Brownsche Bewegung (genannt nach dem Botaniker Robert Brown) oder pedesis (davon "zu springen") ist das vermutlich zufällige Treiben von Partikeln, die in einer Flüssigkeit (eine Flüssigkeit oder ein Benzin) oder das mathematische Modell aufgehoben sind, das verwendet ist, um solche zufälligen Bewegungen zu beschreiben, der häufig eine Partikel-Theorie genannt wird.

1827 hat der Biologe Robert Brown das bemerkt, wenn Sie auf Blütenstaub-Körner in Wasser durch ein Mikroskop, der Blütenstaub jiggles darüber geschaut haben. Er hat diese jiggling 'Brownsche Bewegung' genannt, aber Brown konnte nicht ausarbeiten, was sie verursachte.

Die Richtung der resultierenden Kraft ändert sich ständig. Zu verschiedenen Zeiten wird das Blütenstaub-Korn mehr auf einer Seite geschlagen als ein anderer, folglich die zufällige Natur der Bewegung.

Das mathematische Modell der Brownschen Bewegung hat mehrere wirkliche Anwendungen. Ein häufig angesetztes Beispiel ist Aktienbörse-Schwankungen, obwohl Benoit Mandelbrot seine Anwendbarkeit auf Aktienpreisbewegungen teilweise zurückgewiesen hat, weil diese diskontinuierlich sind.

Brownsche Bewegung ist unter den einfachsten von den dauernd-maligen stochastischen (oder probabilistic) Prozesse, und es ist eine Grenze sowohl von einfacheren als auch von mehr komplizierten stochastischen Prozessen (sieh zufälligen Spaziergang und den Lehrsatz von Donsker). Diese Allgemeinheit ist nah mit der Allgemeinheit der Normalverteilung verbunden. In beiden Fällen ist es häufig mathematische Bequemlichkeit aber nicht die Genauigkeit der Modelle, die ihren Gebrauch motiviert. Das ist, weil Brownsche Bewegung, deren Zeitableitung überall unendlich ist, eine idealisierte Annäherung an wirkliche zufällige physische Prozesse ist, die immer eine Skala der endlichen Zeit haben.

Geschichte

Das wissenschaftliche Gedicht von Roman Lucretius "Auf der Natur von Dingen" (c. 60 v. Chr.) hat eine bemerkenswerte Beschreibung der Brownschen Bewegung von Staub-Partikeln. Er verwendet das als ein Beweis der Existenz von Atomen:

"Beobachten Sie, was geschieht, wenn Sonnenstrahlen in ein Gebäude und geworfenes Licht auf seine schattigen Plätze zugelassen werden. Sie werden eine Menge von winzigen Partikeln sehen, die in einer Menge von Wegen verschmelzen..., ihr Tanzen ist eine wirkliche Anzeige von zu Grunde liegenden Bewegungen der Sache, die vor unserem Anblick verborgen werden... Es entsteht mit den Atomen der Bewegung von sich [d. h., spontan]. Dann werden jene kleinen zusammengesetzten Körper, die vom Impuls der Atome am wenigsten entfernt werden, durch den Einfluss ihrer unsichtbaren Schläge und der Reihe nach Kanone gegen ein bisschen größere Körper in Gang gesetzt. So die Bewegungsgestelle von den Atomen und erscheint allmählich zum Niveau unserer Sinne, so dass jene Körper in der Bewegung sind, dass wir in Sonnenstrahlen sehen, die durch Schläge bewegt sind, die unsichtbar bleiben."

Obwohl die verschmelzende Bewegung von Staub-Partikeln größtenteils durch Luftzüge verursacht wird, wird das Funkeln, Bewegung von kleinen Staub-Partikeln umstürzend, tatsächlich hauptsächlich durch die wahre Dynamik von Brownian verursacht.

Jan Ingenhousz hatte die unregelmäßige Bewegung von Kohlenstaub-Partikeln auf der Oberfläche von Alkohol 1785 — dennoch beschrieben die Entdeckung wird häufig dem Botaniker Robert Brown 1827 kreditiert. Brown studierte Blütenstaub-Körner des Werks Clarkia pulchella, der in Wasser unter einem Mikroskop aufgehoben ist, als er Minutenpartikeln beobachtet hat, die durch die Blütenstaub-Körner vertrieben sind, eine nervöse Bewegung durchführend. Indem er das Experiment mit Partikeln der anorganischen Sache wiederholt hat, ist er im Stande gewesen, das auszuschließen, die Bewegung wurde lebensverbunden, obwohl sein Ursprung noch erklärt werden sollte.

