In der Mathematik ist eine Lüge-Algebra (nicht) eine algebraische Struktur, deren Hauptgebrauch im Studieren geometrischer Gegenstände ist, die Gruppen und Differentiable-Sammelleitungen Liegen. Lügen Sie Algebra wurden eingeführt, um das Konzept unendlich kleiner Transformationen zu studieren. Der Begriff "Liegt Algebra" (nachdem Sophus Liegen), wurde von Hermann Weyl in den 1930er Jahren eingeführt. In älteren Texten wird der Name "unendlich kleine Gruppe" verwendet.

Definition und die ersten Eigenschaften

Eine Lüge-Algebra ist ein Vektorraum über das ein Feld F zusammen mit einer binären Operation genannt die Lüge-Klammer, die die folgenden Axiome befriedigt:

• Bilinearity:

::

:for alle Skalare a, b in F und allen Elementen x, y, z darin.

• Das Wechseln auf:

::

:for der ganze x darin.

• Die Jacobi Identität:

::

:for der ganze x, y, z darin.

Bemerken Sie, dass der bilinearity und die Wechseleigenschaften anticommutativity, d. h., für alle Elemente x, y darin einbeziehen, während anticommutativity nur das Wechseleigentum einbezieht, wenn die Eigenschaft des Feldes nicht 2 ist.

Für jede assoziative Algebra mit der Multiplikation kann man eine Lüge-Algebra L (A) bauen. Als ein Vektorraum L ist (A) dasselbe als A. Die Lüge-Klammer von zwei Elementen von L (A) wird definiert, um ihr Umschalter in A zu sein:

:

Der associativity der Multiplikation * in A bezieht die Identität von Jacobi des Umschalters in L (A) ein. Insbesondere die assoziative Algebra von n × n matrices über Feld F verursacht die allgemeine geradlinige Lüge-Algebra Die assoziative Algebra A wird eine Einschlagen-Algebra der Lüge-Algebra L (A) genannt. Es ist bekannt, dass jede Lüge-Algebra in diejenige eingebettet werden kann, die aus einer assoziativen Algebra auf diese Mode entsteht. Sieh universale Einschlagen-Algebra.

Homomorphismus, Subalgebra und Ideale

Die Lüge-Klammer ist nicht eine assoziative Operation im Allgemeinen, das bedeutend

:

dann werde ich ein Ideal in der Lüge-Algebra genannt. Eine Lüge-Algebra, in der der Umschalter nicht identisch Null ist, und der keine richtigen Ideale hat, wird einfach genannt. Ein Homomorphismus zwischen zwei Liegt Algebra (über dasselbe Boden-Feld) sind eine geradlinige Karte, die mit den Umschaltern vereinbar ist:

:

für alle Elemente x und y darin. Als in der Theorie von assoziativen Ringen sind Ideale genau die Kerne des Homomorphismus, in Anbetracht einer Lüge-Algebra und eines Ideales I darin, man baut die Faktor-Algebra, und der erste Isomorphismus-Lehrsatz hält für Lüge-Algebra. In Anbetracht zwei Liegen Algebra, und ihre direkte Summe ist die Lüge-Algebra, die aus dem Vektorraum besteht

, der Paare, mit der Operation

:

Beispiele

• Jeder Vektorraum V ausgestattet mit der identisch Nulllüge-Klammer wird eine Lüge-Algebra. Solche Lüge-Algebra werden abelian vgl unten genannt. Jede eindimensionale Lüge-Algebra über ein Feld ist abelian durch die Antisymmetrie der Lüge-Klammer.
• Der dreidimensionale Euklidische Raum R mit der durch das Kreuzprodukt von Vektoren gegebenen Lüge-Klammer wird eine dreidimensionale Lüge-Algebra.
• Die Heisenberg Algebra ist eine dreidimensionale Lüge-Algebra mit Generatoren (sieh auch die Definition beim Erzeugen des Satzes):

::

x = \left (\begin {Reihe} {ccc }\

0&1&0 \\

0&0&0 \\

0&0&0

\end {ordnen }\\Recht), \quad

y = \left (\begin {Reihe} {ccc }\

0&0&0 \\

0&0&1 \\

0&0&0 \end {ordnen }\\Recht), \quad

z = \left (\begin {Reihe} {ccc }\

0&0&1 \\0&0&0 \\0&0&0 \end {ordnen }\\Recht), \quad</Mathematik>

: wessen Umwandlungsbeziehungen sind

::

:It wird als der Raum 3&times;3 ausschließlich ober-dreieckiger matrices ausführlich ausgestellt.

