In der mathematischen Disziplin der allgemeinen Topologie ist Stein-Čech compactification eine Technik, für eine universale Karte von einem topologischen Raum X zu einem Kompaktraum von Hausdorff βX zu bauen. Stein-Čech compactification βX eines topologischen Raums X ist der größte Kompaktraum von Hausdorff, der durch X, im Sinn dass jede Karte von X bis einen Kompaktraum von Hausdorff Faktoren durch "erzeugt" ist"

βX (auf eine einzigartige Weise). Wenn X ein Raum von Tychonoff dann ist, ist die Karte von X bis sein Image in βX ein homeomorphism, so X kann als ein (dichter) Subraum βX gedacht werden. Für allgemeine topologische Räume X braucht die Karte von X bis βX nicht injective zu sein.

Eine Form des Axioms der Wahl ist erforderlich zu beweisen, dass jeder topologische Raum Stein-Čech compactification hat. Sogar für ziemlich einfache Räume bleibt eine zugängliche konkrete Beschreibung dessen häufig schwer erfassbar. Insbesondere Beweise, der nichtleer ist, geben keine ausführliche Beschreibung keines besonderen Punkts darin.

Stein-Čech compactification kommt implizit in einem Vortrag davon vor und wurde ausführlich durch gegeben und.

Universales Eigentum und functoriality

βX ist ein Kompaktraum von Hausdorff zusammen mit einer dauernden Karte von X und hat das folgende universale Eigentum: jede dauernde Karte f: X  K, wo K ein Kompaktraum von Hausdorff ist, heben sich einzigartig zu einer dauernden Karte βf: βX  K.

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Wie für universale Eigenschaften, dieses universale Eigentum zusammen mit der Tatsache üblich ist, dass βX ein Kompaktraum von Hausdorff ist, der X enthält, charakterisiert βX bis zu homeomorphism.

Einige Autoren fügen die Annahme dass der Startraum hinzu, Tychonoff (oder sogar lokal kompakter Hausdorff) aus den folgenden Gründen sein:

• Die Karte von X bis sein Image in βX ist ein homeomorphism, wenn, und nur wenn X Tychonoff ist.
• Die Karte von X bis sein Image in βX ist ein homeomorphism zu einem offenen Subraum, wenn, und nur wenn X lokal kompakter Hausdorff ist.

Der Stein-Čech Aufbau kann für allgemeinere Räume X durchgeführt werden, aber die Karte X  βX braucht kein homeomorphism zum Image X zu sein (und ist manchmal nicht sogar injective).

Das Erweiterungseigentum macht einen functor von der Spitze (die Kategorie von topologischen Räumen) zu CHaus (die Kategorie von Kompakträumen von Hausdorff). Wenn wir lassen, sind die Einschließung functor von CHaus in die Spitze, Karten von zu (für in CHaus) entsprechen bijektiv zu Karten von zu (durch das Betrachten ihrer Beschränkung zu und das Verwenden des universalen Eigentums). d. h., was bedeutet, dass dem adjoint dazu verlassen wird. Das deutet an, dass CHaus eine reflektierende Unterkategorie der Spitze mit dem Reflektor ist.

Aufbauten

Aufbau mit Produkten

Ein Versuch, Stein-Čech compactification X zu bauen, soll den Verschluss des Images X in nehmen

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wo das Produkt über alle Karten von X ist, um Räume von Hausdorff C zusammenzupressen. Das arbeitet intuitiv, aber scheitert aus dem technischen Grund, dass die Sammlung aller dieser Karten eine richtige Klasse aber nicht ein Satz ist. Es gibt mehrere Weisen, diese Idee zu modifizieren, es arbeiten zu lassen; zum Beispiel kann man die Kompakträume von Hausdorff C einschränken, um zu Grunde liegenden Satz P (P (X)) zu haben (der Macht-Satz des Macht-Satzes X), der genug groß ist, dass es cardinality hat, der mindestens diesem jedes Kompaktsatzes von Hausdorff gleich ist, zu dem X mit dem dichten Image kartografisch dargestellt werden kann.

Aufbau mit dem Einheitszwischenraum

Eine Weise zu bauen ist, die Karte zu denken

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wo der Satz aller dauernden Funktionen von darin ist. Wie man sehen kann, ist das eine dauernde Karte auf sein Image, wenn die Produkttopologie gegeben wird. Durch den Lehrsatz von Tychonoff haben wir, der kompakt ist, da [0,1] ist, so ist der Verschluss darin ein compactification dessen.

Um nachzuprüfen, dass das Stein-Čech compactification ist, müssen wir gerade nachprüfen, dass es das passende universale Eigentum befriedigt. Wir tun das zuerst für, wo die gewünschte Erweiterung von f: X  [0,1] sind gerade der Vorsprung auf die Koordinate darin. Um dann das für allgemeinen kompakten Hausdorff zu bekommen, verwenden wir das obengenannte, um zu bemerken, dass das in einem Würfel eingebettet werden, jede der Koordinatenfunktionen erweitern kann und dann das Produkt dieser Erweiterungen nehmen.

