In der Mathematik ist eine Basis (oder Basis) B für einen topologischen Raum X mit der Topologie T eine Sammlung von offenen Sätzen in solchem T, dass jeder offene eingesetzt hat, kann T als eine Vereinigung von Elementen von B geschrieben werden. Wir sagen, dass die Basis die Topologie T erzeugt. Basen sind nützlich, weil viele Eigenschaften von Topologien auf Behauptungen über eine Basis reduziert werden können, die diese Topologie erzeugt, und weil viele Topologien in Bezug auf eine Basis am leichtesten definiert werden, die sie erzeugt.

Einfache Eigenschaften von Basen

Zwei wichtige Eigenschaften von Basen sind:

1. Die Grundelemente bedecken X.
2. Lassen Sie B, B Grundelemente sein und mich ihre Kreuzung sein zu lassen. Dann für jeden x in mir gibt es ein Grundelement B, x und enthalten in mir enthaltend.

Wenn eine Sammlung B Teilmengen X scheitert, jeden von diesen zu befriedigen, dann ist es nicht eine Basis für jede Topologie auf X. (Es ist eine Subbasis jedoch, wie jede Sammlung von Teilmengen X. ist) Umgekehrt, wenn B beide der Bedingungen 1 und 2 befriedigt, dann gibt es eine einzigartige Topologie auf X, für den B eine Basis ist; es wird die Topologie genannt, die durch B. erzeugt ist (Diese Topologie ist die Kreuzung aller Topologien auf X, B. enthaltend), Das ist eine sehr allgemeine Weise, Topologien zu definieren. Ein genügend, aber nicht notwendige Bedingung für B, um eine Topologie auf X zu erzeugen, ist, dass B unter Kreuzungen geschlossen wird; dann können wir immer B = ich oben nehmen.

Zum Beispiel bildet die Sammlung aller offenen Zwischenräume in der echten Linie eine Basis für eine Topologie auf der echten Linie, weil die Kreuzung irgendwelcher zwei offenen Zwischenräume selbst ein offener Zwischenraum oder leer ist.

Tatsächlich sind sie eine Basis für die Standardtopologie auf den reellen Zahlen.

Jedoch ist eine Basis nicht einzigartig. Viele Basen, sogar verschiedener Größen, können dieselbe Topologie erzeugen. Zum Beispiel sind die offenen Zwischenräume mit vernünftigen Endpunkten auch eine Basis für die echte Standardtopologie, wie die offenen Zwischenräume mit vernunftwidrigen Endpunkten sind, aber diese zwei Sätze sind völlig zusammenhanglos und beide, die richtig in der Basis aller offenen Zwischenräume enthalten sind. Im Gegensatz zu einer Basis eines Vektorraums in der geradlinigen Algebra, ein Grundbedürfnis nicht, maximal sein; tatsächlich ist die einzige maximale Basis die Topologie selbst. Tatsächlich können irgendwelche offenen Sätze im durch eine Basis erzeugten Raum zur Basis sicher hinzugefügt werden, ohne die Topologie zu ändern. Der kleinstmögliche cardinality einer Basis wird das Gewicht des topologischen Raums genannt.

Ein Beispiel einer Sammlung von offenen Sätzen, die nicht eine Basis ist, ist der Satz S von allen halbunendlichen Zwischenräumen der Formen (, a) und (a, ), wo einer reellen Zahl zu sein. Dann ist S nicht eine Basis für jede Topologie auf R. Um das zu zeigen, nehmen Sie an, dass es war. Dann, zum Beispiel, (, 1) und (0, ) würde in der durch S erzeugten Topologie sein, Vereinigungen eines einzelnen Grundelements seiend, und so würde ihre Kreuzung (0,1) ebenso sein. Aber (0, 1) kann klar als eine Vereinigung der Elemente von S nicht geschrieben werden. Mit der abwechselnden Definition scheitert das zweite Eigentum, da kein Grundelement innerhalb dieser Kreuzung "passen" kann.

In Anbetracht einer Basis für eine Topologie, um Konvergenz eines Netzes oder Folge zu beweisen, ist es genügend zu beweisen, dass es schließlich in jedem Satz in der Basis ist, die die vermeintliche Grenze enthält.

Gegenstände in Bezug auf Basen definiert

• Die Ordnungstopologie wird gewöhnlich als die Topologie definiert, die durch eine Sammlung von Sätzen "offener Zwischenraum wie" erzeugt ist.
• Die metrische Topologie wird gewöhnlich als die durch eine Sammlung von offenen Bällen erzeugte Topologie definiert.
• Ein zweit-zählbarer Raum ist derjenige, der eine zählbare Basis hat.
• Die getrennte Topologie hat den Singleton als eine Basis.

Lehrsätze

• Für jeden Punkt x in einem offenen Satz U gibt es ein Grundelement, das x und enthalten in U enthält.
• Eine Topologie T ist feiner als eine Topologie T wenn und nur wenn für jeden x und jedes Grundelement B von T, der x enthält, es gibt ein Grundelement von T, der x und enthalten in B enthält.
• Wenn B, B..., B Basen für die Topologien T, T..., T, dann das Satz-Produkt B × B × sind... × B ist eine Basis für die Produkttopologie T × T ×... × T. Im Fall von einem unendlichen Produkt gilt das noch, außer dass alle außer begrenzt vielen der Grundelemente der komplette Raum sein müssen.
• Lassen Sie B eine Basis für X sein und Y ein Subraum X sein zu lassen. Dann, wenn wir jedes Element von B mit Y durchschneiden, ist die resultierende Sammlung von Sätzen eine Basis für den Subraum Y.
• Wenn eine Funktion f:X  Y jedes Grundelement X in einen offenen Satz von Y kartografisch darstellt, ist es eine offene Karte. Ähnlich, wenn jedes Vorimage eines Grundelements von Y in X offen ist, dann ist f dauernd.
• Eine Sammlung von Teilmengen X ist eine Topologie auf X, wenn, und nur wenn sie sich erzeugt.
• B ist eine Basis für einen topologischen Raum X, wenn, und nur wenn die Subsammlung von Elementen von B, die x enthalten, eine lokale Basis an x, für jeden Punkt x von X bildet.

