Topologische Räume sind mathematische Strukturen, die die formelle Definition von Konzepten wie Konvergenz, Zusammenhang und Kontinuität erlauben. Sie erscheinen in eigentlich jedem Zweig der modernen Mathematik und sind ein Hauptvereinheitlichen-Begriff. Der Zweig der Mathematik, die topologische Räume in ihrem eigenen Recht studiert, wird Topologie genannt.

Definition

Ein topologischer Raum ist ein Satz zusammen mit, eine Sammlung von Teilmengen X, die folgenden Axiome befriedigend:

1. Der leere Satz und X ist darin.

1. wird unter der willkürlichen Vereinigung geschlossen.

1. wird unter der begrenzten Kreuzung geschlossen.

Die Sammlung wird eine Topologie auf X genannt. Die Elemente X werden gewöhnlich Punkte genannt, obwohl sie irgendwelche mathematischen Gegenstände sein können. Ein topologischer Raum, in dem die Punkte Funktionen sind, wird einen Funktionsraum genannt. Die Sätze darin werden die offenen Sätze genannt, und ihre Ergänzungen in X werden geschlossene Sätze genannt. Eine Teilmenge X darf weder geschlossen noch offen werden, entweder geschlossen oder sich, oder beide öffnen. Ein Satz, der sowohl geschlossen wird und offener, wird einen Clopen-Satz genannt.

Beispiele

1. = {1, 2, 3, 4} und Sammlung = nur der zwei Teilmengen von erforderlichen durch die Axiome bilden eine Topologie, die triviale Topologie (homogene Topologie).

1. = {1, 2, 3, 4} und Sammlung = sechs Teilmengen der Form eine andere Topologie.

1. = {1, 2, 3, 4} und Sammlung = (der Macht-Satz) bilden eine dritte Topologie, die getrennte Topologie.

1. =, der Satz von ganzen Zahlen und die Sammlung, die allen begrenzten Teilmengen der ganzen Zahlen plus sich gleich ist, sind nicht eine Topologie, weil (zum Beispiel) die Vereinigung aller begrenzten Sätze, die nicht Null enthalten, unendlich ist, aber nicht ganzer dessen ist, und nicht darin auch.

Gleichwertige Definitionen

Es gibt viele andere gleichwertige Weisen, einen topologischen Raum zu definieren. (Mit anderen Worten definiert jeder des folgenden eine Kategorie, die zur Kategorie von topologischen Räumen oben gleichwertig ist.) Zum Beispiel, mit den Gesetzen von de Morgan, haben die Axiome, die offene Sätze über gewordenen Axiomen definieren, die definieren, Sätze geschlossen:

1. Der leere Satz und X wird geschlossen.
2. Die Kreuzung jeder Sammlung von geschlossenen Sätzen wird auch geschlossen.
3. Die Vereinigung jedes Paares von geschlossenen Sätzen wird auch geschlossen.

Mit diesen Axiomen ist eine andere Weise, einen topologischen Raum zu definieren, als ein Satz X zusammen mit einer Sammlung von Teilmengen von X Zufriedenheit der folgenden Axiome:

Der leere Satz und X ist darin.

1. Die Kreuzung jeder Sammlung dessen setzt ein ist auch darin.
2. Die Vereinigung jedes Paares dessen setzt ein ist auch darin.

Laut dieser Definition sind die Sätze in der Topologie die geschlossenen Sätze, und ihre Ergänzungen in X sind die offenen Sätze.

Eine andere Weise, einen topologischen Raum zu definieren, ist durch das Verwenden der Verschluss-Axiome von Kuratowski, die die geschlossenen Sätze als die gehefteten Punkte eines Maschinenbedieners auf dem Macht-Satz dessen definieren.

Eine Nachbarschaft eines Punkts x ist jeder Satz, der eine offene Teilmenge hat, die x enthält. Das Nachbarschaft-System an x besteht aus der ganzen Nachbarschaft von x. Eine Topologie kann durch eine Reihe von Axiomen bezüglich aller Nachbarschaft-Systeme bestimmt werden.

Ein Netz ist eine Verallgemeinerung des Konzepts der Folge. Eine Topologie wird völlig bestimmt, wenn für jedes Netz in X der Satz seiner Anhäufungspunkte angegeben wird.

