In der Mathematik ist eine Lüge-Gruppe eine Gruppe, die auch eine Differentiable-Sammelleitung mit dem Eigentum ist, dass die Gruppenoperationen mit der glatten Struktur vereinbar sind. Lügen Sie Gruppen werden genannt, nachdem Sophus Liegen, wer die Fundamente der Theorie von dauernden Transformationsgruppen gelegt hat.

Lügen Sie Gruppen vertreten die am besten entwickelte Theorie der dauernden Symmetrie von mathematischen Gegenständen und Strukturen, der sie unentbehrliche Werkzeuge für viele Teile der zeitgenössischen Mathematik, sowie für die moderne theoretische Physik macht. Sie stellen ein natürliches Fachwerk zur Verfügung, für den dauernden symmetries von Differenzialgleichungen (Galois Differenzialtheorie) auf die ziemlich gleiche Weise zu analysieren, weil Versetzungsgruppen in der Theorie von Galois verwendet werden, für den getrennten symmetries von algebraischen Gleichungen zu analysieren. Eine Erweiterung der Theorie von Galois zum Fall von dauernden Symmetrie-Gruppen war eine der Hauptmotivationen der Lüge.

Übersicht

Lügen Sie Gruppen sind glatte Sammelleitungen und können deshalb mit der Differenzialrechnung im Vergleich mit dem Fall von allgemeineren topologischen Gruppen studiert werden. Eine der Schlüsselideen in der Theorie von Lüge-Gruppen ist, den globalen Gegenstand, die Gruppe mit seiner lokalen oder linearized Version zu ersetzen, die Liegen, selbst hat seine "unendlich kleine Gruppe" genannt, und der bekannt als seine Lüge-Algebra seitdem geworden ist.

Lügen Sie Gruppen spielen eine enorme Rolle in der modernen Geometrie auf mehreren verschiedenen Niveaus. Felix Klein hat in seinem Programm von Erlangen behauptet, dass man verschiedene "Geometrie" denken kann, indem man eine passende Transformationsgruppe angibt, die bestimmte geometrische Eigenschaften invariant verlässt. So entspricht Euklidische Geometrie der Wahl der Gruppe E (3) von Entfernung bewahrenden Transformationen des Euklidischen Raums R, conformal Geometrie entspricht Vergrößerung der Gruppe zur conformal Gruppe, wohingegen in der projektiven Geometrie man sich für die Eigenschaften invariant unter der projektiven Gruppe interessiert. Diese Idee hat später zum Begriff einer G-Struktur geführt, wo G eine Lüge-Gruppe von "lokalem" symmetries einer Sammelleitung ist. Auf einem "globalen" Niveau, wann auch immer eine Lüge-Gruppe einem geometrischen Gegenstand, wie Riemannian oder eine Symplectic-Sammelleitung folgt, stellt diese Handlung ein Maß der Starrheit zur Verfügung und gibt eine reiche algebraische Struktur nach. Die Anwesenheit dauernden symmetries, der über eine Lüge-Gruppenhandlung auf einer Sammelleitung ausgedrückt ist, legt starke Einschränkungen auf seine Geometrie und erleichtert Analyse auf die Sammelleitung. Geradlinige Handlungen von Lüge-Gruppen sind besonders wichtig, und werden in der Darstellungstheorie studiert.

In den 1950er Jahren der 1940er Jahre haben Ellis Kolchin, Armand Borel und Claude Chevalley begriffen, dass viele Foundational-Ergebnisse bezüglich Lüge-Gruppen völlig algebraisch entwickelt werden können, die Theorie von algebraischen über ein willkürliches Feld definierten Gruppen verursachend. Diese Scharfsinnigkeit hat neue Möglichkeiten in der reinen Algebra, durch die Versorgung eines gleichförmigen Aufbaus für die meisten begrenzten einfachen Gruppen, sowie in der algebraischen Geometrie geöffnet. Die Theorie von Automorphic-Formen, ein wichtiger Zweig der modernen Zahlentheorie, befasst sich umfassend mit Entsprechungen von Lüge-Gruppen über Adele-Ringe; p-adic Liegen Gruppenspiel eine wichtige Rolle über ihre Verbindungen mit Darstellungen von Galois in der Zahlentheorie.

Definitionen und Beispiele

Eine echte Lüge-Gruppe ist eine Gruppe, die auch eine endlich-dimensionale echte glatte Sammelleitung ist, und in dem die Gruppenoperationen der Multiplikation und Inversion glatte Karten sind. Glätte der Gruppenmultiplikation

:

Mittel, dass μ ist der Produktsammelleitung G×G in G glatt kartografisch darzustellen. Diese zwei Voraussetzungen können zur einzelnen Voraussetzung dass verbunden werden kartografisch darzustellen

:

seien Sie der Produktsammelleitung in G glatt kartografisch darzustellen.

Die ersten Beispiele

• 2×2 bilden echte invertible matrices eine Gruppe unter der Multiplikation, die durch GL(R) angezeigt ist:

::

: Das ist eine vierdimensionale echte Nichtkompaktlüge-Gruppe. Diese Gruppe wird getrennt; es hat zwei verbundene Bestandteile entsprechend den positiven und negativen Werten der Determinante.

