In der Kategorie-Theorie, einem abstrakten Zweig der Mathematik, ist ein anfänglicher Gegenstand einer Kategorie C ein Gegenstand I in solchem C, dass für jeden Gegenstand X in C, dort genau ein morphism I  X besteht. Der Doppelbegriff ist der eines Endgegenstands (auch genannt Endelement): T ist letzt, wenn für jeden Gegenstand X in C dort ein einzelner morphism besteht, werden X  Gegenstände von T. Initial auch coterminal genannt, oder universale und letzte Gegenstände werden auch endgültig genannt.

Wenn ein Gegenstand sowohl Initiale als auch Terminal ist, wird es einen Nullgegenstand oder ungültigen Gegenstand genannt.

Beispiele

• Der leere Satz ist der einzigartige anfängliche Gegenstand in der Kategorie von Sätzen; jeder Ein-Element-Satz (Singleton) ist ein Endgegenstand in dieser Kategorie; es gibt keine Nullgegenstände.
• Ähnlich ist der leere Raum der einzigartige anfängliche Gegenstand in der Kategorie von topologischen Räumen; jeder Ein-Punkt-Raum ist ein Endgegenstand in dieser Kategorie.
• In der Kategorie Rel von Sätzen und Beziehungen ist der leere Satz der einzigartige Nullgegenstand.
• In der Kategorie von nichtleeren Sätzen gibt es keine anfänglichen Gegenstände. Der Singleton ist nicht anfänglich: Während jeder nichtleere Satz eine Funktion von einem Singleton zulässt, ist diese Funktion im Allgemeinen nicht einzigartig.
• In der Kategorie von spitzen Sätzen (dessen Gegenstände nichtleere Sätze zusammen mit einem ausgezeichneten Element sind; ein morphism von dazu, eine Funktion mit zu sein, ist jeder Singleton ein Nullgegenstand. Ähnlich in der Kategorie von spitzen topologischen Räumen ist jeder Singleton ein Nullgegenstand.
• In der Kategorie von Halbgruppen ist die leere Halbgruppe der einzigartige anfängliche Gegenstand, und jede Singleton-Halbgruppe ist ein Endgegenstand. Es gibt keine Nullgegenstände. In der Unterkategorie von monoids, jedoch, ist jeder triviale monoid (aus nur dem Identitätselement bestehend), ein Nullgegenstand.
• In der Kategorie von Gruppen ist jede triviale Gruppe ein Nullgegenstand. Es gibt Nullgegenstände auch für die Kategorie von abelian Gruppen, Kategorie von Pseudoringen Rng (trivialer Ring), Kategorie von Modulen über einen Ring und Kategorie von Vektorräumen über ein Feld; sieh Nullgegenstand (Algebra) für Details. Das ist der Ursprung des Begriffes "Nullgegenstand".
• In der Kategorie von Ringen mit der Einheit und Einheitsbewahrung morphisms ist der Ring von ganzen Zahlen Z ein anfänglicher Gegenstand. Der triviale Ring, der nur aus einem einzelnen Element 0=1 besteht, ist ein Endgegenstand.
• In der Kategorie von Feldern gibt es keine anfänglichen oder letzten Gegenstände. Jedoch in der Unterkategorie von Feldern der Eigenschaft bildet das Hauptfeld der Eigenschaft einen anfänglichen Gegenstand.
• Jeder teilweise bestellte Satz kann als eine Kategorie interpretiert werden: Die Gegenstände sind die Elemente, und es gibt einen einzelnen morphism von zu wenn und nur wenn. Diese Kategorie hat einen anfänglichen Gegenstand, wenn, und nur wenn kleinstes Element hat; es hat einen Endgegenstand, wenn, und nur wenn ein größtes Element hat.
• Wenn ein monoid als eine Kategorie mit einem einzelnen Gegenstand betrachtet wird, ist dieser Gegenstand kein anfänglich oder letzt, wenn der monoid nicht trivial ist, in welchem Fall es beide sind.
• In der Kategorie von Graphen ist der ungültige Graph, keine Scheitelpunkte noch Ränder enthaltend, ein anfänglicher Gegenstand. Wenn Schleifen erlaubt werden, dann ist der Graph mit einem einzelnen Scheitelpunkt und einer Schleife letzt. Die Kategorie von einfachen Graphen hat keinen Endgegenstand.
• Ähnlich hat die Kategorie aller kleinen Kategorien mit functors als morphisms die leere Kategorie als anfänglicher Gegenstand und die Kategorie 1 (mit einem einzelnen Gegenstand und morphism) als Endgegenstand.
• Jeder topologische Raum kann als eine Kategorie durch die Einnahme der offenen Sätze als Gegenstände und ein einzelner morphism zwischen zwei offenen Sätzen und wenn und nur wenn angesehen werden. Der leere Satz ist der anfängliche Gegenstand dieser Kategorie, und ist der Endgegenstand. Das ist ein spezieller Fall des Falls "teilweise bestellter Satz" hat oben erwähnt. Nehmen Sie den Satz von offenen Teilmengen.
• Wenn ein topologischer Raum (angesehen als eine Kategorie als oben) ist und eine kleine Kategorie ist, können wir die Kategorie der ganzen Kontravariante functors von zu, mit natürlichen Transformationen als morphisms bilden. Diese Kategorie wird die Kategorie von Vorbündeln auf X mit Werten in C genannt. Wenn einen anfänglichen Gegenstand hat, dann ist der unveränderliche functor, der jeden offenen Satz daran sendet, ein anfänglicher Gegenstand in der Kategorie von Vorbündeln. Ähnlich, wenn einen Endgegenstand hat, dann dient der entsprechende unveränderliche functor als ein Endvorbündel.
• In der Kategorie von Schemas ist Spekulation (Z) das Hauptspektrum des Rings von ganzen Zahlen ein Endgegenstand. Das leere Schema (gleich dem Hauptspektrum des trivialen Rings) ist ein anfänglicher Gegenstand.
• Wenn wir einen Homomorphismus von abelian Gruppen befestigen, können wir die Kategorie denken, die aus allen Paaren besteht, wo eine abelian Gruppe ist und ein Gruppenhomomorphismus damit ist. Ein morphism vom Paar dem Paar wird definiert, um ein Gruppenhomomorphismus mit dem Eigentum zu sein. Der Kern von ƒ ist ein Endgegenstand in dieser Kategorie; das ist nichts als eine neue Darlegung des universalen Eigentums von Kernen. Mit einem analogen Aufbau kann der cokernel von ƒ als ein anfänglicher Gegenstand einer passenden Kategorie gesehen werden.
• In der Kategorie von Interpretationen eines algebraischen Modells ist der anfängliche Gegenstand die anfängliche Algebra, die Interpretation, die so viele verschiedene Gegenstände zur Verfügung stellt, wie das Modell erlaubt und nicht mehr.

