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Hinzufügung

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Hinzufügung ist eine mathematische Operation, die sich verbindende Sammlungen von Gegenständen zusammen in eine größere Sammlung vertritt. Es wird durch das Pluszeichen (+) bedeutet. Zum Beispiel, im Bild rechts, gibt es 3 + 2 Äpfel — Bedeutung von drei Äpfeln und zwei anderen Äpfeln — der dasselbe als fünf Äpfel ist. Deshalb, 3 + 2 = 5. Außer dem Zählen von Früchten kann Hinzufügung auch das Kombinieren anderer physischer und abstrakter Mengen mit verschiedenen Arten von Zahlen vertreten: negative Zahlen, Bruchteile, irrationale Zahlen, Vektoren, Dezimalzahlen und mehr.

Hinzufügung folgt mehreren wichtigen Mustern. Es ist auswechselbar, bedeutend, dass Ordnung nicht von Bedeutung ist, und es assoziativ ist, bedeutend, dass, wenn man mehr als zwei Zahlen hinzufügt, Ordnung, in der Hinzufügung durchgeführt wird, nicht von Bedeutung ist (sieh Summierung). Wiederholte Hinzufügung von 1 ist dasselbe als das Zählen; Hinzufügung von 0 ändert keine Zahl. Hinzufügung folgt auch voraussagbaren Regeln bezüglich zusammenhängender Operationen wie Subtraktion und Multiplikation. Alle diese Regeln können bewiesen werden, mit der Hinzufügung von natürlichen Zahlen anfangend und durch die reellen Zahlen und darüber hinaus verallgemeinernd. Allgemeine binäre Operationen, die diese Muster fortsetzen, werden in der abstrakten Algebra studiert.

Das Durchführen der Hinzufügung ist eine der einfachsten numerischen Aufgaben. Die Hinzufügung von sehr kleinen Zahlen ist für Kleinkinder zugänglich; die grundlegendste Aufgabe, 1 + 1, kann von Säuglings so jung durchgeführt werden wie fünf Monate und sogar einige Tiere. In der primären Ausbildung werden Studenten gelehrt, Zahlen im dezimalen System hinzuzufügen, mit einzelnen Ziffern anfangend und progressiv schwierigere Probleme anpackend. Mechanische Hilfe erstreckt sich von der alten Rechenmaschine bis den modernen Computer, wo die Forschung über die effizientesten Durchführungen der Hinzufügung bis jetzt weitergeht.

Notation und Fachsprache

Hinzufügung wird mit dem Pluszeichen "+" zwischen den Begriffen geschrieben; d. h. in der klammerlosen Darstellung. Das Ergebnis wird mit einem Gleichheitszeichen ausgedrückt. Zum Beispiel,

: (wörtlich "ein plus ist man zwei" gleich)

: (wörtlich, "zwei plus zwei ist vier" gleich)

: (sieh "associativity" unten)

: (sieh "Multiplikation" unten)

Es gibt auch Situationen, wo Hinzufügung "verstanden" wird, wenn auch kein Symbol erscheint:

Eine Säule von Zahlen, mit der letzten Zahl in der Säule unterstrichen, zeigt gewöhnlich an, dass die Zahlen in der Säule mit der unter der unterstrichenen Zahl geschriebenen Summe hinzugefügt werden sollen.
Eine ganze Zahl gefolgt sofort von einem Bruchteil zeigt die Summe der zwei, genannt eine Mischzahl an. Zum Beispiel, 3½ = 3 + ½ = 3.5. Diese Notation kann Verwirrung verursachen, da in den meisten anderen Zusammenhängen Multiplikation stattdessen anzeigt.

Die Summe einer Reihe von zusammenhängenden Zahlen kann durch die Kapitalsigma-Notation ausgedrückt werden, die kompakt Wiederholung anzeigt. Zum Beispiel,

Die Zahlen oder die Gegenstände, in der allgemeinen Hinzufügung hinzugefügt zu werden, werden die Begriffe, die Summanden oder den summands genannt;

diese Fachsprache trägt zur Summierung von vielfachen Begriffen vor.

Das soll von Faktoren bemerkenswert sein, die multipliziert werden.

Einige Autoren nennen den ersten Summanden den augend. Tatsächlich, während der Renaissance, haben viele Autoren den ersten Summanden als einen "Summanden" überhaupt nicht betrachtet. Heute, wegen des Ersatzeigentums der Hinzufügung, wird "augend" selten verwendet, und beide Begriffe werden allgemein Summanden genannt.

Ganze diese Fachsprache ist auf Latein zurückzuführen. "" und "" sind englische Wörter ist auf das lateinische Verb addere zurückzuführen gewesen, der der Reihe nach eine Zusammensetzung der Anzeige "dazu" ist und wagen Sie, "" von der Proto-Indo-European-Wurzel zu geben, "um zu geben"; so beizutragen soll dem geben. Mit der Gerundivum-Nachsilbe läuft-nd auf "Summanden", "Ding hinaus, hinzugefügt zu werden". Ebenfalls von augere, "um" zuzunehmen, veranlasst man, dass "augend", "Ding vergrößert wird".

"Summe" und "summand" sind auf das lateinische Substantiv summa "das höchste, das vereinigte und" Spitzenverb summare zurückzuführen. Das ist passend, nicht nur weil die Summe von zwei positiven Zahlen größer ist als auch, aber weil es einmal üblich war, aufwärts gegen die moderne Praxis beizutragen, nach unten beizutragen, so dass eine Summe wörtlich höher war als die Summanden.

