:This-Artikel ist über Netze in topologischen Räumen und nicht über ε-nets in anderen Feldern.

In der Mathematik, mehr spezifisch in der allgemeinen Topologie und den verwandten Zweigen, einem Netz oder der Folge von Moore-Smith ist eine Generalisation des Begriffs einer Folge. Hauptsächlich ist eine Folge eine Funktion mit dem Gebiet die natürlichen Zahlen, und im Zusammenhang der Topologie, die Reihe dieser Funktion ist gewöhnlich jeder topologische Raum. Jedoch, im Zusammenhang der Topologie, verschlüsseln Folgen die ganze Information über eine Funktion zwischen topologischen Räumen nicht völlig. Insbesondere die folgenden zwei Bedingungen sind im Allgemeinen für eine Karte f zwischen topologischen Räumen X und Y nicht gleichwertig:

1. Die Karte f ist dauernder
2. In Anbetracht jedes Punkts x in X, und jede Folge im X Zusammenlaufen zu x läuft die Zusammensetzung von f mit dieser Folge zu f (x) zusammen

Es ist jedoch wahr, dass Bedingung 1 Bedingung 2 im Zusammenhang aller Räume einbezieht. Die Schwierigkeit hat sich begegnet, als sie versucht hat zu beweisen, dass Bedingung 2 andeutet, dass Bedingung 1 in der Tatsache liegt, dass topologische Räume im Allgemeinen, nicht erst-zählbar sind. Wenn das erste-countability Axiom den topologischen fraglichen Räumen auferlegt würde, würden die zwei über Bedingungen gleichwertig sein. Insbesondere die zwei Bedingungen sind für metrische Räume gleichwertig.

Der Zweck des Konzepts eines Netzes, das zuerst von E. H. Moore und H. L. Smith 1922 eingeführt ist, soll den Begriff einer Folge verallgemeinern, um die Gleichwertigkeit der Bedingungen (mit "der Folge" zu bestätigen, die durch "das Netz" in der Bedingung 2 wird ersetzt). Insbesondere anstatt auf einem zählbaren geradlinig bestellten Satz definiert zu werden, wird ein Netz auf einem willkürlichen geleiteten Satz definiert. Insbesondere das erlaubt Lehrsätze, die diesem Erklären der Gleichwertigkeit der Bedingung 1 und Bedingung 2 ähnlich sind, um im Zusammenhang von topologischen Räumen zu halten, die keine zählbare oder geradlinig bestellte Nachbarschaft-Basis um einen Punkt notwendigerweise haben. Deshalb, während Folgen genügend Information über Funktionen zwischen topologischen Räumen nicht verschlüsseln, tun Netze wegen der Tatsache, dass Sammlungen von offenen Sätzen in topologischen Räumen viel geleiteten Sätzen im Verhalten ähnlich sind. Der Begriff "Netz" wurde von Kelley ins Leben gerufen.

Netze sind eines der vielen in der Topologie verwendeten Werkzeuge, um bestimmte Konzepte zu verallgemeinern, die nur im Zusammenhang von metrischen Räumen allgemein genug sein können. Ein zusammenhängender Begriff, dieser des Filters, wurde 1937 von Henri Cartan entwickelt.

Definition

Wenn X ein topologischer Raum ist, ist ein Netz in X eine Funktion von einem geleiteten Satz zu X.

Wenn A ein geleiteter Satz ist, schreiben wir häufig ein Netz von bis X in der Form (x), der die Tatsache ausdrückt, dass das Element α in A zum Element x in X kartografisch dargestellt wird.

Beispiele von Netzen

Jeder nichtleere völlig bestellte Satz wird geleitet. Deshalb ist jede Funktion auf solch einem Satz ein Netz. Insbesondere die natürlichen Zahlen mit dem üblichen Bestellschein solch ein Satz und eine Folge sind eine Funktion auf den natürlichen Zahlen, so ist jede Folge ein Netz.

Ein anderes wichtiges Beispiel ist wie folgt. In Anbetracht eines Punkts x in einem topologischen Raum, lassen Sie N den Satz der ganzen Nachbarschaft anzeigen, die x enthält. Dann ist N ein geleiteter Satz, wo die Richtung durch die Rückeinschließung gegeben wird, so dass S  T wenn, und nur wenn S in T enthalten wird. Für S in N, lassen Sie x ein Punkt in S sein. Dann (x) ist ein Netz. Als S Zunahmen in Bezug auf  werden die Punkte x im Netz beschränkt, in der abnehmenden Nachbarschaft von x, so intuitiv dem Sprechen zu liegen, wir werden nach der Idee geführt, dass x zu x in einem Sinn neigen muss. Wir können dieses Begrenzungskonzept genau machen.