• Die Folge matrices bildet eine Untergruppe von GL(R), der durch SO(R) angezeigt ist. Es ist eine Lüge-Gruppe in seinem eigenen Recht: Spezifisch Liegt ein eindimensionaler verbundener kompakter Gruppe, die diffeomorphic zum Kreis ist. Mit dem Drehwinkel als ein Parameter kann diese Gruppe wie folgt parametrisiert werden:

::

\varphi\in\mathbf {R}/2\pi\mathbf {Z }\\right\}. </Mathematik>

: Die Hinzufügung der Winkel entspricht Multiplikation der Elemente von SO(R), und Einnahme des entgegengesetzten Winkels entspricht Inversion. So sind sowohl Multiplikation als auch Inversion Differentiable-Karten.

• Die orthogonale Gruppe bildet auch ein interessantes Beispiel einer Lüge-Gruppe.

Alle vorherigen Beispiele von Lüge-Gruppen fallen innerhalb der Klasse von klassischen Gruppen.

Zusammenhängende Konzepte

Eine komplizierte Lüge-Gruppe wird ebenso mit komplizierten Sammelleitungen aber nicht echten definiert (Beispiel: SL (C)), und ähnlich kann man einen p-adic definieren Liegen Gruppe' über die p-adic Zahlen. Das fünfte Problem von Hilbert hat gefragt, ob das Ersetzen differentiable Sammelleitungen mit topologischen oder analytischen neue Beispiele nachgeben kann. Die Antwort auf diese Frage hat sich erwiesen, negativ zu sein: 1952 haben Gleason, Montgomery und Zippin dass gezeigt, wenn G eine topologische Sammelleitung mit dauernden Gruppenoperationen ist, dann dort besteht genau eine analytische Struktur auf G, der es in eine Lüge-Gruppe verwandelt (sieh auch Vermutung von Hilbert-Smith). Wenn der zu Grunde liegenden Sammelleitung erlaubt wird, dimensional (zum Beispiel, eine Sammelleitung von Hilbert) dann zu sein unendlich, kommt man in den Begriff einer unendlich-dimensionalen Lüge-Gruppe an. Es ist möglich, Entsprechungen von vielen zu definieren, Liegen Gruppen über begrenzte Felder, und diese führen die meisten Beispiele von begrenzten einfachen Gruppen an.

Die Sprache der Kategorie-Theorie stellt eine kurze Definition für Lüge-Gruppen zur Verfügung: Eine Lüge-Gruppe ist ein Gruppengegenstand in der Kategorie von glatten Sammelleitungen. Das ist wichtig, weil es Generalisation des Begriffs einer Lüge-Gruppe erlaubt, Supergruppen Zu liegen.

Mehr Beispiele von Lüge-Gruppen

Lügen Sie Gruppen kommen in Hülle und Fülle überall in der Mathematik und Physik vor. Matrixgruppen oder algebraische Gruppen sind (grob) Gruppen von matrices (zum Beispiel, orthogonale und symplectic Gruppen), und diese führen die meisten allgemeineren Beispiele von Lüge-Gruppen an.

Beispiele

• Euklidischer Raum R mit der gewöhnlichen Vektor-Hinzufügung als die Gruppenoperation wird ein n-dimensional nichtkompakter abelian Liegen Gruppe.
• Die Euklidische Gruppe E(R) ist die Lüge-Gruppe aller Euklidischen Bewegungen, d. h., isometrische Affine-Karten, vom n-dimensional Euklidischen Raum R.
• Die Gruppe GL(R) von invertible matrices (unter der Matrixmultiplikation) ist eine Lüge-Gruppe der Dimension n, genannt die allgemeine geradlinige Gruppe. Es hat eine geschlossene verbundene Untergruppe SL(R), die spezielle geradlinige Gruppe, aus matrices der Determinante 1 bestehend, der auch eine Lüge-Gruppe ist.
• Die orthogonale Gruppe O(R), aus dem ganzen n &times bestehend; n orthogonaler matrices mit echten Einträgen ist ein n (n &minus; Lügen Sie 1)/2-dimensional Gruppe. Diese Gruppe wird getrennt, aber sie hat eine verbundene Untergruppe SO(R) derselben Dimension, die aus orthogonalem matrices der Determinante 1, genannt die spezielle orthogonale Gruppe (für n = 3, die Folge-Gruppe SO (3)) besteht.
• Die einheitliche Gruppe U (n), aus n &times bestehend; n einheitlicher matrices (mit komplizierten Einträgen) ist ein verbundener kompakter Liegen Gruppe der Dimension n. Einheitliche matrices der Determinante 1 bilden eine geschlossene verbundene Untergruppe der Dimension n &minus; 1 hat SU (n), die spezielle einheitliche Gruppe angezeigt.
• Die symplectic Gruppe Sp(R) besteht aus allen 2n &times; 2n matrices Bewahrung eines symplectic formen sich auf R. Es ist eine verbundene Lüge-Gruppe der Dimension 2n + n.
• Die Gruppe von invertible oberem dreieckigem n durch n matrices ist eine lösbare Lüge-Gruppe der Dimension n (n + 1)/2. (vgl Untergruppe von Borel)
• Die Lorentz Gruppe ist eine 6 dimensionale Lüge-Gruppe von geradlinigen Isometrien des Raums von Minkowski.
• Die Poincaré Gruppe ist eine 10 dimensionale Lüge-Gruppe von affine Isometrien des Raums von Minkowski.
• Die Heisenberg Gruppe ist ein verbundener nilpotent Liegen Gruppe der Dimension 3, eine Schlüsselrolle in der Quant-Mechanik spielend.
• Die A-Reihen, B-Reihe, C-Reihe und D-Reihe, deren Elemente durch A, B, C, und D angezeigt werden, sind unendliche Familien von einfachen Lüge-Gruppen.
• Die außergewöhnlichen Lüge-Gruppen von Typen G, F, E, E, E haben Dimensionen 14, 52, 78, 133, und 248. Zusammen mit Ein B C D Reihe von einfachen Lüge-Gruppen vollenden die außergewöhnlichen Gruppen die Liste von einfachen Lüge-Gruppen. Es gibt auch eine Lüge-Gruppe genannt E der Dimension 190, aber es ist nicht eine einfache Lüge-Gruppe.
• Die Kreisgruppe S, aus Winkeln mod 2π unter der Hinzufügung oder, wechselweise, die komplexen Zahlen mit dem absoluten Wert 1 unter der Multiplikation bestehend. Das ist ein eindimensionaler kompakter verbundener abelian Liegen Gruppe.
• Der 3-Bereiche-S bildet eine Lüge-Gruppe durch die Identifizierung mit dem Satz von quaternions der Einheitsnorm, genannt versors. Die einzigen weiteren Bereiche, die die Struktur einer Lüge-Gruppe zulassen, sind der 0-Bereiche-S (reelle Zahlen mit dem absoluten Wert 1) und der Kreis S (komplexe Zahlen mit dem absoluten Wert 1). Zum Beispiel, für sogar n> 1, ist S nicht eine Lüge-Gruppe, weil er kein nichtverschwindendes Vektorfeld zulässt, und so kann ein fortiori nicht parallelizable als eine Differentiable-Sammelleitung sein. Der Bereiche sind nur S, S, S, und S parallelizable. Der Letztere trägt die Struktur einer Lüge-Quasigruppe (eine nichtassoziative Gruppe), der mit dem Satz der Einheit octonions identifiziert werden kann.
• Drehungsgruppen sind doppelte Deckel der speziellen orthogonalen Gruppen, die verwendet sind, um fermions in der Quant-Feldtheorie (unter anderem) zu studieren.
• Die Gruppe U (1) &times;SU (2) &times;SU (3) ist eine Lüge-Gruppe der Dimension 1+3+8=12, der die Maß-Gruppe des Standardmodells in der Partikel-Physik ist. Die Dimensionen der Faktoren entsprechen dem 1 Foton + 3 Vektor bosons + 8 gluons des Standardmodells.
• Die (3-dimensionale) metaplectic Gruppe ist ein doppelter Deckel von SL(R), eine wichtige Rolle in der Theorie von Modulformen spielend. Es ist eine verbundene Lüge-Gruppe, die durch matrices der begrenzten Größe, d. h., eine nichtlineare Gruppe nicht treu vertreten werden kann.