Die erste Person, um die Mathematik hinter der Brownschen Bewegung zu beschreiben, war Thorvald N. Thiele in einer Zeitung auf der Methode von kleinsten 1880 veröffentlichten Quadraten. Dem wurde unabhängig von Louis Bachelier 1900 in seiner Doktorarbeit "Die Theorie der Spekulation", gefolgt, in dem er eine stochastische Analyse des Lagers und der Auswahl-Märkte präsentiert hat. Albert Einstein (in einer seiner 1905-Zeitungen) und Marian Smoluchowski (1906) hat die Lösung des Problems zur Aufmerksamkeit von Physikern gebracht, und hat es als eine Weise präsentiert, die Existenz von Atomen und Molekülen indirekt zu bestätigen.

Die Theorie von Einstein

Es gibt zwei Teile zur Theorie von Einstein: Der erste Teil besteht in der Formulierung einer Verbreitungsgleichung für Partikeln von Brownian, in denen der Diffusionskoeffizient mit der Mittelquadratversetzung einer Partikel von Brownian verbunden ist, während der zweite Teil in der Verbindung des Diffusionskoeffizienten zu messbaren physischen Mengen besteht. Auf diese Weise ist Einstein im Stande gewesen, die Größe von Atomen, und wie viel Atome zu bestimmen, dort sind in einem Maulwurf oder dem Molekulargewicht in Grammen eines Benzins. In die Übereinstimmung mit dem Gesetz von Avogadro ist dieses Volumen dasselbe für das ganze ideale Benzin, das 22,414 Cc bei der Standardtemperatur und dem Druck ist. Die Zahl von in diesem Volumen enthaltenen Atomen wird die Zahl von Avogadro genannt, und der Entschluss von dieser Zahl ist mit den Kenntnissen der Masse eines Atoms gleichbedeutend, da der Letztere erhalten wird, indem er die Masse eines Maulwurfs des Benzins durch die Zahl von Avogadro teilt.

Der erste Teil des Arguments von Einstein sollte bestimmen, wie weit eine Partikel von Brownian in einem gegebenen Zeitabstand reist. Klassische Mechanik ist unfähig, diese Entfernung wegen der riesigen Menge von Beschießungen zu bestimmen, die eine Partikel von Brownian grob der Ordnung von Kollisionen pro Sekunde erleben wird. So wurde Einstein dazu gebracht, die gesammelte Bewegung von Partikeln von Brownian zu denken. Er hat gezeigt, dass, wenn die Dichte von Partikeln von Brownian am Punkt in der Zeit dann ist, die Verbreitungsgleichung befriedigt:

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wo die Masse diffusivity ist. Annehmend, dass der ganze Partikel-Anfang vom Ursprung in der anfänglichen Zeit die Verbreitungsgleichung die Lösung hat

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Dieser Ausdruck hat Einstein erlaubt, die Momente direkt zu berechnen. Wie man sieht, verschwindet der erste Moment, bedeutend, dass sich die Partikel von Brownian ebenso wahrscheinlich nach links bewegen wird, wie es sich nach rechts bewegen soll. Der zweite Moment nichtverschwindet jedoch, durch gegeben

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Das drückt die Mittelquadratversetzung in Bezug auf die Zeit vergangen und der diffusivity aus. Von diesem Ausdruck hat Einstein behauptet, dass die Versetzung einer Partikel von Brownian zur verbrauchten Zeit, aber eher zu seiner Quadratwurzel nicht proportional ist. Sein Argument basiert auf einem Begriffsschalter vom "Ensemble" von Partikeln von Brownian zur "einzelnen" Partikel von Brownian: Wir können von der Verhältniszahl von Partikeln in einem einzelnen Moment sprechen, genauso gut, wie der Zeit nimmt sie eine Partikel von Brownian, um einen gegebenen Punkt zu erreichen.

Der zweite Teil der Theorie von Einstein verbindet die Verbreitung, die mit physisch messbaren Mengen wie die Mittelquadratversetzung einer Partikel in einem gegebenen Zeitabstand unveränderlich ist. Dieses Ergebnis ermöglicht den experimentellen Entschluss von der Zahl von Avogadro und deshalb der Größe von Molekülen. Einstein hat ein dynamisches Gleichgewicht analysiert, das zwischen dem Entgegensetzen Kräften wird gründet. Die Schönheit seines Arguments besteht darin, dass das Endresultat nicht abhängt, welche Kräfte an der Aufstellung des dynamischen Gleichgewichts beteiligt werden. In seiner ursprünglichen Behandlung hat Einstein ein osmotisches Druck-Experiment gedacht, aber zu demselben Schluss kann auf andere Weisen gelangen werden., Betrachten Sie zum Beispiel, Partikeln als aufgehoben in einer klebrigen Flüssigkeit in einem Schwerefeld. Ernst neigt dazu, sich die Partikeln niederlassen zu lassen, wohingegen Verbreitung handelt, um sie zu homogenisieren, sie in Gebiete der kleineren Konzentration steuernd. Unter der Handlung des Ernstes erwirbt eine Partikel eine Geschwindigkeit nach unten dessen, wo die Masse der Partikel ist, die Beschleunigung wegen des Ernstes ist, und die Beweglichkeit der Partikel in der Flüssigkeit ist. George Stokes hatte gezeigt, dass die Beweglichkeit für eine kugelförmige Partikel mit dem Radius ist, wo die dynamische Viskosität der Flüssigkeit ist. In einem Staat des dynamischen Gleichgewichts werden die Partikeln gemäß dem barometrischen Vertrieb verteilt

