In der Mathematik sind eine monotonische Funktion (oder Eintönigkeitsfunktion) eine Funktion, die die gegebene Ordnung bewahrt. Dieses Konzept ist zuerst in der Rechnung entstanden, und wurde später zur abstrakteren Einstellung der Ordnungstheorie verallgemeinert.

Monomuskeltonus in der Rechnung und Analyse

In der Rechnung wird eine Funktion f definiert auf einer Teilmenge der reellen Zahlen mit echten Werten monotonisch genannt (auch monotonically Erhöhung, Erhöhung oder das Nichtverringern), wenn für den ganzen x und solchen y, dass x  y man f (x)  f (y) hat, so bewahrt f die Ordnung (sieh Abbildung 1). Ebenfalls wird eine Funktion monotonically genannt, der abnimmt (auch das Verringern oder Nichterhöhung), wenn, wann auch immer x  y, dann f (x)  f (y), so kehrt es die Ordnung um (sieh Abbildung 2).

Wenn die Ordnung  in der Definition des Monomuskeltonus durch die strenge Ordnung &lt ersetzt wird; dann erhält man eine stärkere Voraussetzung. Eine Funktion mit diesem Eigentum wird ausschließlich genannt zunehmend. Wieder, indem man das Ordnungssymbol umkehrt, findet man ein entsprechendes Konzept genannt ausschließlich abnehmend. Funktionen, die ausschließlich zunehmen oder abnehmen, sind isomorph (weil für x, der y, irgendein x nicht gleich

ist

Wenn Funktionen zwischen getrennten Sätzen in combinatorics betrachtet werden, ist es nicht immer offensichtlich, dass "Erhöhung" und "das Verringern" genommen werden, um die Möglichkeit einzuschließen, denselben Wert an aufeinander folgenden Argumenten zu wiederholen, so findet man, dass die Begriffe, die schwach zunehmen und schwach abnehmen diese Möglichkeit betonen.

Die Begriffe "Nichtverringern" und "Nichterhöhung" sollten mit den (viel schwächeren) negativen Qualifikationen "das nicht Verringern" und "die nicht Erhöhung" nicht verwirrt sein. Zum Beispiel fällt die Funktion der Abbildung 3 zuerst, erhebt sich dann, fällt dann wieder. Es nimmt deshalb nicht ab und nimmt nicht zu, aber es nimmt weder nichtab noch nimmt nichtzu.

Die Begriff-Monostärkungsmittel-Transformation kann auch vielleicht etwas Verwirrung verursachen, weil es sich auf eine Transformation nach einer ausschließlich zunehmenden Funktion bezieht. Namentlich ist das in der Volkswirtschaft in Bezug auf die Ordnungseigenschaften einer Dienstprogramm-Funktion der Fall, die über ein Monostärkungsmittel wird bewahrt, verwandeln sich (sieh auch Eintönigkeitseinstellungen).

Wie man

sagt, ist eine Funktion f (x) über einen Zwischenraum absolut monotonisch (a, b), wenn die Ableitungen aller Ordnungen von f an allen Punkten auf dem Zwischenraum nichtnegativ sind.

Einige grundlegende Anwendungen und Ergebnisse

Die folgenden Eigenschaften sind für eine monotonische Funktion f wahr: R  R:

• f hat Grenzen vom Recht und vom links an jedem Punkt seines Gebiets;
• f hat eine Grenze an der Unendlichkeit (entweder  oder −) entweder von einer reellen Zahl, , oder von

−.

• f kann nur Sprung-Diskontinuitäten haben;
• f kann nur zählbar viele Diskontinuitäten in seinem Gebiet haben.

Diese Eigenschaften sind der Grund, warum monotonische Funktionen in der technischen Arbeit in der Analyse nützlich sind. Zwei Tatsachen über diese Funktionen sind:

• wenn f eine monotonische Funktion ist, die auf einem Zwischenraum I definiert ist, dann ist f differentiable fast überall auf mir, d. h. dem Satz von Zahlen x in mir solch, dass f nicht differentiable in x ist, lässt Lebesgue Null messen.
• wenn f eine monotonische Funktion ist, die auf einem Zwischenraum [a, b] definiert ist, dann ist f Riemann integrable.

Eine wichtige Anwendung monotonischer Funktionen ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Wenn X eine zufällige Variable, seine kumulative Vertriebsfunktion ist

:F (x) = Prob (X ≤ x)

ist ein monotonically, der Funktion vergrößert.

Eine Funktion ist unimodal, wenn es monotonically ist, der bis zu einen Punkt (die Weise) und dann monotonically das Verringern vergrößert.

Wenn f eine ausschließlich monotonische Funktion ist, dann ist f auf seinem Gebiet bijektiv, und wenn T die Reihe von f ist, dann gibt es eine umgekehrte Funktion auf T für f.

Monomuskeltonus in der Funktionsanalyse

In der Funktionsanalyse auf einem topologischen Vektorraum X, (vielleicht nichtlinear) Maschinenbediener T: Wie man sagt, sind X  X ein Eintönigkeitsmaschinenbediener wenn

:

Der Lehrsatz von Kachurovskii zeigt, dass konvexe Funktionen auf Banachräumen monotonische Maschinenbediener als ihre Ableitungen haben.