Aufbauten

Es gibt mehrere Standardweisen, neue Lüge-Gruppen von alten zu bilden:

• Das Produkt zwei Liegt Gruppen sind eine Lüge-Gruppe.
• Jede topologisch geschlossene Untergruppe einer Lüge-Gruppe ist eine Lüge-Gruppe. Das ist als der Lehrsatz von Cartan bekannt.
• Der Quotient einer Lüge-Gruppe durch eine geschlossene normale Untergruppe ist eine Lüge-Gruppe.
• Der universale Deckel einer verbundenen Lüge-Gruppe ist eine Lüge-Gruppe. Zum Beispiel ist die Gruppe R der universale Deckel der Kreisgruppe S. Tatsächlich ist jede Bedeckung einer Differentiable-Sammelleitung auch eine Differentiable-Sammelleitung, aber indem man universalen Deckel angibt, versichert man eine Gruppenstruktur (vereinbar mit seinen anderen Strukturen).

Zusammenhängende Begriffe

Einige Beispiele von Gruppen, die nicht sind, Liegen Gruppen (außer im trivialen Sinn, dass jede Gruppe als eine 0-dimensionale Lüge-Gruppe, mit der getrennten Topologie angesehen werden kann), sind:

• Unendliche dimensionale Gruppen, wie die zusätzliche Gruppe eines unendlichen dimensionalen echten Vektorraums. Diese sind nicht Liegen Gruppen, weil sie nicht begrenzte dimensionale Sammelleitungen sind
• Einige völlig getrennte Gruppen, wie die Gruppe von Galois einer unendlichen Erweiterung von Feldern oder die zusätzliche Gruppe der p-adic Zahlen. Diese sind nicht Liegen Gruppen, weil ihre zu Grunde liegenden Räume nicht echte Sammelleitungen sind. (Einige dieser Gruppen sind "p-adic Liegen Gruppen"). Im Allgemeinen können nur topologische Gruppen, die ähnliche lokale Eigenschaften zu R für eine positive ganze Zahl n haben, Lüge-Gruppen sein (natürlich sie müssen auch eine differentiable Struktur haben)