• Der Subraum der allgemeinen geradlinigen Lüge-Algebra, die aus matrices der Spur-Null besteht, ist eine Subalgebra, die spezielle geradlinige Lüge-Algebra, hat angezeigt
• Irgendwelchen Lügen Gruppe G definiert eine verbundene echte Lüge-Algebra. Die Definition ist im Allgemeinen etwas technisch, aber im Fall von echten Matrixgruppen kann sie über die Exponentialkarte oder die Matrixhochzahl formuliert werden. Die Lüge-Algebra besteht aus jenen matrices X für der

::

: für alle reellen Zahlen t. Die Lüge-Klammer dessen wird durch den Umschalter von matrices gegeben. Als ein konkretes Beispiel, betrachten Sie die spezielle geradlinige Gruppe als SL (n, R), aus dem ganzen n × n matrices mit echten Einträgen und Determinante 1 bestehend. Das ist eine Matrixlüge-Gruppe, und seine Lüge-Algebra besteht aus dem ganzen n × n matrices mit echten Einträgen und Spur 0.

• Der echte Vektorraum des ganzen n × n verdreht matrices-hermitian wird unter dem Umschalter geschlossen und bildet eine echte angezeigte Lüge-Algebra. Das ist die Lüge-Algebra der einheitlichen Gruppe U (n).
• Eine wichtige Klasse von unendlich-dimensionalen echten Lüge-Algebra entsteht in der Differenzialtopologie. Der Raum von glatten Vektorfeldern auf einem differentiable vervielfältigt M Formen eine Lüge-Algebra, wo die Lüge-Klammer definiert wird, um der Umschalter von Vektorfeldern zu sein. Eine Weise, die Lüge-Klammer auszudrücken, ist durch den Formalismus von Lüge-Ableitungen, der ein Vektorfeld X mit einer ersten Ordnung teilweiser Differenzialoperator L das Folgen glatten Funktionen identifiziert, indem er L (f) die Richtungsableitung der Funktion f in der Richtung auf X sein lässt. Die Lüge-Klammer [X, Y] zwei Vektorfelder ist das Vektorfeld, das durch seine Handlung auf Funktionen durch die Formel definiert ist:

::

:This Liegen Algebra ist mit der Pseudogruppe von diffeomorphisms der M verbunden.

• Die Umwandlungsbeziehungen zwischen dem x, y, und den z Bestandteilen des winkeligen Schwung-Maschinenbedieners in der Quant-Mechanik bilden eine Darstellung einer komplizierten dreidimensionalen Lüge-Algebra, die der complexification der Lüge-Algebra so (3) der dreidimensionalen Folge-Gruppe ist:

::::::

• Eine Kac-launische Algebra ist ein Beispiel einer unendlich-dimensionalen Lüge-Algebra.

Struktur-Theorie und Klassifikation

Jede endlich-dimensionale echte oder komplizierte Lüge-Algebra hat eine treue Darstellung durch matrices (Der Lehrsatz des Wirbels). Die Hauptsätze der Lüge beschreiben eine Beziehung zwischen Lüge-Gruppen und Liegen Algebra. Insbesondere irgendwelchen Lügen Gruppe verursacht kanonisch entschlossen Liegen Algebra (konkret, der Tangente-Raum an der Identität), und umgekehrt, weil irgendwelchen Algebra Lügen, dort ist ein verbundenes Entsprechen Liegen Gruppe (Der dritte Lehrsatz der Lüge). Diese Lüge-Gruppe wird einzigartig jedoch nicht bestimmt, irgendwelche verbundenen zwei Liegen Gruppen mit demselben Lügen Algebra ist lokal isomorph, und insbesondere hat denselben universalen Deckel. Zum Beispiel Lügen die spezielle orthogonale Gruppe SO (3) und die spezielle einheitliche Gruppe SU (2) verursachen dasselbe, Algebra, die zu R mit dem Kreuzprodukt isomorph ist, und SU (2) ein einfach verbundener zweifacher Deckel SO (3) ist. Echte und komplizierte Lüge-Algebra können einigermaßen klassifiziert werden, und das ist häufig ein wichtiger Schritt zur Klassifikation von Lüge-Gruppen.

Abelian, nilpotent, und lösbar

Analog zu abelian, nilpotent, und lösbaren Gruppen, die in Bezug auf die abgeleiteten Untergruppen definiert sind, kann man abelian, nilpotent, und lösbare Lüge-Algebra definieren.

Eine Lüge-Algebra ist abelian, wenn die Lüge-Klammer, d. h. [x, y] = 0, für den ganzen x und y darin verschwindet. Abelian Liegen Algebra entsprechen auswechselbar (oder abelian) verbunden Liegen Gruppen wie Vektorräume oder Ringe und sind die ganze Form, die einen n-dimensional Vektorraum mit der trivialen Lüge-Klammer bedeutet.

