In der Wahrscheinlichkeitstheorie ein stochastischer Prozess , oder manchmal ist Zufallsprozess (weit verwendet) eine Sammlung von zufälligen Variablen; das wird häufig verwendet, um die Evolution von einem zufälligen Wert oder System mit der Zeit zu vertreten. Das ist die probabilistic Kopie zu einem deterministischen Prozess (oder deterministischem System). Anstatt einen Prozess zu beschreiben, der sich nur auf eine Weise (als im Fall, zum Beispiel, Lösungen einer gewöhnlichen Differenzialgleichung), in einem stochastischen Prozess oder Zufallsprozess entwickeln kann, dort ist etwas Unbegrenztheit: Selbst wenn die anfängliche Bedingung (oder Startpunkt) bekannt ist, gibt es mehrere (häufig ungeheuer viele) Richtungen, in denen sich der Prozess entwickeln kann.

Im einfachen Fall der diskreten Zeit beläuft sich ein stochastischer Prozess auf eine Folge von zufälligen als eine Zeitreihe bekannten Variablen (zum Beispiel, sieh Kette von Markov). Ein anderer grundlegender Typ eines stochastischen Prozesses ist ein zufälliges Feld, dessen Gebiet ein Gebiet des Raums, mit anderen Worten, eine zufällige Funktion ist, deren Argumente von einer Reihe gezogen werden, unaufhörlich Werte zu ändern. Eine Annäherung an stochastische Prozesse behandelt sie als Funktionen von einem oder mehreren deterministischen Argumenten (Eingänge, in den meisten Fällen, die als Zeit betrachtet sind), wessen Werte (Produktionen) zufällige Variablen sind: Nichtdeterministische (einzelne) Mengen, die bestimmten Wahrscheinlichkeitsvertrieb haben. Zufällige Variablen entsprechend verschiedenen Zeiten (oder Punkte, im Fall von zufälligen Feldern) können völlig verschieden sein. Die Hauptvoraussetzung ist, dass diese verschiedenen zufälligen Mengen alle denselben Typ haben. Typ bezieht sich auf den codomain der Funktion. Obwohl die zufälligen Werte eines stochastischen Prozesses zu verschiedenen Zeiten unabhängige zufällige Variablen in meistens überlegten Situationen sein können, stellen sie komplizierte statistische Korrelationen aus.

Vertraute Beispiele von Prozessen haben modelliert, weil stochastische Zeitreihen Aktienbörse und Wechselkursschwankungen, Signale wie Rede, medizinische und Audiovideodaten wie ein EKG eines Patienten, EEG, Blutdruck oder Temperatur, und zufällige Bewegung wie Brownsche Bewegung oder zufällige Spaziergänge einschließen. Beispiele von zufälligen Feldern schließen statische Images, zufälliges Terrain (Landschaften), Windwellen oder Zusammensetzungsschwankungen eines heterogenen Materials ein.

Formelle Definition und grundlegende Eigenschaften

Definition

In Anbetracht eines Wahrscheinlichkeitsraums und eines messbaren Raums,

ein S-valued stochastischer Prozess ist eine Sammlung von S-valued

zufällige Variablen auf, mit einem Inhaltsverzeichnis versehen durch einen völlig bestellten Satz T ("Zeit"). D. h. ein stochastischer Prozess X ist eine Sammlung

:

wo jeder eine S-valued zufällige Variable darauf ist. Der Raum S wird dann den Zustandraum des Prozesses genannt.

Endlich-dimensionaler Vertrieb

Lassen Sie X ein S-valued stochastischer Prozess sein. Für jede begrenzte Teilmenge ist das K-Tupel eine zufällige Variable, die Werte annimmt. Der Vertrieb dieser zufälligen Variable ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß darauf. Das wird einen endlich-dimensionalen Vertrieb X genannt.

Unter passenden topologischen Beschränkungen kann eine angemessen "konsequente" Sammlung des endlich-dimensionalen Vertriebs verwendet werden, um einen stochastischen Prozess zu definieren (sieh Erweiterung von Kolmogorov in der folgenden Abteilung).

Aufbau

Im gewöhnlichen axiomatization der Wahrscheinlichkeitstheorie mittels der Maß-Theorie ist das Problem, eine Sigma-Algebra von messbaren Teilmengen des Raums aller Funktionen zu bauen, und dann ein begrenztes Maß darauf zu stellen. Für diesen Zweck verwendet man traditionell eine Methode genannt die Erweiterung von Kolmogorov.

Es gibt mindestens eine Alternative axiomatization von der Wahrscheinlichkeitstheorie mittels Erwartungen auf C-Sternalgebra von zufälligen Variablen. In diesem Fall geht die Methode durch den Namen des Gelfand-Naimark-Segal Aufbaus.