Eigenschaften

Existenz und Einzigartigkeit

Anfängliche und letzte Gegenstände sind nicht erforderlich, in einer gegebenen Kategorie zu bestehen. Jedoch, wenn sie wirklich bestehen, sind sie im Wesentlichen einzigartig. Spezifisch, wenn ich und ich zwei verschiedene anfängliche Gegenstände sind, dann gibt es einen einzigartigen Isomorphismus zwischen ihnen. Außerdem, wenn ich ein anfänglicher Gegenstand dann ein Gegenstand isomorph dazu bin, bin mir auch ein anfänglicher Gegenstand. Dasselbe ist für Endgegenstände wahr.

Für ganze Kategorien gibt es einen Existenz-Lehrsatz für anfängliche Gegenstände. Spezifisch (lokal klein) hat ganze Kategorie C einen anfänglichen Gegenstand, wenn, und nur wenn dort ein Satz I (nicht eine richtige Klasse) und eine I-indexed Familie (K) Gegenstände von C solch das für jeden Gegenstand X von C dort mindestens ein morphism K  X für einige ich  I bestehen.

Gleichwertige Formulierungen

Endgegenstände in einer Kategorie C können auch als colimits vom einzigartigen leeren Diagramm   C definiert werden. Da die leere Kategorie ausdruckslos eine getrennte Kategorie ist, kann von einem Endgegenstand als ein leeres Produkt gedacht werden (ein Produkt ist tatsächlich der colimit des getrennten Diagramms {X_i}, im Allgemeinen). Doppel-ist ein anfänglicher Gegenstand eine Grenze des leeren Diagramms   C und kann als ein leerer coproduct oder kategorische Summe gedacht werden.

Hieraus folgt dass jeder functor, der Grenzen bewahrt, Endgegenstände in Endgegenstände bringen wird, und jeder functor, der colimits bewahrt, anfängliche Gegenstände bringen wird, Gegenstände abzuzeichnen. Zum Beispiel wird der anfängliche Gegenstand in jeder konkreten Kategorie mit freien Gegenständen der freie Gegenstand sein, der durch den leeren Satz erzeugt ist (da der freie functor, adjoint zum vergesslichen functor verlassen, um Unterzugehen, colimits bewahrt).

Anfängliche und letzte Gegenstände können auch in Bezug auf universale Eigenschaften und adjoint functors charakterisiert werden. Lassen Sie 1 die getrennte Kategorie mit einem einzelnen Gegenstand sein (angezeigt dadurch ·), und lassen U: C  1, der einzigartige (unveränderliche) functor zu 1 sein. Dann

• Ein anfänglicher Gegenstand I in C ist ein universaler morphism davon · zu U. Der functor, der sendet · zu wird mir adjoint zu U verlassen.
• Ein Endgegenstand T in C ist ein universaler morphism von U bis ·. Der functor, der sendet · zu T ist richtiger adjoint zu U.

Beziehung zu anderen kategorischen Aufbauten

Viele natürliche Aufbauten in der Kategorie-Theorie können formuliert werden, in Bezug auf einen anfänglichen oder letzten Gegenstand in einer passenden Kategorie zu finden.

• Ein universaler morphism von einem Gegenstand X zu einem functor U kann als ein anfänglicher Gegenstand in der Komma-Kategorie (X  U) definiert werden. Doppel-ist ein universaler morphism von U bis X ein Endgegenstand in (U  X).
• Die Grenze eines Diagramms F ist ein Endgegenstand im Kegel (F) die Kategorie von Kegeln zu F. Doppel-ist ein colimit von F ein anfänglicher Gegenstand in der Kategorie von Kegeln von F.
• Eine Darstellung eines functor F, um Unterzugehen, ist ein anfänglicher Gegenstand in der Kategorie von Elementen von F.

Andere Eigenschaften

• Der Endomorphismus monoid einer Initiale oder Terminals wendet ein, dass ich trivial bin: Ende (I) = Hom (ich, I) = {id}.
• Wenn eine Kategorie C einen Nullgegenstand 0 dann für ein Paar von Gegenständen X und Y in C hat, ist die einzigartige Komposition X  0  Y eine Null morphism von X bis Y.

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Dieser Artikel basiert teilweise auf dem Artikel von PlanetMath über Beispiele von anfänglichen und letzten Gegenständen.