Das spezielle Eigentum des für diesen Aufbau erforderlichen Einheitszwischenraums, um zu arbeiten, besteht darin, dass es ein cogenerator der Kategorie von Kompakträumen von Hausdorff ist: Das bedeutet dass, wenn f und g irgendwelche zwei verschiedenen Karten von Kompakträumen von Hausdorff zu B sind, dann gibt es eine Karte h von B bis [0,1] solch, dass hf und hg verschieden sind. Jeder andere cogenerator (oder Cogenerating-Satz) kann in diesem Aufbau verwendet werden.

Aufbau mit Ultrafiltern

Wechselweise, wenn getrennt ist, kann man als der Satz aller Ultrafilter auf mit einer als Steintopologie bekannten Topologie bauen. Die Elemente dessen entsprechen den Hauptultrafiltern.

Wieder prüfen wir das universale Eigentum nach: Für f: X  K mit kompaktem Hausdorff und einem Ultrafilter auf haben uns einen Ultrafilter an. Das hat eine einzigartige Grenze, weil, sagen wir, kompakt ist und wir definieren. Das kann nachgeprüft werden, um eine dauernde Erweiterung dessen zu sein.

Gleichwertig kann man den Steinraum der ganzen Algebra von Boolean aller Teilmengen X als der nehmen

Stein-Čech compactification. Das ist wirklich derselbe Aufbau, wie der Steinraum dieser Algebra von Boolean der Satz von Ultrafiltern (oder gleichwertig erste Ideale oder Homomorphismus zum 2 Element Algebra von Boolean) der Algebra von Boolean ist, die dasselbe als der Satz von Ultrafiltern auf X ist.

Der Aufbau kann zu willkürlichen Räumen von Tychonoff durch das Verwenden maximaler Filter von Nullsätzen statt Ultrafilter verallgemeinert werden. (Filter von geschlossenen Sätzen genügen, ob der Raum normal ist.)

Aufbau, der C*-algebras verwendet

Im Falle dass X ein völlig regelmäßiger Raum von Hausdorff ist, kann Stein-Čech compactification mit dem Spektrum von C (X) identifiziert werden. Hier C (X) zeigt C*-algebra aller dauernden begrenzten Funktionen auf X mit der Norm des Munds voll an. Bemerken Sie, dass C (X) die Vermehrer-Algebra von C (X) ist.

Stein-Čech compactification der natürlichen Zahlen

Im Fall, wo, z.B oder, das Image von Formen eine offene Teilmenge, oder tatsächlich jedes compactification lokal kompakt ist, (ist das auch eine notwendige Bedingung, weil ist eine offene Teilmenge eines Kompaktraums von Hausdorff lokal kompakt). In diesem Fall studiert man häufig den Rest des Raums. Das ist eine geschlossene Teilmenge dessen, und ist kompakt auch. Wir ziehen mit seiner getrennten Topologie in Betracht und schreiben (aber das scheint nicht, Standardnotation für den General zu sein).

Man kann als der Satz von Ultrafiltern auf mit der Topologie ansehen, die durch Sätze der Form dafür erzeugt ist. Der Satz entspricht dem Satz von Hauptultrafiltern und dem Satz zum Satz von freien Ultrafiltern.

Die leichteste Weise, das zu sehen, ist dazu isomorph ist zu zeigen, dass sie das universale Eigentum befriedigt. Weil mit kompaktem Hausdorff und einem Ultrafilter auf uns einen Ultrafilter, den pushforward dessen anhaben. Das hat eine einzigartige Grenze, sagen wir, weil kompakter Hausdorff ist, und wir definieren. Das kann sogleich nachgeprüft werden, um eine dauernde Erweiterung zu sein.

(Ein ähnlicher, aber ein bisschen beteiligterer Aufbau von Stein-Čech compactification als eine Reihe bestimmter maximaler Filter kann auch für einen Raum von General Tychonoff gegeben werden.)

Die Studie dessen, und insbesondere ist ein Hauptgebiet der modernen mit dem Satz theoretischen Topologie. Die Hauptergebnisse, die das motivieren, sind die Lehrsätze von Parovicenko, im Wesentlichen sein Verhalten unter der Annahme der Kontinuum-Hypothese charakterisierend.

Diese setzen fest:

• Jeder Kompaktraum von Hausdorff des Gewichts höchstens (sieh Zahl von Aleph), ist das dauernde Image (das braucht die Kontinuum-Hypothese nicht, aber ist in seiner Abwesenheit weniger interessant).
• Wenn die Kontinuum-Hypothese hält, dann ist der einzigartige Raum von Parovicenko bis zum Isomorphismus.