Das ist den zwei Annäherungen an das Maß und die Integration analog, wo man die Wahl hat, Maßnahmen von Sätzen zuerst zu bauen und Integrale später oder Konstruktionsintegrale zuerst zu definieren und Satz-Maßnahmen als Integrale von charakteristischen Funktionen zu definieren.

Erweiterung von Kolmogorov

Die Erweiterung von Kolmogorov geht entlang den folgenden Linien weiter: Das Annehmen, dass ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Raum aller Funktionen dann besteht, kann es verwendet werden, um den gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsvertrieb von endlich-dimensionalen zufälligen Variablen anzugeben. Jetzt von diesem n-dimensional Wahrscheinlichkeitsvertrieb können wir ableiten (n − 1) - dimensionaler Randwahrscheinlichkeitsvertrieb dafür. Bemerken Sie, dass die offensichtliche Vereinbarkeitsbedingung, nämlich, dass dieser Randwahrscheinlichkeitsvertrieb, in derselben Klasse wie diejenige sein, auf den voll aufgeblühten stochastischen Prozess zurückzuführen gewesen ist, nicht eine Voraussetzung ist. Solch eine Bedingung hält nur zum Beispiel, wenn der stochastische Prozess ein Prozess von Wiener ist (in welchem Fall die marginals der ganze gaussian Vertrieb der Exponentialklasse sind), aber nicht im Allgemeinen für alle stochastischen Prozesse. Wenn diese Bedingung in Bezug auf Wahrscheinlichkeitsdichten ausgedrückt wird, wird das Ergebnis die Gleichung des Hausierers-Kolmogorov genannt.

Der Erweiterungslehrsatz von Kolmogorov versichert die Existenz eines stochastischen Prozesses mit einer gegebenen Familie des endlich-dimensionalen Wahrscheinlichkeitsvertriebs, der die Vereinbarkeitsbedingung des Hausierers-Kolmogorov befriedigt.

Trennbarkeit, oder was die Erweiterung von Kolmogorov nicht zur Verfügung stellt

Rufen Sie zurück, dass im Kolmogorov axiomatization messbare Mengen die Sätze sind, die eine Wahrscheinlichkeit oder, mit anderen Worten, die Sätze entsprechend ja/no Fragen haben, die eine Probabilistic-Antwort haben.

Die Erweiterung von Kolmogorov fängt durch das Erklären an, um alle Sätze von Funktionen messbar zu sein, wo begrenzt viele Koordinaten eingeschränkt werden, um in messbaren Teilmengen dessen zu liegen. Mit anderen Worten, wenn ja/no, dessen auf die Frage über f durch das Schauen auf die Werte höchstens begrenzt viele Koordinaten geantwortet werden kann, dann hat es eine Probabilistic-Antwort.

In der Maß-Theorie, wenn wir eine zählbar unendliche Sammlung von messbaren Mengen dann haben, sind die Vereinigung und Kreuzung von ihnen allen eine messbare Menge. Zu unseren Zwecken bedeutet das, dass ja/no infrage stellen, die zählbar von vielen Koordinaten abhängen, haben eine Probabilistic-Antwort.

Die guten Nachrichten sind, dass die Erweiterung von Kolmogorov es möglich macht, stochastische Prozesse mit dem ziemlich willkürlichen endlich-dimensionalen Vertrieb zu bauen. Außerdem hat jede Frage, die man nach einer Folge fragen konnte, eine Probabilistic-Antwort, wenn gefragt, einer Zufallsfolge. Die schlechten Nachrichten sind, dass bestimmte Fragen über Funktionen auf einem dauernden Gebiet keine Probabilistic-Antwort haben. Man könnte hoffen, dass die Fragen, die unzählbar von vielen Werten einer Funktion abhängen, von wenig Interesse zu sein, aber die wirklich schlechten Nachrichten sind, dass eigentlich alle Konzepte der Rechnung dieser Sorte sind. Zum Beispiel:

1. boundedness
2. Kontinuität
3. differentiability

alle verlangen Kenntnisse von unzählbar vielen Werten der Funktion.

Eine Lösung dieses Problems ist, dass der stochastische Prozess zu verlangen, trennbar zu sein. Mit anderen Worten, dass man es einen zählbaren Satz von Koordinaten gibt, deren Werte die ganze zufällige Funktion f bestimmen.

Der Kontinuitätslehrsatz von Kolmogorov versichert, dass in einer Prozession geht, die befriedigen, haben bestimmte Einschränkungen auf die Momente ihrer Zunahme dauernde Modifizierungen und sind deshalb trennbar.

Filtrieren

In Anbetracht eines Wahrscheinlichkeitsraums ist ein Filtrieren eine schwach zunehmende Sammlung von Sigma-Algebra auf, mit einem Inhaltsverzeichnis versehen durch einen völlig bestellten Satz T, und begrenzt oben dadurch. D. h. für mit s.

