In verschiedenen Zweigen der Mathematik wird ein nützlicher Aufbau häufig als die "effizienteste Lösung" eines bestimmten Problems angesehen. Die Definition eines universalen Eigentums verwendet die Sprache der Kategorie-Theorie, diesen Begriff genau zu machen und es abstrakt zu studieren.

Dieser Artikel gibt eine allgemeine Behandlung von universalen Eigenschaften. Um das Konzept zu verstehen, ist es nützlich, mehrere Beispiele zuerst zu studieren, von denen es viele gibt: Alle freien Gegenstände, direktes Produkt und direkte Summe, freie Gruppe, freies Gitter, Gruppe von Grothendieck, Produkttopologie, Stein-Čech compactification, Tensor-Produkt, beschränkt Gegenteil und direkte Grenze, Kern und cokernel, Hemmnis, pushout und Equalizer.

Motivation

Vor dem Geben einer formellen Definition von universalen Eigenschaften bieten wir eine Motivation an, um solche Aufbauten zu studieren.

• Die konkreten Details eines gegebenen Aufbaus können unordentlich sein, aber wenn der Aufbau ein universales Eigentum befriedigt, kann man alle jene Details vergessen: Alle dort sind, über die Konstruktion zu wissen, wird bereits im universalen Eigentum enthalten. Beweise werden häufig kurz und elegant, wenn das universale Eigentum aber nicht die konkreten Details verwendet wird. Zum Beispiel ist die Tensor-Algebra eines Vektorraums ein bisschen schmerzhaft, um wirklich zu bauen, aber das Verwenden seines universalen Eigentums macht es viel leichter sich zu befassen.
• Universale Eigenschaften definieren Gegenstände einzigartig bis zum Isomorphismus. Deshalb ist eine Strategie zu beweisen, dass zwei Gegenstände isomorph sind, zu zeigen, dass sie dasselbe universale Eigentum befriedigen.
• Universale Aufbauten sind functorial in der Natur: Wenn man den Aufbau für jeden Gegenstand in einer Kategorie C dann ausführen kann, erhält man einen functor auf C. Außerdem ist dieser functor ein Recht oder verlassener adjoint zum functor U verwendet in der Definition des universalen Eigentums.
• Universale Eigenschaften kommen überall in der Mathematik vor. Indem man ihre abstrakten Eigenschaften versteht, erhält man Information über alle diese Aufbauten und kann vermeiden, dieselbe Analyse für jedes individuelle Beispiel zu wiederholen.

Formelle Definition

Nehmen Sie dass U an: D  ist C ein functor von einer Kategorie D zu einer Kategorie C, und lassen Sie X ein Gegenstand von C sein. Denken Sie die folgenden (entgegengesetzten) Doppelbegriffe:

Eine Initiale morphism von X bis U ist ein anfänglicher Gegenstand in der Kategorie von morphisms von X bis U. Mit anderen Worten besteht es aus einem Paar (A, φ), wo A ein Gegenstand von D und φ ist: X  U (A) sind ein morphism in C, solch, dass das folgende anfängliche Eigentum zufrieden ist:

• Wann auch immer Y ein Gegenstand von D und f ist: X  U (Y) sind ein morphism in C, dann dort besteht ein einzigartiger morphism g: Ein  Y solch, dass das folgende Diagramm pendelt:

Ein Terminal morphism von U bis X ist ein Endgegenstand in der Komma-Kategorie von morphisms von U bis X. Mit anderen Worten besteht es aus einem Paar (A, φ), wo A ein Gegenstand von D und φ ist: U (A)  X ist ein morphism in C, solch, dass das folgende Endeigentum zufrieden ist:

• Wann auch immer Y ein Gegenstand von D und f ist: U (Y)  X ist ein morphism in C, dann dort besteht ein einzigartiger morphism g: Y  Ein solcher, dass das folgende Diagramm pendelt:

Der Begriff, den universaler morphism entweder auf eine Initiale morphism oder auf ein Terminal morphism und den Begriff universales Eigentum verweist, bezieht sich entweder auf ein anfängliches Eigentum oder auf ein Endeigentum. In jeder Definition drückt die Existenz des morphism g intuitiv die Tatsache aus, die (A, φ) "allgemein genug ist", während die Einzigartigkeit des morphism sicherstellt, dass (A, φ) "nicht zu allgemein ist".

Dualität

Da die Begriffe der Initiale und des Terminals Doppel-sind, ist es häufig genug, um nur einen von ihnen und einfach Rückpfeile in C für die Doppeldiskussion zu besprechen. Wechselweise wird das universale Wort häufig im Platz von beiden Wörtern verwendet.