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wo der Unterschied in der Dichte von Partikeln ist, die durch einen Höhe-Unterschied dessen getrennt sind, die Konstante von Boltzmann (nämlich, das Verhältnis der universalen Gaskonstante, zur Zahl von Avogadro,) ist, und die absolute Temperatur ist. Es ist die Zahl von Avogadro, die bestimmt werden soll.

Dynamisches Gleichgewicht wird gegründet, weil je mehr, dass Partikeln durch den Ernst heruntergezogen werden, desto größer die Tendenz für die Partikeln ist, um zu Gebieten der niedrigeren Konzentration abzuwandern. Der Fluss wird durch das Gesetz von Fick, gegeben

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wo. Die Formel für einführend, finden wir das

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In einem Staat des dynamischen Gleichgewichts muss diese Geschwindigkeit auch dem gleich sein. Bemerken Sie, dass beide Ausdrücke dafür proportional sind zu, nachdenkend, wie die Abstammung des Typs von betrachteten Kräften unabhängig ist. Die Gleichstellung dieser zwei Ausdrücke gibt eine Formel für den diffusivity nach:

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Hier folgt die erste Gleichheit aus dem ersten Teil der Theorie von Einstein, die dritte Gleichheit folgt aus der Definition der Konstante von Boltzmann als, und die vierte Gleichheit folgt aus der Formel von Stokes für die Beweglichkeit. Durch das Messen der Mittelquadratversetzung über einen Zeitabstand zusammen mit der universalen Gaskonstante, der Temperatur, der Viskosität und dem Partikel-Radius, kann die Zahl von Avogadro bestimmt werden.

Der Typ des dynamischen von Einstein vorgeschlagenen Gleichgewichts war nicht neu. Es war vorher von J. J. Thomson in seiner Reihe von Vorträgen an der Yale Universität im Mai 1903 darauf hingewiesen worden, dass das dynamische Gleichgewicht zwischen der Geschwindigkeit, die durch einen Konzentrationsanstieg erzeugt ist, der durch das Gesetz von Fick und der Geschwindigkeit wegen der Schwankung des teilweisen verursachten Drucks gegeben ist, wenn Ionen in Gang gesetzt werden, "uns eine Methode gibt, die Konstante von Avogadro zu bestimmen, die jeder Hypothese betreffs der Gestalt oder Größe von Molekülen, oder des Weges unabhängig ist, auf den sie nach einander handeln".

Ein identischer Ausdruck zur Formel von Einstein für den Diffusionskoeffizienten wurde auch von Walther Nernst 1888 gefunden, in dem er den Diffusionskoeffizienten als das Verhältnis des osmotischen Drucks zum Verhältnis der Reibungskraft und der Geschwindigkeit ausgedrückt hat, zu der es führt. Der erstere wurde zum Gesetz des Kombis 't Hoff ausgeglichen, während dem Letzteren durch das Gesetz von Stokes gegeben wurde. Er schreibt für den Diffusionskoeffizienten, wo der osmotische Druck ist und das Verhältnis der Reibungskraft zur molekularen Viskosität ist, die er annimmt, wird durch die Formel von Stokes für die Viskosität gegeben. Das ideale Gasgesetz pro Einheitsvolumen für den osmotischen Druck einführend, wird die Formel identisch diesem von Einstein. Der Gebrauch des Gesetzes von Stokes im Fall von Nernst, sowie in Einstein und Smoluchowski, ist nicht ausschließlich anwendbar, da es für den Fall nicht gilt, wo der Radius des Bereichs im Vergleich mit dem freien Mittelpfad klein ist.

Zuerst wurden die Vorhersagen der Formel von Einstein durch eine Reihe von Experimenten von Svedberg 1906 und 1907 anscheinend widerlegt, der Versetzungen der Partikeln als 4 bis 6 Male der vorausgesagte Wert, und durch Henri 1908 gegeben hat, der Versetzungen 3mal größer gefunden hat als die vorausgesagte Formel von Einstein. Aber die Vorhersagen von Einstein wurden schließlich in einer Reihe von Experimenten bestätigt, die von Chaudesaigues 1908 und Perrin 1909 ausgeführt sind. Die Bestätigung der Theorie von Einstein hat empirischen Fortschritt für die kinetische Theorie der Hitze eingesetzt. Hauptsächlich hat Einstein gezeigt, dass die Bewegung direkt vom kinetischen Modell des Thermalgleichgewichts vorausgesagt werden kann. Die Wichtigkeit von der Theorie legt die Tatsache an, dass es die Rechnung der kinetischen Theorie des zweiten Gesetzes der Thermodynamik als seiend ein im Wesentlichen statistisches Gesetz bestätigt hat.

