beispiel der Methode — viel verwendet in der fortgeschrittenen abstrakten Algebra genannt — um Gegenstände durch das Spezifizieren von Karten von oder bis diesen Gegenstand indirekt zu definieren.

Aus dem Gesichtswinkel von der geradlinigen Algebra werden Vektorräume völlig verstanden, insofern als jeder Vektorraum bis zum Isomorphismus durch seine Dimension charakterisiert wird. Jedoch bieten Vektorräume per se kein Fachwerk an, um sich mit der Frage — entscheidend für die Analyse zu befassen —, ob eine Folge von Funktionen zu einer anderen Funktion zusammenläuft. Ebenfalls wird geradlinige Algebra nicht angepasst, um sich mit unendlicher Reihe zu befassen, da die Hinzufügungsoperation nur begrenzt vielen Begriffen erlaubt, hinzugefügt zu werden. Auf ziemlich gleiche Weise offenbart die axiomatische Behandlung von Vektorräumen ihre wesentlichen algebraischen Eigenschaften, das Studieren von Vektorräumen mit zusätzlichen Daten erweist sich abstrakt, auch vorteilhaft zu sein.

Ein erstes Beispiel einer zusätzlichen Gegebenheit ist eine Ordnung , ein Jeton, durch den Vektoren verglichen werden können. Zum Beispiel n-dimensional echter Raum kann R durch das Vergleichen seiner Vektoren componentwise bestellt werden. Bestellte Vektorräume, zum Beispiel Räume von Riesz, sind für die Integration von Lebesgue grundsätzlich, die sich auf die Fähigkeit verlässt, eine Funktion als ein Unterschied von zwei positiven Funktionen auszudrücken

:&fnof; = &fnof; &minus;

&fnof;,

wo ƒ den positiven Teil von ƒ und ƒ der negative Teil anzeigt.

Vektorräume von Normed und Skalarprodukt-Räume

"Das Messen" von Vektoren wird durch das Spezifizieren einer Norm, eine Gegebenheit getan, die Längen von Vektoren, oder durch ein Skalarprodukt misst, das Winkel zwischen Vektoren misst. Normen und Skalarprodukte werden angezeigt und beziehungsweise. Die Gegebenheit eines Skalarprodukts hat zur Folge, dass Längen von Vektoren auch, durch das Definieren der verbundenen Norm definiert werden können. Mit solchen Daten ausgestattete Vektorräume sind als normed Vektorräume und Skalarprodukt-Räume beziehungsweise bekannt.

Koordinieren Sie Raum F kann mit dem Standardpunktprodukt ausgestattet werden:

:

In R widerspiegelt das den allgemeinen Begriff des Winkels zwischen zwei Vektoren x und y nach dem Gesetz von Kosinus:

:

Wegen dessen wird zwei Vektor-Zufriedenheit orthogonal genannt. Eine wichtige Variante des Standardpunktproduktes wird im Raum von Minkowski verwendet: R ausgestattet mit dem Produkt von Lorentz

:

Im Gegensatz zum Standardpunktprodukt ist es bestimmt nicht positiv: Auch nimmt negative Werte, zum Beispiel für x = (0, 0, 0, 1). Das Aussuchen der vierten Koordinate — entsprechend der Zeit, im Vergleich mit drei Raumdimensionen — macht es nützlich für die mathematische Behandlung der speziellen Relativität.

Topologische Vektorräume

Konvergenz-Fragen werden durch das Betrachten von Vektorräumen als das V Tragen einer vereinbaren Topologie, eine Struktur behandelt, die erlaubt, über Elemente zu sprechen, die einander nah sind. Vereinbar hier bedeutet, dass Hinzufügung und Skalarmultiplikation dauernde Karten sein müssen. Grob, wenn sich x und y in V, und in F durch einen begrenzten Betrag, dann so x + y und Axt ändern. Um das Spezifizieren des Betrags zu verstehen, ändert sich ein Skalar, Feld F muss auch eine Topologie in diesem Zusammenhang tragen; eine allgemeine Wahl ist der reals oder die komplexen Zahlen.