Eine allgemeinere Klasse von Lüge-Algebra wird durch das Verschwinden aller Umschalter der gegebenen Länge definiert. Eine Lüge-Algebra ist nilpotent wenn die niedrigere Hauptreihe

:

wird Null schließlich. Durch den Lehrsatz von Engel ist eine Lüge-Algebra nilpotent wenn und nur wenn für jeden u im adjoint Endomorphismus

:

ist nilpotent.

Mehr allgemein still, wie man sagt, ist eine Lüge-Algebra wenn die abgeleitete Reihe lösbar:

:

wird Null schließlich.

Jede endlich-dimensionale Lüge-Algebra hat ein einzigartiges maximales lösbares Ideal, genannt seinen Radikalen. Unter der Lüge-Ähnlichkeit, nilpotent (beziehungsweise, lösbar) verbunden Liegen Gruppen entsprechen nilpotent (beziehungsweise, lösbar) Liegen Algebra.

Einfach und halbeinfach

Eine Lüge-Algebra ist "einfach", wenn sie keine nichttrivialen Ideale hat und nicht abelian ist.

Eine Lüge-Algebra wird halbeinfach genannt, wenn sein Radikaler Null ist. Gleichwertig, ist halbeinfach, wenn es keine Nichtnull abelian Ideale enthält. Insbesondere eine einfache Lüge-Algebra ist halbeinfach. Umgekehrt kann es bewiesen werden, dass irgendwelcher halbeinfache Lüge-Algebra ist die direkte Summe seiner minimalen Ideale, die einfache Lüge-Algebra kanonisch bestimmt werden.

Das Konzept der Halbeinfachheit für Lüge-Algebra ist nah mit dem ganzen reducibility ihrer Darstellungen verbunden. Wenn der Boden Feld F hat charakteristische Null, Halbeinfachheit einer Lüge-Algebra über F, zum ganzen reducibility aller endlich-dimensionalen Darstellungen Eines frühen Beweises dieser Behauptung gleichwertig ist, ist über die Verbindung mit Kompaktgruppen weitergegangen (der einheitliche Trick von Weyl), aber spätere völlig algebraische Beweise wurden gefunden.

Klassifikation

Auf viele Weisen sind die Klassen von halbeinfachen und lösbaren Lüge-Algebra an den entgegengesetzten Enden des vollen Spektrums der Lüge-Algebra. Die Zergliederung von Levi drückt eine willkürliche Lüge-Algebra als eine halbdirekte Summe seines lösbaren Radikalen und einer halbeinfachen Lüge-Algebra fast auf eine kanonische Weise aus. Halbeinfache Lüge-Algebra über ein algebraisch geschlossenes Feld sind durch ihre Wurzelsysteme völlig klassifiziert worden. Die Klassifikation von lösbaren Lüge-Algebra ist ein 'wildes' Problem, und kann im Allgemeinen nicht vollbracht werden.

Das Kriterium von Cartan gibt Bedingungen für eine Lüge-Algebra, um nilpotent, lösbar, oder halbeinfach zu sein. Es basiert auf dem Begriff der Tötungsform, einer symmetrischen bilinearen Form auf dem definierten durch die Formel

:

wo tr die Spur eines geradlinigen Maschinenbedieners anzeigt. Eine Lüge-Algebra ist halbeinfach, wenn, und nur wenn die Tötungsform nichtdegeneriert ist. Eine Lüge-Algebra ist wenn und nur wenn lösbar

Beziehung, um Gruppen Zu liegen

Obwohl Lügen Sie, werden Algebra häufig in ihrem eigenen Recht studiert, historisch sind sie entstanden, weil ein Mittel zu studieren Gruppen Liegt. In Anbetracht einer Lüge-Gruppe kann eine Lüge-Algebra dazu entweder durch das Ausstatten des Tangente-Raums zur Identität mit dem Differenzial der Adjoint-Karte, oder durch das Betrachten der nach-links-invariant Vektorfelder, wie erwähnt, in den Beispielen vereinigt werden. Diese Vereinigung ist functorial, meinend, dass Homomorphismus des Lüge-Gruppenhebens zum Homomorphismus von Lüge-Algebra und verschiedene Eigenschaften durch dieses Heben zufrieden sind: Es pendelt mit der Zusammensetzung, es stellt kartografisch dar Liegen Untergruppen, Kerne, Quotienten und cokernels von Lüge-Gruppen zu Subalgebra, Kernen, Quotienten und cokernels von Lüge-Algebra beziehungsweise.

Die functor L, der jede nimmt, Liegen Gruppe zu seiner Lüge-Algebra und jeder Homomorphismus zu seinem Differenzial sind treu und genau. Es ist jedoch nicht eine Gleichwertigkeit von Kategorien: Verschiedene Lüge-Gruppen können isomorphe Lüge-Algebra (zum Beispiel SO (3) und SU (2)) haben, und es gibt (unendlich dimensional) Liegen Algebra, die zu irgendwelchen nicht vereinigt werden, Liegen Gruppe.