Diese wurden durch das Betrachten von Algebra von Boolean und die Verwendung der Steindualität ursprünglich bewiesen.

Kombi-Mühle von Jan hat als ein 'drei angeführtes Ungeheuer' — die drei Köpfe beschrieben, die ein Lächeln und freundlicher Kopf sind (das Verhalten unter der Annahme der Kontinuum-Hypothese), der hässliche Kopf der Unabhängigkeit, die ständig versucht, Sie zu verwirren (Bestimmung, welches Verhalten in verschiedenen Modellen der Mengenlehre möglich ist), und der dritte Kopf ist von allen am kleinsten (was Sie darüber in ZFC beweisen können). Es ist relativ kürzlich bemerkt worden, dass diese Charakterisierung nicht Recht hat - gibt es tatsächlich einen vierten Kopf dessen, in dem das Zwingen von Axiomen und Typ-Axiomen von Ramsey Eigenschaften fast diametrisch entgegengesetzten denjenigen laut der Kontinuum-Hypothese gibt, sehr wenige Karten von tatsächlich gebend. Beispiele dieser Axiome schließen die Kombination des Axioms von Martin und des Offenen sich färbenden Axioms ein, die zum Beispiel das beweisen, während die Kontinuum-Hypothese das Gegenteil einbezieht.

Eine Anwendung: der Doppelraum des Raums von begrenzten Folgen von reals

Stein-Čech compactification kann verwendet werden um (der Banachraum aller begrenzten Folgen im Skalarfeld R oder C, mit der Supremum-Norm) und sein Doppelraum zu charakterisieren.

In Anbetracht einer begrenzten Folge, dort besteht ein geschlossener Ball, der das Image enthält (ist eine Teilmenge des Skalarfeldes).

ist dann eine Funktion von dazu. Seitdem ist getrennt und

ist

kompakt und Hausdorff,

ist

dauernd. Gemäß dem universalen Eigentum, dort besteht eine einzigartige Erweiterung

.

Diese Erweiterung hängt vom Ball nicht ab, den wir denken.

Wir haben eine Erweiterungskarte vom Raum geschätzter Folgen des begrenzten Skalars zum Raum von dauernden Funktionen definiert.

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Diese Karte ist seit jeder Funktion in bijektiv

muss begrenzt werden und kann dann auf eine begrenzte Skalarfolge eingeschränkt werden.

Wenn wir weiter beide Räume mit der Norm des Munds voll denken, wird die Erweiterungskarte eine Isometrie. Tatsächlich,

wenn im Aufbau oben wir den kleinstmöglichen Ball nehmen, sehen wir, dass die Norm des Munds voll der verlängerten Folge nicht wächst (obwohl das Image der verlängerten Funktion größer sein kann).

So, kann mit identifiziert werden

. Das erlaubt uns, den Darstellungslehrsatz von Riesz zu verwenden und dass der Doppelraum von zu finden

kann mit dem Raum von begrenzten Maßnahmen von Borel darauf identifiziert werden.

Schließlich sollte es bemerkt werden, dass diese Technik zum Raum eines willkürlichen Maß-Raums verallgemeinert. Jedoch, anstatt einfach den Raum von Ultrafiltern auf zu denken, soll die richtige Weise, diesen Aufbau zu verallgemeinern, den Steinraum der Maß-Algebra denken: Die Räume und sind so C*-algebras isomorph, so lange eine angemessene Endlichkeitsbedingung befriedigt (dass jeder Satz des positiven Maßes eine Teilmenge des begrenzten positiven Maßes enthält).

Hinzufügung auf Stein-Čech compactification des naturals

Die natürlichen Zahlen bilden einen monoid unter der Hinzufügung. Es stellt sich heraus, dass diese Operation (auf mehr als eine Weise) erweitert werden kann zu, diesen Raum auch in einen monoid, obwohl eher überraschend ein nichtauswechselbarer drehend.

Für jede Teilmenge und definieren wir

:

In Anbetracht zwei Ultrafilter und auf definieren wir ihre Summe durch

:

es kann überprüft werden, dass das wieder ein Ultrafilter ist, und dass die Operation + assoziativ (aber nicht auswechselbar ist) darauf und die Hinzufügung darauf erweitert; 0 Aufschläge als ein neutrales Element für die Operation + darauf. Die Operation ist auch, im Sinn das für jeden Ultrafilter, die Karte richtig-dauernd

::ist

dauernd.

Siehe auch

• Ein Punkt compactification
• Wallman compactification
• Korona-Satz eines Raums, die Ergänzung seines Images in Stein-Čech compactification.

Zeichen

Links

• Bar-Natan von Dror, Ultrafilter, Kompaktheit und Stein-Čech compactification