Intuitive Metapher

Denken Sie einen großen Ballon von 100 Metern im Durchmesser. Stellen Sie sich diesen großen Ballon in einem Fußballstadion vor. Der Ballon ist so groß, dass er oben auf vielen Mitgliedern der Menge liegt. Weil sie aufgeregt sind, schlagen diese Anhänger den Ballon zu verschiedenen Zeiten und in verschiedenen Richtungen mit den Bewegungen, die völlig zufällig sind. Schließlich wird der Ballon in zufälligen Richtungen gestoßen, so sollte er sich nicht durchschnittlich bewegen. Betrachten Sie jetzt die in einer bestimmten Zeit als ausgeübte Kraft. Wir könnten 20 Unterstützer haben, die Recht und das 21 andere verlassene Unterstützer-Stoßen stoßen, wo jeder Unterstützer gleichwertige Beträge der Kraft ausübt. In diesem Fall sind die Kräfte, die zum verlassenen und dem Recht ausgeübt sind, imbalanced für den verlassenen; der Ballon wird sich ein bisschen nach links bewegen. Dieser Typ der Unausgewogenheit besteht zu jeder Zeit, und es verursacht zufällige Bewegung des Ballons. Wenn wir auf diese Situation von weit oben schauen, so dass wir die Unterstützer nicht sehen können, sehen wir den großen Ballon als ein kleiner durch die unregelmäßige Bewegung belebter Gegenstand.

Betrachten Sie die Partikeln als ausgestrahlt durch das Blütenstaub-Korn von Brown, das sich zufällig in Wasser bewegt: Wir wissen, dass ein Wassermolekül ungefähr 0.1 durch 0.2 nm in der Größe ist, wohingegen die Partikeln, die beobachteter Brown der Ordnung von einigen Mikrometern in der Größe war (sollen diese nicht mit der wirklichen Blütenstaub-Partikel verwirrt sein, die ungefähr 100 Mikrometer ist). So kann eine Partikel vom Blütenstaub mit dem Ballon und den Wassermolekülen zu den Anhängern verglichen werden, außer dass in diesem Fall der Ballon von Anhängern umgeben wird. Die Brownsche Bewegung einer Partikel in einer Flüssigkeit ist so wegen der sofortigen Unausgewogenheit in den vereinigten Kräften, die durch Kollisionen der Partikel mit den viel kleineren flüssigen Molekülen ausgeübt sind (die in der zufälligen Wärmebewegung sind) Umgebung davon.

Ein Zeichentrickfilm des Konzepts der Brownschen Bewegung ist als Java applet verfügbar.

Theorie

Modell von Smoluchowski

Die Theorie von Smoluchowski der Brownschen Bewegung fängt von derselben Proposition wie dieser von Einstein an und leitet denselben Wahrscheinlichkeitsvertrieb für die Versetzung einer Partikel von Brownian vorwärts rechtzeitig ab. Er bekommt deshalb denselben Ausdruck für die Mittelquadratversetzung:. Jedoch, wenn er es mit einer Partikel der Masse verbindet, die sich an einer Geschwindigkeit bewegt, die das Ergebnis einer durch das Gesetz von Stokes geregelten Reibungskraft ist, findet er

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wo der Viskositätskoeffizient ist, und der Radius der Partikel ist. Die kinetische Energie mit der Thermalenergie vereinigend, ist der Ausdruck für die Mittelquadratversetzung 64/27 Zeiten der gefunden von Einstein. Über den Bruchteil 27/64 wurde von Arnold Sommerfeld in seiner Sterbeliste auf Smoluckowski geäußert: "Der numerische Koeffizient von Einstein, der sich von Smoluchowski durch 27/64 unterscheidet, kann nur in Zweifeln gestellt werden."

Smoluchowski versucht, auf die Frage dessen zu antworten, warum eine Partikel von Brownian durch Beschießungen von kleineren Partikeln versetzt werden sollte, wenn die Wahrscheinlichkeiten, um es im nachschicken und den hinteren Richtungen zu schlagen, gleich sind. Um so zu tun, verwendet er, unbewusst, den Stimmzettel-Lehrsatz, der zuerst von W.A. Whitworth 1887 bewiesen ist. Der Stimmzettel-Lehrsatz stellt fest, dass wenn ein Kandidat Hunderte-Stimmen und Hunderte von Kandidaten B, dass die Wahrscheinlichkeit während des Zählens, dass A mehr Stimmen haben wird als B, ist oder, egal wie groß die Gesamtzahl von Stimmen sein kann. Mit anderen Worten, wenn ein Kandidat einen Rand auf dem anderen Kandidaten hat, wird er dazu neigen, diesen Rand zu behalten, wenn auch es nichts gibt, jeden Kandidaten auf einer Stimmzettel-Förderung bevorzugend.

