In der Mathematik, besonders in der Ordnungstheorie, sind Vorordnungen binäre Beziehungen, die reflexiv und transitiv sind. Die Namenquasiordnung wird auch für Vorordnungen allgemein verwendet. Alle teilweisen Ordnungen und Gleichwertigkeitsbeziehungen sind Vorordnungen, aber Vorordnungen sind allgemeiner.

Der Name 'Vorordnung' kommt aus der Idee, dass Vorordnungen 'fast' (teilweise) Ordnungen, aber nicht ganz sind; sie sind weder antisymmetrisch noch symmetrisch. Weil eine Vorordnung eine binäre Beziehung, das Symbol &le ist; kann als das notational Gerät für die Beziehung verwendet werden. Jedoch, weil sie, etwas von der gewöhnlichen Intuition nicht antisymmetrisch sind, die ein Student hinsichtlich des Symbols &le haben kann; kann nicht gelten. Andererseits kann eine Vorordnung auf eine aufrichtige Mode verwendet werden, um eine teilweise Ordnung und eine Gleichwertigkeitsbeziehung zu definieren. Das Tun ist so jedoch nicht immer nützlich oder abhängig vom Problem-Gebiet lohnend, das wird studiert.

In Wörtern, wenn ≤ b kann man sagen, dass b a bedeckt, oder dass b a vorangeht, oder dass b zu a abnimmt. Gelegentlich wird die Notation  oder statt ≤. verwendet

Zu jeder Vorordnung, dort entspricht ein geleiteter Graph, mit Elementen des Satzes entsprechend Scheitelpunkten und der Ordnungsbeziehung zwischen Paaren von Elementen entsprechend den geleiteten Rändern zwischen Scheitelpunkten. Das gegenteilige ist nicht wahr: Die meisten geleiteten Graphen sind weder reflexiv noch transitiv. Bemerken Sie, dass, im Allgemeinen, die entsprechenden Graphen zyklische Graphen sein können: Vorordnungen können Zyklen in ihnen haben. Eine Vorordnung, die nicht mehr antisymmetrisch ist, hat Zyklen; es ist eine teilweise Ordnung, und entspricht einem geleiteten acyclic Graphen. Eine Vorordnung, die symmetrisch ist, ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung; davon kann als verloren die Richtungsanschreiber an den Rändern des Graphen gedacht werden. Im Allgemeinen kann eine Vorordnung viele getrennte Bestandteile haben. Das Diamantlemma ist ein wichtiges Ergebnis für bestimmte Arten von Vorordnungen.

Viele befehlen, dass theoretische Definitionen für teilweise bestellte Sätze zu Vorordnungen verallgemeinert werden können, aber die Extraanstrengung der Generalisation ist selten erforderlich.

Formelle Definition

Denken Sie einen Satz P und eine binäre Beziehung  auf P. Dann ist  eine Vorordnung oder Quasiordnung, wenn es reflexiv und, d. h., für den ganzen a, b und c in P transitiv ist, wir haben das:

:a  (reflexivity)

: wenn ein  b und b  c dann ein  c (transitivity)

Bemerken Sie, dass eine abwechselnde Definition der Vorordnung verlangt, dass die Beziehung irreflexive ist. Jedoch, weil dieser Artikel Vorordnungen als eine logische Erweiterung von nichtstrengen teilweisen Ordnungen untersucht, ist die aktuelle Definition intuitiver.

Ein Satz, der mit einer Vorordnung ausgestattet wird, wird einen vorbestellten Satz genannt.

Wenn eine Vorordnung auch, d. h. ein  b und b  ein Einbeziehen = b antisymmetrisch ist, dann ist es eine teilweise Ordnung.

Andererseits, wenn es symmetrisch ist, d. h. wenn ein  b b  a einbezieht, dann ist es eine Gleichwertigkeitsbeziehung.

Eine Vorordnung, die in allen Zusammenhängen bewahrt (d. h. durch alle Funktionen auf P respektiert wird) wird eine Vorkongruenz genannt.

Eine Vorkongruenz, die auch symmetrisch ist (d. h. ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung), ist eine Kongruenz-Beziehung.

Gleichwertig kann eine Vorordnung auf dem Satz P als eine Kategorie mit Gegenstand-Satz-P definiert werden, wo jeder homset höchstens ein Element hat (ein für Gegenstände, die, Null sonst verbunden sind).