Zeichen: Einige Autoren können nur einen dieser Aufbauten einen universalen morphism und den anderen ein co-universal morphism nennen. Der ist, der vom Autor, obwohl abhängt, um mit dem Namengeben von Grenzen und colimits im Einklang stehend zu sein, sollte der letzte Aufbau universal und der ehemalige couniversal genannt werden. Dieser Artikel verwendet die eindeutige Fachsprache von anfänglichen und letzten Gegenständen.

Beispiele

Unten sind einige bearbeitete Beispiele, um die allgemeine Idee hervorzuheben. Der Leser kann viele andere Beispiele bauen, indem er die in der Einführung erwähnten Artikel befragt.

Tensor-Algebra

Lassen Sie C die Kategorie von Vektorräumen K-Vect' über Feld K sein und D die Kategorie von Algebra K-Alg' über K (angenommen sein zu lassen, unital und assoziativ zu sein). Lassen Sie

:U: K-Alg' → K-Vect'

seien Sie der vergessliche functor, der jeder Algebra seinen zu Grunde liegenden Vektorraum zuteilt.

In Anbetracht jedes Vektorraums V über K können wir die Tensor-Algebra T (V) V bauen. Die Tensor-Algebra wird durch die Tatsache charakterisiert:

: "Jede geradlinige Karte von V bis eine Algebra A kann zu einem Algebra-Homomorphismus von T (V) zu A." einzigartig erweitert werden

Diese Behauptung ist ein anfängliches Eigentum der Tensor-Algebra, da es die Tatsache dass das Paar (T (V), i), wo ich ausdrückt: V  T (V) sind die Einschließungskarte, ist eine Initiale morphism vom Vektorraum V zum functor U.

Seit dem Bauarbeiten für jeden Vektorraum V beschließen wir, dass T ein functor von K-Vect' zu K-Alg ist'. Das bedeutet, dass T adjoint zum vergesslichen functor U verlassen wird (sieh die Abteilung unten auf der Beziehung zu adjoint functors).

Produkte

Ein kategorisches Produkt kann durch ein Endeigentum charakterisiert werden. Für die Greifbarkeit kann man das Kartesianische Produkt im Satz, das direkte Produkt in Grp oder die Produkttopologie in der Spitze denken.

Lassen Sie X und Y Gegenstände einer Kategorie D sein. Das Produkt X und Y ist ein Gegenstand X × Y zusammen mit zwei morphisms

:π: X × Y → X

:π: X × Y → Y

solch dass für jeden anderen Gegenstand Z D und morphisms f: Z  X und g: Z  Y dort besteht ein einzigartiger morphism h: Z  X × Y solch dass f = π  h und g = π  h.

Um diese Charakterisierung als ein Endeigentum zu verstehen, nehmen wir die Kategorie C, um die Produktgruppe D &times zu sein; D und definieren die Diagonale functor

:Δ: D → D × D

durch Δ (X) = (X, X) und Δ (f: X  Y) = (f, f). Dann (X × Y, (π, π)) ist ein Terminal morphism von Δ bis den Gegenstand (X, Y) D × D. Das ist gerade eine Neuformulierung des obengenannten, da das Paar (f, g) einen (willkürlichen) morphism von Δ (Z) zu (X, Y) vertritt.

Grenzen und colimits

Kategorische Produkte sind eine besondere Art der Grenze in der Kategorie-Theorie. Man kann das obengenannte Beispiel zu willkürlichen Grenzen und colimits verallgemeinern.

Lassen Sie J und C Kategorien mit J eine kleine Index-Kategorie sein und C die entsprechende functor Kategorie sein zu lassen. Die Diagonale functor

:Δ: C  C

ist der functor, der jeden Gegenstand N in C zum unveränderlichen functor Δ (N) kartografisch darstellt: J  C zu N (d. h. Δ (N) (X) = N für jeden X in J).

In Anbetracht eines functor F: J  C (Gedanke als ein Gegenstand in C), die Grenze von F, wenn es besteht, ist nichts als ein Terminal morphism von Δ bis F. Doppel-ist der colimit von F eine Initiale morphism von F bis Δ.

Eigenschaften

Existenz und Einzigartigkeit

Das Definieren einer Menge versichert seine Existenz nicht. In Anbetracht eines functor kann U und eines Gegenstands X als oben, dort oder kann keine Initiale morphism von X bis U bestehen. Wenn, jedoch, eine Initiale morphism (A, φ) wirklich dann besteht, ist es im Wesentlichen einzigartig. Spezifisch ist es bis zu einem einzigartigen Isomorphismus einzigartig: wenn (A′ &prime) ist ein anderes solches Paar, dann dort besteht ein einzigartiger Isomorphismus k: Ein  A′ solch dass ′ = U (k) φ. Das wird durch das Ersetzen leicht gesehen (A′ &prime) für (Y, f) in der Definition des anfänglichen Eigentums.