Wenn die Wahrscheinlichkeit von Gewinnen und Verlusten einem binomischen Vertrieb, folgt

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mit gleichen a priori Wahrscheinlichkeiten ist der Mittelgesamtgewinn

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Wenn groß genug ist, so dass die Annäherung von Stirling in der Form verwendet werden kann

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dann wird der erwartete Gesamtgewinn sein

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Vertretung, dass es als die Quadratwurzel der Gesamtbevölkerung zunimmt.

Nehmen Sie an, dass eine Partikel von Brownian der Masse durch leichtere Partikeln der Masse umgeben wird, die mit einer Geschwindigkeit reisen. Dann werden Gründe Smoluchowski, in jeder Kollision zwischen einer Umgebung und Partikeln von Brownian, die den Letzteren übersandte Geschwindigkeit sein. Dieses Verhältnis ist der Ordnung von cm/sec. Aber wir müssen auch in Betracht ziehen, dass in einem Benzin es mehr geben wird als Kollisionen in einer Sekunde, und noch größer in einer Flüssigkeit, wo wir erwarten, dass es Kollision in einer Sekunde geben wird. Einige dieser Kollisionen werden dazu neigen, die Partikel von Brownian zu beschleunigen; andere werden dazu neigen, es zu verlangsamen. Wenn es ein Mittelübermaß an einer Art der Kollision oder des anderen gibt, um der Ordnung zu Kollisionen in einer Sekunde zu sein, dann kann die Geschwindigkeit der Partikel von Brownian überall zwischen 10 zu 1000 cm/sec sein. So, wenn auch es gleiche Wahrscheinlichkeiten für fortgeschrittene und rückwärts gerichtete Kollisionen gibt, wird es eine Nettotendenz geben, die Partikel von Brownian in der Bewegung zu behalten, wie der Stimmzettel-Lehrsatz voraussagt.

Diese Größenordnungen sind nicht genau, weil sie die Geschwindigkeit der Partikel von Brownian nicht in Betracht ziehen, der von den Kollisionen abhängt, die dazu neigen, es zu beschleunigen und zu verlangsamen. Je größer ist, desto größer die Kollisionen sein wird, die es verzögern werden, so dass die Geschwindigkeit einer Partikel von Brownian ohne Grenze nie zunehmen kann. Hat solch ein Prozess gekonnt vorkommen, es würde mit einer fortwährenden Bewegung des zweiten Typs gleichbedeutend sein. Und seitdem equipartition der Energie gilt, die kinetische Energie der Partikel von Brownian wird im Durchschnitt zur kinetischen Energie der flüssigen Umgebungspartikel gleich sein.

1906 hat Smoluchowski ein eindimensionales Modell veröffentlicht, um eine Partikel zu beschreiben, die Brownsche Bewegung erlebt. Das Modell nimmt Kollisionen mit der M M an, wo M die Testpartikel-Masse und M die Masse von einer der individuellen Partikeln ist, die die Flüssigkeit zusammensetzen. Es wird angenommen, dass die Partikel-Kollisionen auf eine Dimension beschränkt werden, und dass es für die Testpartikel ebenso wahrscheinlich ist, vom links als vom Recht geschlagen zu werden. Es wird auch angenommen, dass jede Kollision immer denselben Umfang dessen gibt. Wenn die Zahl von Kollisionen vom Recht und die Zahl von Kollisionen vom links dann danach N Kollisionen ist, wird sich die Geschwindigkeit der Partikel dadurch geändert haben. Durch die Vielfältigkeit wird dann einfach gegeben:

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und durch die Gesamtzahl von möglichen Staaten wird gegeben. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit der Partikel, die von den rechten Zeiten wird schlägt:

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Infolge seiner Einfachheit Smoluchowski 1D kann Modell nur Brownsche Bewegung qualitativ beschreiben. Für eine realistische Partikel, die Brownsche Bewegung in einer Flüssigkeit erlebt, können viele der Annahmen nicht gemacht werden. Zum Beispiel fällt die Annahme, dass durchschnittlich dort eine gleiche Anzahl von Kollisionen vom Recht als vom links vorkommt, auseinander, sobald die Partikel in der Bewegung ist. Außerdem würde es einen Vertrieb von verschiedenem möglichem s statt immer gerade ein in einer realistischen Situation geben.

