In der Mathematik, mehr spezifisch im Feld der Gruppentheorie, sind eine lösbare Gruppe (oder auflösbare Gruppe) eine Gruppe, die von abelian Gruppen gebaut werden kann, die Erweiterungen verwenden. D. h. eine lösbare Gruppe ist eine Gruppe, deren abgeleitete Reihe in der trivialen Untergruppe endet.

Historisch ist das "lösbare" Wort aus der Theorie von Galois und dem Beweis der allgemeinen Unlösbarkeit der quintic Gleichung entstanden. Spezifisch ist eine polynomische Gleichung durch Radikale lösbar, wenn, und nur wenn die entsprechende Gruppe von Galois lösbar ist.

Definition

Eine Gruppe wird lösbar genannt, wenn sie eine unterdurchschnittliche Reihe hat, deren Faktor-Gruppen der ganze abelian sind, d. h. wenn es solche Untergruppen gibt, der darin normal ist, und eine abelian Gruppe, dafür ist.

Oder gleichwertig, wenn seine abgeleitete Reihe, die hinuntersteigende normale Reihe

wo jede Untergruppe die Umschalter-Untergruppe der vorherigen ist, schließlich erreicht die triviale Untergruppe {1} von G. Diese zwei Definitionen sind gleichwertig, seitdem für jede Gruppe H und jede normale Untergruppe N H der Quotient ist H/N abelian, wenn, und nur wenn N H einschließt. Kleinster solcher n, der die abgeleitete Länge der lösbaren Gruppe G genannt wird.

Für begrenzte Gruppen ist eine gleichwertige Definition, dass eine lösbare Gruppe eine Gruppe mit einer Zusammensetzungsreihe ist alle sind dessen Faktoren zyklische Gruppen der Hauptordnung. Das ist gleichwertig, weil eine begrenzte abelian Gruppe begrenzte Zusammensetzungslänge hat, und jede begrenzte einfache abelian Gruppe von der Hauptordnung zyklisch ist. Der Lehrsatz des Jordans-Hölder versichert dass, wenn eine Zusammensetzungsreihe dieses Eigentum hat, dann wird die ganze Zusammensetzungsreihe dieses Eigentum ebenso haben. Für die Gruppe von Galois eines Polynoms entsprechen diese zyklischen Gruppen den n-ten Wurzeln (Radikale) über ein Feld. Die Gleichwertigkeit hält für unendliche Gruppen nicht notwendigerweise: Zum Beispiel, da jede nichttriviale Untergruppe der Gruppe Z ganzer Zahlen unter der Hinzufügung zu Z selbst isomorph ist, hat es keine Zusammensetzungsreihe, aber die normale Reihe {0, Z}, mit seiner einzigen zu Z isomorphen Faktor-Gruppe, beweist, dass es tatsächlich lösbar ist.

Beispiele

Alle abelian Gruppen sind - eine unterdurchschnittliche Reihe trivial lösbar, die durch gerade die Gruppe selbst und die triviale Gruppe wird gibt. Aber Non-Abelian-Gruppen können oder können nicht lösbar sein.

Mehr allgemein sind alle nilpotent Gruppen lösbar. Insbesondere begrenzte P-Gruppen sind lösbar, weil alle begrenzten P-Gruppen nilpotent sind.

Ein kleines Beispiel eines lösbaren, non-nilpotent Gruppe ist die symmetrische Gruppe S.

Tatsächlich, weil die kleinste einfache non-abelian Gruppe A ist, (die Wechselgruppe des Grads 5), hieraus folgt dass jede Gruppe mit der Ordnung weniger als 60 lösbar sind.

Die Gruppe S ist nicht lösbar - sie hat eine Zusammensetzungsreihe {E, A, S} (und der Lehrsatz des Jordans-Hölder stellt fest, dass jede andere Zusammensetzungsreihe zu dieser einer gleichwertig ist), Faktor-Gruppen gebend, die A und C isomorph sind; und A ist nicht abelian. Dieses Argument verallgemeinernd, das mit der Tatsache verbunden ist, dass A ein normaler, maximales, non-abelian einfache Untergruppe von S für n> 4 ist, sehen wir, dass S für n> 4 nicht lösbar ist. Das ist ein Schlüsselschritt im Beweis dass für jeden n> 4 es gibt Polynome des Grads n, die durch Radikale (Lehrsatz von Abel-Ruffini) nicht lösbar sind. Dieses Eigentum wird auch in der Kompliziertheitstheorie im Beweis des Lehrsatzes von Barrington verwendet.