Vergleich von Topologien

Eine Vielfalt von Topologien kann auf einem Satz gelegt werden, um einen topologischen Raum zu bilden. Wenn jeder Satz in einer Topologie auch in einer Topologie ist, sagen wir, dass das feiner ist als und rauer ist als. Ein Beweis, der sich nur auf die Existenz von bestimmten offenen Sätzen verlässt, wird auch für jede feinere Topologie halten, und ähnlich gilt ein Beweis, der sich nur auf bestimmte Sätze verlässt, die nicht offen sind, für jede rauere Topologie. Die Begriffe größer und kleiner werden manchmal im Platz von feineren und raueren beziehungsweise gebraucht. Die Begriffe stärker und schwächer werden auch in der Literatur gebraucht, aber mit wenig Konsens über die Bedeutung, so sollte man immer einer Tagung eines Autors überzeugt sein, wenn man liest.

Die Sammlung aller Topologien auf einem gegebenen festen hat X Formen ein ganzes Gitter gesetzt: wenn F = {: Darin ist A\eine Sammlung von Topologien auf X, dann ist das Entsprechen von F die Kreuzung von F, und die Verbindungslinie von F ist das Entsprechen der Sammlung aller Topologien auf X, die jedes Mitglied von F enthalten.

Dauernde Funktionen

Eine Funktion zwischen topologischen Räumen wird dauernd genannt, wenn das umgekehrte Image jedes offenen Satzes offen ist. Das ist ein Versuch, die Intuition zu gewinnen, dass es keine "Brechungen" oder "Trennungen" in der Funktion gibt. Ein homeomorphism ist eine Bijektion, die dauernd ist, und dessen Gegenteil auch dauernd ist. Zwei Räume werden homeomorphic genannt, wenn dort ein homeomorphism zwischen ihnen besteht. Von der Einstellung der Topologie, homeomorphic Räume sind im Wesentlichen identisch.

In der Kategorie-Theorie, Spitze, ist die Kategorie von topologischen Räumen mit topologischen Räumen als Gegenstände und dauernde Funktionen als morphisms eine der grundsätzlichen Kategorien in der Mathematik. Der Versuch, die Gegenstände dieser Kategorie (bis zu homeomorphism) durch invariants zu klassifizieren, hat motiviert und komplette Gebiete der Forschung, wie Homotopy-Theorie, Homologie-Theorie, und K-Theorie erzeugt, um gerade einige zu nennen.

Beispiele von topologischen Räumen

Ein gegebener Satz kann viele verschiedene Topologien haben. Wenn ein Satz eine verschiedene Topologie gegeben wird, wird er als ein verschiedener topologischer Raum angesehen. Jeder Satz kann die getrennte Topologie gegeben werden, in der jede Teilmenge offen ist. Die einzigen konvergenten Folgen oder Netze in dieser Topologie sind diejenigen, die schließlich unveränderlich sind. Außerdem kann jeder Satz gegeben werden die triviale Topologie (hat auch die homogene Topologie genannt), in dem nur der leere Satz und der ganze Raum offen sind. Jede Folge und Netz in dieser Topologie laufen zu jedem Punkt des Raums zusammen. Dieses Beispiel zeigt, dass in allgemeinen topologischen Räumen Grenzen von Folgen nicht einzigartig zu sein brauchen. Jedoch häufig müssen topologische Räume Räume von Hausdorff sein, wo Grenze-Punkte einzigartig sind.

Es gibt viele Weisen, eine Topologie auf R, dem Satz von reellen Zahlen zu definieren. Die Standardtopologie auf R wird durch die offenen Zwischenräume erzeugt. Der Satz aller offenen Zwischenräume bildet eine Basis oder Basis für die Topologie, bedeutend, dass jeder offene Satz eine Vereinigung von etwas Sammlung von Sätzen von der Basis ist. Insbesondere das bedeutet, dass ein Satz offen ist, wenn dort ein offener Zwischenraum nicht der Nullradius über jeden Punkt im Satz besteht. Mehr allgemein können die Euklidischen Räume R eine Topologie gegeben werden. In der üblichen Topologie auf R sind die grundlegenden offenen Sätze die offenen Bälle. Ähnlich haben C und C eine Standardtopologie, in der die grundlegenden offenen Sätze offene Bälle sind.

Jeder metrische Raum kann eine metrische Topologie gegeben werden, in der die grundlegenden offenen Sätze offene durch das metrische definierte Bälle sind. Das ist die Standardtopologie auf jedem normed Vektorraum. Auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum ist diese Topologie dasselbe für alle Normen.

Viele Sätze von geradlinigen Maschinenbedienern in der Funktionsanalyse sind mit Topologien ausgestattet, die durch das Spezifizieren definiert werden, wenn eine besondere Folge von Funktionen zur Nullfunktion zusammenläuft.

Jedes lokale Feld hat einen Topologie-Eingeborenen dazu, und das kann zu Vektorräumen über dieses Feld erweitert werden.