Das Modellieren des Verwendens von Differenzialgleichungen

Die Gleichungen, Brownsche Bewegung regelnd, beziehen sich ein bisschen verschieden auf jede der zwei Definitionen der am Anfang dieses Artikels gegebenen Brownschen Bewegung.

Mathematik

In der Mathematik wird Brownsche Bewegung durch den Prozess von Wiener beschrieben; ein dauernd-maliger stochastischer Prozess zu Ehren von Norbert Wiener genannt. Es ist einer der am besten bekannten Prozesse von Lévy (càdlàg stochastische Prozesse mit der stationären unabhängigen Zunahme) und kommt oft in der reinen und angewandten Mathematik, Volkswirtschaft und Physik vor.

Der Wiener-Prozess wird durch drei Tatsachen charakterisiert:

1. ist fast sicher dauernder
2. hat unabhängige Zunahme mit dem Vertrieb (dafür).

zeigt die Normalverteilung mit dem erwarteten Wert μ und Abweichung σ an. Die Bedingung, dass es unabhängige Zunahme hat, bedeutet das, wenn dann und unabhängige zufällige Variablen sind.

Eine alternative Charakterisierung des Prozesses von Wiener ist die so genannte Charakterisierung von Lévy, die sagt, dass der Prozess von Wiener ein fast sicher dauerndes Martingal mit und quadratische Schwankung ist.

Eine dritte Charakterisierung besteht darin, dass der Prozess von Wiener eine geisterhafte Darstellung als eine Sinus-Reihe hat, deren Koeffizienten unabhängige zufällige Variablen sind. Diese Darstellung kann mit dem Karhunen-Loève Lehrsatz erhalten werden.

Der Wiener-Prozess kann als die kletternde Grenze eines zufälligen Spaziergangs oder andere stochastische Prozesse der diskreten Zeit mit der stationären unabhängigen Zunahme gebaut werden. Das ist als der Lehrsatz von Donsker bekannt. Wie der zufällige Spaziergang ist der Prozess von Wiener in einer oder zwei Dimensionen wiederkehrend (das Meinen, dass es fast sicher zu jeder festen Nachbarschaft des Ursprungs ungeheuer häufig zurückkehrt), wohingegen es in Dimensionen drei und höher nicht wiederkehrend ist. Verschieden vom zufälligen Spaziergang ist es Skala invariant.

Die Zeitevolution der Position der Partikel von Brownian selbst kann ungefähr durch eine Gleichung von Langevin, eine Gleichung beschrieben werden, die ein zufälliges Kraft-Feld das Darstellen der Wirkung der Thermalschwankungen des Lösungsmittels auf der Partikel von Brownian einschließt. Auf langen Zeitskalen wird die mathematische Brownsche Bewegung durch eine Gleichung von Langevin gut beschrieben. Auf kleinen Zeitskalen sind Trägheitseffekten in der Gleichung von Langevin überwiegend. Jedoch ist die mathematische Brownsche Bewegung von solchen Trägheitseffekten freigestellt. Bemerken Sie, dass Trägheitseffekten in der Gleichung von Langevin betrachtet werden müssen, sonst wird die Gleichung einzigartig. so dass einfach das Entfernen des Trägheitsbegriffes von dieser Gleichung keine genaue Beschreibung, aber eher ein einzigartiges Verhalten nachgeben würde, in dem sich die Partikel überhaupt nicht bewegt.

Physik

Die Verbreitungsgleichung gibt eine Annäherung der Zeitevolution der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion nach, die zur Position der Partikel vereinigt ist, die unter einer Bewegung von Brownian laut der physischen Definition geht. Die Annäherung ist auf kurzen Zeitskalen gültig.

Die Zeitevolution der Position der Partikel von Brownian selbst wird am besten mit der Gleichung von Langevin, eine Gleichung beschrieben, die ein zufälliges Kraft-Feld das Darstellen der Wirkung der Thermalschwankungen des Lösungsmittels auf der Partikel einschließt.

Die Versetzung einer Partikel, die Brownsche Bewegung erlebt, wird durch das Lösen der Verbreitungsgleichung unter passenden Grenzbedingungen und die Entdeckung des rms der Lösung erhalten. Das zeigt, dass sich die Versetzung als die Quadratwurzel der Zeit ändert (nicht geradlinig), der erklärt, warum vorherige experimentelle Ergebnisse bezüglich der Geschwindigkeit von Partikeln von Brownian sinnlose Ergebnisse gegeben haben. Eine geradlinige Zeitabhängigkeit wurde falsch angenommen.

An Skalen der sehr kurzen Zeit, jedoch, wird die Bewegung einer Partikel durch seine Trägheit beherrscht, und seine Versetzung wird rechtzeitig linear abhängig sein: Δx = vΔt. So kann die sofortige Geschwindigkeit der Brownschen Bewegung als v = Δx/Δt gemessen werden, als Δt Die Geschwindigkeitsdaten den Geschwindigkeitsvertrieb von Maxwell-Boltzmann und den equipartition Lehrsatz für eine Partikel von Brownian nachgeprüft hat.