Frühe Geschichte

Gemäß der herrischsten Quelle auf der frühen Geschichte von Lüge-Gruppen (Hawkins, p. 1) Liegen Sophus selbst hat den Winter 1873-1874 als das Geburtsdatum seiner Theorie von dauernden Gruppen betrachtet. Hawkins schlägt jedoch vor, dass es "Die erstaunliche Forschungstätigkeit der Lüge während der vierjährigen Periode vom Fall 1869 bis den Fall 1873" war, der zur Entwicklung der Theorie (ibd.) geführt hat. Einige von den frühen Ideen der Lüge wurden in der nahen Kollaboration mit Felix Klein entwickelt. Lügen Sie getroffen mit Klein jeden Tag vom Oktober 1869 bis 1872: in Berlin vom Ende des Oktobers 1869 zum Ende des Februars 1870, und in Paris, Göttingen und Erlangen in den nachfolgenden zwei Jahren (ibd., p. 2). Lügen Sie festgesetzt, dass alle Hauptergebnisse vor 1884 erhalten wurden. Aber während der 1870er Jahre wurden alle seine Papiere (außer dem allerersten Zeichen) in norwegischen Zeitschriften veröffentlicht, die Anerkennung der Arbeit während des Rests Europas behindert haben (ibd., p. 76). 1884 ist ein junger deutscher Mathematiker, Friedrich Engel, gekommen, um mit der Lüge an einer systematischen Abhandlung zu arbeiten, um seine Theorie von dauernden Gruppen auszustellen. Von dieser Anstrengung hat der dreibändige Theorie der Transformationsgruppen, veröffentlicht 1888, 1890, und 1893 resultiert.

Die Ideen der Lüge haben in der Isolierung vom Rest der Mathematik nicht gestanden. Tatsächlich wurde sein Interesse an der Geometrie von Differenzialgleichungen zuerst durch die Arbeit von Carl Gustav Jacobi auf der Theorie von teilweisen Differenzialgleichungen der ersten Ordnung und auf den Gleichungen der klassischen Mechanik motiviert. Viel Arbeit von Jacobi wurde postum in den 1860er Jahren veröffentlicht, enormes Interesse an Frankreich und Deutschland erzeugend (Hawkins, p. 43). Die Obsession der Lüge sollte eine Theorie von symmetries von Differenzialgleichungen entwickeln, die für sie vollbringen würden, was Évariste Galois für algebraische Gleichungen getan hatte: Nämlich, um sie in Bezug auf die Gruppentheorie zu klassifizieren. Lügen Sie, und andere Mathematiker haben gezeigt, dass die wichtigsten Gleichungen für spezielle Funktionen und orthogonale Polynome dazu neigen, aus der Gruppe theoretischer symmetries zu entstehen. Zusätzlicher Impuls, um dauernde Gruppen zu denken, ist aus Ideen von Bernhard Riemann, auf den Fundamenten der Geometrie und ihrer weiteren Entwicklung in den Händen von Klein gekommen. So wurden drei Hauptthemen in der Mathematik des 19. Jahrhunderts durch die Lüge im Schaffen seiner neuen Theorie verbunden: die Idee von der Symmetrie, wie veranschaulicht, durch Galois durch den algebraischen Begriff einer Gruppe; geometrische Theorie und die ausführlichen Lösungen von Differenzialgleichungen der Mechanik, die von Poisson und Jacobi ausgearbeitet ist; und das neue Verstehen der Geometrie, die in den Arbeiten von Plücker, Möbius, Grassmann und anderen erschienen ist, und in der revolutionären Vision von Riemann des Themas kulminiert hat.

Obwohl heute Sophus Lüge als der Schöpfer der Theorie von dauernden Gruppen rechtmäßig anerkannt wird, wurde ein Hauptschritt in der Entwicklung ihrer Struktur-Theorie, die war, einen tiefen Einfluss auf die nachfolgende Entwicklung der Mathematik zu haben, von Wilhelm Killing gemacht, der 1888 das erste Papier in betiteltem einer Reihe veröffentlicht

hat

Sterben Sie Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen (Die Zusammensetzung von dauernden begrenzten Transformationsgruppen) (Hawkins, p. 100). Die Arbeit der Tötung, die später raffiniert und von Élie Cartan verallgemeinert ist, hat zu Klassifikation von halbeinfachen Lüge-Algebra, der Theorie von Cartan von symmetrischen Räumen und der Beschreibung von Hermann Weyl von Darstellungen von kompakten und halbeinfachen Lüge-Gruppen geführt, die höchste Gewichte verwenden.

Weyl hat die frühe Periode der Entwicklung der Theorie von Lüge-Gruppen zur Verwirklichung gebracht, dafür hat nicht nur getan er klassifiziert nicht zu vereinfachende Darstellungen von halbeinfachen Lüge-Gruppen und verbindet die Theorie von Gruppen mit der Quant-Mechanik, aber er hat auch die Theorie der Lüge selbst über den festeren Stand gestellt, indem er klar die Unterscheidung zwischen den unendlich kleinen Gruppen der Lüge behauptet hat (d. h., Lügen Sie Algebra), und die Lüge-Gruppen richtig, und hat Untersuchungen der Topologie von Lüge-Gruppen (Borel (2001),) begonnen. Die Theorie von Lüge-Gruppen wurde auf der modernen mathematischen Sprache in einer Monografie von Claude Chevalley systematisch nachgearbeitet.

Das Konzept einer Lüge-Gruppe und die Möglichkeiten der Klassifikation

Lügen Sie von Gruppen kann als glatt unterschiedliche Familien von symmetries gedacht werden. Beispiele von symmetries schließen Folge über eine Achse ein. Was verstanden werden muss, ist die Natur von 'kleinen' Transformationen, z.B, Folgen durch winzige Winkel, diese Verbindung nahe gelegene Transformationen. Der mathematische Gegenstand, diese Struktur gewinnend, wird genannt eine Lüge-Algebra (Lügen Sie selbst hat sie "unendlich kleine Gruppen" genannt). Es kann definiert werden, weil Liegen, sind Gruppen Sammelleitungen, so haben Sie Tangente-Räume an jedem Punkt.