In solchen topologischen Vektorräumen kann man Reihe von Vektoren denken. Die unendliche Summe

:

zeigt die Grenze der entsprechenden begrenzten teilweisen Summen der Folge (ƒ) von Elementen V an. Zum Beispiel konnte der ƒ (echt oder kompliziert) Funktionen sein, die einem Funktionsraum V gehören, in welchem Fall die Reihe eine Funktionsreihe ist. Die Weise der Konvergenz der Reihe hängt von der dem Funktionsraum auferlegten Topologie ab. In solchen Fällen sind pointwise Konvergenz und gleichförmige Konvergenz zwei prominente Beispiele.

Eine Weise, die Existenz von Grenzen der bestimmten unendlichen Reihe zu sichern, soll Aufmerksamkeit auf Räume einschränken, wo jede Cauchyfolge eine Grenze hat; solch ein Vektorraum wird abgeschlossen genannt. Grob ist ein Vektorraum abgeschlossen vorausgesetzt, dass er alle notwendigen Grenzen enthält. Zum Beispiel ist der Vektorraum von Polynomen auf dem Einheitszwischenraum [0,1], ausgestattet mit der Topologie der gleichförmigen Konvergenz nicht abgeschlossen, weil jeder dauernden Funktion auf [0,1] durch eine Folge von Polynomen durch den Annäherungslehrsatz von Weierstrass gleichförmig näher gekommen werden kann. Im Gegensatz ist der Raum aller dauernden Funktionen auf [0,1] mit derselben Topologie abgeschlossen. Eine Norm verursacht eine Topologie durch das Definieren, dass eine Folge von Vektoren v zu v wenn und nur wenn zusammenläuft

:

Banach und Räume von Hilbert sind ganze topologische Räume, deren Topologien, beziehungsweise, durch eine Norm und ein Skalarprodukt gegeben werden. Ihre Studie — ein Schlüsselstück der Funktionsanalyse — focusses auf unendlich-dimensionalen Vektorräumen da verursachen alle Normen auf endlich-dimensionalen topologischen Vektorräumen denselben Begriff der Konvergenz. Das Image am Recht zeigt die Gleichwertigkeit der 1 Norm und des  - Norm auf R: Als die Einheit "Bälle" schließen einander ein, eine Folge läuft zur Null in einer Norm zusammen, wenn, und nur wenn es so in der anderen Norm tut. Im unendlich-dimensionalen Fall, jedoch, wird es allgemein inequivalent Topologien geben, der die Studie von topologischen Vektorräumen reicher macht als dieser von Vektorräumen ohne zusätzliche Daten.

Aus einem Begriffsgesichtspunkt sollten alle mit topologischen Vektorräumen verbundenen Begriffe die Topologie vergleichen. Zum Beispiel, anstatt alle geradlinigen Karten zu betrachten (hat auch functionals genannt), als V  W, sind Karten zwischen topologischen Vektorräumen erforderlich, dauernd zu sein. Insbesondere das Bestehen aus dauerndem functionals V  R (oder C). Der grundsätzliche Hahn-Banach Lehrsatz ist mit dem Trennen von Subräumen von passenden topologischen Vektorräumen durch dauernden functionals beschäftigt.

Banachräume

Banachräume, die von Stefan Banach eingeführt sind, sind ganze normed Vektorräume. Ein erstes Beispiel ist der Vektorraum   aus unendlichen Vektoren mit echten Einträgen x = (x, x...) wessen durch gegebene P-Norm bestehend

: für p

ist

begrenzt. Die Topologien auf dem unendlich-dimensionalen Raum   sind inequivalent für verschiedenen p. Z.B ist die Folge von Vektoren x = (2, 2..., 2, 0, 0...), d. h. die ersten 2 Bestandteile 2, die folgenden sind 0, läuft zum Nullvektoren für p =  zusammen, aber tut nicht für p = 1:

: aber

Mehr allgemein als Folgen von reellen Zahlen, Funktions-ƒ: Ω  R sind mit einer Norm ausgestattet, die die obengenannte Summe durch Lebesgue integrierter ersetzt

:

Der Raum von integrable fungiert auf einem gegebenen Gebiet Ω (zum Beispiel ein Zwischenraum), | ƒ (Ω) befriedigend. Diese Räume sind abgeschlossen. (Wenn man den Riemann integriert statt dessen verwendet, ist der Raum nicht abgeschlossen, der als eine Rechtfertigung für die Integrationstheorie von Lebesgue gesehen werden kann.) Konkret bedeutet das, dass für jede Folge von Lebesgue-integrable mit dem ƒ fungiert

dort besteht eine Funktion (x) ƒ, dem Vektorraum L (Ω) solch dass gehörend

:

Das Auferlegen boundedness Bedingungen nicht nur auf der Funktion, sondern auch auf seinen Ableitungen führt zu Räumen von Sobolev.