Addere und summare gehen mindestens auf Boethius, wenn nicht auf frühere römische Schriftsteller wie Vitruvius und Frontinus zurück; Boethius hat auch mehrere andere Begriffe für die Hinzufügungsoperation gebraucht. Der spätere Mittlere englische nennt "adden", und "das Hinzufügen" wurden von Chaucer verbreitet.

Interpretationen

Hinzufügung wird verwendet, um unzählige physische Prozesse zu modellieren. Sogar für den einfachen Fall, natürliche Zahlen hinzuzufügen, gibt es viele mögliche Interpretationen und noch mehr Sehdarstellungen.

Das Kombinieren von Sätzen

Vielleicht liegt die grundsätzlichste Interpretation der Hinzufügung im Kombinieren von Sätzen:

Wenn zwei oder mehr zusammenhanglose Sammlungen in eine einzelne Sammlung verbunden werden, ist die Zahl von Gegenständen in der einzelnen Sammlung die Summe der Zahl von Gegenständen in den ursprünglichen Sammlungen.

Diese Interpretation ist leicht, sich mit wenig Gefahr der Zweideutigkeit zu vergegenwärtigen. Es ist auch in der höheren Mathematik nützlich; für die strenge Definition begeistert es, sieh Natürliche Zahlen unten. Jedoch ist es nicht offensichtlich, wie man diese Version der Hinzufügung erweitern sollte, um Bruchzahlen oder negative Zahlen einzuschließen.

Eine mögliche üble Lage soll Sammlungen von Gegenständen denken, die wie Kuchen leicht geteilt werden können oder noch besser Stangen segmentiert haben. Anstatt gerade Sammlungen von Segmenten zu verbinden, können Stangen der Länge nach angeschlossen werden, der eine andere Vorstellung der Hinzufügung illustriert: das Hinzufügen nicht die Stangen, aber die Längen der Stangen.

Das Verlängern einer Länge

Eine zweite Interpretation der Hinzufügung kommt daraus, eine anfängliche Länge durch eine gegebene Länge zu erweitern:

Wenn eine ursprüngliche Länge durch einen gegebenen Betrag erweitert wird, ist die Endlänge die Summe der ursprünglichen Länge und der Länge der Erweiterung.

Die Summe + b kann als eine binäre Operation interpretiert werden, die a und b in einem algebraischen Sinn verbindet, oder es als die Hinzufügung von b mehr Einheiten zu a interpretiert werden kann. Unter der letzten Interpretation spielen die Teile einer Summe + b asymmetrische Rollen, und die Operation + b wird als Verwendung der unären Operation +b zu a angesehen. Anstatt sowohl a als auch b Summanden zu nennen, ist es passender, den augend in diesem Fall, seit Spiele eine passive Rolle zu nennen. Die unäre Ansicht ist auch nützlich, wenn sie Subtraktion bespricht, weil jede unäre Hinzufügungsoperation eine umgekehrte unäre Subtraktionsoperation, und umgekehrt hat.

Eigenschaften

Commutativity

Hinzufügung ist auswechselbar, bedeutend, dass man die Begriffe in einer Summe zum Recht nach links umkehren kann, und das Ergebnis dasselbe als das letzte ist. Symbolisch, wenn a und b irgendwelche zwei Zahlen, dann sind

:a + b = b + a.

Die Tatsache, dass Hinzufügung auswechselbar ist, ist als das "Ersatzgesetz der Hinzufügung" bekannt. Dieser Ausdruck weist darauf hin, dass es andere Ersatzgesetze gibt: Zum Beispiel gibt es ein Ersatzgesetz der Multiplikation. Jedoch sind viele binäre Operationen, wie Subtraktion und Abteilung nicht auswechselbar, so ist es irreführend, von einem unqualifizierten "Ersatzgesetz" zu sprechen.

Associativity

Ein etwas feineres Eigentum der Hinzufügung ist associativity, der heraufkommt, wenn man versucht, wiederholte Hinzufügung zu definieren. Wenn der Ausdruck

: "+ b + c"

werden Sie definiert um (+ b) + c oder + (b + c) zu bedeuten? Diese Hinzufügung ist assoziativ sagt uns, dass die Wahl der Definition irrelevant ist. Für irgendwelche drei Zahlen a, b, und c, ist es das wahr

: (+ b) + c = + (b + c).

Zum Beispiel, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3).

Nicht alle Operationen sind assoziativ, so in Ausdrücken mit anderen Operationen wie Subtraktion ist es wichtig, die Ordnung von Operationen anzugeben.

Identitätselement

Wenn

sie Null zu jeder Zahl hinzufügt, ändert sich die Menge nicht; Null ist das Identitätselement für die Hinzufügung, auch bekannt als die zusätzliche Identität. In Symbolen, für jeden a,

:a + 0 = 0 + = a.

