In der Topologie von metrischen Räumen der Lehrsatz von Heine-Borel, genannt nach Eduard Heine und Émile Borel, Staaten:

Für eine Teilmenge S des Euklidischen Raums R sind die folgenden zwei Behauptungen gleichwertig:

• S wird geschlossen und begrenzt
• jeder offene Deckel von S hat einen begrenzten Subdeckel, d. h. S ist kompakt.

Im Zusammenhang der echten Analyse wird das ehemalige Eigentum manchmal als das Definieren-Eigentum der Kompaktheit verwendet. Jedoch hören die zwei Definitionen auf, gleichwertig zu sein, wenn wir Teilmengen von allgemeineren metrischen Räumen denken und in dieser Allgemeinheit nur das letzte Eigentum verwendet wird, um Kompaktheit zu definieren. Tatsächlich liest der Lehrsatz von Heine-Borel für willkürliche metrische Räume:

Die:A-Teilmenge eines metrischen Raums ist kompakt, wenn, und nur wenn es abgeschlossen und völlig begrenzt ist.

Geschichte und Motivation

Die Geschichte dessen, was heute die Lehrsatz-Anfänge von Heine-Borel im 19. Jahrhundert, mit der Suche nach festen Fundamenten der echten Analyse genannt wird. Zentral zur Theorie war das Konzept der gleichförmigen Kontinuität und des Lehrsatzes feststellend, dass jede dauernde Funktion auf einem geschlossenen Zwischenraum gleichförmig dauernd ist. Dirichlet war erst, um das zu beweisen, und implizit hat er die Existenz eines begrenzten Subdeckels eines gegebenen offenen Deckels eines geschlossenen Zwischenraums in seinem Beweis verwendet. Er hat diesen Beweis in seinen 1862 Vorträgen verwendet, die nur 1904 veröffentlicht wurden. Späterer Eduard Heine, Karl Weierstrass und Salvatore Pincherle haben ähnliche Techniken verwendet. Émile Borel 1895 war erst, um eine Form dessen festzusetzen und zu beweisen, was jetzt den Lehrsatz von Heine-Borel genannt wird. Seine Formulierung wurde auf zählbare Deckel eingeschränkt. Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) und Schoenflies (1900) hat es zu willkürlichen Deckel verallgemeinert.

Beweis

Wenn ein Satz kompakt ist, dann muss er geschlossen werden.

Lassen Sie S eine Teilmenge von R sein. Beobachten Sie zuerst den folgenden: Wenn eines Grenze-Punkts von S zu sein, dann scheitert jede begrenzte Sammlung C offener Sätze, solch, dass jeder offene Satz U  C von einer Nachbarschaft V von a zusammenhanglos ist, ein Deckel von S zu sein. Tatsächlich ist die Kreuzung der begrenzten Familie von Sätzen V eine Nachbarschaft W in R. Seitdem er eines Grenze-Punkts von S gewesen ist, muss W einen Punkt x in S enthalten. Dieser x  S wird von der Familie C nicht bedeckt, weil jeder U in C von V zusammenhanglos ist und nehmen Sie folglich von W auseinander, der x. enthält

Wenn S kompakt, aber nicht geschlossen ist, dann hat er einen Anhäufungspunkt nicht in S. Betrachten Sie eine Sammlung, die aus einer offenen Nachbarschaft N (x) für jeden x  S, als gewählt klein genug besteht, um eine Nachbarschaft V von a nicht durchzuschneiden. Dann ist ein offener Deckel von S, aber jede begrenzte Subsammlung dessen hat die Form von C besprochen vorher, und kann so kein offener Subdeckel von S sein. Das widerspricht der Kompaktheit von S. Folglich ist jeder Anhäufungspunkt von S in S, so wird S geschlossen.

Der Beweis gilt oben mit fast keiner Änderung zur Vertretung, dass jede Kompaktteilmenge S Hausdorff topologischer Raum X in X geschlossen wird.

Wenn ein Satz kompakt ist, dann wird er begrenzt.

Betrachten Sie die offenen Bälle als in den Mittelpunkt gestellt auf einen allgemeinen Punkt mit jedem Radius. Das kann jeden Satz bedecken, weil alle Punkte im Satz eine Entfernung weg von diesem Punkt sind. Jeder begrenzte Subdeckel dieses Deckels muss begrenzt werden, weil alle Bälle im Subdeckel im größten offenen Ball innerhalb dieses Subdeckels enthalten werden. Deshalb muss jeder durch diesen Subdeckel bedeckte Satz auch begrenzt werden.

Eine geschlossene Teilmenge eines Kompaktsatzes ist kompakt.

Lassen Sie K eine geschlossene Teilmenge eines Kompaktsatzes T in R sein und C ein offener Deckel von K sein zu lassen. Dann ist ein offener Satz und

:

ist ein offener Deckel von T. Da T kompakt ist, dann hat C einen begrenzten Subdeckel, der auch den kleineren Satz K bedeckt. Da U keinen Punkt von K enthält, wird der Satz K bereits dadurch bedeckt ist eine begrenzte Subsammlung der ursprünglichen Sammlung C. Es ist so zum Extrakt von jedem offenen Deckel C K ein begrenzter Subdeckel möglich.

Wenn ein Satz geschlossen und begrenzt wird, dann ist es kompakt.

Wenn ein Satz S in R begrenzt wird, dann kann es innerhalb eines N-Kastens eingeschlossen werden

:

wo a> 0. Durch das Eigentum oben ist es genug zu zeigen, dass T kompakt ist.