Jedoch, wenn die Lüge-Algebra endlich-dimensional ist, kann man dazu einfach verbunden verkehren Liegen Gruppe, die als seine Lüge-Algebra hat. Genauer hat die Lüge-Algebra functor L einen linken adjoint functor Γ von endlich-dimensionalen (echten) Lüge-Algebra, um Gruppen Zu liegen, das Factoring durch die volle Unterkategorie einfach verbundenen Liegt Gruppen. Mit anderen Worten gibt es einen natürlichen Isomorphismus von bifunctors

::

Der adjunction (entsprechend der Identität auf) ist ein Isomorphismus, und der andere adjunction ist der Vorsprung-Homomorphismus von der universalen Deckel-Gruppe des Identitätsbestandteils von H zu H. Es folgt sofort dass, wenn G einfach verbunden wird, dann gründet die Lüge-Algebra functor eine bijektive Ähnlichkeit zwischen dem Lüge-Gruppenhomomorphismus GH und Liegt Algebra-Homomorphismus L (G) L (H).

Die universale Deckel-Gruppe kann oben als das Image der Lüge-Algebra laut der Exponentialkarte gebaut werden. Mehr allgemein haben wir das die Lüge-Algebra ist homeomorphic zu einer Nachbarschaft der Identität. Aber allgemein, wenn die Lüge-Gruppe kompakt ist, wird der Exponential-nicht injective sein, und wenn die Lüge-Gruppe nicht verbunden, einfach verbunden oder kompakt wird, braucht die Exponentialkarte nicht surjective zu sein.

Wenn die Lüge-Algebra unendlich-dimensional ist, ist das Problem feiner. In vielen Beispielen ist die Exponentialkarte nicht sogar lokal ein homeomorphism (zum Beispiel, in Diff (S), man kann diffeomorphisms willkürlich in der Nähe von der Identität finden, die nicht im Image von exp sind). Außerdem sind einige unendlich-dimensionale Lüge-Algebra nicht die Lüge-Algebra jeder Gruppe.

Die Ähnlichkeit zwischen Lüge-Algebra und Liegt Gruppen werden auf mehrere Weisen, einschließlich in der Klassifikation von Lüge-Gruppen und der zusammenhängenden Sache der Darstellungstheorie von Lüge-Gruppen verwendet. Jede Darstellung einer Lüge-Algebra hebt sich einzigartig zu einer Darstellung des verbundenen Entsprechens, einfach verbunden Liegen Gruppe, und umgekehrt Liegt jede Darstellung von irgendwelchen Gruppe veranlasst eine Darstellung der Lüge-Algebra der Gruppe; die Darstellungen sind in einer zu einer Ähnlichkeit. Deshalb setzt das Wissen der Darstellungen einer Lüge-Algebra die Frage von Darstellungen der Gruppe. Bezüglich der Klassifikation kann es gezeigt werden, dass irgendwelcher in Verbindung gestanden hat, Liegen die Gruppe mit einer gegebenen Lüge-Algebra ist zum universalen Deckel mod eine getrennte Hauptuntergruppe isomorph. So das Klassifizieren Liegt Gruppen werden einfach eine Sache, die getrennten Untergruppen des Zentrums aufzuzählen, einmal ist die Klassifikation von Lüge-Algebra (gelöst durch Cartan. im halbeinfachen Fall) bekannt.

Kategorie theoretische Definition

Mit der Sprache der Kategorie-Theorie kann eine Lüge-Algebra als ein Gegenstand in Vec, der Kategorie von Vektorräumen über ein Feld k von der Eigenschaft nicht 2, zusammen mit einem morphism [definiert werden.]: Ein  Ein  A, wo sich  auf das monoidal Produkt von Vec, solch dass bezieht

wo τ (ein  b): = b  a und σ ist die zyklischen Versetzungslitzen (id  τ) ° (τ  id). In der diagrammatischen Form:

:

Siehe auch

• Darstellung von Adjoint einer Lüge-Algebra
• Anyonic Liegen Algebra
• Satz einer Algebra erzeugend, hat ein spezieller Fall eines Erzeugens gesetzt
• Index einer Lüge-Algebra
• Tötung der Form
• Lügen Sie Algebra cohomology
• Lügen Sie Algebra-Darstellung
• Lügen Sie bialgebra
• Lügen Sie coalgebra
• Lügen Sie Superalgebra
• Matrix (Mathematik)
• Partikel-Physik und Darstellungstheorie
• Algebra von Poisson
• Quant-Gruppen
• Quasi-Frobenius Liegen Algebra
• Lügen Sie Algebra quasi
• Eingeschränkt Liegen Algebra
• Symmetrische Lüge-Algebra

Zeichen

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