Räume von Hilbert

Ganze Skalarprodukt-Räume sind als Räume von Hilbert zu Ehren von David Hilbert bekannt.

Der Hilbert Raum L (Ω), mit dem durch gegebenen Skalarprodukt

:

wo den Komplex anzeigt, der von g (x) verbunden ist. ist ein Schlüsselfall.

Definitionsgemäß in einem Raum von Hilbert läuft jede Cauchyfolge zu einer Grenze zusammen. Umgekehrt ist die Entdeckung einer Folge von Funktions-ƒ mit wünschenswerten Eigenschaften, der einer gegebenen Grenze-Funktion näher kommt, ebenso entscheidend. Frühe Analyse, in der Gestalt der Annäherung von Taylor, hat eine Annäherung von Differentiable-Funktions-ƒ durch Polynome gegründet. Durch kann jeder dauernden Funktion darauf so nah näher gekommen werden wie gewünscht durch ein Polynom. Eine ähnliche Annäherungstechnik nach trigonometrischen Funktionen wird Vergrößerung von Fourier allgemein genannt, und wird sehr in der Technik angewandt, sieh unten. Solch ein Satz von Funktionen wird eine Basis von H genannt, sein cardinality ist als die Dimension von Hilbert bekannt. Nicht nur stellt der Lehrsatz passende Basisfunktionen als genügend zu Annäherungszwecken, aber zusammen mit dem Prozess des Gramms-Schmidt aus, er ermöglicht, eine Basis von orthogonalen Vektoren zu bauen. Solche orthogonalen Basen sind die Raumgeneralisation von Hilbert der Koordinatenäxte im endlich-dimensionalen Euklidischen Raum.

Die Lösungen verschiedener Differenzialgleichungen können in Bezug auf Räume von Hilbert interpretiert werden. Zum Beispiel führen sehr viele Felder in der Physik und Technik zu solchen Gleichungen, und oft werden Lösungen mit besonderen physikalischen Eigenschaften als Basisfunktionen verwendet, häufig orthogonal. Als ein Beispiel von der Physik beschreibt die zeitabhängige Gleichung von Schrödinger in der Quant-Mechanik die Änderung von physikalischen Eigenschaften rechtzeitig mittels einer teilweisen Differenzialgleichung, deren Lösungen wavefunctions genannt werden. Bestimmte Werte für physikalische Eigenschaften wie Energie oder Schwung, entsprechen eigenvalues eines bestimmten (geradlinigen) Differenzialoperatoren, und die verbundenen wavefunctions werden eigenstates genannt. Der

Algebra über Felder

Allgemeine Vektorräume besitzen keine Multiplikation zwischen Vektoren. Ein Vektorraum, der mit einem zusätzlichen bilinearen Maschinenbediener ausgestattet ist, der die Multiplikation von zwei Vektoren definiert, ist eine Algebra über ein Feld. Viele Algebra stammen von Funktionen auf einem geometrischen Gegenstand: Da Funktionen mit Werten in einem Feld multipliziert werden können, bilden diese Entitäten Algebra. Der Stein-Weierstrass Lehrsatz, der oben zum Beispiel erwähnt ist, verlässt sich auf Algebra von Banach, die sowohl Banachräume als auch Algebra sind.

Ersatzalgebra macht großen Gebrauch von Ringen von Polynomen in einer oder mehreren Variablen, die oben eingeführt sind. Ihre Multiplikation ist sowohl auswechselbar als auch assoziativ. Diese Ringe und ihre Quotienten bilden die Basis der algebraischen Geometrie, weil sie Ringe von Funktionen von algebraischen geometrischen Gegenständen sind.

Ein anderes entscheidendes Beispiel ist Lüge-Algebra, die weder auswechselbar noch assoziativ sind, aber der Misserfolg, so zu sein, wird durch die Einschränkungen beschränkt ([x, y] zeigt das Produkt von x und y) an:

• [x, y] =  [y, x] (anticommutativity), und
• (Identität von Jacobi).