Grenzen von Netzen

Wenn (x) ein Netz von einem geleiteten Satz in X ist, und wenn Y eine Teilmenge X ist, dann sagen wir, dass (x) schließlich in Y ist (oder restlich in Y), wenn dort ein α in besteht, so dass für jeden β in mit β  α der Punkt x in Y liegt.

Wenn (x) ein Netz im topologischen Raum X ist, und x ein Element X ist, sagen wir, dass das Netz zu x zusammenläuft oder Grenze x hat und schreiben Sie

:lim x = x

wenn und nur wenn

:for ist jede Nachbarschaft U x, (x) schließlich in U.

Intuitiv bedeutet das, dass die Werte x kommen und so nah bleiben, wie wir zu x für großen genug α wollen.

Bemerken Sie, dass das Beispiel-Netz, das oben auf dem Nachbarschaft-System eines Punkts x gegeben ist, wirklich tatsächlich zu x gemäß dieser Definition zusammenläuft.

In Anbetracht einer Basis für die Topologie, um Konvergenz eines Netzes zu beweisen, ist es notwendig und genügend zu beweisen, dass dort ein Punkt x, solch besteht, dass (x) schließlich in allen Mitgliedern der Basis ist, die diese vermeintliche Grenze enthält.

Beispiele von Grenzen von Netzen

• Grenze einer Folge und Grenze einer Funktion: Sieh unten.
• Grenzen von Netzen von Summen von Riemann, in der Definition des integrierten Riemanns. In diesem Beispiel ist der geleitete Satz der Satz von Teilungen des Zwischenraums der Integration, die teilweise durch die Einschließung bestellt ist.

Ergänzende Definitionen

Lassen Sie φ ein Netz auf X gestützt auf dem geleiteten Satz D sein und A eine Teilmenge X sein zu lassen, dann, wie man sagt, ist φ oft in (oder cofinally in), wenn für jeden α in D dort ein β  α, β in D besteht, so dass φ (β), ist in A.

Wie man

sagt, ist ein Punkt x in X ein Anhäufungspunkt oder Traube-Punkt eines Netzes, wenn (und nur wenn) für jede Nachbarschaft U x das Netz oft in U ist.

Ein Netz φ auf dem Satz X wird universal genannt, oder ein Ultranetz, wenn für jede Teilmenge X entweder φ schließlich in A oder φ ist, ist schließlich in X-A.

Beispiele

Folge in einem topologischen Raum:

Eine Folge (a, a...) in einem topologischen Raum V kann als ein Netz in V definiert auf N betrachtet werden.

Das Netz ist schließlich in einer Teilmenge Y von V, wenn dort ein N in N solch das für jeden n  N, der Punkt besteht in Y zu sein.

Wir haben lim = L, wenn, und nur wenn für jede Nachbarschaft Y L das Netz schließlich in Y ist.

Das Netz ist oft in einer Teilmenge Y von V, wenn, und nur wenn für jeden N in N dort ein n  N solch besteht, dass in Y, d. h. wenn, und nur zu sein wenn ungeheuer viele Elemente der Folge in Y sind. So ist ein Punkt y in V ein Traube-Punkt des Netzes, wenn, und nur wenn jede Nachbarschaft Y y ungeheuer viele Elemente der Folge enthält.

Funktion von einem metrischen Raum bis einen topologischen Raum:

Denken Sie eine Funktion von einer metrischen RaumM bis einen topologischen Raum V und einen Punkt c von der M. Wir leiten den Satz M\{c} Rück-gemäß der Entfernung von c, d. h. die Beziehung ist "hat mindestens dieselbe Entfernung zu c wie", so dass "groß genug" in Bezug auf die Beziehung "nahe genug zu c" bedeutet. Der Funktions-ƒ ist ein Netz in V definiert auf M\{c}.

Der Netto-ƒ ist schließlich in einer Teilmenge Y von V, wenn dort in solchem M\{c} besteht, dass für jeden x in M\{c} mit d (x, c)  d (a, c), der Punkt f (x) in Y ist.

Wir haben lim (x) ƒ = L, wenn, und nur wenn für jede Nachbarschaft Y L ƒ schließlich in Y ist.

Der Netto-ƒ ist oft in einer Teilmenge Y von V, wenn, und nur wenn für jeden in M\{c} dort ein x in M\{c} mit d (x, c)  d (a, c) solch besteht, dass f (x) in Y ist.

Ein Punkt y in V ist ein Traube-Punkt des Netto-ƒ, wenn, und nur wenn für jede Nachbarschaft Y y das Netz oft in Y ist.

Funktion von einem gut bestellten Satz bis einen topologischen Raum:

Denken Sie, dass ein gut bestellter Satz [0, c] mit der Grenze c und einen Funktions-ƒ von [0, c anspitzen) zu einem topologischen Raum V. Diese Funktion ist ein Netz auf [0, c).