Die Lüge-Algebra von irgendwelchem Kompaktlüge-Gruppe (sehr grob: Ein, für den die symmetries einen begrenzten Satz bilden) kann zersetzt werden, weil eine direkte Summe eines abelian Algebra und eine Zahl von einfachen Liegt. Die Struktur eines abelian Liegt Algebra ist mathematisch langweilig (da die Lüge-Klammer identisch Null-ist); das Interesse ist im einfachen summands. Folglich entsteht die Frage: Wie sind die einfachen Lüge-Algebra von Kompaktgruppen? Es stellt sich heraus, dass sie größtenteils in vier unendliche Familien, die "klassischen Lüge-Algebra" A, B, C und D fallen, die einfache Beschreibungen in Bezug auf symmetries des Euklidischen Raums haben. Aber es gibt auch gerade fünf "außergewöhnliche Lüge-Algebra", die in keine dieser Familien fallen. E ist von diesen am größten.

Eigenschaften

• Die diffeomorphism Gruppe einer Lüge-Gruppe handelt transitiv auf der Lüge-Gruppe
• Jede Lüge-Gruppe ist parallelizable, und folglich eine Orientable-Sammelleitung (es gibt einen Bündel-Isomorphismus zwischen seinem Tangente-Bündel und dem Produkt von sich mit dem Tangente-Raum an der Identität)

Typen von Lüge-Gruppen und Struktur-Theorie

Lügen Sie Gruppen werden gemäß ihren algebraischen Eigenschaften (einfach, halbeinfach, lösbar, nilpotent, abelian), ihr Zusammenhang (verbunden oder einfach verbunden) und ihre Kompaktheit klassifiziert.

• Kompaktlüge-Gruppen sind alle bekannt: Sie sind begrenzte Hauptquotienten eines Produktes von Kopien der Kreisgruppe S und einfachen Kompaktlüge-Gruppen (die verbundenen Diagrammen von Dynkin entsprechen).
• Jede einfach verbundene lösbare Lüge-Gruppe ist zu einer geschlossenen Untergruppe der Gruppe von invertible oberem dreieckigem matrices von einer Reihe isomorph, und jede begrenzte dimensionale nicht zu vereinfachende Darstellung solch einer Gruppe ist 1 dimensional. Lösbare Gruppen sind zu unordentlich, um außer in einigen kleinen Dimensionen zu klassifizieren.
• Irgendwelcher hat einfach in Verbindung gestanden nilpotent Liegen Gruppe ist zu einer geschlossenen Untergruppe der Gruppe von invertible oberem dreieckigem matrices mit 1's auf der Diagonale von einer Reihe isomorph, und jede begrenzte dimensionale nicht zu vereinfachende Darstellung solch einer Gruppe ist 1 dimensional. Wie lösbare Gruppen, nilpotent Gruppen sind zu unordentlich, um außer in einigen kleinen Dimensionen zu klassifizieren.
• Einfache Lüge-Gruppen werden manchmal definiert, um diejenigen zu sein, die einfach sind, weil abstrakte Gruppen, und manchmal definiert, um verbunden zu werden, Gruppen mit einer einfachen Lüge-Algebra Lügen. Zum Beispiel ist SL(R) gemäß der zweiten Definition, aber nicht gemäß dem ersten einfach. Sie sind alle (für jede Definition) klassifiziert worden.
• Halbeinfache Lüge-Gruppen sind Lüge-Gruppen, deren Liegen, ist Algebra ein Produkt von einfachen Lüge-Algebra. Sie sind Haupterweiterungen von Produkten von einfachen Lüge-Gruppen.

Der Identitätsbestandteil von irgendwelchen Liegt Gruppe ist eine offene normale Untergruppe, und die Quotient-Gruppe ist eine getrennte Gruppe. Der universale Deckel von irgendwelchem verbunden Liegt Gruppe ist einfach verbunden Liegen Gruppe, und umgekehrt hat irgendwelcher in Verbindung gestanden Liegen Gruppe ist ein Quotient einfach verbunden Liegen Gruppe durch eine getrennte normale Untergruppe des Zentrums. Irgendwelchen Lügen Gruppe G kann in getrennte, einfache und abelian Gruppen auf eine kanonische Weise wie folgt zersetzt werden. Schreiben Sie

:G für den verbundenen Bestandteil der Identität

:G für die größte verbundene normale lösbare Untergruppe

:G für die größte verbundene normale nilpotent Untergruppe

so dass wir eine Folge von normalen Untergruppen haben

:1  G  G  G  G.

Dann

:G/G ist getrennter

:G/G ist eine Haupterweiterung eines Produktes von verbundenen einfachen Liegen Gruppen.

:G/G ist abelian. Ein verbundener abelian Liegt Gruppe ist zu einem Produkt von Kopien von R und der Kreisgruppe S isomorph.

:G/1 ist nilpotent, und deshalb hat seine steigende Hauptreihe alle Quotienten abelian.

Das kann verwendet werden, um einige Probleme über Lüge-Gruppen (wie Entdeckung ihrer einheitlichen Darstellungen) zu denselben Problemen für verbundene einfache Gruppen und nilpotent und lösbare Untergruppen der kleineren Dimension zu reduzieren.