Dieses Gesetz wurde zuerst im Brahmasphutasiddhanta von Brahmagupta in 628 identifiziert, obwohl er es als drei getrennte Gesetze je nachdem geschrieben hat, ob negativ, positiv, oder Null selbst zu sein, und er Wörter aber nicht algebraische Symbole verwendet hat. Spätere Indianermathematiker haben das Konzept raffiniert; um das Jahr 830 hat Mahavira geschrieben, "Null wird dasselbe als, was dazu", entsprechend der unären Behauptung 0 + = a hinzugefügt wird. Im 12. Jahrhundert hat Bhaskara geschrieben, "In der Hinzufügung der Ziffer oder Subtraktion davon bleibt die Menge, positiv oder negativ, dasselbe", entsprechend der unären Behauptung a + 0 = a.

Nachfolger

Im Zusammenhang von ganzen Zahlen, der Hinzufügung von spielt man auch eine spezielle Rolle: Für jede ganze Zahl a ist die ganze Zahl (+ 1) kleinste ganze Zahl, die größer ist als a, auch bekannt als der Nachfolger von a. Wegen dieser Folge kann der Wert von einigen + b auch als der Nachfolger von a gesehen werden, das Machen der Hinzufügung hat Folge wiederholt.

Einheiten

Um physische Mengen mit Einheiten numerisch hinzuzufügen, müssen sie zuerst mit allgemeinen Einheiten ausgedrückt werden. Zum Beispiel, wenn ein Maß von 5 Fuß durch 2 Zoll erweitert wird, ist die Summe 62 Zoll, da 60 Zoll mit 5 Fuß synonymisch sind. Andererseits ist es gewöhnlich sinnlos, um zu versuchen, 3 Meter und 4 Quadratmeter hinzuzufügen, da jene Einheiten unvergleichbar sind; diese Sorte der Rücksicht ist in der dimensionalen Analyse grundsätzlich.

Das Durchführen der Hinzufügung

Angeborene Fähigkeit

Studien auf der mathematischen Entwicklung, die um die 1980er Jahre anfängt, haben das Phänomen der Gewöhnung ausgenutzt: Säuglings sehen länger auf Situationen aus, die unerwartet sind. Ein Samenexperiment durch Karen Wynn, 1992 mit hinter einem Schirm manipulierten Puppen von Mickymaus verbunden seiend, hat demonstriert, dass fünfMonate alte Säuglings 1 + 1 annehmen, 2 zu sein, und sie verhältnismäßig überrascht sind, wenn eine physische Situation scheint anzudeuten, dass 1 + 1 entweder 1 oder 3 ist. Diese Entdeckung ist durch eine Vielfalt von Laboratorien mit verschiedenen Methodiken seitdem versichert worden. Ein anderes 1992-Experiment mit älteren Kleinkindern, zwischen 18 bis 35 Monaten, hat ihre Entwicklung der Motorkontrolle ausgenutzt, indem es ihnen erlaubt worden ist, Pingpong-Bälle von einem Kasten wiederzubekommen; der jüngste hat gut für kleine Zahlen geantwortet, während ältere Themen im Stande gewesen sind zu rechnen, summiert zu 5.

Sogar einige nichtmenschliche Tiere zeigen eine beschränkte Fähigkeit, besonders Primate beizutragen. In einem 1995-Experiment, das das 1992-Ergebnis von Wynn imitiert (aber Eierfrüchte statt Puppen verwendet), haben Rhesusmacaques und cottontop tamarins ähnlich menschlichen Säuglings geleistet. Mehr drastisch, die Bedeutungen der Arabischen Ziffern 0 bis 4 unterrichtet, ist ein Schimpanse im Stande gewesen, die Summe von zwei Ziffern ohne Weiterbildung zu schätzen.

Das Entdecken der Hinzufügung als Kinder

Gewöhnlich Kinder der erste Master, der zählt. Wenn gegeben, modelliert ein Problem, das verlangt, dass zwei Sachen und drei Sachen, kleine Kinder verbunden werden, die Situation mit physischen Gegenständen, häufig Finger oder eine Zeichnung, und zählt dann die Summe auf. Da sie Erfahrung sammeln, erfahren sie oder entdecken die Strategie des "Zählens - auf": Gebeten, zwei plus drei zu finden, zählen Kinder drei vorige zwei auf, "drei, vier, fünf" (gewöhnlich das Abhaken von Fingern), und das Erreichen fünf sagend. Diese Strategie scheint fast universal; Kinder können es von Gleichen oder Lehrern leicht aufnehmen. Die meisten entdecken es unabhängig. Mit der zusätzlichen Erfahrung lernen Kinder, schneller beizutragen, indem sie den commutativity der Hinzufügung ausnutzen, indem sie von der größeren Zahl in diesem Fall zusammenzählen, mit drei anfangend und "vier, fünf zählend." Schließlich beginnen Kinder, bestimmte Hinzufügungstatsachen ("Zahl-Obligationen"), entweder durch die Erfahrung oder durch Routine memorization zurückzurufen. Sobald einige Tatsachen für das Gedächtnis begangen werden, beginnen Kinder, unbekannte Tatsachen von bekannten abzuleiten. Zum Beispiel hat ein Kind gebeten, sechs beizutragen, und sieben kann wissen, dass 6+6=12 und dann schließen, dass 6+7 ein mehr, oder 13 ist. Solche abgeleiteten Tatsachen können sehr schnell gefunden werden, und Student der am meisten Grundschule verlassen sich schließlich auf eine Mischung von eingeprägten und abgeleiteten Tatsachen, um fließend beizutragen.

