In der Ringtheorie oder abstrakten Algebra ist ein Ringhomomorphismus eine Funktion zwischen zwei Ringen, die die Operationen der Hinzufügung und Multiplikation respektiert.

Genauer, wenn R und S Ringe sind, dann ist ein Ringhomomorphismus eine Funktion f: R  S solch dass

• f (+ b) = f (a) + f (b) für den ganzen a und b in R
• f (ab) = f (a) f (b) für den ganzen a und b in R
• f (1) = 1

Natürlich, wenn man nicht verlangt, dass Ringe eine multiplicative Identität dann haben, ist die letzte Bedingung fallen gelassen.

Die Zusammensetzung von zwei Ringhomomorphismus ist ein Ringhomomorphismus. Hieraus folgt dass die Klasse aller Ringe eine Kategorie mit dem Ringhomomorphismus als der morphisms (vgl die Kategorie von Ringen) bildet.

Eigenschaften

Direkt aus diesen Definitionen kann man ableiten:

• f (0) = 0
• f (−a) = −f (ein)
• Wenn ein Haben eines multiplicative Gegenteils in R, dann hat f (a) ein multiplicative Gegenteil in S und wir f (a) = (f (a)) haben. Deshalb veranlasst f einen Gruppenhomomorphismus von der (multiplicative) Gruppe von Einheiten von R zur (multiplicative) Gruppe von Einheiten von S.
• Der Kern von f, definiert als ker (f) = {in R: f (a) = ist 0\ein Ideal in R. Jedes Ideal in einem Ersatzring R entsteht aus einem Ringhomomorphismus auf diese Weise. Für Ringe mit der Identität ist der Kern eines Ringhomomorphismus ein Subring ohne Identität.
• Der Homomorphismus f ist injective wenn und nur wenn der ker (f) = {0}.
• Das Image von f, im (f), ist ein Subring von S.
• Wenn f bijektiv ist, dann ist sein Gegenteil f auch ein Ringhomomorphismus. f wird einen Isomorphismus in diesem Fall genannt, und die Ringe R und S werden isomorph genannt. Von der Einstellung der Ringtheorie können isomorphe Ringe nicht bemerkenswert sein.
• Wenn dort ein Ringhomomorphismus f besteht: R  S dann teilt die Eigenschaft von S die Eigenschaft von R. Das kann manchmal verwendet werden, um zu zeigen, dass zwischen bestimmten Ringen R und S kein Ringhomomorphismus R  S bestehen kann.
• Wenn R der kleinste in R enthaltene Subring ist und S der kleinste in S enthaltene Subring, dann jeder Ringhomomorphismus f ist: R  veranlasst S einen Ringhomomorphismus f: R  S.
• Wenn R ein Feld ist, dann ist f entweder injective oder f ist die Nullfunktion. Bemerken Sie, dass f nur die Nullfunktion sein kann, wenn S ein trivialer Ring ist, oder wenn wir nicht verlangen, dass f die multiplicative Identität bewahrt.
• Wenn sowohl R als auch S Felder sind (und f nicht die Nullfunktion ist), dann ist im (f) ein Teilfeld von S, so setzt das eine Felderweiterung ein.
• Wenn R und S auswechselbar sind und S keine Nullteiler hat, dann ist ker (f) ein Hauptideal von R.
• Wenn R und S auswechselbar sind, ist S ein Feld, und f ist surjective, dann ist ker (f) ein maximales Ideal von R.
• Für jeden Ring R gibt es einen einzigartigen Ringhomomorphismus Z  R. Das sagt, dass der Ring von ganzen Zahlen ein anfänglicher Gegenstand in der Kategorie von Ringen ist.

Beispiele

• Die Funktion f: Z  Z definiert durch f (a) = = ist ein mod n ein Surjective-Ringhomomorphismus mit dem Kern nZ (sieh Modularithmetik).
• Es gibt keinen Ringhomomorphismus Z  Z für n > 1.
• Wenn R [X] den Ring aller Polynome in der Variable X mit Koeffizienten in den reellen Zahlen R anzeigt, und C die komplexen Zahlen, dann die Funktion f anzeigt: R [X] ist  C definiert durch f (p) = p (i) (setzen die imaginäre Einheit i für die Variable X im Polynom p ein), ein Surjective-Ringhomomorphismus. Der Kern von f besteht aus allen Polynomen in R [X], die durch X + 1 teilbar sind.
• Wenn f: R  ist S ein Ringhomomorphismus zwischen den Ersatzringen R, und S dann veranlasst f einen Ringhomomorphismus zwischen den Matrixringen M(R)  M (S).

Typen des Ringhomomorphismus

Ein bijektiver Ringhomomorphismus wird einen Ringisomorphismus genannt. Ein Ringhomomorphismus, dessen Gebiet dasselbe als seine Reihe ist, wird einen Ringendomorphismus genannt. Ein Ring automorphism ist ein bijektiver Endomorphismus.

Ringhomomorphismus von Injective ist zu monomorphisms in der Kategorie von Ringen identisch: Wenn f:RS ein monomorphism ist, der nicht injective ist, dann sendet er einen r und r zu demselben Element von S. Denken Sie die zwei Karten g und g von Z [x] zu R der Karte x zu r und r beziehungsweise; f g und f g sind identisch, aber da f ein monomorphism ist, ist das unmöglich.

Jedoch, surjective Ringhomomorphismus sind von epimorphisms in der Kategorie von Ringen gewaltig verschieden. Zum Beispiel ist die Einschließung Z  Q ein Ring epimorphism, aber nicht eine Surjektion. Jedoch sind sie genau dasselbe als der starke epimorphisms.

Zeichen

• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebra, Ringe und Module. Band 1. 2004. Springer, 2004. Internationale Standardbuchnummer 1-4020-2690-0

Siehe auch

• Homomorphismus