Beispiele schließen den Vektorraum von n-by-n matrices, mit [x, y] = xy &minus ein; yx, der Umschalter von zwei matrices und R, der mit dem Kreuzprodukt ausgestattet ist.

Die Tensor-Algebra T (V) ist eine formelle Weise, Produkte zu jedem Vektorraum V hinzuzufügen, um eine Algebra zu erhalten. Als ein Vektorraum wird es durch Symbole, genannt einfachen Tensor abgemessen

:v  v ...  v, wo sich der Grad n ändert.

Die Multiplikation wird durch das Verketten solcher Symbole, das Auferlegen des verteilenden Gesetzes unter der Hinzufügung und das Verlangen gegeben, dass Skalarmultiplikation mit dem Tensor-Produkt , ziemlich gleicher Weg als mit dem Tensor-Produkt von zwei Vektorräumen pendelt, die oben eingeführt sind. Im Allgemeinen gibt es keine Beziehungen zwischen und. Das Zwingen zwei solcher Elemente, gleich zu sein, führt zur symmetrischen Algebra, wohingegen, v  v =  v  zwingend, v die Außenalgebra nachgibt.

Wenn ein Feld, F ausführlich festgesetzt wird, ist ein verwendeter verbreiteter Ausdruck.

Anwendungen

Vektorräume haben mannigfaltige Anwendungen, weil sie in vielen Verhältnissen nämlich vorkommen, wo auch immer Funktionen mit Werten in einem Feld beteiligt werden. Sie stellen ein Fachwerk zur Verfügung, um sich mit analytischen und geometrischen Problemen zu befassen, oder werden im Fourier verwendet verwandeln sich. Diese Liste ist nicht erschöpfend: Noch viele Anwendungen bestehen zum Beispiel in der Optimierung. Der minimax Lehrsatz der Spieltheorie, die die Existenz einer einzigartigen Belohnung festsetzt, wenn alle Spieler optimal spielen, kann formuliert werden und bewiesene Verwenden-Vektorraum-Methoden. Darstellungstheorie überträgt fruchtbar das gute Verstehen der geradlinigen Algebra und Vektorräume zu anderen mathematischen Gebieten wie Gruppentheorie.

Vertrieb

Ein Vertrieb (oder verallgemeinerte Funktion) ist eine geradlinige Karte, die eine Zahl jeder "Test"-Funktion, normalerweise eine glatte Funktion mit der Kompaktunterstützung auf eine dauernde Weise zuteilt: In der obengenannten Fachsprache ist der Raum des Vertriebs der (dauernde) Doppel-vom Testfunktionsraum. Der letzte Raum ist mit einer Topologie ausgestattet, die nicht nur ƒ selbst, sondern auch alle seine höheren Ableitungen in Betracht zieht. Ein Standardbeispiel ist das Ergebnis, einen Testfunktions-ƒ über ein Gebiet Ω zu integrieren:

:

Wenn Ω = {p}, der Satz, der aus einem einzelnen Punkt besteht, das zum Vertrieb von Dirac abnimmt, der durch δ angezeigt ist, der zu einem Testfunktions-ƒ seinen Wert am p vereinigt: δ(-ƒ) = ƒ (p). Vertrieb ist ein starkes Instrument, um Differenzialgleichungen zu lösen. Da alle analytischen Standardbegriffe wie Ableitungen geradlinig sind, strecken sie sich natürlich bis zu den Raum des Vertriebs aus. Deshalb kann die fragliche Gleichung einem Vertriebsraum übertragen werden, der größer ist als der zu Grunde liegende Funktionsraum, so dass flexiblere Methoden verfügbar sind, für die Gleichung zu lösen. Zum Beispiel sind die Funktionen des Grüns und grundsätzliche Lösungen gewöhnlich Vertrieb aber nicht richtige Funktionen, und können dann verwendet werden, um Lösungen der Gleichung mit vorgeschriebenen Grenzbedingungen zu finden. Wie man dann in einigen Fällen beweisen kann, ist die gefundene Lösung wirklich eine wahre Funktion und eine Lösung der ursprünglichen Gleichung (z.B. Mit dem Lockeren-Milgram Lehrsatz, einer Folge des Darstellungslehrsatzes von Riesz).

