In der Mathematik, mathematischen Physik und der Theorie von stochastischen Prozessen, ist eine harmonische Funktion zweimal unaufhörlich differentiable Funktion f: U  R (wo U eine offene Teilmenge von R ist), der die Gleichung von Laplace befriedigt, d. h.

:

\frac {\\partial^2f} {\\teilweiser x_1^2} +

\frac {\\partial^2f} {\\teilweiser x_2^2} +

\cdots +

\frac {\\partial^2f} {\\teilweiser x_n^2} = 0

</Mathematik>

überall auf U. Das wird gewöhnlich als geschrieben

:

oder

:

Beispiele

Beispiele von harmonischen Funktionen von zwei Variablen sind:

• Der echte und imaginäre Teil jedes holomorphic fungiert
• Die Funktion

::

: definiert auf (z.B das elektrische Potenzial wegen einer Linienanklage und des Ernst-Potenzials wegen einer langen zylindrischen Masse)

• Die Funktion

Beispiele von harmonischen Funktionen von drei Variablen werden im Tisch unten angeführt mit:

:

:Harmonic-Funktionen werden durch ihre Eigenartigkeiten bestimmt. Die einzigartigen Punkte der harmonischen Funktionen werden oben als "Anklagen" und "Anklage-Dichten" das Verwenden der Fachsprache der Elektrostatik ausgedrückt, und so wird die entsprechende harmonische Funktion zum elektrostatischen Potenzial wegen dieses Anklage-Vertriebs proportional sein. Jede Funktion wird oben eine andere harmonische Funktion, wenn multipliziert, mit einer Konstante, rotieren gelassen nachgeben, und/oder hat eine hinzugefügte Konstante. Die Inversion jeder Funktion wird eine andere harmonische Funktion nachgeben, die Eigenartigkeiten hat, die die Images der ursprünglichen Eigenartigkeiten in einem kugelförmigen "Spiegel" sind. Außerdem wird die Summe irgendwelcher zwei harmonischen Funktionen eine andere harmonische Funktion nachgeben.

Schließlich sind Beispiele von harmonischen Funktionen von n Variablen:

• Die Konstante, geradlinig und affine fungiert auf ganzem (zum Beispiel, das elektrische Potenzial zwischen den Tellern eines Kondensators und das Ernst-Potenzial einer Platte)
• Die Funktion auf dafür.

Bemerkungen

Der Satz von harmonischen Funktionen auf einem gegebenen offenen Satz U kann als der Kern des Maschinenbedieners von Laplace Δ gesehen werden und ist deshalb ein Vektorraum über R: Summen, Unterschiede und Skalarvielfachen von harmonischen Funktionen sind wieder harmonisch.

Wenn f eine harmonische Funktion auf U ist, dann sind alle partiellen Ableitungen von f auch harmonische Funktionen auf U. Der Laplace Maschinenbediener Δ und der Maschinenbediener der partiellen Ableitung werden auf dieser Klasse von Funktionen pendeln.

Auf mehrere Weisen sind die harmonischen Funktionen echte Entsprechungen Holomorphic-Funktionen. Alle harmonischen Funktionen sind analytisch, d. h. sie können als Macht-Reihe lokal ausgedrückt werden. Das ist eine allgemeine Tatsache über elliptische Maschinenbediener, von denen Laplacian ein Hauptbeispiel ist.

Die gleichförmige Grenze einer konvergenten Folge von harmonischen Funktionen ist noch harmonisch. Das ist wahr, weil jede dauernde Funktion, die das Mittelwerteigentum befriedigt, harmonisch ist. Denken Sie die Folge auf (0) &times; R definiert dadurch. Diese Folge ist harmonisch und läuft gleichförmig zur Nullfunktion zusammen; bemerken Sie jedoch, dass die partiellen Ableitungen zur Nullfunktion (die Ableitung der Nullfunktion) nicht gleichförmig konvergent sind. Dieses Beispiel zeigt die Wichtigkeit vom Verlassen auf das Mittelwerteigentum und die Kontinuität, um zu behaupten, dass die Grenze harmonisch ist.

Verbindungen mit der komplizierten Funktionstheorie

Der echte und imaginäre Teil jeder Holomorphic-Funktion gibt harmonische Funktionen auf R nach (wie man sagt, ist das ein Paar von harmonischen verbundenen Funktionen). Umgekehrt ist jede harmonische Funktion auf einem offenen Satz lokal der echte Teil einer Holomorphic-Funktion. Das wird sofort gesehen bemerkend, dass, die komplizierte Funktion schreibend, holomorphic darin ist, weil es die Gleichungen von Cauchy-Riemann befriedigt. Deshalb hat g lokal einen Primitiven, und ist der echte Teil bis zu einer Konstante, wie der echte Teil dessen ist.

Obwohl die obengenannte Ähnlichkeit mit Holomorphic-Funktionen nur für Funktionen von zwei echten Variablen hält, noch genießen harmonische Funktionen in n Variablen mehrere für Holomorphic-Funktionen typische Eigenschaften. Sie sind analytisch (echt); sie haben einen maximalen Grundsatz und einen Mittelwert-Grundsatz; ein Lehrsatz der Eliminierung von Eigenartigkeiten sowie ein Lehrsatz von Liouville hält man für sie in der Analogie zu den entsprechenden Lehrsätzen in der komplizierten Funktionstheorie.