Der berühmte Lehrsatz von Feit-Thompson stellt fest, dass jede begrenzte Gruppe der sonderbaren Ordnung lösbar ist. Insbesondere deutet das an, dass, wenn eine begrenzte Gruppe einfach ist, es entweder eine Blüte zyklisch oder sogar der Ordnung ist.

Jede begrenzte Gruppe, deren jeder p-Sylow Untergruppen zyklisch ist, ist ein halbdirektes Produkt von zwei zyklischen Gruppen, insbesondere lösbar. Solche Gruppen werden Z-Gruppen genannt.

Eigenschaften

Lösbarkeit wird unter mehreren Operationen geschlossen.

• Wenn G lösbar ist, und es einen Homomorphismus von G auf H gibt, dann ist H lösbar; gleichwertig (durch den ersten Isomorphismus-Lehrsatz), wenn G, und N lösbar ist, ist eine normale Untergruppe von G, dann ist G/N lösbar.
• Das vorherige Eigentum kann ins folgende Eigentum ausgebreitet werden: G ist lösbar, wenn, und nur wenn sowohl N als auch G/N lösbar sind.
• Wenn G lösbar ist, und H eine Untergruppe von G ist, dann ist H lösbar.
• Wenn G und H, das direkte Produkt G &times lösbar sind; H ist lösbar.

Lösbarkeit wird unter der Gruppenerweiterung geschlossen:

• Wenn H und G/H lösbar sind, dann so ist G; insbesondere wenn N und H lösbar sind, ist ihr halbdirektes Produkt auch lösbar.

Es wird auch unter dem Kranz-Produkt geschlossen:

• Wenn G und H lösbar sind, und X ein G-Satz ist, dann ist das Kranz-Produkt von G und H in Bezug auf X auch lösbar.

Für jede positive ganze Zahl N bilden die lösbaren Gruppen der abgeleiteten Länge am grössten Teil von N eine Subvielfalt der Vielfalt von Gruppen, weil sie unter der Einnahme von homomorphic Images, Subalgebra und (direkten) Produkten geschlossen werden. Das direkte Produkt einer Folge von lösbaren Gruppen mit der unbegrenzten abgeleiteten Länge ist nicht lösbar, so ist die Klasse aller lösbaren Gruppen nicht eine Vielfalt.

Der Lehrsatz von Burnside

Der Lehrsatz von Burnside stellt das fest, wenn G eine begrenzte Gruppe der Ordnung ist

wo p und q Primzahlen sind, und a und b natürliche Zahlen sind, dann ist G lösbar.

Zusammenhängende Konzepte

Superlösbare Gruppen

Als eine Stärkung der Lösbarkeit wird eine Gruppe G superlösbar genannt (oder superauflösbar), wenn es eine invariant normale Reihe hat, deren Faktoren alle zyklisch sind. Da eine normale Reihe begrenzte Länge definitionsgemäß hat, sind unzählbare Gruppen nicht superlösbar. Tatsächlich werden alle superlösbaren Gruppen begrenzt erzeugt, und eine abelian Gruppe ist superlösbar, wenn, und nur wenn sie begrenzt erzeugt wird. Die Wechselgruppe A ist ein Beispiel einer begrenzten lösbaren Gruppe, die nicht superlösbar ist.

Wenn wir uns zu begrenzt erzeugten Gruppen einschränken, können wir die folgende Einordnung von Klassen von Gruppen denken:

:cyclic = G wird die (transfinite) abgeleitete Länge der Gruppe G genannt, und es ist gezeigt worden, dass jede Ordnungszahl die abgeleitete Länge von einer Gruppe ist.

Siehe auch

• Pro-lösbare Gruppe
• Superlösbare Gruppe
• Gruppe von Abelian

Referenzen

Links