Ein stochastischer Prozess X auf derselben Zeit ist untergegangen, wie man sagt, wird T an das Filtrieren angepasst, wenn, für jeden, - messbar ist.

Das natürliche Filtrieren

In Anbetracht eines stochastischen Prozesses, des natürlichen Filtrierens für (oder veranlasst durch) ist dieser Prozess das Filtrieren, wo durch alle Werte bis zur Zeit s = t erzeugt wird. D. h.

Ein stochastischer Prozess wird immer an sein natürliches Filtrieren angepasst.

Klassifikation

Stochastische Prozesse können gemäß dem cardinality seines Index-Satzes (gewöhnlich interpretiert als Zeit) und Zustandraum klassifiziert werden.

Diskrete Zeit und getrennte Staaten

Wenn beide und, der Satz von natürlichen Zahlen gehören, dann haben wir Modelle, die zu Ketten von Markov führen. Zum Beispiel:

(a) Wenn Mittel das Bit (0 oder 1) in der Position einer Folge von übersandten Bit, dann als eine Kette von Markov mit 2 Staaten modelliert werden kann. Das führt zum Fehler, viterbi Algorithmus in der Datenübertragung korrigierend.

(b) Wenn bedeuten eines Zuchtpaares in der th Generation in einem Inzucht-Modell der vereinigte Genotyp, kann es gezeigt werden, dass sich das Verhältnis von heterozygous Personen in der Bevölkerung Null nähert, als zu ∞. geht

Dauernde Zeit und dauernder Zustandraum

Das Paradigma des dauernden stochastischen Prozesses ist das des Prozesses von Wiener. In seiner ursprünglichen Form ist das Problem mit einer Partikel beschäftigt gewesen, die auf einer flüssigen Oberfläche schwimmt, "Stöße" von den Molekülen der Flüssigkeit erhaltend. Die Partikel wird dann angesehen als, unterworfen einer zufälligen Kraft zu sein, die da die Moleküle sehr klein sind und sehr eng miteinander, wird behandelt als, dauernd zu sein, und, da die Partikel zur Oberfläche der Flüssigkeit durch die Oberflächenspannung beschränkt wird, ist an jedem Punkt rechtzeitig eine Vektor-Parallele zur Oberfläche. So wird die zufällige Kraft durch einen zwei bildenden stochastischen Prozess beschrieben; zwei reellwertige zufällige Variablen werden zu jedem Punkt im Index-Satz, Zeit vereinigt, (bemerken Sie, dass, da die Flüssigkeit angesehen wird als, die Kraft zu sein, der Raumkoordinaten unabhängig ist) mit dem Gebiet der zwei zufälligen Variablen, die R sind, den x und die y Bestandteile der Kraft gebend. Eine Behandlung der Brownschen Bewegung schließt allgemein auch die Wirkung der Viskosität ein, auf eine Gleichung der als die Gleichung von Langevin bekannten Bewegung hinauslaufend.

Diskrete Zeit und dauernder Zustandraum

Wenn der Index-Satz des Prozesses N (die natürlichen Zahlen) ist, und die Reihe R ist (die reellen Zahlen), gibt es einige natürliche Fragen, nach den Beispielfolgen eines Prozesses {X} zu fragen, wo eine Beispielfolge ist

{X( ω)}.

1. Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede Beispielfolge begrenzt wird?
2. Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede Beispielfolge monotonisch ist?
3. Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede Beispielfolge eine Grenze hat, weil sich der Index  nähert?
4. Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Reihe, die bei einer Beispielfolge davon erhalten ist, zusammenläuft?
5. Wie ist der Wahrscheinlichkeitsvertrieb der Summe?

Hauptanwendungen der diskreten Zeit dauernde stochastische Zustandmodelle schließen Kette von Markov Monte Carlo (MCMC) und die Analyse der Zeitreihe ein.

Dauernde Zeit und getrennter Zustandraum

Ähnlich, wenn der Index-Raum ich bin ein begrenzter oder unendlicher Zwischenraum, wir nach den Beispielpfaden {X( ω fragen können) }\

1. Was die Wahrscheinlichkeit ist, dass es bounded/integrable/continuous/differentiable...? ist
2. Was die Wahrscheinlichkeit ist, dass es eine Grenze an  hat
3. Wie ist der Wahrscheinlichkeitsvertrieb des Integrals?

Siehe auch

• Liste von Themen der stochastischen Prozesse
• Gesetz (stochastische Prozesse)
• Algorithmus von Gillespie
• Kette von Markov
• Stochastische Rechnung
• DMP
• Kovarianz-Funktion
• Wärmegewicht-Quote für einen stochastischen Prozess
• Stationärer Prozess

Weiterführende Literatur