Analyse von Fourier

Auflösung einer periodischen Funktion in eine Summe von trigonometrischen Funktionen bildet a, eine Technik, die viel in der Physik und Technik verwendet ist. Der zu Grunde liegende Vektorraum ist gewöhnlich der Raum von Hilbert L (0, 2π), für den die Funktionen mx sündigen, und weil mx (M eine ganze Zahl) eine orthogonale Basis bilden. Die Vergrößerung von Fourier einer L-Funktion f ist

:

\frac {a_0} {2} + \sum_ {m=1} ^ {\\infty }\\ist [a_m\cos\left (mx\right) +b_m\sin\left (mx\right) \right] abgereist.

</Mathematik>

Die Koeffizienten a und b werden Koeffizienten von Fourier von ƒ genannt, und werden durch die Formeln berechnet

:

In physischen Begriffen wird die Funktion als eine Überlagerung von Sinus-Wellen vertreten, und die Koeffizienten geben Information über das Frequenzspektrum der Funktion. Eine Form der komplexen Zahl der Reihe von Fourier wird auch allgemein verwendet. Die konkreten Formeln sind oben Folgen einer allgemeineren mathematischen Dualität genannt die Dualität von Pontryagin. Angewandt auf die Gruppe R trägt es der klassische Fourier verwandeln sich; eine Anwendung in der Physik ist gegenseitige Gitter, wo die zu Grunde liegende Gruppe ein endlich-dimensionaler echter Vektorraum ist, der mit der zusätzlichen Gegebenheit eines Gitters ausgestattet ist, das Positionen von Atomen in Kristallen verschlüsselt.

Reihen von Fourier werden verwendet, um Grenzwertprobleme in teilweisen Differenzialgleichungen zu beheben. 1822 hat Fourier zuerst diese Technik verwendet, um die Hitzegleichung zu lösen. Eine getrennte Version der Reihe von Fourier kann in ausfallenden Anwendungen verwendet werden, wo der Funktionswert nur an einer begrenzten Zahl von Punkten ebenso unter Drogeneinfluss bekannt ist. In diesem Fall ist die Reihe von Fourier begrenzt, und sein Wert ist den probierten Werten an allen Punkten gleich. Der Satz von Koeffizienten ist als der getrennte Fourier verwandelt sich (DFT) der gegebenen Beispielfolge bekannt. Der DFT ist eines der Schlüsselwerkzeuge der Digitalsignalverarbeitung, ein Feld, dessen Anwendungen Radar, Rede-Verschlüsselung, Bildkompression einschließen. Das JPEG Bildformat ist eine Anwendung des nah zusammenhängenden getrennten Kosinus verwandeln sich.

Der schnelle Fourier verwandelt sich ist ein Algorithmus für schnell zu rechnen der getrennte Fourier verwandeln sich. Es wird nicht nur verwendet, für die Koeffizienten von Fourier, aber mit dem Gehirnwindungslehrsatz zu berechnen, auch für die Gehirnwindung von zwei begrenzten Folgen zu schätzen. Sie werden der Reihe nach in Digitalfiltern und als ein schneller Multiplikationsalgorithmus für Polynome und große ganze Zahlen (Algorithmus von Schönhage-Strassen) angewandt.

Differenzialgeometrie

Die Tangentialebene zu einer Oberfläche an einem Punkt ist natürlich ein Vektorraum, dessen Ursprung mit dem Punkt des Kontakts identifiziert wird. Die Tangentialebene ist die beste geradlinige Annäherung oder linearization einer Oberfläche an einem Punkt. Sogar in einem dreidimensionalen Euklidischen Raum gibt es normalerweise keine natürliche Weise, eine Basis der Tangentialebene vorzuschreiben, und so wird es als ein abstrakter Vektorraum aber nicht ein echter Koordinatenraum konzipiert. Der Tangente-Raum ist die Generalisation zu hoch-dimensionalen Differentiable-Sammelleitungen.

Sammelleitungen von Riemannian sind Sammelleitungen, deren Tangente-Räume mit einem passenden Skalarprodukt ausgestattet sind. Abgeleitet daher verschlüsselt der Krümmungstensor von Riemann alle Krümmungen einer Sammelleitung in einem Gegenstand, der Anwendungen in der allgemeinen Relativität zum Beispiel findet, wo der Krümmungstensor von Einstein die Sache und den Energieinhalt der Raum-Zeit beschreibt. Der Tangente-Raum einer Lüge-Gruppe kann natürlich die Struktur einer Lüge-Algebra gegeben werden und kann verwendet werden, um Kompaktlüge-Gruppen zu klassifizieren.