Dezimales System

Die Vorbedingung zur Hinzufügung im dezimalen System ist der fließende Rückruf oder die Abstammung der 100 einzeln-stelligen "Hinzufügungstatsachen". Man konnte sich alle Tatsachen rein mechanisch einprägen, aber Muster-basierte Strategien sind mehr aufschlussreich und für die meisten Menschen, effizienter:

Ein oder noch zwei: Das Hinzufügen 1 oder 2 ist eine grundlegende Aufgabe, und es kann durch das Zählen auf oder, schließlich, Intuition vollbracht werden.
Null: Da Null die zusätzliche Identität ist, hinzufügend, dass Null trivial ist. Dennoch, im Unterrichten der Arithmetik, werden einige Studenten in die Hinzufügung als ein Prozess vorgestellt, der immer die Summanden vergrößert; Wortprobleme können helfen, die "Ausnahme" der Null rational zu erklären.
Verdoppelt sich: Das Hinzufügen einer Zahl zu sich ist mit dem Zählen durch zwei und mit der Multiplikation verbunden. Verdoppelt sich Tatsachen bilden ein Rückgrat für viele zusammenhängende Tatsachen, und Studenten finden sie relativ leicht zu fassen.
Nahe - verdoppelt sich: Summen solcher als 6+7=13 können schnell abgeleitet werden verdoppelt Tatsache 6+6=12, indem es einen mehr, oder von 7+7=14 hinzugefügt wird, aber ein Abstriche gemacht wird.
Fünf und zehn: Summen der Form 5+x und 10+x werden gewöhnlich früh eingeprägt und können verwendet werden, um andere Tatsachen abzuleiten. Zum Beispiel, 6+7=13 kann 5+7=12 durch das Hinzufügen von einem mehr abgeleitet werden.
Das Bilden zehn: Eine fortgeschrittene Strategie verwendet 10 als ein Zwischenglied für Summen, die 8 oder 9 einschließen; zum Beispiel, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14.

Da Studenten älter wachsen, lernen sie mehr Tatsachen auswendig und lernen, andere Tatsachen schnell und fließend abzuleiten. Viele Studenten lernen nie alle Tatsachen auswendig, aber können noch jede grundlegende Tatsache schnell finden.

Der Standardalgorithmus, um Mehrziffer-Zahlen hinzuzufügen, soll die Summanden vertikal ausrichten und die Säulen hinzufügen, von denjenigen Säule rechts anfangend. Wenn eine Säule zehn zu weit geht, wird die Extraziffer in die folgende Säule "getragen". Eine abwechselnde Strategie fängt an, vom grössten Teil der positiven Ziffer links beizutragen; dieser Weg macht das Tragen ein wenig plumper, aber es ist beim Bekommen einer Überschlagsrechnung der Summe schneller. Es gibt viele andere alternative Methoden.

Bruchteil: Hinzufügung
Wissenschaftliche Notation: Operationen

Computer

Analoge Computer arbeiten direkt mit physischen Mengen, so hängen ihre Hinzufügungsmechanismen von der Form der Summanden ab. Eine mechanische Viper könnte zwei Summanden als die Positionen vertreten, Blöcke gleiten zu lassen, in welchem Fall sie mit einem Mittelwertbildungs hebel hinzugefügt werden können. Wenn die Summanden die Folge-Geschwindigkeiten von zwei Wellen sind, können sie mit einem Differenzial hinzugefügt werden. Eine hydraulische Viper kann den Druck in zwei Räumen durch die Ausnutzung des zweiten Gesetzes von Newton hinzufügen, um Kräfte auf einem Zusammenbau von Kolben zu erwägen. Die allgemeinste Situation für einen analogen Mehrzweckcomputer soll zwei Stromspannungen (Verweise angebracht hinzufügen, um sich zu gründen); das kann grob mit einem Widerstand-Netz vollbracht werden, aber ein besseres Design nutzt einen betrieblichen Verstärker aus.

Hinzufügung ist auch für die Operation von Digitalcomputern grundsätzlich, wo die Leistungsfähigkeit der Hinzufügung, insbesondere der tragen Mechanismus, eine wichtige Beschränkung zur gesamten Leistung ist.

Rechenmaschinen, mechanische Rechenmaschinen, deren primäre Funktion Hinzufügung war, waren die frühsten automatischen, digitalen Computer. Die 1623-Rechenuhr von Wilhelm Schickard konnte beitragen und Abstriche machen, aber sie wurde durch einen ungeschickten streng beschränkt tragen Mechanismus. Verbrannt während seines Aufbaus 1624 und unbekannt der Welt seit mehr als drei Jahrhunderten wurde es 1957 wieder entdeckt und hatte deshalb keinen Einfluss auf die Entwicklung von mechanischen Rechenmaschinen. Blaise Pascal hat die mechanische Rechenmaschine 1642 mit einem Ernst-geholfenen genialen erfunden tragen Mechanismus. Die Rechenmaschine von Pascal wurde durch seinen beschränkt, tragen Sie Mechanismus in einem verschiedenen Sinn: Seine Räder haben nur einen Weg gedreht, so konnte er beitragen, aber nicht Abstriche machen, außer durch die Methode von Ergänzungen. Vor 1674 hat Gottfried Leibniz den ersten mechanischen Vermehrer gemacht; es wurde noch angetrieben, wenn nicht durch die Hinzufügung motiviert.