Die Lüge-Algebra hat mit einer Lüge-Gruppe verkehrt

Zu jeder Lüge-Gruppe können wir eine Lüge-Algebra vereinigen, deren zu Grunde liegender Vektorraum der Tangente-Raum von G am Identitätselement ist, das völlig die lokale Struktur der Gruppe gewinnt. Informell können wir an Elemente der Lüge-Algebra als Elemente der Gruppe denken, die" an der Identität "unendlich klein nah sind, und die Lüge-Klammer etwas ist, um mit dem Umschalter von zwei solchen unendlich kleinen Elementen zu tun. Vor dem Geben der abstrakten Definition führen wir einige Beispiele an:

• Die Lüge-Algebra des Vektorraums R ist gerade R mit der Lüge-Klammer, die durch [A, B] = 0 gegeben ist. (Im Allgemeinen ist die Lüge-Klammer einer verbundenen Lüge-Gruppe immer 0, wenn, und nur wenn die Lüge-Gruppe abelian ist.)
• Die Lüge-Algebra der allgemeinen geradlinigen Gruppe GL(R) von invertible matrices ist der Vektorraum M(R) des Quadrats matrices mit der Lüge-Klammer, die durch [A, B] = AB &minus gegeben ist; BA.If G ist eine geschlossene Untergruppe von GL(R) dann von der Lüge-Algebra von G kann informell als die matrices M von solchem M(R) gedacht werden, dass 1 + εm in G ist, wo ε eine unendlich kleine positive Zahl mit ε = 0 ist (natürlich, besteht keine solche reelle Zahl ε). Zum Beispiel, die orthogonale Gruppe O(R) besteht aus matrices mit AA = 1, so besteht die Lüge-Algebra aus der matrices M mit (1 + εm) (1 + εm) = 1, der zur M + M = 0 weil ε = 0 gleichwertig ist.
• Formell, wenn man über den reals als hier arbeitet, wird das durch das Betrachten der Grenze als ε  0 vollbracht; aber die "unendlich kleine" Sprache verallgemeinert direkt, um Gruppen über allgemeine Ringe Zu liegen.

Die konkrete Definition, die oben gegeben ist, ist leicht, damit zu arbeiten, aber hat einige geringe Probleme: Um es zu verwenden, müssen wir zuerst eine Lüge-Gruppe als eine Gruppe von matrices vertreten, aber nicht alle Liegen Gruppen können auf diese Weise vertreten werden, und es ist nicht offensichtlich, dass die Lüge-Algebra der Darstellung unabhängig ist, die wir verwenden. Um um diese Probleme herumzugehen, geben wir

die allgemeine Definition der Lüge-Algebra einer Lüge-Gruppe (in 4 Schritten):

Von

1. Vektorfeldern auf jeder glatten mannigfaltigen M kann als Abstammungen X des Rings von glatten Funktionen auf der Sammelleitung gedacht werden, und deshalb eine Lüge-Algebra unter der Lüge-Klammer [X, Y] = XY &minus bilden; YX, weil die Lüge-Klammer irgendwelcher zwei Abstammungen eine Abstammung ist.
2. Wenn G eine Gruppe ist, die glatt auf der mannigfaltigen M handelt, dann folgt es den Vektorfeldern, und der Vektorraum von von der Gruppe befestigten Vektorfeldern wird unter der Lüge-Klammer geschlossen und bildet deshalb auch eine Lüge-Algebra.
3. Wir wenden diesen Aufbau auf den Fall an, wenn die mannigfaltige M der zu Grunde liegende Raum einer Lüge-Gruppe G mit G ist, der G = M durch linke Übersetzungen L (h) = gh folgt. Das zeigt, dass der Raum von linken invariant Vektorfeldern (Vektorfelder, die LX = X für jeden h in G befriedigen, wo L das Differenzial von L anzeigt) auf einer Lüge-Gruppe, eine Lüge-Algebra unter der Lüge-Klammer von Vektorfeldern ist.
4. Jeder Tangente-Vektor an der Identität einer Lüge-Gruppe kann zu einem linken invariant Vektorfeld durch das linke Übersetzen des Tangente-Vektoren zu anderen Punkten der Sammelleitung erweitert werden. Spezifisch ist die linke invariant Erweiterung eines Elements v des Tangente-Raums an der Identität das Vektorfeld, das durch v^ = Lv definiert ist. Das identifiziert den Tangente-Raum T an der Identität mit dem Raum von linken invariant Vektorfeldern, und macht deshalb den Tangente-Raum an der Identität in eine Lüge-Algebra, genannt die Lüge-Algebra von G, der gewöhnlich durch einen Fraktur So angezeigt ist, die Lüge-Klammer darauf wird ausführlich durch [v, w] = [v^, w^] gegeben.

Diese Lüge-Algebra ist endlich-dimensional, und sie hat dieselbe Dimension wie die Sammelleitung G. Die Lüge-Algebra von G bestimmt G bis zum "lokalen Isomorphismus", wo zwei Liegen, werden Gruppen lokal isomorph genannt, wenn sie dieselbe Nähe das Identitätselement schauen.

Probleme über Lüge-Gruppen werden häufig durch das erste Beheben des entsprechenden Problems für die Lüge-Algebra behoben, und das Ergebnis für Gruppen folgt dann gewöhnlich leicht.

Zum Beispiel werden einfache Lüge-Gruppen gewöhnlich durch das erste Klassifizieren der entsprechenden Lüge-Algebra klassifiziert.

Wir konnten auch eine Lüge-Algebra-Struktur auf T das Verwenden des Rechts invariant Vektorfelder statt linker invariant Vektorfelder definieren. Das führt zu demselben Liegen Algebra, weil die umgekehrte Karte auf G verwendet werden kann, um verlassen invariant Vektorfelder mit dem Recht invariant Vektorfelder und Taten als &minus;1 auf dem Tangente-Raum T zu identifizieren.

