In der abstrakten Algebra ist ein Nichtnullelement eines Rings ein linker Nullteiler, wenn dort eine solche Nichtnull b dass ab = 0 besteht. Ähnlich ist ein Nichtnullelement eines Rings ein richtiger Nullteiler, wenn dort eine solche Nichtnull c dass ca = 0 besteht. Ein Element, das sowohl ein linker als auch ein richtiger Nullteiler ist, wird einfach einen Nullteiler genannt. Wenn die Multiplikation im Ring auswechselbar ist, dann sind der verlassene und die richtigen Nullteiler dasselbe. Ein Nichtnullelement eines Rings, der weder ein linker noch richtiger Nullteiler ist, wird regelmäßig genannt.

Beispiele

• Der Ring Z ganzer Zahlen hat keine Nullteiler, aber im Ring Z × Z mit der componentwise Hinzufügung und Multiplikation, (0,1) · (1,0) = (0,0), so sowohl (0,1) als auch (1,0) sind Nullteiler.
• Ein Beispiel eines Nullteilers im Ring 2 durch 2 matrices ist die Matrix

2&2 \end {pmatrix} </Mathematik>

weil zum Beispiel

2&2 \end {pmatrix }\\cdot\begin {pmatrix} 1&1 \\

-1&-1 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} -2&1 \\

-2&1 \end {pmatrix }\\cdot\begin {pmatrix} 1&1 \\

2&2 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 0&0 \\

0&0 \end {pmatrix}. </Mathematik>

• Mehr allgemein im Ring von n-by-n fallen matrices über ein Feld, den verlassenen und die richtigen Nullteiler zusammen; sie sind genau der einzigartige Nichtnullmatrices. Im Ring von n-by-n matrices über ein integriertes Gebiet sind die Nullteiler genau die Nichtnull matrices mit der bestimmenden Null.
• Hier ist ein Beispiel eines Rings mit einem Element, das ein Nullteiler auf einer Seite nur ist. Lassen Sie S der Satz aller Folgen von ganzen Zahlen (a, a...) sein. Nehmen Sie für den Ring alle zusätzlichen Karten von S bis S, mit der pointwise Hinzufügung und Zusammensetzung als die Ringoperationen. (D. h. unser Ring ist Ende (S), die Endomorphismen der zusätzlichen Gruppe S.) Drei Beispiele von Elementen dieses Rings sind die richtige Verschiebung R (a, a, a...) = (0, a, a...), die linke Verschiebung L (a, a, a...) = (a, a...), und eine dritte zusätzliche Karte T (a, a, a...) = (a, 0, 0...) . Alle drei dieser zusätzlichen Karten sind nicht Null, und der Zusammensetzungs-LEUTNANT und TR sind sowohl Null, so ist L ein linker Nullteiler als auch R, ist ein richtiger Nullteiler im Ring von zusätzlichen Karten von S bis S. Jedoch ist L nicht ein richtiger Nullteiler und R sind nicht ein linker Nullteiler: Der zerlegbare LR ist die Identität so, wenn eine zusätzliche Karte f von S bis S fL = befriedigt, muss das 0 dann Bestehen beider Seiten dieser Gleichung rechts mit R-Shows (fL) R = f (LR) = f1 = f 0, und ähnlich sein, wenn ein f Rf = befriedigt, zeigt das 0 dann Bestehen beider Seiten links mit L, dass f 0 ist.

mit diesem Beispiel weitermachen, bemerken Sie, dass, während RL ein linker Nullteiler ist ((RL) T = R (LEUTNANT) ist 0, weil LEUTNANT ist), LR nicht ein ist

Nullteiler auf beiden Seiten, weil es die Identität ist.

Konkret können wir zusätzliche Karten von S bis S als zählbar unendlicher matrices interpretieren. Die Matrix

0 & 1 & 0 &0&0& \\

0 & 0 & 1 &0&0& \cdots \\

0 & 0 & 0 &1&0& \\

0&0&0&0&1& \\

&& \vdots&&&\ddots

\end {pmatrix} </Mathematik>

begreift L ausführlich (gerade wenden die Matrix auf einen Vektoren an und sehen, dass die Wirkung genau eine linke Verschiebung ist)

und das Umstellen B = A begreift die richtige Verschiebung auf S. Das AB ist die Identitätsmatrix, ist dasselbe sagend, dass LR die Identität ist.

Insbesondere als matrices ist A ein linker Nullteiler, aber nicht ein richtiger Nullteiler.

Eigenschaften

Verlassen oder richtige Nullteiler kann Einheiten, weil wenn nie sein invertible und ab = 0, dann 0 = a0 = aab = b zu sein.

Jede Nichtnull idempotent Element ein  1 ist ein Nullteiler, seit = ein Einbeziehen (&minus; 1) = (&minus; 1) = 0. Nichtnull nilpotent Ringelemente ist auch trivial Nullteiler.

Ein Ersatzring mit 0  1 und ohne Nullteiler wird ein integriertes Gebiet genannt.

Nullteiler kommen im Quotient-RingZ/nZ vor, wenn, und nur wenn n zerlegbar ist. Wenn n erst ist, gibt es keine Nullteiler, und dieser Ring, ist tatsächlich, ein Feld, wie jedes Nichtnullelement eine Einheit ist.

Nullteiler kommen auch im sedenions oder 16-dimensionalen hyperkomplizierten Zahlen unter dem Aufbau von Cayley-Dickson vor.

Der Satz von Nullteilern ist die Vereinigung der verbundenen Hauptideale des Rings.

Siehe auch

• Integriertes Gebiet
• Nullprodukt-Eigentum
• Teiler (rufen Theorie an)

Zeichen

• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebra, Ringe und Module. Band 1. 2004. Springer, 2004. Internationale Standardbuchnummer 1-4020-2690-0