Vipern führen Hinzufügung der ganzen Zahl in elektronischen Digitalcomputern gewöhnlich mit der binären Arithmetik durch. Die einfachste Architektur ist die Kräuselung tragen Viper, die dem Standardmehrziffer-Algorithmus folgt. Eine geringe Verbesserung ist das tragen Hopser-Design wieder im Anschluss an die menschliche Intuition; man führt das ganze Tragen in der Computerwissenschaft 999 + 1 nicht durch, aber man umgeht die Gruppe 9s und hüpft zur Antwort.

Da sie Ziffern einer nach dem anderen schätzen, sind die obengenannten Methoden zu den meisten modernen Zwecken zu langsam.

In modernen Digitalcomputern ist Hinzufügung der ganzen Zahl normalerweise die schnellste arithmetische Instruktion, noch hat es den größten Einfluss auf Leistung, da es allen Schwimmpunkt-Operationen sowie solchen grundlegenden Aufgaben als Adressbildung während des Speicherzugangs und bezaubernde Instruktionen während des Ausbreitens unterliegt. Um Geschwindigkeit zu vergrößern, berechnen moderne Designs Ziffern in der Parallele; diese Schemas gehen durch solche Namen wie tragen ausgesucht, tragen lookahead, und der Leng trägt pseudo. Fast alle modernen Durchführungen, sind tatsächlich, Hybriden dieser letzten drei Designs.

Verschieden von der Hinzufügung auf Papier ändert die Hinzufügung auf einem Computer häufig die Summanden. Auf der alten Rechenmaschine und dem Hinzufügen des Ausschusses werden beide Summanden zerstört, nur die Summe verlassend. Der Einfluss der Rechenmaschine auf dem mathematischen Denken war stark genug, dass frühe lateinische Texte häufig behauptet haben, dass im Prozess, "eine Zahl zu einer Zahl" hinzuzufügen, beide Zahlen verschwinden. In modernen Zeiten ersetzt die HINZUFÜGEN Instruktion eines Mikroprozessors den augend durch die Summe, aber bewahrt den Summanden. Auf einer Programmiersprache auf höchster Ebene, + bewertend, ändert b entweder a oder b nicht; wenn die Absicht ist, durch die Summe zu ersetzen, muss das, normalerweise durch die Behauptung a = + b ausführlich gebeten werden. Einige Sprachen wie C oder C ++ erlauben dem, als + = b abgekürzt zu werden.

Hinzufügung von natürlichen Zahlen und reellen Zahlen

Um die üblichen Eigenschaften der Hinzufügung zu beweisen, muss man zuerst Hinzufügung für den fraglichen Zusammenhang definieren. Hinzufügung wird zuerst auf den natürlichen Zahlen definiert. In der Mengenlehre wird Hinzufügung dann zu progressiv größeren Sätzen erweitert, die die natürlichen Zahlen einschließen: die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen. (In der Mathematik-Ausbildung werden positive Bruchteile hinzugefügt, bevor negative Zahlen sogar betrachtet werden; das ist auch der historische Weg.)

Natürliche Zahlen

Es gibt zwei populäre Weisen, die Summe von zwei natürlichen Zahlen a und b zu definieren. Wenn man natürliche Zahlen definiert, um der cardinalities von begrenzten Sätzen zu sein, (der cardinality eines Satzes ist die Zahl der Elemente im Satz), dann ist es passend, ihre Summe wie folgt zu definieren:

Lassen Sie N (S) der cardinality eines Satzes S sein. Nehmen Sie zwei zusammenhanglose Sätze A und B, mit N (A) = a und N (B) = b. Dann + wird b als definiert.

Hier ist Ein U B die Vereinigung von A und B. Eine abwechselnde Version dieser Definition erlaubt A und B, vielleicht zu überlappen, und nimmt dann ihre zusammenhanglose Vereinigung, ein Mechanismus, der allgemeinen Elementen erlaubt, getrennt und deshalb zweimal aufgezählt zu werden.

Die andere populäre Definition ist rekursiv:

Lassen Sie n der Nachfolger von n sein, der die Zahl im Anschluss an n in den natürlichen Zahlen, so 0=1, 1=2 ist. Definieren Sie + 0 = a. Definieren Sie die allgemeine Summe rekursiv durch + (b) = (+ b). Folglich 1+1=1+0 = (1+0) =1=2.

Wieder gibt es geringe Schwankungen laut dieser Definition in der Literatur. Genommen wörtlich ist die obengenannte Definition eine Anwendung des Recursion Lehrsatzes auf dem poset N. Andererseits ziehen einige Quellen es vor, einen eingeschränkten Recursion Lehrsatz zu verwenden, der nur für den Satz von natürlichen Zahlen gilt. Man denkt dann, provisorisch "bestochen" zu werden, wendet recursion an b an, um eine Funktion "+" zu definieren, und klebt diese unären Operationen wegen aller zusammen auf, um die volle binäre Operation zu bilden.

Diese rekursive Formulierung der Hinzufügung wurde von Dedekind schon in 1854 entwickelt, und er würde sich darauf in den folgenden Jahrzehnten ausbreiten. Er hat die assoziativen und auswechselbaren Eigenschaften, unter anderen durch die mathematische Induktion bewiesen; für Beispiele solcher induktiven Beweise, sieh Hinzufügung von natürlichen Zahlen.