Die Lüge-Algebra-Struktur auf T kann auch wie folgt beschrieben werden:

die Umschalter-Operation

: (x, y)  xyxy

auf G &times; G sendet (e, e) zu e, so gibt seine Ableitung eine bilineare Operation auf TG nach. Diese bilineare Operation ist wirklich die Nullkarte, aber die zweite Ableitung, unter der richtigen Identifizierung von Tangente-Räumen, gibt eine Operation nach, die die Axiome einer Lüge-Klammer befriedigt, und es zweimal durch nach-links-invariant Vektorfelder definiertem demjenigen gleich ist.

Homomorphismus und Isomorphismus

Wenn G und H Lüge-Gruppen, dann ein Liegen-Gruppe-Homomorphismus f sind: G  ist H ein glatter Gruppenhomomorphismus. (Es ist gleichwertig, um nur dass f zu verlangen, dauernd aber nicht glatt zu sein.) Ist die Zusammensetzung von zwei solchem Homomorphismus wieder ein Homomorphismus, und die Klasse von allen Liegt Gruppen, zusammen mit diesen morphisms, bilden eine Kategorie. Zwei Liegen Gruppen werden isomorph genannt, wenn dort ein bijektiver Homomorphismus zwischen ihnen besteht, deren Gegenteil auch ein Homomorphismus ist. Isomorphe Lüge-Gruppen sind im Wesentlichen dasselbe; sie unterscheiden sich nur in der Notation für ihre Elemente.

Jeder Homomorphismus f: G  H Lüge-Gruppen veranlasst einen Homomorphismus zwischen den entsprechenden Lüge-Algebra und. Die Vereinigung G ist ein functor (zwischen Kategorien kartografisch darstellend, die bestimmte Axiome befriedigen).

Eine Version des Lehrsatzes des Wirbels ist, dass jede begrenzte dimensionale Lüge-Algebra zu einer Matrixlüge-Algebra isomorph ist. Für jede begrenzte dimensionale Matrixlüge-Algebra gibt es eine geradlinige Gruppe (Matrixlüge-Gruppe) mit dieser Algebra als seine Lüge-Algebra. So ist jede abstrakte Lüge-Algebra die Lüge-Algebra von einer (geradlinigen) Lüge-Gruppe.

Die globale Struktur einer Lüge-Gruppe wird durch seine Lüge-Algebra nicht bestimmt; zum Beispiel, wenn Z eine getrennte Untergruppe des Zentrums von G dann G ist und G/Z dasselbe haben, Liegen Algebra (sieh den Tisch von Lüge-Gruppen für Beispiele).

Eine verbundene Lüge-Gruppe ist einfach, halbeinfach, nilpotent, oder abelian lösbar, wenn, und nur wenn seine Lüge-Algebra das entsprechende Eigentum hat.

Wenn wir verlangen, dass die Lüge-Gruppe einfach verbunden wird, dann wird die globale Struktur durch seine Lüge-Algebra bestimmt: Für jede begrenzte dimensionale Lüge-Algebra über F gibt es einfach verbunden Liegen Gruppe G damit, wie Algebra Liegen, die bis zum Isomorphismus einzigartig ist. Außerdem Liegt jeder Homomorphismus zwischen dem Lüge-Algebra-Heben zu einem einzigartigen Homomorphismus zwischen dem nur verbundenen Entsprechen Gruppen.

Die Exponentialkarte

Die Exponentialkarte von der Lüge-Algebra M(R) der allgemeinen geradlinigen Gruppe GL(R) zu GL(R) wird durch die übliche Macht-Reihe definiert:

:

für matrices A. Wenn G eine Untergruppe von GL(R) ist, dann nimmt die Exponentialkarte die Lüge-Algebra von G in G, so haben wir eine Exponentialkarte für alle Matrixgruppen.

Die Definition ist oben leicht zu verwenden, aber sie wird für Lüge-Gruppen nicht definiert, die nicht Matrixgruppen sind, und es nicht klar ist, dass die Exponentialkarte einer Lüge-Gruppe von seiner Darstellung als eine Matrixgruppe nicht abhängt. Wir können beide Probleme mit einer abstrakteren Definition der Exponentialkarte beheben, die für alle arbeitet, Liegen Gruppen wie folgt.

Jeder Vektor v darin bestimmt eine geradlinige Karte von R bis Einnahme 1 zu v, von dem als ein Lüge-Algebra-Homomorphismus gedacht werden kann. Weil R die Lüge-Algebra einfach verbunden ist, Liegen Gruppe R, das veranlasst einen Lüge-Gruppenhomomorphismus c: R  G so dass

:

für den ganzen s und t. Die Operation ist auf der rechten Seite die Gruppenmultiplikation in G. Die formelle Ähnlichkeit dieser Formel mit ein gültiger für die Exponentialfunktion rechtfertigt die Definition

:

Das wird die Exponentialkarte genannt, und sie stellt die Lüge-Algebra in die Lüge-Gruppe G kartografisch dar. Es stellt einen diffeomorphism zwischen einer Nachbarschaft 0 in und einer Nachbarschaft von e in G zur Verfügung. Diese Exponentialkarte ist eine Generalisation der Exponentialfunktion für reelle Zahlen (weil R die Lüge-Algebra der Lüge-Gruppe von positiven reellen Zahlen mit der Multiplikation ist), für komplexe Zahlen (weil C die Lüge-Algebra der Lüge-Gruppe von komplexen Nichtnullzahlen mit der Multiplikation ist), und für matrices (weil M(R) mit dem regelmäßigen Umschalter die Lüge-Algebra der Lüge-Gruppe GL(R) des ganzen invertible matrices ist).