Die Brownsche Bewegung kann durch einen zufälligen Spaziergang modelliert werden. Zufällige Spaziergänge in porösen Medien oder fractals sind anomal.

Im allgemeinen Fall ist Brownsche Bewegung ein non-Markov Zufallsprozess und hat durch stochastische Integralgleichungen beschrieben.

Charakterisierung von Lévy

Der französische Mathematiker Paul Lévy hat den folgenden Lehrsatz bewiesen, der eine notwendige und genügend Bedingung für einen dauernden R-valued stochastischen Prozess X gibt, um wirklich n-dimensional Brownsche Bewegung zu sein. Folglich kann die Bedingung von Lévy wirklich als eine alternative Definition der Brownschen Bewegung verwendet werden.

Lassen Sie X = (X..., X) ein dauernder stochastischer Prozess auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Σ, P) nehmende Werte in R sein. Dann ist der folgende gleichwertig:

1. X ist eine Brownsche Bewegung in Bezug auf P, d. h. das Gesetz X in Bezug auf P ist dasselbe als das Gesetz einer n-dimensional Brownschen Bewegung, d. h. das mit dem Stoß fortgeschrittene Maß X (P) ist klassisches Maß von Wiener auf C ([0, + ); R).
2. beide
3. X ist ein Martingal in Bezug auf P (und sein eigenes natürliches Filtrieren); und
4. für den ganzen 1  i, j  n, X (t) X (t) −t ist ein Martingal in Bezug auf P (und sein eigenes natürliches Filtrieren), wo δ das Delta von Kronecker anzeigt.

Sammelleitung von Riemannian

Der unendlich kleine Generator (und folglich charakteristischer Maschinenbediener) einer Brownschen Bewegung auf R wird leicht berechnet, um ½\\del zu sein, wo Δ den Maschinenbediener von Laplace anzeigt. Diese Beobachtung ist im Definieren der Brownschen Bewegung auf einer M dimensionale Sammelleitung von Riemannian (M, g) nützlich: Eine Brownsche Bewegung auf der M wird definiert, um eine Verbreitung auf der M zu sein, deren charakteristischer Maschinenbediener in lokalen Koordinaten x, 1  i  M, durch ½Δ gegeben wird, wo Δ der Laplace-Beltrami Maschinenbediener ist, der in lokalen Koordinaten durch gegeben ist

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wo [g] = [g] im Sinne des Gegenteils einer Quadratmatrix.

Gravitationsbewegung

In der Sterndynamik kann ein massiver Körper (Stern, schwarzes Loch, usw.) Brownsche Bewegung erfahren, weil es auf Gravitationskräfte von Umgebungssternen antwortet. Die rms Geschwindigkeit des massiven Gegenstands, der Masse, ist mit der rms Geschwindigkeit der Hintergrundsterne durch verbunden

:

MV^2 \approx M v_\star^2

</Mathematik>

wo die Masse der Hintergrundsterne ist. Die Gravitationskraft vom massiven Gegenstand veranlasst nahe gelegene Sterne, sich schneller zu bewegen, als sie sonst würden, beide vergrößernd, und. Die Brownian Geschwindigkeit von Sgr *, das supermassive schwarze Loch am Zentrum der Milchstraße-Milchstraße, wird von dieser Formel vorausgesagt, um weniger als 1 km s zu sein.

Schmale Flucht

Das Schmale Flucht-Problem ist ein allgegenwärtiges Problem in der Biologie, Biophysik und Zellbiologie, die die folgende Formulierung hat: Eine Partikel von Brownian (Ion, Molekül oder Protein) wird auf ein begrenztes Gebiet (eine Abteilung oder eine Zelle) durch eine nachdenkende Grenze abgesehen von einem kleinen Fenster beschränkt, durch das es flüchten kann. Das schmale Flucht-Problem ist das des Rechnens der Mittelflucht-Zeit. Diese Zeit weicht ab, weil das Fenster zurückweicht, so die Berechnung ein einzigartiges Unruhe-Problem machend.