Ganze Zahlen

Die einfachste Vorstellung einer ganzen Zahl ist, dass sie aus einem absoluten Wert besteht (der eine natürliche Zahl ist), und ein Zeichen (allgemein entweder positiv oder negativ). Die Null der ganzen Zahl ist ein spezieller dritter Fall, weder positiv noch negativ seiend. Die entsprechende Definition der Hinzufügung muss durch Fälle weitergehen:

Für eine ganze Zahl n, lassen Sie n sein absoluter Wert sein. Lassen Sie a und b ganze Zahlen sein. Wenn entweder a oder b Null sind, behandeln Sie es als eine Identität. Wenn a und b beide positiv sind, + b = + b definieren. Wenn a und b beide negativ sind, + b = (a+b) definieren. Wenn a und b verschiedene Zeichen haben, + b definieren, um der Unterschied zwischen a und b mit dem Zeichen des Begriffes zu sein, dessen absoluter Wert größer ist.

Obwohl diese Definition für konkrete Probleme nützlich sein kann, wird sie zu kompliziert, um elegante allgemeine Beweise zu erzeugen; es gibt zu viele Fälle, um in Betracht zu ziehen.

Eine viel günstigere Vorstellung der ganzen Zahlen ist der Gruppenaufbau von Grothendieck. Die wesentliche Beobachtung besteht darin, dass jede ganze Zahl (nicht einzigartig) als der Unterschied von zwei natürlichen Zahlen ausgedrückt werden kann, so können wir ebenso eine ganze Zahl als der Unterschied von zwei natürlichen Zahlen definieren. Hinzufügung wird dann definiert, um mit der Subtraktion vereinbar zu sein:

In Anbetracht zwei ganzer Zahlen definieren ein b und c d, wo a, b, c, und d natürliche Zahlen sind, (ein b) + (c d) = (+ c) (b + d).

Rationale Zahlen (Bruchteile)

Die Hinzufügung von rationalen Zahlen kann mit kleinsten gemeinsamen Nenner geschätzt werden, aber eine begrifflich einfachere Definition schließt nur Hinzufügung der ganzen Zahl und Multiplikation ein:

Definieren Sie

Der commutativity und associativity der vernünftigen Hinzufügung sind eine leichte Folge der Gesetze der Arithmetik der ganzen Zahl. Für eine strengere und allgemeine Diskussion, sieh Feld von Bruchteilen.

Reelle Zahlen

Ein allgemeiner Aufbau des Satzes von reellen Zahlen ist die Vollziehung von Dedekind des Satzes von rationalen Zahlen. Eine reelle Zahl wird definiert, um eine Kürzung von Dedekind von rationals zu sein: Ein nichtleerer Satz von rationals, der nach unten geschlossen wird und kein größtes Element hat. Die Summe von reellen Zahlen a und b ist definiertes Element durch das Element:

Definieren Sie

Diese Definition wurde zuerst in einer ein bisschen modifizierten Form von Richard Dedekind 1872 veröffentlicht.

Der commutativity und associativity der echten Hinzufügung sind unmittelbar; die reelle Zahl 0 definierend, um der Satz von negativem rationals zu sein, wie man leicht sieht, ist es die zusätzliche Identität. Wahrscheinlich ist der heikelste Teil dieses Aufbaus, der der Hinzufügung gehört, die Definition von zusätzlichen Gegenteilen.

Leider ist das Befassen mit Multiplikation von Kürzungen von Dedekind ein Fall-für-Fall-der Hinzufügung von unterzeichneten ganzen Zahlen ähnlicher Albtraum. Eine andere Annäherung ist die metrische Vollziehung der rationalen Zahlen. Eine reelle Zahl wird im Wesentlichen definiert, um eine Grenze einer Cauchyfolge von rationals, lim a zu sein. Hinzufügung wird Begriff durch den Begriff definiert:

Definieren Sie

Diese Definition wurde zuerst von Georg Cantor auch 1872 veröffentlicht, obwohl sein Formalismus ein bisschen verschieden war.

Man muss beweisen, dass diese Operation bestimmt ist, sich mit Co-Cauchyfolgen befassend. Sobald diese Aufgabe erledigt wird, folgen alle Eigenschaften der echten Hinzufügung sofort von den Eigenschaften von rationalen Zahlen. Außerdem haben die anderen arithmetischen Operationen, einschließlich der Multiplikation, aufrichtige, analoge Definitionen.

Generalisationen

:There sind viele Dinge, die hinzugefügt werden können: Zahlen, Vektoren, matrices, Räume, Gestalten, Sätze, Funktionen, Gleichungen, Schnuren, Ketten... — Alexander Bogomolny

Es gibt viele binäre Operationen, die als Generalisationen der Hinzufügungsoperation auf den reellen Zahlen angesehen werden können. Das Feld der abstrakten Algebra ist zentral mit solchen verallgemeinerten Operationen beschäftigt, und sie erscheinen auch in der Mengenlehre und Kategorie-Theorie.

Hinzufügung in der abstrakten Algebra

In der geradlinigen Algebra ist ein Vektorraum eine algebraische Struktur, die das Hinzufügen irgendwelcher zwei Vektoren berücksichtigt und um Vektoren zu erklettern. Ein vertrauter Vektorraum ist der Satz aller befohlenen Paare von reellen Zahlen; das befohlene Paar (a, b) wird als ein Vektor vom Ursprung im Euklidischen Flugzeug zum Punkt (a, b) im Flugzeug interpretiert. Die Summe von zwei Vektoren wird durch das Hinzufügen ihrer individuellen Koordinaten erhalten:

: (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d).