Jede Sammelleitung hat eine natürliche Topologie, da es lokal Euklidisch ist. Ähnlich erben jedes Simplex und jeder simplicial Komplex eine natürliche Topologie von R.

Die Topologie von Zariski wird algebraisch auf dem Spektrum eines Rings oder einer algebraischen Vielfalt definiert. Auf R oder C sind die geschlossenen Sätze der Topologie von Zariski die Lösungssätze von Systemen von polynomischen Gleichungen.

Ein geradliniger Graph hat eine natürliche Topologie, die viele der geometrischen Aspekte von Graphen mit Scheitelpunkten und Rändern verallgemeinert.

Der Raum von Sierpiński ist der einfachste nichtgetrennte topologische Raum. Es hat wichtige Beziehungen zur Theorie der Berechnung und Semantik.

Dort bestehen Sie zahlreiche Topologien auf jedem gegebenen begrenzten Satz. Solche Räume werden begrenzte topologische Räume genannt. Begrenzte Räume werden manchmal verwendet, um Beispiele oder Gegenbeispiele zu Vermutungen über topologische Räume im Allgemeinen zur Verfügung zu stellen.

Jeder Satz kann die cofinite Topologie gegeben werden, in der die offenen Sätze der leere Satz und die Sätze sind, deren Ergänzung begrenzt ist. Das ist die kleinste T Topologie auf jedem unendlichen Satz.

Jeder Satz kann die cocountable Topologie gegeben werden, in der ein Satz als offen definiert wird, wenn es entweder leer ist oder seine Ergänzung, ist zählbar. Wenn der Satz, diese Topologie Aufschläge als ein Gegenbeispiel in vielen Situationen unzählbar ist.

Die echte Linie kann auch die niedrigere Grenze-Topologie gegeben werden. Hier sind die grundlegenden offenen Sätze die Hälfte offener Zwischenräume a, b). Diese Topologie auf R ist ausschließlich feiner als die Euklidische Topologie, die oben definiert ist; eine Folge läuft zu einem Punkt in dieser Topologie zusammen, wenn, und nur wenn es von oben in der Euklidischen Topologie zusammenläuft. Dieses Beispiel zeigt, dass ein Satz viele verschiedene darauf definierte Topologien haben kann.

Wenn Γ eine Ordinalzahl ist, dann der Satz Γ = [0, Γ), kann mit der Ordnungstopologie ausgestattet sein, die durch die Zwischenräume (a, b), [0, b) erzeugt ist, und (a, Γ), wo a und b Elemente von Γ sind.

Topologische Aufbauten

Jede Teilmenge eines topologischen Raums kann die Subraumtopologie gegeben werden, in der die offenen Sätze die Kreuzungen der offenen Sätze des größeren Raums mit der Teilmenge sind. Für jede mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Familie von topologischen Räumen kann das Produkt die Produkttopologie gegeben werden, die durch die umgekehrten Images von offenen Sätzen der Faktoren unter dem Vorsprung mappings erzeugt wird. Zum Beispiel, in begrenzten Produkten, besteht eine Basis für die Produkttopologie aus allen Produkten von offenen Sätzen. Für unendliche Produkte gibt es die zusätzliche Voraussetzung, dass in einem grundlegenden offenen Satz alle außer begrenzt vielen seiner Vorsprünge der komplette Raum sind.

Ein Quotient-Raum wird wie folgt definiert: Wenn X ein topologischer Raum ist und Y ein Satz, und wenn f ist: X  Y sind eine Surjective-Funktion, dann ist die Quotient-Topologie auf Y die Sammlung von Teilmengen von Y, die offene umgekehrte Images unter f haben. Mit anderen Worten ist die Quotient-Topologie die feinste Topologie auf Y, für den f dauernd ist. Ein allgemeines Beispiel einer Quotient-Topologie ist, wenn eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf dem topologischen Raum X definiert wird. Die Karte f ist dann der natürliche Vorsprung auf den Satz von Gleichwertigkeitsklassen.

Die Topologie von Vietoris auf dem Satz aller nichtleeren Teilmengen eines topologischen Raums X, genannt für Leopold Vietoris, wird durch die folgende Basis erzeugt: Für jedes N-Tupel U..., U offener Sätze in X, bauen wir einen Basissatz, der aus allen Teilmengen der Vereinigung der U besteht, die nichtleere Kreuzungen mit jedem U haben.