Es ist das Paar (A, φ), der auf diese Mode im Wesentlichen einzigartig ist. Der Gegenstand selbst ist nur bis zum Isomorphismus einzigartig. Tatsächlich, wenn (A, φ) eine Initiale morphism und k ist: Ein  A′ ist jeder Isomorphismus dann das Paar (A′ &prime), wo ′ = U (k) φ, ist auch eine Initiale morphism.

Gleichwertige Formulierungen

Die Definition eines universalen morphism kann in einer Vielfalt von Wegen umformuliert werden. Lassen Sie U ein functor von D bis C sein, und X ein Gegenstand von C sein zu lassen. Dann sind die folgenden Behauptungen gleichwertig:

• (A, φ) ist eine Initiale morphism von X bis U
• (A, φ) ist ein anfänglicher Gegenstand der Komma-Kategorie (X  U)
• (A, φ) ist eine Darstellung von Hom (X, U-)

Die Doppelbehauptungen sind auch gleichwertig:

• (A, φ) ist ein Terminal morphism von U bis X
• (A, φ) ist ein Endgegenstand der Komma-Kategorie (U  X)
• (A, φ) ist eine Darstellung von Hom (U-, X)

Beziehung zu adjoint functors

Denken Sie (A, φ) ist eine Initiale morphism von X bis U und (A, φ) ist eine Initiale morphism von X bis U. Durch das anfängliche Eigentum, in Anbetracht jedes morphism h: X  X dort bestehen ein einzigartiger morphism g: Ein  Ein solcher, dass das folgende Diagramm pendelt:

Wenn jeder Gegenstand X von C eine Initiale morphism zu U zulassen, dann definiert die Anweisung und einen functor V von C bis D. Die Karten φ definieren dann eine natürliche Transformation von 1 (die Identität functor auf C) zu UV. Die functors (V, U) sind dann ein Paar von adjoint functors, mit V nach-links-adjoint zu U und U Recht-adjoint auf V.

Ähnliche Behauptungen gelten für die Doppelsituation des Terminals morphisms von U. Wenn solche morphisms für jeden X in C bestehen, erhält man einen functor V: C  D, der zu U richtig-adjoint ist (so ist U zu V nach-links-adjoint).

Tatsächlich entstehen alle Paare von adjoint functors aus universalen Aufbauten auf diese Weise. Lassen Sie F und G ein Paar von adjoint functors mit der Einheit η und Co-Einheit ε sein (sieh den Artikel über adjoint functors für die Definitionen). Dann haben wir einen universalen morphism für jeden Gegenstand in C und D:

• Für jeden Gegenstand X in C, (F (X), η) ist eine Initiale morphism von X bis G. D. h. für den ganzen f: X  G (Y) dort bestehen ein einzigartiger g: F (X)  Y, für den die folgenden Diagramme pendeln.
• Für jeden Gegenstand Y in D, (G (Y), ε) ist ein Terminal morphism von F bis Y. D. h. für den ganzen g: F (X) besteht  Y dort ein einzigartiger f: X  G (Y), für den die folgenden Diagramme pendeln.

Universale Aufbauten sind allgemeiner als adjoint functor Paare: Ein universaler Aufbau ist einem Optimierungsproblem ähnlich; es verursacht ein adjoint Paar, wenn, und nur wenn dieses Problem eine Lösung für jeden Gegenstand von C (gleichwertig, jeden Gegenstand von D) hat.

Geschichte

Universale Eigenschaften von verschiedenen topologischen Aufbauten wurden von Pierre Samuel 1948 präsentiert. Sie wurden später umfassend von Bourbaki verwendet. Das nah zusammenhängende Konzept von adjoint functors wurde unabhängig von Daniel Kan 1958 eingeführt.

Siehe auch

• Freier Gegenstand
• Monad (Kategorie-Theorie)
• Vielfalt von Algebra
• Kartesianische geschlossene Kategorie
• Paul Cohn, Universale Algebra (1981), D.Reidel Publishing, Holland. Internationale Standardbuchnummer 90-277-1213-1.
• Die Mac Lane, Saunders, Kategorien für den Arbeitsmathematiker 2. Hrsg. (1998), Absolvententexte in der Mathematik 5. Springer. Internationale Standardbuchnummer 0-387-98403-8.
• Borceux, F. Handbuch der Kategorischen Algebra: vol 1 Grundlegende Kategorie-Theorie (1994) Universität von Cambridge Presse, (Enzyklopädie der Mathematik und seiner Anwendungen) internationale Standardbuchnummer 0-521-44178-1
• N. Bourbaki, Livre II: Algèbre (1970), Hermann, internationale Standardbuchnummer 0201006391.
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. Eine Einführung in Gruppenringe. Algebra und Anwendungen, Band 1. Springer, 2002. Internationale Standardbuchnummer 9781402002380
• Jacobson. Grundlegende Algebra II. Dover. 2009. Internationale Standardbuchnummer 048647187X