Basis für die geschlossenen Sätze

Geschlossene Sätze sind im Beschreiben der Topologie eines Raums ebenso geschickt. Es, gibt deshalb, einen Doppelbegriff einer Basis für die geschlossenen Sätze eines topologischen Raums. In Anbetracht eines topologischen Raums X ist eine Basis für die geschlossenen Sätze X eine Familie von geschlossenen Sätzen F solch, dass jeder geschlossene Satz A eine Kreuzung von Mitgliedern von F ist.

Gleichwertig bildet eine Familie von geschlossenen Sätzen eine Basis für die geschlossenen Sätze, wenn für jeden geschlossenen Satz A und jeden Punkt x nicht darin dort ein Element von F besteht, der A, aber nicht enthält x enthält.

Es ist leicht zu überprüfen, dass F eine Basis für die geschlossenen Sätze X ist, wenn, und nur wenn die Familie von Ergänzungen von Mitgliedern von F eine Basis für die offenen Sätze X ist.

Lassen Sie F eine Basis für die geschlossenen Sätze X sein. Dann

1. F = 
2. Für jeden F und F in F ist die Vereinigung F  F die Kreuzung von einer Unterfamilie von F (d. h. für jeden x nicht in F oder F dort ist ein F in F, der F  F und nicht enthält x enthält).

Jede Sammlung von Teilmengen eines Satzes X Zufriedenheit dieser Eigenschaften bildet eine Basis für die geschlossenen Sätze einer Topologie auf X. Die geschlossenen Sätze dieser Topologie sind genau die Kreuzungen von Mitgliedern von F.

In einigen Fällen ist es günstiger, eine Basis für die geschlossenen Sätze aber nicht die offenen zu verwenden. Zum Beispiel ist ein Raum völlig regelmäßig, wenn, und nur wenn die Nullsätze eine Basis für die geschlossenen Sätze bilden. In Anbetracht jedes topologischen Raums X bilden die Nullsätze die Basis für die geschlossenen Sätze von einer Topologie auf X. Diese Topologie wird feinste völlig regelmäßige Topologie auf X rauer sein als die ursprüngliche. In einer ähnlichen Ader wird die Topologie von Zariski auf A durch die Einnahme der Nullsätze von polynomischen Funktionen als eine Basis für die geschlossenen Sätze definiert.

Gewicht und Charakter

Wir werden mit Begriffen arbeiten, die darin gegründet sind. Befestigen Sie einen topologischen Raum. Wir definieren das Gewicht als minimaler Cardinality einer Basis; wir definieren das Netzgewicht als minimaler Cardinality eines Netzes; der Charakter eines Punkts minimaler Cardinality einer Nachbarschaft-Basis für darin; und der Charakter zu sein.

Hier ist ein Netz eine Familie von Sätzen, für der, für alle Punkte und offene Nachbarschaft, es gibt für der.

Der Punkt, den Charakter und das Gewicht zu schätzen, ist nützlich, um im Stande zu sein, zu erzählen, welche Basen und lokale Basen bestehen können. Wir haben folgende Tatsachen:

• offensichtlich.
• wenn, dann getrennt ist.
• wenn hausdorff ist, dann begrenzter iff ist, ist getrennt begrenzt.
• wenn eine Basis dann seiner eine Basis der Größe gibt.
• wenn eine Nachbarschaft-Basis für dann es eine Nachbarschaft-Basis der Größe gibt.
• wenn eine dauernde Surjektion, dann ist. (Ziehen Sie einfach - Netz in Betracht

• wenn hausdorff ist, dann dort besteht eine schwächere hausdorff Topologie so dass. So ein forteori, wenn auch kompakt ist, dann fallen solche Topologien zusammen und folglich haben wir, verbunden mit der ersten Tatsache.
• wenn eine dauernde Surjective-Karte von einem metrisable Kompaktraum bis einen hausdorff Raum, dann kompakter metrisable ist.

Die letzte Tatsache kommt aus der Tatsache, die kompakter hausdorff, und folglich ist (da metrisable Kompakträume zählbar notwendigerweise zweit sind); sowie die Tatsache, dass hausdorff Kompakträume metrisable genau sind, im Falle dass sie zählbar zweit sind. (Eine Anwendung davon ist zum Beispiel, dass jeder Pfad in einem hausdorff Raum kompakter metrisable ist.)

Die Erhöhung von Ketten von offenen Sätzen

Mit der obengenannten gegebenen Notation, nehmen Sie dass ein unendlicher Kardinal an.

Dann dort besteht keine ausschließlich zunehmende Folge von offenen Sätzen (gleichwertig

ausschließlich abnehmende Folge von geschlossenen Sätzen) der Länge.

Um das (ohne das Axiom der Wahl) zu sehen, befestigen Sie eine Basis von offenen Sätzen. Und denken Sie pro Gegenseite, die eine ausschließlich zunehmende Folge von offenen Sätzen waren. Das bedeutet

und trifft sich

Siehe auch

• Subbasis
• Das Kleben des Axioms
• James Munkres (1975) Topologie: eine Vorspeise. Prentice-Saal.
• Willard, Stephen (1970) Allgemeine Topologie. Addison-Wesley. Nachgedruckter 2004, Veröffentlichungen von Dover.