Beispiele

• Die reachability Beziehung in jedem geleiteten Graphen (vielleicht Zyklen enthaltend), verursacht eine Vorordnung, wo x  y in der Vorordnung wenn und nur, wenn es einen Pfad von x bis y im geleiteten Graphen gibt. Umgekehrt ist jede Vorordnung die reachability Beziehung eines geleiteten Graphen (zum Beispiel, der Graph, der einen Rand von x bis y für jedes Paar (x, y) mit x  y) hat. Jedoch können viele verschiedene Graphen dieselbe Reachability-Vorordnung wie einander haben. Ebenso, reachability geleiteter acyclic Graphen, hat Graphen ohne Zyklen geleitet, verursacht teilweise bestellte Sätze (Vorordnungen, die ein zusätzliches Antisymmetrie-Eigentum befriedigen).
• Jeder begrenzte topologische Raum verursacht eine Vorordnung auf seinen Punkten, in dem x  y wenn und nur wenn x jeder Nachbarschaft von y gehört, und jede begrenzte Vorordnung als die Spezialisierungsvorordnung eines topologischen Raums auf diese Weise gebildet werden kann. D. h. es gibt 1 zu 1 Ähnlichkeit zwischen begrenzten Topologien und begrenzten Vorordnungen. Jedoch ist die Beziehung zwischen unendlichen topologischen Räumen und ihren Spezialisierungsvorordnungen nicht 1 zu 1.
• Ein Netz ist eine geleitete Vorordnung, d. h. jedes Paar von Elementen hat einen gebundenen oberen. Die Definition der Konvergenz über Netze ist in der Topologie wichtig, wo Vorordnungen durch teilweise bestellte Sätze nicht ersetzt werden können, ohne wichtige Eigenschaften zu verlieren.
• Die durch iff definierte Beziehung, wo f eine Funktion in eine Vorordnung ist.
• Die Beziehung, die durch iff dort definiert ist, besteht etwas Einspritzung von x bis y. Einspritzung kann durch die Surjektion oder jeden Typ der Struktur bewahrenden Funktion, wie Ringhomomorphismus oder Versetzung ersetzt werden.
• Die Einbetten-Beziehung für die zählbare Gesamteinrichtung.
• Die mit dem Graphen geringe Beziehung in der Graph-Theorie.

In der Informatik kann man Beispiele der folgenden Vorordnungen finden.

• Die subtippenden Beziehungen sind gewöhnlich Vorordnungen.
• Simulierungsvorordnungen sind Vorordnungen (folglich der Name).
• Verminderungsbeziehungen in abstrakten Neuschreiben-Systemen.

Beispiel einer Gesamtvorordnung:

• Vorliebe, gemäß allgemeinen Modellen.

Aufbauten

Jede binäre Beziehung R auf einem Satz S kann zu einer Vorordnung auf S durch die Einnahme des transitiven Verschlusses und reflexiven Verschlusses, R erweitert werden. Der transitive Verschluss zeigt Pfad-Verbindung in R an: x R y wenn, und nur wenn es einen R-Pfad von x bis y gibt.

In Anbetracht einer Vorordnung auf S kann man eine Gleichwertigkeitsbeziehung ~ auf solchem S dass ein ~ b wenn und nur wenn ein b und b a definieren. (Die resultierende Beziehung ist reflexiv, da eine Vorordnung reflexiv, durch die Verwendung transitivity der Vorordnung zweimal, und symmetrisch definitionsgemäß transitiv ist.)

Mit dieser Beziehung ist es möglich, eine teilweise Ordnung auf dem Quotient-Satz der Gleichwertigkeit, S / ~, dem Satz aller Gleichwertigkeitsklassen von ~ zu bauen. Bemerken Sie, dass, wenn die Vorordnung R, S / ist, ~ der Satz von R-Zyklus-Gleichwertigkeitsklassen ist: x  [y] wenn, und nur wenn x = y oder x in einem R-Zyklus mit y sind. Jedenfalls auf S / ~ können wir [x]  [y] wenn und nur wenn x y definieren. Durch den Aufbau von ~ ist diese Definition der gewählten Vertreter unabhängig, und die entsprechende Beziehung ist tatsächlich bestimmt. Es wird sogleich nachgeprüft, dass das einen teilweise bestellten Satz nachgibt.

Umgekehrt aus einer teilweisen Ordnung auf einer Teilung eines Satzes S kann man eine Vorordnung auf S bauen. Es gibt 1 zu 1 Ähnlichkeit zwischen Vorordnungen und Paaren (Teilung, teilweise Ordnung).

Für eine Vorordnung"" hat eine Beziehung "b und nicht b a), oder gleichwertig, mit der Gleichwertigkeitsbeziehung oben, (ein b und nicht ein ~ b) eingeführt. Es ist eine strenge teilweise Ordnung; jede strenge teilweise Ordnung kann das Ergebnis solch eines Aufbaus sein. Wenn die Vorordnung, folglich eine teilweise Ordnung " antisymmetrisch ist "die Gleichwertigkeit Gleichheit, so die Beziehung"", eine Beziehung" b und ein  b) ist. Das Ergebnis ist die reflexive Verminderung der Vorordnung. Jedoch, wenn die Vorordnung nicht antisymmetrisch ist, ist das Ergebnis nicht transitiv, und wenn es ist, wie wir gesehen haben, ist es dasselbe wie zuvor.)

Umgekehrt haben wir einen b wenn und nur wenn"; "" kann für eine Vorordnung verwirrend sein, die nicht antisymmetrisch ist, kann er darauf hinweisen, dass ein  b andeutet, dass "dieselbe Beziehung" geben kann, "kann von" und ~ nicht wieder aufgebaut werden.

• Definieren Sie einen b als "nicht b, und ~ sind im Allgemeinen nicht transitiv; jedoch, wenn sie sind, ist ~ eine Gleichwertigkeit; in diesem Fall" b ist der Zwischenraum [a, b] der Satz von Punkten x Zufriedenheit eines x und x b, auch schriftlich ein x b. Es enthält mindestens die Punkte a und b. Man kann beschließen, die Definition allen Paaren (a, b) zu erweitern. Die Extrazwischenräume sind alle leer.

Das Verwenden der entsprechenden strengen Beziehung"