Eigenschaften von harmonischen Funktionen

Einige wichtige Eigenschaften von harmonischen Funktionen können aus der Gleichung von Laplace abgeleitet werden.

Regelmäßigkeitslehrsatz für harmonische Funktionen

Harmonische Funktionen sind ungeheuer differentiable. Tatsächlich sind harmonische Funktionen analytisch echt.

Maximaler Grundsatz

Harmonische Funktionen befriedigen den folgenden maximalen Grundsatz: Wenn K eine Kompaktteilmenge von U ist, dann erreicht f, der auf K eingeschränkt ist, sein Maximum und Minimum an der Grenze von K. Wenn U verbunden wird, bedeutet das, dass f lokale Maxima oder Minima, außer dem Ausnahmefall nicht haben kann, wo f unveränderlich ist. Ähnliche Eigenschaften können für subharmonische Funktionen gezeigt werden.

Das Mittelwerteigentum

Wenn ein Ball mit dem Zentrum x und Radius r ist, der im offenen Satz völlig enthalten wird, dann wird der Wert einer harmonischen Funktion am Zentrum des Balls durch den durchschnittlichen Wert auf der Oberfläche des Balls gegeben; dieser durchschnittliche Wert ist auch dem durchschnittlichen Wert im Interieur des Balls gleich. Mit anderen Worten

u (x) = \frac {1} {n\omega_n R^ {n-1} }\\int_ {\\teilweiser B (x, r)} u \, d\sigma

= \frac {1} {\\omega_n r^n }\\int_ {B (x, r)} u \, dy

</Mathematik>

wo das Volumen des Einheitsballs in n Dimensionen ist und das n-1 dimensionale Oberflächenmaß ist.

Umgekehrt sind alle lokal integrable Funktionen, die (Volumen) Mittelwert-Eigentum befriedigen, ungeheuer differentiable und harmonische Funktionen ebenso.

In Bezug auf Gehirnwindungen, wenn

</Mathematik>

zeigt die charakteristische Funktion des Balls mit dem Radius r über den Ursprung, normalisiert an, so dass die Funktion auf wenn und nur wenn harmonisch

ist

sobald

Skizze des Beweises. Der Beweis des Mittelwert-Eigentums der harmonischen Funktionen und seines gegenteiligen folgt sofort dem Beobachten dass die nichthomogene Gleichung, für irgendwelchen

lässt eine leichte ausführliche Lösung der Klasse mit der Kompaktunterstützung in.Thus zu, wenn in harmonisch

ist

hält im Satz aller Punkte damit

Seitdem ist darin dauernd läuft zu als Vertretung des Mittelwerteigentums für in.Conversely zusammen, wenn u Funktion ist, die das Mittelwert-Eigentum darin befriedigt, der, ist

hält für alle zurück

so dass ist, weil die M fache wiederholte Gehirnwindung dessen von der Klasse mit der Unterstützung.Since ist und willkürlich ist, ist auch. Außerdem

für alle

Diese Behauptung des Mittelwerteigentums kann wie folgt verallgemeinert werden: Wenn h kugelförmig symmetrische Funktion ist, die in B (x, r) unterstützt ist, solch dass h = 1, dann u (x) = h * u (x). Mit anderen Worten können wir den gewogenen Mittelwert von u über einen Punkt nehmen und u (x) wieder erlangen. Insbesondere indem wir h nehmen, um eine C-Funktion zu sein, können wir den Wert von u an jedem Punkt wieder erlangen, selbst wenn wir nur wissen, wie u als ein Vertrieb handelt. Sieh das Lemma von Weyl.

Die Ungleichheit von Harnack

Lassen Sie u eine nichtnegative harmonische Funktion in einem begrenzten Gebiet Ω sein. Dann für jeden verbundenen Satz

:

Die Ungleichheit von Harnack

:

hält für einen unveränderlichen C, der nur von V und Ω abhängt.

Eliminierung von Eigenartigkeiten

Der folgende Grundsatz der Eliminierung von Eigenartigkeiten hält für harmonische Funktionen. Wenn f eine harmonische Funktion ist, die auf einer punktierten offenen Teilmenge von R definiert ist, der an weniger einzigartig ist als die grundsätzliche Lösung, die ist

:

dann streckt sich f bis zu eine harmonische Funktion auf aus (vergleichen Sie den Lehrsatz von Riemann für Funktionen einer komplizierten Variable).

Der Lehrsatz von Liouville

Wenn f eine harmonische auf allen R definierte Funktion ist, die oben begrenzt oder unten begrenzt werden, dann ist f unveränderlich (vergleichen Sie den Lehrsatz von Liouville für Funktionen einer komplizierten Variable).