Generalisationen

Vektor-Bündel

Ein Vektor-Bündel ist eine Familie von Vektorräumen parametrisiert unaufhörlich durch einen topologischen Raum X. Genauer ein Vektor-Bündel sind mehr als X ein topologischer Raum E ausgestattet mit einer dauernden Karte

:&pi; : E &rarr; X

solch, dass für jeden x in X die Faser π (x) ein Vektorraum ist. Der Fall dunkel V = 1 wird ein Linienbündel genannt. Für jeden Vektorraum V, der Vorsprung X &times; V  X machen das Produkt X &times; V in ein "triviales" Vektor-Bündel. Vektor macht sich davon mehr als X sind erforderlich, lokal ein Produkt X und ein (fester) Vektorraum V zu sein: Für jeden x in X gibt es eine Nachbarschaft U solchen x, dass die Beschränkung von π zu π (U) zum trivialen Bündel U &times isomorph ist; V  U. Trotz ihres lokal trivialen Charakters können Vektor-Bündel (abhängig von Gestalt des zu Grunde liegenden Raums X), im großen "gedreht" werden, d. h. das Bündel braucht nicht (allgemein isomorph zu) das triviale Bündel Zum Beispiel zu sein, der Streifen von Möbius kann als ein Linienbündel über den Kreis S gesehen werden (indem er offene Zwischenräume mit der echten Linie identifiziert wird). Es ist jedoch vom Zylinder S &times, verschieden; R, weil der Letztere orientable ist, wohingegen der erstere nicht ist.

Eigenschaften von bestimmten Vektor-Bündeln geben Auskunft über den zu Grunde liegenden topologischen Raum. Zum Beispiel besteht das Tangente-Bündel aus der Sammlung von durch die Punkte einer Differentiable-Sammelleitung parametrisierten Tangente-Räumen. Das Tangente-Bündel des Kreises S ist zu S &times allgemein isomorph; R, da es ein globales Nichtnullvektorfeld auf S gibt. Im Gegensatz, durch den haarigen Ball-Lehrsatz, gibt es keinen (Tangente) Vektorfeld auf dem 2-Bereiche-S, der überall Nichtnull ist. K-Theorie studiert die Isomorphismus-Klassen aller Vektor-Bündel über einen topologischen Raum. Zusätzlich zum Vertiefen topologischer und geometrischer Scharfsinnigkeit hat es rein algebraische Folgen wie die Klassifikation von endlich-dimensionalen echten Abteilungsalgebra: R, C, der quaternions H und der octonions.

Das Kotangens-Bündel einer Differentiable-Sammelleitung, besteht an jedem Punkt der Sammelleitung, vom Doppel-vom Tangente-Raum, dem Kotangens-Raum. Abteilungen dieses Bündels sind als unterschiedliche eine Formen bekannt.

Module

Module sind zu Ringen, was Vektorräume zu Feldern sind. Selbe Axiome, die auf einen Ring R statt Feldes F angewandt sind, geben Module nach. Die Theorie von Modulen, im Vergleich zu Vektorräumen, wird durch die Anwesenheit von Ringelementen kompliziert, die multiplicative Gegenteile nicht haben. Zum Beispiel brauchen Module nicht Basen, als das Z-Modul (d. h., abelian Gruppe) Z/2Z Shows zu haben; jene Module, die tun (einschließlich aller Vektorräume) sind als freie Module bekannt. Dennoch kann ein Vektorraum als ein Modul über einen Ring kompakt definiert werden, der ein Feld mit den Elementen werden genannt Vektoren ist. Die algebro-geometrische Interpretation von Ersatzringen über ihr Spektrum erlaubt die Entwicklung von Konzepten wie lokal freie Module, die algebraische Kopie zu Vektor-Bündeln.

Affine und projektive Räume

Grob, affine Räume sind Vektorräume, deren Ursprung nicht angegeben wird. Genauer ist ein affine Raum ein Satz mit einer freien transitiven Vektorraum-Handlung. Insbesondere ein Vektorraum ist ein affine Raum über sich, durch die Karte

:V &times; V &rarr; V, (v, a)  + v.