Nehmen Sie über den Widerspruch an, dass T nicht kompakt ist. Dann dort besteht ein unendlicher offener Deckel C T, der keinen begrenzten Subdeckel zulässt. Durch die Halbierung von jeder der Seiten von T kann der Kasten T in 2 U-Boot-N-Kästen zerbrochen werden, von denen jeder Diameter hat, das der Hälfte des Diameters von T gleich ist. Dann müssen mindestens eine der 2 Abteilungen von T verlangen, dass ein unendlicher Subdeckel von C, sonst C selbst einen begrenzten Subdeckel, durch das Vereinigen zusammen der begrenzten Deckel der Abteilungen haben würde. Nennen Sie diesen Abschnitt T.

Ebenfalls können die Seiten von T halbiert werden, 2 Abteilungen von T nachgebend, von denen mindestens ein einen unendlichen Subdeckel von C verlangen müssen. Das Weitergehen auf die ähnliche Weise gibt eine abnehmende Folge von verschachtelten N-Kästen nach:

:

wo die Seitenlänge von T ist, der zu 0 neigt, wie k zur Unendlichkeit neigt. Dann, durch den Kreuzungslehrsatz des Kantoren, die unendliche Kreuzung

:ist

nicht leer, aber enthält stattdessen einen Punkt p  T. Da C T bedeckt, dann hat es ein Mitglied U  C solch dass p  U. Da U offen ist, gibt es einen N-Ball. Für großen genug k hat man, aber dann musste die unendliche Zahl von Mitgliedern von C T bedecken kann durch gerade ein ersetzt werden: U, ein Widerspruch.

So ist T kompakt. Da S geschlossen wird und eine Teilmenge des Kompaktsatzes T dann S auch kompakt ist (sieh oben).

Generalisationen

Der Lehrsatz, hält wie festgesetzt, für allgemeine metrische Räume nicht. Wie man sagt, hat ein metrischer Raum (oder topologischer Vektorraum) das Eigentum von Heine-Borel, wenn jede geschlossene und begrenzte Teilmenge kompakt ist. Viele metrische Räume scheitern, das Eigentum von Heine-Borel zu haben. Zum Beispiel scheitern der metrische Raum von rationalen Zahlen (oder tatsächlich jeder unvollständige metrische Raum), das Eigentum von Heine-Borel zu haben. Abgeschlossene metrische Räume können auch scheitern, das Eigentum zu haben. Zum Beispiel hat kein unendlich-dimensionaler Banachraum das Eigentum von Heine-Borel.

Der Lehrsatz kann zu willkürlichen metrischen Räumen durch die Stärkung der für die Kompaktheit erforderlichen Bedingungen verallgemeinert werden:

Die:A-Teilmenge eines metrischen Raums ist kompakt, wenn, und nur wenn es abgeschlossen und völlig begrenzt ist.

Diese Verallgemeinerung gilt auch für topologische Vektorräume und mehr allgemein für gleichförmige Räume.

Hier ist eine Skizze "" teilig des Beweises im Zusammenhang eines allgemeinen metrischen Raums gemäß Jean Dieudonné:

1. Es ist offensichtlich, dass jeder Kompaktsatz E völlig begrenzt wird.
2. Lassen Sie (x) eine willkürliche Cauchyfolge in E sein; lassen Sie F der Verschluss des Satzes {x sein: k  n\in E und U: = E  F. Wenn die Kreuzung des ganzen F leer wäre, würde (U) ein offener Deckel von E sein, folglich würde es einen begrenzten Subdeckel (U) E geben, folglich würde die Kreuzung des F leer sein; das deutet an, dass F für alle n größer leer ist als einige der n, der ein Widerspruch ist. Folglich ist die Kreuzung des ganzen F nicht leer, und jeder Punkt in dieser Kreuzung ist ein Anhäufungspunkt der Folge (x).
3. Jeder Anhäufungspunkt einer Cauchyfolge ist ein Grenze-Punkt (x); folglich läuft jede Cauchyfolge in E in E mit anderen Worten zusammen: E ist abgeschlossen.

Ein Beweis "" teilig kann wie folgt kurz gefasst werden:

1. Wenn E nicht kompakt wären, dort würde ein Deckel (U) von E bestehen, der keinen begrenzten Subdeckel von E hat. Verwenden Sie den ganzen boundedness von E, um induktiv eine Folge von Bällen (B) in E mit zu definieren
2. * ist der Radius von B 2;
3. * gibt es keinen begrenzten Subdeckel (UB) von B;
4. * B  ist B nicht leer.
5. Lassen Sie x der Zentrum-Punkt von B sein und y jeder Punkt in B  B sein zu lassen; folglich haben wir d (x, x)  d (x, y) + d (y, x)  2 + 2  2. Es folgt für n  p, x)  d (x, x) +... + d (x, x)  2 +... + 2  2. Deshalb, (x) ist eine Cauchyfolge in E, das Zusammenlaufen zu etwas Grenze weist in E hin, weil E abgeschlossen ist.
6. Lassen Sie, ein solcher Index zu sein, der a enthält; seitdem (x) läuft zu a zusammen und ist offen, es gibt einen großen solchen n, dass der Ball B eine Teilmenge von-v im Widerspruch zum Aufbau von B ist.

Der Beweis des "" Teils verallgemeinert leicht zu willkürlichen gleichförmigen Räumen, aber der Beweis des "" Teils ist mehr kompliziert und ist zum Ultrafiltergrundsatz, einer schwächeren Form des Axioms der Wahl gleichwertig. (Bereits, in allgemeinen metrischen Räumen, verlangt die "" Richtung den

Axiom der abhängigen Wahl.)

Siehe auch

• Bolzano-Weierstrass Lehrsatz

Referenzen

Außenverbindungen