Klassifikation von topologischen Räumen

Topologische Räume können bis zu homeomorphism durch ihre topologischen Eigenschaften weit gehend klassifiziert werden. Ein topologisches Eigentum ist ein Eigentum von Räumen, das invariant unter homeomorphisms ist. Zu beweisen, dass zwei Räume nicht homeomorphic es sind, ist genügend, ein topologisches Eigentum nicht geteilt von ihnen zu finden. Beispiele solcher Eigenschaften schließen Zusammenhang, Kompaktheit und verschiedene Trennungsaxiome ein.

Sieh den Artikel über topologische Eigenschaften für mehr Details und Beispiele.

Topologische Räume mit der algebraischen Struktur

Für irgendwelche algebraischen Gegenstände können wir die getrennte Topologie einführen, unter der die algebraischen Operationen dauernde Funktionen sind. Für jede solche Struktur, die nicht begrenzt ist, haben wir häufig eine natürliche Topologie, die mit den algebraischen Operationen im Sinn vereinbar ist, dass die algebraischen Operationen noch dauernd sind. Das führt zu Konzepten wie topologische Gruppen, topologische Vektorräume, topologische Ringe und lokale Felder.

Topologische Räume mit der Ordnungsstruktur

• Geisterhaft. Ein Raum ist geisterhaft, wenn, und nur wenn es das Hauptspektrum eines Rings (Lehrsatz von Hochster) ist.
• Spezialisierungsvorordnung. In einem Raum die Spezialisierung (oder kanonisch) wird Vorordnung durch x  y wenn und nur wenn Kl. {x}  Kl. {y} definiert.

Spezialisierungen und Generalisationen

Die folgenden Räume und Algebra werden entweder mehr spezialisiert oder allgemeiner als die topologischen Räume, die oben besprochen sind.

• Nähe-Räume stellen einen Begriff der Nähe von zwei Sätzen zur Verfügung.
• Metrische Räume nehmen einen metrischen, einen genauen Begriff der Entfernung zwischen Punkten auf.
• Gleichförmige Räume axiomatize Einrichtung der Entfernung zwischen verschiedenen Punkten.
• Räume von Cauchy axiomatize die Fähigkeit zu prüfen, ob ein Netz Cauchy ist. Räume von Cauchy stellen eine allgemeine Einstellung zur Verfügung, um Vollziehungen zu studieren.
• Konvergenz-Räume gewinnen einige der Eigenschaften der Konvergenz von Filtern.
• Seiten von Grothendieck sind Kategorien mit zusätzlichen Daten axiomatizing, ob eine Familie von Pfeilen einen Gegenstand bedeckt. Seiten sind eine allgemeine Einstellung, um Bündel zu definieren.

Siehe auch

• Raum von Kolmogorov (T)
• Accessible/Fréchet-Raum (T)
• Raum von Hausdorff (T)
• völlig Raum von Hausdorff und Raum von Urysohn (T)
• regelmäßiger regelmäßiger und Raumraum von Hausdorff (T)
• Tychonoff völlig regelmäßiger und Raumraum (T)
• normaler Raum von Hausdorff (T)
• völlig normaler Raum von Hausdorff (T)
• vollkommen normaler Raum von Hausdorff (T)
• Raum (Mathematik)
• Vollenden Sie Heyting Algebra - Das System aller offenen Sätze eines gegebenen topologischen durch die Einschließung bestellten Raums ist eine ganze Algebra von Heyting.

Referenzen

• Bredon, Glen E., Topologie und Geometrie (Absolvententexte in der Mathematik), Springer; 1. Ausgabe (am 17. Oktober 1997). Internationale Standardbuchnummer 0-387-97926-3.
• Bourbaki, Nicolas; Elemente der Mathematik: Allgemeine Topologie, Addison-Wesley (1966).
• Čech, Eduard; Punkt-Sätze, akademische Presse (1969).
• Fulton, William, Algebraische Topologie, (Absolvententexte in der Mathematik), Springer; 1. Ausgabe (am 5. September 1997). Internationale Standardbuchnummer 0-387-94327-7.
• Lipschutz, Seymour; der Umriss von Schaum der Allgemeinen Topologie, McGraw-Hügels; 1. Ausgabe (am 1. Juni 1968). Internationale Standardbuchnummer 0-07-037988-2.
• Munkres, James; Topologie, Prentice Hall; 2. Ausgabe (am 28. Dezember 1999). Internationale Standardbuchnummer 0-13-181629-2.
• Runde, Volker; ein Geschmack der Topologie (Universitext), Springers; 1. Ausgabe (am 6. Juli 2005). Internationale Standardbuchnummer 0 387 25790 X.
• Steen, Lynn A. und Seebach, J. Arthur der Jüngere.; Gegenbeispiele in Topologie, Holt, Rinehart und Winston (1970). Internationale Standardbuchnummer 0-03-079485-4.

Links