Siehe auch

• Die Brownian Bridge: Eine Brownsche Bewegung, die erforderlich ist, angegebene Werte in festgelegten Zeiten "zu überbrücken"
• Kovarianz von Brownian
• Dynamik von Brownian
• Motor von Brownian
• Klinkenrad von Brownian
• Brownian erscheinen
• Baum von Brownian

Brownsche

• Rotationsbewegung
• Kompliziertes System
• Verbreitungsgleichung
• Geometrische Brownsche Bewegung
• Itō Verbreitung: eine Verallgemeinerung der Brownschen Bewegung
• Gleichung von Langevin
• Gesetz von Lévy arcsine
• Ortszeit (Mathematik)
• Mark G. Raizen
• Osmose
• Zufälliger Spaziergang
• Rotes Geräusch, auch bekannt als braunes Geräusch (hat Martin Gardner diesen Namen für den mit zufälligen Zwischenräumen erzeugten Ton vorgeschlagen. Es ist ein Wortspiel über die Brownsche Bewegung und das weiße Geräusch.)
• Schramm-Loewner Evolution
• Oberflächenverbreitung: ein Typ der gezwungenen Brownschen Bewegung.
• Wirkung von Tyndall: Physisches Chemie-Phänomen, wo Partikeln beteiligt werden; verwendet, um zwischen den verschiedenen Typen von Mischungen zu differenzieren.
• Ultramikroskop
• Einzelne Partikel, die verfolgt
• Nanoparticle das Verfolgen der Analyse
• Wirkung von Marangoni
• Schmales Flucht-Problem

Weiterführende Literatur

• Brown, Robert, "Hat eine kurze Rechnung von mikroskopischen Beobachtungen in den Monaten des Junis, Julis und Augusts 1827 auf den im Blütenstaub von Werken enthaltenen Partikeln gemacht; und auf der allgemeinen Existenz von aktiven Molekülen in organischen und anorganischen Körpern." Phil. Illustrierte. 4, 161-173, 1828. (PDF Version von ursprünglichem Papier einschließlich einer nachfolgenden Verteidigung durch Brown seiner ursprünglichen Beobachtungen, Zusätzlicher Bemerkungen auf aktiven Molekülen.)
• Clark, P. (1976) 'Atomismus gegen die Thermodynamik' in der Methode und Abschätzung in den physischen Wissenschaften, Colin Howson (Hrsg.), Universität von Cambridge Presse 1976
• Einstein, A. "Untersuchungen auf der Theorie der Brownian Bewegung". New York: Dover, 1956. Internationale Standardbuchnummer 0-486-60304-0

http://lorentz.phl.jhu.edu/AnnusMirabilis/AeReserveArticles/eins_brownian.pdf

• Henri, V (1908) 'Etudes cinematographique du mouvement brownien' Comptes Rendus 146 Seiten 1024-6
• Lucretius, 'Auf Der Natur von Dingen.', übersetzt von William Ellery Leonard. (Online-Version, von Projektgutenberg. sehen die gehenden 'Atombewegungen'; diese Übersetzung unterscheidet sich ein bisschen von derjenigen angesetzt).
• Pearle, P., Collett, B., Baronet, K., Bilderback, D., Newman, D. und Samuels, S. (2010), Was Brown gesehen hat und können Sie auch. Sind. J. Phys. 78: 1278-1289.
• Nelson, Edward, Dynamische Theorien der Brownschen Bewegung (1967) (PDF Version dieses vergriffenen Buches, vom webpage des Autors.)
• J. Perrin, "Mouvement brownien und réalité moléculaire". Ann. Chim. Phys. 8ième série 18, 5-114 (1909). Siehe auch das Buch von Perrin "Les Atomes" (1914).
• Ruben D. Cohen (1986) "Selbst Ähnlichkeit in der Brownschen Bewegung und den Anderen Ergodic Phänomenen", Zeitschrift der Chemischen Ausbildung 63, Seiten 933-934

http://rdcohen.50megs.com/BrownianMotion.pdf

• Svedberg, T. Studien zur Bastelraum von Lehre von kolloiden Losungen 1907
• Theile, Version von T. N. Danish: "Niederfrequenz von Om Anvendelse mindste Kvadraters Methode i nogle Tilfælde, Niederfrequenz von hvor en Komplikation visse Schlacken uensartede tilfældige Geber von Fejlkilder Fejlene en 'systematisk' Karakter". Französische Version: "Sur la compensation de quelques erreurs quasi-systématiques par la méthodes de moindre carrés" veröffentlicht gleichzeitig in Vidensk. Selsk. Skr. 5. Rk. naturvid. og Matte. Afd. 12:381-408, 1880.

Links

• Brownsche Bewegung javanische Simulation
• Artikel für das schulgehende Kind
• Einstein auf der Brownschen Bewegung
• Brownsche Bewegung, "Verschieden und wellenförmig"
• Kurzer Film auf der Brownschen Bewegung
• Bespricht Geschichte, Botanik und Physik der ursprünglichen Beobachtungen von Brown, mit Videos
• "Die Vorhersage von Einstein hat schließlich ein Jahrhundert später gezeugt": Ein Test, um die Geschwindigkeit der Brownschen Bewegung zu beobachten
• "Café-Mathematik: Brownsche Bewegung (Teil 1)": Ein blog Artikel, der Brownsche Bewegung (Definition, symmetries, Simulation) beschreibt