Edward Nelson hat einen besonders kurzen Beweis dieses Lehrsatzes mit dem Mittelwerteigentum gegeben, das oben erwähnt ist:

zwei Bälle mit den gegebenen Punkten als Zentren und des gleichen Radius. Wenn der

Radius ist groß genug, die zwei Bälle werden abgesehen von einem zusammenfallen

willkürlich kleines Verhältnis ihres Volumens. Da f ist

begrenzt sind die Durchschnitte davon über die zwei Bälle, willkürlich nah

und so f denselben Wert an irgendwelchen zwei Punkten annimmt.

Generalisationen

Schwach harmonische Funktion

Eine Funktion (oder, mehr allgemein, ein Vertrieb) ist schwach harmonisch, wenn sie die Gleichung von Laplace befriedigt

:

in einem schwachen Sinn (oder, gleichwertig, im Sinne des Vertriebs). Eine schwach harmonische Funktion fällt fast überall mit einer stark harmonischen Funktion zusammen, und ist insbesondere glatt. Ein schwach harmonischer Vertrieb ist genau der Vertrieb, der zu einer stark harmonischen Funktion vereinigt ist, und ist also auch glatt. Das ist das Lemma von Weyl.

Es gibt andere schwache Formulierungen der Gleichung von Laplace, die häufig nützlich sind. Von denen einer der Grundsatz von Dirichlet ist, harmonische Funktionen im Raum von Sobolev H (Ω) als der minimizers der Energie von Dirichlet integrierter vertretend

:

in Bezug auf lokale Schwankungen, d. h. alle solche Funktionen, der für alle oder gleichwertig für den ganzen hält

Harmonische Funktionen auf Sammelleitungen

Harmonische Funktionen können auf einer willkürlichen Sammelleitung von Riemannian, mit dem Laplace-Beltrami Maschinenbediener Δ definiert werden. In diesem Zusammenhang wird eine Funktion harmonisch wenn genannt

:

Viele der Eigenschaften von harmonischen Funktionen auf Gebieten im Euklidischen Raum tragen zu dieser allgemeineren Einstellung, einschließlich des Mittelwertlehrsatzes (über geodätische Bälle), der maximale Grundsatz und die Ungleichheit von Harnack vor. Mit Ausnahme vom Mittelwertlehrsatz sind das leichte Folgen der entsprechenden Ergebnisse für allgemeine geradlinige elliptische teilweise Differenzialgleichungen der zweiten Ordnung.

Subharmonische Funktionen

Eine C-Funktion, die befriedigt, wird subharmonisch genannt. Diese Bedingung versichert, dass der maximale Grundsatz halten wird, obwohl andere Eigenschaften von harmonischen Funktionen scheitern können. Mehr allgemein ist eine Funktion subharmonisch, wenn, und nur wenn, im Interieur jedes Balls in seinem Gebiet, sein Graph unter dieser der harmonischen Funktion liegt, die seine Grenzwerte auf dem Ball interpoliert.

Harmonische Formen

Eine Generalisation der Studie von harmonischen Funktionen ist die Studie von harmonischen Formen auf Sammelleitungen von Riemannian, und es ist mit der Studie von cohomology verbunden. Außerdem ist es möglich, harmonische Vektor-geschätzte Funktionen oder harmonische Karten von zwei Sammelleitungen von Riemannian zu definieren, die kritische Punkte einer verallgemeinerten Energie von Dirichlet funktionell sind (das schließt harmonische Funktionen als ein spezieller Fall, ein Ergebnis ein, das als Grundsatz von Dirichlet bekannt ist). Ähnliche harmonische Karten erscheinen in der Theorie von minimalen Oberflächen. Zum Beispiel ist eine Kurve, d. h. eine Karte von einem Zwischenraum in R zu einer Sammelleitung von Riemannian, eine harmonische Karte, wenn, und nur wenn es ein geodätischer ist.

Harmonische Karten zwischen Sammelleitungen

Wenn M und N zwei Sammelleitungen von Riemannian sind, dann wird eine harmonische Karte definiert, um ein stationärer Punkt der Energie von Dirichlet zu sein

:

in dem das Differenzial von u ist, und die Norm ist, dass veranlasst durch das metrische auf der M, und die auf N auf dem Tensor-Produkt TMuTN stopfen.

Wichtige spezielle Fälle von harmonischen Karten zwischen Sammelleitungen schließen minimale Oberflächen ein, die genau die harmonischen Immersionen einer Oberfläche in den dreidimensionalen Euklidischen Raum sind. Mehr allgemein sind minimale Subsammelleitungen harmonische Immersionen einer Sammelleitung in einem anderen. Harmonische Koordinaten sind ein harmonischer diffeomorphism von einer Sammelleitung bis eine offene Teilmenge eines Euklidischen Raums derselben Dimension.

Siehe auch

• Problem von Dirichlet
• Grundsatz von Dirichlet
• Energie von Dirichlet
• Hitzegleichung
• Die Gleichung von Laplace
• Die Gleichung von Poisson
• Quadratur-Gebiete
• Subharmonische Funktion
• Harmonische Karte

. . . .

Außenverbindungen

• Harmonisches Funktionsmodul durch John H. Mathews
• Harmonische Funktionstheorie durch S.Axler, Paul Bourdon und Wade Ramey