Weil die Exponentialkarte surjective auf einer Nachbarschaft N von e ist, ist es üblich, Elemente der Lüge-Algebra unendlich kleine Generatoren der Gruppe G zu nennen. Die Untergruppe von durch N erzeugtem G ist der Identitätsbestandteil von G.

Die Exponentialkarte und die Lüge-Algebra bestimmen die lokale Gruppenstruktur jeder verbundenen Lüge-Gruppe wegen der Formel von Baker-Campbell-Hausdorff: Dort besteht eine Nachbarschaft U des Nullelements, solch, dass für u v in U wir haben

:exp (u) exp (v) = exp (u + v + 1/2 u, v + 1/12 [u, v, v &minus; 1/12 [u, v, u &minus;...)

wo die weggelassenen Begriffe bekannt sind und einschließen, Liegen Klammern von vier oder mehr Elementen. Im Falle dass u und v pendeln, nimmt diese Formel zum vertrauten Exponentialgesetz exp (u) exp (v) = exp (u + v) ab.

Die Exponentialkarte von der Lüge-Algebra bis die Lüge-Gruppe ist nicht immer darauf, selbst wenn die Gruppe verbunden wird (obwohl es wirklich auf die Lüge-Gruppe für verbundene Gruppen kartografisch darstellt, die entweder kompakt sind oder nilpotent). Zum Beispiel ist die Exponentialkarte von SL(R) nicht surjective. Außerdem ist Exponentialkarte nicht surjective, noch injective für den unendlich-dimensionalen Liegen (sieh unten) Gruppen, die auf C Fréchet Raum, sogar von der willkürlichen kleinen Nachbarschaft 0 zur entsprechenden Nachbarschaft 1 modelliert sind.

Unendliche dimensionale Lüge-Gruppen

Lügen Sie Gruppen werden häufig definiert, um dimensional zu sein begrenzt, aber es gibt viele Gruppen, die ähneln, Liegen Gruppen, abgesehen davon unendlich dimensional zu sein. Die einfachste Weise, unendliche dimensionale Lüge-Gruppen zu definieren, soll sie auf Banachräumen modellieren, und in diesem Fall ist viel von der grundlegenden Theorie dieser von begrenzten dimensionalen Lüge-Gruppen ähnlich. Jedoch ist das für viele Anwendungen unzulänglich, weil viele natürliche Beispiele von unendlichen dimensionalen Lüge-Gruppen nicht Sammelleitungen von Banach sind. Stattdessen muss man definieren Liegen auf allgemeineren lokal konvexen topologischen Vektorräumen modellierte Gruppen. In diesem Fall wird die Beziehung zwischen der Lüge-Algebra und der Lüge-Gruppe ziemlich fein, und mehrere Ergebnisse über begrenzte dimensionale Lüge-Gruppen halten nicht mehr.

Einige der Beispiele, die studiert worden sind, schließen ein:

• Die Gruppe von diffeomorphisms einer Sammelleitung. Ziemlich viel ist über die Gruppe von diffeomorphisms des Kreises bekannt. Seine Lüge-Algebra ist (mehr oder weniger) die Algebra von Witt, die eine Haupterweiterung genannt die Algebra von Virasoro hat, die in der Schnur-Theorie und conformal Feldtheorie verwendet ist. Sehr wenig ist über die diffeomorphism Gruppen von Sammelleitungen der größeren Dimension bekannt. Die diffeomorphism Gruppe der Raum-Zeit erscheint manchmal in Versuchen, Ernst zu quanteln.
• Die Gruppe von glatten Karten von einer Sammelleitung bis eine begrenzte dimensionale Lüge-Gruppe ist ein Beispiel einer Maß-Gruppe (mit der Operation der pointwise Multiplikation), und wird in der Quant-Feldtheorie und Theorie von Donaldson verwendet. Wenn die Sammelleitung ein Kreis ist, werden diese Schleife-Gruppen genannt, und haben Haupterweiterungen, deren Liegen, sind Algebra (mehr oder weniger) Kac-launische Algebra.
• Es gibt unendliche dimensionale Entsprechungen von allgemeinen geradlinigen Gruppen, orthogonalen Gruppen und so weiter. Ein wichtiger Aspekt ist, dass diese einfachere topologische Eigenschaften haben können: Sieh zum Beispiel den Lehrsatz von Kuiper.

Siehe auch

• Lügen Sie Untergruppe
• E
• Darstellung von Adjoint einer Lüge-Gruppe
• Endomorphismus von Adjoint
• Homogener Raum
• Liste von Lüge-Gruppenthemen
• Liste von einfachen Lüge-Gruppen
• Vieleck von Moufang
• Riemannian vervielfältigen
• Darstellungen von Lüge-Gruppen
• Tisch von Lüge-Gruppen
• Lügen Sie Algebra

Referenzen

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• . Internationale Standardbuchnummer der Kapitel 1-3 3-540-64242-0, internationale Standardbuchnummer der Kapitel 4-6 3-540-42650-7, internationale Standardbuchnummer der Kapitel 7-9 3-540-43405-4

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• Die Rezension von Borel

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• . Der 2003-Nachdruck korrigiert mehrere typografische Fehler.

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