Echte Analyse (traditionell, die Theorie von Funktionen einer echten Variable) ist ein Zweig der mathematischen Analyse, die sich mit dem Satz von reellen Zahlen und den Funktionen einer echten Variable befasst. Insbesondere es befasst sich mit den analytischen Eigenschaften von echten Funktionen und Folgen, einschließlich der Konvergenz und Grenzen von Folgen von reellen Zahlen, der Rechnung der reellen Zahlen, und der Kontinuität, der Glätte und den verwandten Eigenschaften von reellwertigen Funktionen.

Spielraum

Echte Analyse ist ein Gebiet der Analyse, die Konzepte wie Folgen und ihre Grenzen, Kontinuität, Unterscheidung, Integration und Folgen von Funktionen studiert. Definitionsgemäß konzentriert sich echte Analyse auf die reellen Zahlen häufig einschließlich der positiven oder negativen Unendlichkeit.

Ordnungseigenschaften der reellen Zahlen

Die reellen Zahlen haben mehrere wichtige mit dem Gitter theoretische Eigenschaften, die in den komplexen Zahlen fehlen. Am wichtigsten bilden die reellen Zahlen ein bestelltes Feld, in dem Hinzufügung und Multiplikation positivity bewahren. Außerdem ist die Einrichtung der reellen Zahlen ganz, und die reellen Zahlen haben das am wenigsten obere bestimmte Eigentum. Diese mit der Ordnung theoretischen Eigenschaften führen zu mehreren wichtigen Ergebnissen in der echten Analyse, wie der Eintönigkeitskonvergenz-Lehrsatz, der Zwischenwertlehrsatz und der Mittelwertlehrsatz.

Jedoch, während die Ergebnisse in der echten Analyse für reelle Zahlen festgesetzt werden, können viele dieser Ergebnisse zu anderen mathematischen Gegenständen verallgemeinert werden. Insbesondere viele Ideen in der Funktionsanalyse und Maschinenbediener-Theorie verallgemeinern Eigenschaften der reellen Zahlen---solche Generalisationen schließen die Theorien von Räumen von Riesz und positiven Maschinenbedienern ein. Außerdem denken Mathematiker echte und imaginäre Teile von komplizierten Folgen, oder durch die pointwise Einschätzung von Maschinenbediener-Folgen.

Beziehung zur komplizierten Analyse

Echte Analyse ist nah mit der komplizierten Analyse verbunden, die weit gehend dieselben Eigenschaften von komplexen Zahlen studiert. In der komplizierten Analyse ist es natürlich, Unterscheidung über Holomorphic-Funktionen zu definieren, die mehrere nützliche Eigenschaften, solchen so wiederholten differentiability, expressability haben wie Macht-Reihe und Zufriedenheit von Cauchy integrierte Formel.

In der echten Analyse ist es gewöhnlich natürlicher, differentiable, glatte oder harmonische Funktionen zu denken, die weiter anwendbar sind, aber an einigen stärkeren Eigenschaften von Holomorphic-Funktionen Mangel haben können. Jedoch sind Ergebnisse wie der Hauptsatz der Algebra, wenn ausgedrückt, in Bezug auf komplexe Zahlen einfacher.

Techniken aus der Theorie von analytischen Funktionen einer komplizierten Variable werden häufig in der echten Analyse---wie Einschätzung von echten Integralen durch die Rückstand-Rechnung verwendet.

Schlüsselkonzepte

Das Fundament der echten Analyse ist der Aufbau der reellen Zahlen von den rationalen Zahlen. Das wird gewöhnlich durch die Dedekind-MacNeille Vollziehung, Kürzungen von Dedekind, oder durch die Vollziehung von Cauchyfolgen ausgeführt. Schlüsselkonzepte in der echten Analyse sind Filter, Netze, echte Folgen und ihre Grenzen, Konvergenz, Kontinuität, Unterscheidung und Integration. Echte Analyse wird auch als ein Startpunkt für andere Gebiete der Analyse, wie komplizierte Analyse, Funktionsanalyse und harmonische Analyse verwendet, sowie für die Entwicklung der Topologie, und als ein Werkzeug in anderen Gebieten wie angewandte Mathematik zu motivieren.

Wichtige Ergebnisse schließen die Lehrsätze von Bolzano-Weierstrass und Heine-Borel, den Zwischenwertlehrsatz ein und bedeuten Wertlehrsatz, den Hauptsatz der Rechnung und den Eintönigkeitskonvergenz-Lehrsatz.

Verschiedene Ideen von der echten Analyse können vom echten Raum bis allgemeine metrische Räume verallgemeinert werden, sowie Räume, Banachräume und Räume von Hilbert zu messen.

Siehe auch

• Liste von echten Analyse-Themen
• Zeitskala-Rechnung - eine Vereinigung der echten Analyse mit der Rechnung von begrenzten Unterschieden

Bibliografie

Links

• Analyse WebNotes durch John Lindsay Orr
• Interaktive echte Analyse durch Bert G. Wachsmuth
• Ein erster Analyse-Kurs durch John O'Connor
• Mathematische Analyse I durch Elias Zakon
• Mathematische Analyse II durch Elias Zakon
• Frühster bekannter Gebrauch von einigen der Wörter der Mathematik: Rechnung & Analyse
• Grundlegende Analyse: Einführung in die echte Analyse durch Jiri Lebl