Es ist schließlich in einer Teilmenge Y von V, wenn dort in [0, c besteht) solch, dass für jeden x  a der Punkt f (x) in Y ist.

Wir haben lim (x) ƒ = L, wenn, und nur wenn für jede Nachbarschaft Y L ƒ schließlich in Y ist.

Der Netto-ƒ ist oft in einer Teilmenge Y von V, wenn und nur wenn für jeden in [0, c) dort besteht ein x in [a, c), solch, dass f (x) in Y ist.

Ein Punkt y in V ist ein Traube-Punkt des Netto-ƒ, wenn, und nur wenn für jede Nachbarschaft Y y das Netz oft in Y ist.

Das erste Beispiel ist ein spezieller Fall davon mit c = ω.

Siehe auch mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Folge.

Eigenschaften

Eigentlich können alle Konzepte der Topologie auf der Sprache von Netzen und Grenzen umformuliert werden. Das kann nützlich sein, um die Intuition zu führen, da der Begriff der Grenze eines Netzes dieser der Grenze einer Folge sehr ähnlich ist. Der folgende Satz der Lehrsatz- und Lemma-Hilfe zementiert diese Ähnlichkeit:

• Ein Funktions-ƒ: X  Y zwischen topologischen Räumen sind am Punkt x wenn und nur wenn für jedes Netz (x) mit dauernd

:: lim x = x

:we haben

:: lim (x) ƒ = (x) ƒ.

:Note, dass dieser Lehrsatz im Allgemeinen nicht wahr ist, wenn wir "Netz" durch "die Folge" ersetzen. Wir müssen mehr geleitete Sätze berücksichtigen als gerade die natürlichen Zahlen, wenn X nicht erst-zählbar ist.

• Im Allgemeinen kann ein Netz in einem Raum X mehr als eine Grenze haben, aber wenn X ein Raum von Hausdorff ist, ist die Grenze eines Netzes, wenn es besteht, einzigartig. Umgekehrt, wenn X nicht Hausdorff ist, dann dort besteht ein Netz auf X mit zwei verschiedenen Grenzen. So ist die Einzigartigkeit der Grenze zur Bedingung von Hausdorff auf dem Raum gleichwertig, und tatsächlich kann das als die Definition genommen werden. Bemerken Sie, dass dieses Ergebnis von der directedness Bedingung abhängt; ein Satz, der durch eine allgemeine Vorordnung oder teilweise Ordnung mit einem Inhaltsverzeichnis versehen ist, kann verschiedene Grenze-Punkte sogar in einem Raum von Hausdorff haben.
• Wenn U eine Teilmenge X ist, dann ist x im Verschluss von U, wenn, und nur wenn dort ein Netz (x) mit der Grenze x und solch besteht, dass x in U für den ganzen α ist.
• Eine Teilmenge X wird geschlossen, wenn, und nur wenn, wann auch immer (x) ein Netz mit Elementen in A und Grenze x dann ist, x in A ist.
• Der Satz von Traube-Punkten eines Netzes ist dem Satz von Grenzen seiner konvergenten Teilnetze gleich.

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• Ein Netz hat eine Grenze, wenn, und nur wenn alle seine Teilnetze Grenzen haben. In diesem Fall ist jede Grenze des Netzes auch eine Grenze jedes Teilnetzes.
• Ein Raum X ist kompakt, wenn, und nur wenn jedes Netz (x) in X ein Teilnetz mit einer Grenze in X hat. Das kann als eine Generalisation des Bolzano-Weierstrass Lehrsatzes und Lehrsatzes von Heine-Borel gesehen werden.

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• Ein Netz im Produktraum hat eine Grenze, wenn, und nur wenn jeder Vorsprung eine Grenze hat. Symbolisch, wenn (x) ein Netz im Produkt X = ist

• Wenn ƒ: X  Y und (x) sind ein Ultranetz auf X, dann ((x) ƒ) ist ein Ultranetz auf Y.

Zusammenhängende Ideen

In einem metrischen gleichförmigen oder Raumraum kann man von Netzen von Cauchy auf die ziemlich gleiche Weise als Cauchyfolgen sprechen.

Das Konzept verallgemeinert sogar zu Räumen von Cauchy.

Die Theorie von Filtern stellt auch eine Definition der Konvergenz in allgemeinen topologischen Räumen zur Verfügung.

Höhere Grenze

Beschränken Sie höher und beschränken Sie untergeordnet eines Netzes von reellen Zahlen kann auf eine ähnliche Weise bezüglich Folgen definiert werden. Einige Autoren arbeiten sogar mit allgemeineren Strukturen wie ganze Gitter.

Für ein Netz stellen wir

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Eines Netzes von reellen Zahlen höhere Grenze hat viele Eigenschaften, die dem Fall von Folgen z.B analog sind.

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wo Gleichheit hält, wann auch immer eines der Netze konvergent ist.