Wenn W ein Vektorraum ist, dann ist ein affine Subraum eine Teilmenge von erhaltenem W durch das Übersetzen eines geradlinigen Subraums V durch einen festen Vektoren; dieser Raum wird durch x + V angezeigt (es ist ein coset V in W), und besteht aus allen Vektoren der Form für Ein wichtiges Beispiel ist der Raum von Lösungen eines Systems von inhomogeneous geradlinigen Gleichungen

:Ax = b

die Generalisierung des homogenen Falls b = 0 oben. Der Raum von Lösungen ist der affine Subraum x + V, wo x eine besondere Lösung der Gleichung ist, und V der Raum von Lösungen der homogenen Gleichung (der nullspace von A) ist.

Der Satz von eindimensionalen Subräumen eines festen endlich-dimensionalen Vektorraums V ist als projektiver Raum bekannt; es kann verwendet werden, um die Idee von parallelen Linien zu formalisieren, die sich an der Unendlichkeit schneiden. Grassmannians und Fahne-Sammelleitungen verallgemeinern das durch das Parametrisieren geradliniger Subräume der festen Dimension k und Fahnen von Subräumen beziehungsweise.

Konvexe Analyse

Über ein bestelltes Feld, namentlich die reellen Zahlen, gibt es die zusätzlichen Begriffe der konvexen Analyse, am meisten grundsätzlich ein Kegel, der nur nichtnegative geradlinige Kombinationen und einen konvexen Satz erlaubt, der nur nichtnegativen geradlinigen Kombinationen diese Summe zu 1 erlaubt. Ein konvexer Satz kann als die Kombinationen der Axiome für einen affine Raum und einen Kegel gesehen werden, der im Standardraum dafür, dem N-Simplex widerspiegelt wird, die Kreuzung des affine Hyperflugzeugs und orthant seiend. Solche Räume werden besonders in der geradlinigen Programmierung verwendet.

Auf der Sprache der universalen Algebra ist ein Vektorraum eine Algebra über den universalen Vektorraum K von begrenzten Folgen von Koeffizienten entsprechend begrenzten Summen von Vektoren, während ein affine Raum eine Algebra über das universale affine Hyperflugzeug in hier ist (begrenzter Folgen, die zu 1 resümieren), ist ein Kegel eine Algebra über den universalen orthant, und ein konvexer Satz ist eine Algebra über das universale Simplex. Dieser geometrizes die Axiome in Bezug auf "Summen mit (möglichen) Beschränkungen der Koordinaten".

Viele Konzepte in der geradlinigen Algebra haben Analoga in der konvexen Analyse, einschließlich grundlegender wie Basis und Spanne (solcher als in der Form des konvexen Rumpfs), und namentlich einschließlich der Dualität (in der Form des Doppelpolyeders, Doppelkegels, Doppelproblems). Verschieden von der geradlinigen Algebra, jedoch, wo jeder Vektorraum oder affine Raum zu den Standardräumen, nicht isomorph sind, sind jeder konvexe Satz oder der Kegel zum Simplex oder orthant isomorph. Eher gibt es immer eine Karte vom Simplex auf einen polytope, der durch verallgemeinerte Barycentric-Koordinaten und eine Doppelkarte von einem polytope in den orthant (der Dimension gegeben ist, die der Zahl von Gesichtern gleich ist), gegeben durch lockere Variablen, aber das ist selten Isomorphismus - die meisten polytopes sind nicht ein Simplex oder ein orthant.

Siehe auch

• Kartesianisches Koordinatensystem
• Euklidischer Vektor, für Vektoren in der Physik
• Raum von Gyrovector
• Abgestufter Vektorraum
• Metrischer Raum
• P-Vektor
• Lehrsatz von Riesz-Fischer
• Vektorräume ohne Felder
• Raum (Mathematik)

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Kommentare

Geradlinige Algebra

Analyse

Historische Verweisungen

• Nachdruck:

Weitere Verweisungen

Außenverbindungen

• Ein Vortrag über grundsätzliche Konzepte hat sich auf Vektorräume (gegeben an MIT) bezogen
• Ein grafischer Simulator für die Konzepte von Spanne, geradliniger Abhängigkeit, Basis und Dimension