Diese Hinzufügungsoperation ist zur klassischen Mechanik zentral, in der Vektoren als Kräfte interpretiert werden.

In der Modularithmetik hat der Satz von ganzen Zahlen modulo 12 zwölf Elemente; es erbt eine Hinzufügungsoperation von den ganzen Zahlen, die zur Musikmengenlehre zentral ist. Der Satz von ganzen Zahlen modulo 2 hat gerade zwei Elemente; die Hinzufügungsoperation, die es erbt, ist in der Logik von Boolean als die "exklusive oder" Funktion bekannt. In der Geometrie wird die Summe von zwei Winkelmaßnahmen häufig genommen, um ihre Summe als reelle Zahlen modulo 2π zu sein. Das beläuft sich auf eine Hinzufügungsoperation auf dem Kreis, der der Reihe nach zu Hinzufügungsoperationen auf vieldimensionalen Ringen verallgemeinert.

Die allgemeine Theorie der abstrakten Algebra erlaubt einer "Hinzufügungs"-Operation, jede assoziative und auswechselbare Operation auf einem Satz zu sein. Grundlegende algebraische Strukturen mit solch einer Hinzufügungsoperation schließen auswechselbaren monoids und abelian Gruppen ein.

Hinzufügung in der Mengenlehre und Kategorie-Theorie

Eine weit reichende Generalisation der Hinzufügung von natürlichen Zahlen ist die Hinzufügung von Ordinalzahlen und Grundzahlen in der Mengenlehre. Diese geben zwei verschiedene Generalisationen der Hinzufügung von natürlichen Zahlen zum transfiniten.

Verschieden von den meisten Hinzufügungsoperationen ist die Hinzufügung von Ordinalzahlen nicht auswechselbar.

Die Hinzufügung von Grundzahlen ist jedoch eine mit der zusammenhanglosen Vereinigungsoperation nah verbundene Ersatzoperation.

In der Kategorie-Theorie wird zusammenhanglose Vereinigung als ein besonderer Fall der coproduct Operation gesehen, und allgemeine coproducts sind vielleicht von allen Generalisationen der Hinzufügung am abstraktesten. Einige coproducts, wie Direkte Summe und Summe von Wedge, werden genannt, um ihre Verbindung mit der Hinzufügung herbeizurufen.

Zusammenhängende Operationen

Arithmetik

Von

Subtraktion kann als eine Art Hinzufügung — d. h. die Hinzufügung eines zusätzlichen Gegenteils gedacht werden. Subtraktion ist selbst eine Art Gegenteil zur Hinzufügung, in diesem Hinzufügen sind x und dem Abziehen x umgekehrte Funktionen.

In Anbetracht eines Satzes mit einer Hinzufügungsoperation kann man keine entsprechende Subtraktionsoperation auf diesem Satz immer definieren; der Satz von natürlichen Zahlen ist ein einfaches Beispiel. Andererseits bestimmt eine Subtraktionsoperation einzigartig eine Hinzufügungsoperation, einen zusätzlichen inversen Betrieb und eine zusätzliche Identität; aus diesem Grund kann eine zusätzliche Gruppe als ein Satz beschrieben werden, der unter der Subtraktion geschlossen wird.

Von

Multiplikation kann als wiederholte Hinzufügung gedacht werden. Wenn ein einzelner Begriff x in einer Summe n Zeiten erscheint, dann ist die Summe das Produkt von n und x. Wenn n nicht eine natürliche Zahl ist, kann das Produkt noch Sinn haben; zum Beispiel, Multiplikation durch 1 Erträge das zusätzliche Gegenteil einer Zahl.

In den reellen Zahlen und komplexen Zahlen können Hinzufügung und Multiplikation durch die Exponentialfunktion ausgewechselt werden:

:e = e e.

Diese Identität erlaubt Multiplikation, durch die Beratung eines Tisches von Logarithmen und Rechenhinzufügung mit der Hand ausgeführt zu werden; es ermöglicht auch Multiplikation auf einem Rechenschieber. Die Formel ist noch eine gute Annäherung der ersten Ordnung im breiten Zusammenhang von Lüge-Gruppen, wo es Multiplikation von unendlich kleinen Gruppenelementen mit der Hinzufügung von Vektoren in der verbundenen Lüge-Algebra verbindet.

Es gibt noch mehr Generalisationen der Multiplikation als Hinzufügung. Im Allgemeinen verteilen Multiplikationsoperationen immer über die Hinzufügung; diese Voraussetzung wird in der Definition eines Rings formalisiert. In einigen Zusammenhängen, wie die ganzen Zahlen, distributivity über die Hinzufügung und die Existenz einer multiplicative Identität ist genug, um die Multiplikationsoperation einzigartig zu bestimmen. Das verteilende Eigentum gibt auch Auskunft über die Hinzufügung; indem man das Produkt (1 + 1) (+ b) auf beide Weisen ausbreitet, beschließt man, dass Hinzufügung gezwungen wird, auswechselbar zu sein. Deshalb ist Ringhinzufügung im Allgemeinen auswechselbar.