Eine Teilmenge G X × X wird gesagt, ein Eintönigkeitssatz wenn für jedes Paar [u, w] und [u, w] in G, zu sein

:Wie man

sagt, ist G maximale Eintönigkeit, wenn es unter allen Eintönigkeitssätzen im Sinne der Satz-Einschließung maximal ist. Der Graph eines Eintönigkeitsmaschinenbedieners G (T) ist ein Eintönigkeitssatz. Wie man sagt, ist ein Eintönigkeitsmaschinenbediener maximale Eintönigkeit, wenn sein Graph ein maximaler Eintönigkeitssatz ist.

Monomuskeltonus in der Ordnungstheorie

Ordnungstheorie-Geschäfte mit willkürlichen teilweise bestellten Sätzen und vorbestellten Sätzen zusätzlich zu reellen Zahlen. Die obengenannte Definition des Monomuskeltonus ist in diesen Fällen ebenso wichtig. Jedoch werden die Begriffe "Erhöhung" und "das Verringern" vermieden, da ihre herkömmliche bildliche Darstellung für Ordnungen nicht gilt, die nicht ganz sind. Außerdem, die strengen Beziehungen

Eine Eintönigkeitsfunktion wird auch isotone genannt, oder. Der Doppelbegriff wird häufig Antiton, Antieintönigkeit oder Ordnungsumkehren genannt. Folglich befriedigt eine Antiton-Funktion f das Eigentum

: x ≤ y bezieht f (x) &ge ein; f (y),

für den ganzen x und y in seinem Gebiet. Es ist leicht zu sehen, dass die Zusammensetzung von zwei Eintönigkeit mappings auch Eintönigkeit ist.

Eine unveränderliche Funktion ist sowohl Eintönigkeit als auch Antiton; umgekehrt, wenn f sowohl Eintönigkeit als auch Antiton ist, und wenn das Gebiet von f ein Gitter ist, dann muss f unveränderlich sein.

Eintönigkeitsfunktionen sind in der Ordnungstheorie zentral. Sie erscheinen in den meisten Artikeln über das Thema, und Beispiele aus speziellen Anwendungen werden in diesen Plätzen gefunden. Einige bemerkenswerte spezielle Eintönigkeitsfunktionen sind Ordnung embeddings (Funktionen für der x  y wenn und nur wenn f (x)  f (y)), und bestellen Sie Isomorphismus (surjective bestellen embeddings).

Monomuskeltonus in der Informatik

In der Informatik ist Monomuskeltonus (auch genannt Konsistenz) eine auf heuristische Funktionen angewandte Bedingung. Ein heuristischer h (n) ist monotonisch, wenn, für jeden Knoten n und jeden Nachfolger n' n, der durch eine Handlung a erzeugt ist, die geschätzten Kosten, die Absicht von n zu erreichen, nicht größer sind als die Schritt-Kosten des Bekommens zu n' plus die geschätzten Kosten, die Absicht von n', zu erreichen

:

Das ist eine Form der Dreieck-Ungleichheit, mit n, n', und der Absicht G am nächsten an n. Weil jedes heuristische Monostärkungsmittel auch zulässig ist, ist Monomuskeltonus eine strengere Voraussetzung als Annehmbarkeit. In einigen heuristischen Algorithmen, solcher als *, kann der Algorithmus optimal betrachtet werden, wenn es monotonisch ist.

Funktionen von Boolean

In der Boolean Algebra ist eine monotonische Funktion ein solcher das für den ganzen a und b in {0,1}, wenn ein  b, ein  b..., ein  b, dann f (a..., a)  f (b..., b). Mit anderen Worten ist eine Funktion von Boolean monotonisch, wenn, für jede Kombination von Eingängen, einen der Eingänge vom falschen bis wahren schaltend, nur die Produktion veranlassen kann, vom falschen bis wahren und nicht vom wahren bis falschen umzuschalten. Grafisch bedeutet das, dass eine Funktion von Boolean wenn in seinem Diagramm von Hasse monotonisch ist (Doppel-seines Venn-Diagramms), gibt es Nr. 1 (roter Scheitelpunkt) verbunden mit höherem 0 (weißer Scheitelpunkt).

Die monotonischen Funktionen von Boolean sind genau diejenigen, die durch einen Ausdruck definiert werden können, der die Eingänge verbindet (der mehr erscheinen kann als, sobald) das Verwenden nur der Maschinenbediener und und oder (insbesondere nicht verboten wird). Zum Beispiel "mindestens zwei von a, b, halten c" ist eine monotonische Funktion von a, b, c, da er zum Beispiel als ((a und b) oder (a und c) oder (b und c)) geschrieben werden kann.

Die Zahl solcher Funktionen auf n Variablen ist als die Zahl von Dedekind von n bekannt.

Monotonische Logik

Der Monomuskeltonus von entailment ist ein Eigentum von vielen Logiksystemen, das feststellt, dass die Hypothesen jeder abgeleiteten Tatsache mit zusätzlichen Annahmen frei erweitert werden können. Jede wahre Behauptung in einer Logik mit diesem Eigentum setzt fort, sogar nach dem Hinzufügen neuer Axiome wahr zu sein. Die Logik mit diesem Eigentum kann monotonisch genannt werden, um sie von der nichtmonotonischen Logik zu unterscheiden.

Siehe auch

• Eintönigkeit Kubikinterpolation
• Pseudoeintönigkeitsmaschinenbediener
• Gesamtmonomuskeltonus

Referenzen

Bibliografie

• (Definition 9.31)

Außenverbindungen

• Konvergenz einer monotonischen Folge durch Anik Debnath und Thomas Roxlo (die Harker Schule), Wolfram-Demonstrationsprojekt.
• Definition einer Monotonischen Funktion von Wolfram Alpha