Abteilung ist eine arithmetische mit der Hinzufügung entfernt verbundene Operation. Seitdem a/b = (b), Abteilung ist verteilend über die Hinzufügung richtig: (+ b) / c = / c + b / c. Jedoch wird Abteilung verteilend über die Hinzufügung nicht verlassen; 1/(2 + 2) ist nicht dasselbe als 1/2 + 1/2.

Einrichtung

Die maximale Operation "max (a, b)" ist eine binäre der Hinzufügung ähnliche Operation. Tatsächlich, wenn zwei nichtnegative Zahlen a und b verschiedener Größenordnungen sind, dann ist ihre Summe ihrem Maximum ungefähr gleich. Diese Annäherung ist in den Anwendungen der Mathematik, zum Beispiel im Beschneiden der Reihe von Taylor äußerst nützlich. Jedoch präsentiert es eine fortwährende Schwierigkeit in der numerischen Analyse im Wesentlichen, da "max" nicht invertible ist. Wenn b viel größer ist als a, dann kann eine aufrichtige Berechnung (+ b) b eine unannehmbare Runde - vom Fehler ansammeln, vielleicht sogar Null zurückgebend. Siehe auch Verlust der Bedeutung.

Die Annäherung wird genau in einer Art unendlicher Grenze; wenn entweder a oder b eine unendliche Grundzahl sind, ist ihre grundsätzliche Summe den größeren von den zwei genau gleich. Entsprechend gibt es keine Subtraktionsoperation wegen unendlicher Kardinäle.

Maximierung ist auswechselbar und wie Hinzufügung assoziativ. Außerdem, da Hinzufügung die Einrichtung von reellen Zahlen bewahrt, verteilt Hinzufügung über "max" ebenso, dass Multiplikation über die Hinzufügung verteilt:

:a + max (b, c) = max (+ b, + c).

Aus diesen Gründen in der tropischen Geometrie ersetzt man Multiplikation durch die Hinzufügung und Hinzufügung mit der Maximierung. In diesem Zusammenhang wird Hinzufügung "tropische Multiplikation" genannt, Maximierung wird "tropische Hinzufügung" genannt, und die tropische "zusätzliche Identität" ist negative Unendlichkeit. Einige Autoren ziehen es vor, Hinzufügung durch die Minimierung zu ersetzen; dann ist die zusätzliche Identität positive Unendlichkeit.

Wenn sie

diese Beobachtungen zusammen bindet, ist tropische Hinzufügung ungefähr mit der regelmäßigen Hinzufügung durch den Logarithmus verbunden:

:log (+ b) max (loggen a, loggen b),

der genauer als die Basis der Logarithmus-Zunahmen wird. Die Annäherung kann genau durch das Extrahieren eines unveränderlichen h, genannt analog mit der Konstante von Planck von der Quant-Mechanik, und die Einnahme der "klassischen Grenze" gemacht werden, weil h zur Null neigt:

In diesem Sinn ist die maximale Operation eine dequantized Version der Hinzufügung.

Andere Weisen beizutragen

Zunahme, auch bekannt als die Nachfolger-Operation, sind die Hinzufügung von 1 zu einer Zahl.

Summierung beschreibt die Hinzufügung willkürlich vieler Zahlen gewöhnlich mehr als gerade zwei. Es schließt die Idee von der Summe einer einzelnen Zahl ein, die selbst, und die leere Summe ist, die Null ist. Eine unendliche Summierung ist ein feines als eine Reihe bekanntes Verfahren.

Das Aufzählen eines begrenzten Satzes ist zum Summieren 1 über den Satz gleichwertig.

Integration ist eine Art "Summierung" über ein Kontinuum, oder genauer und allgemein über eine Differentiable-Sammelleitung. Die Integration über eine nulldimensionale Sammelleitung nimmt zur Summierung ab.

Geradlinige Kombinationen verbinden Multiplikation und Summierung; sie sind Summen, in denen jeder Begriff einen Vermehrer, gewöhnlich eine reelle Zahl oder komplexe Zahl hat. Geradlinige Kombinationen sind in Zusammenhängen besonders nützlich, wo aufrichtige Hinzufügung eine Normalisierungsregel, wie das Mischen von Strategien in der Spieltheorie oder Überlagerung von Staaten in der Quant-Mechanik verletzen würde.

Gehirnwindung wird verwendet, um zwei unabhängige zufällige durch Vertriebsfunktionen definierte Variablen hinzuzufügen. Seine übliche Definition verbindet Integration, Subtraktion und Multiplikation. Im Allgemeinen ist Gehirnwindung als eine Art Bereichsseite-Hinzufügung nützlich; im Vergleich ist Vektor-Hinzufügung eine Art Hinzufügung der Reihe-Seite.

In der Literatur

Im Kapitel 9 von Lewis Carroll Durch den Spiegel fragt die Weiße Königin Alice, "Und Sie tun Hinzufügung?... Was ist dasjenige und ein und ein und ein und ein und ein und ein und ein und ein und ein?" Alice gibt zu, dass sie Zählung verloren hat, und die Rote Königin erklärt, "Kann sie nicht Hinzufügung tun".
In George Orwell Neunzehn Vierundachtzig wird der Wert von 2 + 2 infrage gestellt; der Staat behauptet, dass, wenn er 2 + 2 = 5, dann erklärt, es so ist. Sieh Zwei plus zwei machen fünf für die Geschichte dieser Idee.