In der Mathematik, mehr spezifisch in der abstrakten Algebra, der Umschalter-Untergruppe oder abgeleiteten Untergruppe einer Gruppe ist die durch alle Umschalter der Gruppe erzeugte Untergruppe.

Die Umschalter-Untergruppe ist wichtig, weil es die kleinste normale solche Untergruppe ist, dass die Quotient-Gruppe der ursprünglichen Gruppe durch diese Untergruppe abelian ist. Mit anderen Worten ist G/N abelian, wenn, und nur wenn N die Umschalter-Untergruppe enthält. So in einem Sinn stellt es ein Maß dessen zur Verfügung, wie weit die Gruppe davon ist, abelian zu sein; das größere, das die Umschalter-Untergruppe, der "weniger abelian" die Gruppe ist, ist.

Umschalter

Für Elemente g und h einer Gruppe G ist der Umschalter von g und h. Der Umschalter [g, h] ist dem Identitätselement e gleich, wenn und nur wenn gh = hg, d. h. wenn, und nur wenn g und h pendeln. Im Allgemeinen, gh = hg [g, h].

Ein Element von G, der von der Form [g, h] für einen g und h ist, wird einen Umschalter genannt. Das Identitätselement e = [e, e] ist immer ein Umschalter, und es ist der einzige Umschalter, wenn, und nur wenn G abelian ist.

Hier ist etwas einfache, aber nützliche Umschalter-Identität, die für irgendwelche Elemente s, g, h von einer Gruppe G wahr ist:

• wo.
• Für jeden Homomorphismus f: G  H, f ([g, h]) = [f (g), f (h)].

Die erste und zweite Identität deutet an, dass der Satz von Umschaltern in G unter der Inversion und unter der Konjugation geschlossen wird. Wenn in der dritten Identität wir H = G nehmen, bekommen wir das der Satz von Umschaltern ist unter jedem Endomorphismus von G stabil. Das ist tatsächlich eine Generalisation der zweiten Identität, da wir f nehmen können, um die Konjugation automorphism zu sein.

Jedoch braucht das Produkt von zwei oder mehr Umschaltern kein Umschalter zu sein. Ein allgemeines Beispiel ist [a, b] [c, d] in der freien Gruppe auf a, b, c, d. Es ist bekannt, dass kleinste Ordnung einer begrenzten Gruppe, für die dort zwei Umschalter besteht, deren Produkt nicht ein Umschalter ist, 96 ist; tatsächlich gibt es zwei nichtisomorphe Gruppen des Auftrags 96 mit diesem Eigentum.

Definition

Das motiviert die Definition der Umschalter-Untergruppe [G, G] (hat auch die abgeleitete Untergruppe genannt, und hat G&prime angezeigt; oder G) G: Es ist die durch alle Umschalter erzeugte Untergruppe.

Es folgt aus den Eigenschaften von Umschaltern, dass jedes Element [G, G] von der Form ist

:

für eine natürliche Zahl n. Außerdem, seitdem, ist die Umschalter-Untergruppe in G normal. Für jeden Homomorphismus f: G  H,

:

so dass.

Das zeigt, dass die Umschalter-Untergruppe als ein functor auf der Kategorie von Gruppen angesehen werden kann, von denen einige Implikationen unten erforscht werden. Außerdem G = H nehmend, zeigt es, dass die Umschalter-Untergruppe unter jedem Endomorphismus von G stabil ist: D. h. [G, G] ist eine völlig charakteristische Untergruppe von G, ein Eigentum, das beträchtlich stärker ist als Normalität.

Die Umschalter-Untergruppe kann auch als der Satz von Elementen g von der Gruppe definiert werden, die einen Ausdruck als ein Produkt g = g g... g haben, der umgeordnet werden kann, um die Identität zu geben.

Abgeleitete Reihe

Dieser Aufbau kann wiederholt werden:

::

Die Gruppen werden die zweite abgeleitete Untergruppe genannt, Drittel hat Untergruppe, und so weiter, und die hinuntersteigende normale Reihe abgeleitet

:

wird die abgeleitete Reihe genannt. Das sollte mit der niedrigeren Hauptreihe nicht verwirrt sein, deren Begriffe, nicht sind.

Für eine begrenzte Gruppe endet die abgeleitete Reihe in einer vollkommenen Gruppe, die kann oder nicht trivial sein kann. Für eine unendliche Gruppe braucht die abgeleitete Reihe nicht in einer begrenzten Bühne zu enden, und man kann sie zu unendlichen Ordinalzahlen über transfiniten recursion fortsetzen, dadurch die transfinite abgeleitete Reihe erhaltend, die schließlich am vollkommenen Kern der Gruppe endet.

Abelianization

In Anbetracht einer Gruppe G, einer Faktor-Gruppe ist G/N abelian wenn und nur wenn [G, G]  N.

Der Quotient G / [G, G] ist eine abelian Gruppe genannt den abelianization von G, oder G hat abelian gemacht. Es wird gewöhnlich durch G oder G angezeigt.

Es gibt eine nützliche kategorische Interpretation der Karte. Nämlich φ ist für den Homomorphismus von G bis eine abelian Gruppe H universal: für jede abelian Gruppe H und Homomorphismus von Gruppen f: G  H dort besteht ein einzigartiger Homomorphismus F: G  H solch dass. Wie gewöhnlich für durch universale kartografisch darstellende Eigenschaften definierte Gegenstände zeigt das die Einzigartigkeit des abelianization G bis zum kanonischen Isomorphismus, wohingegen der ausführliche Aufbau G  G / [G, G] Existenz zeigt.

Der abelianization functor ist der linke adjoint der Einschließung functor von der Kategorie von abelian Gruppen zur Kategorie von Gruppen.

Eine andere wichtige Interpretation dessen ist als H (G, Z), die erste Homologie-Gruppe von G mit integrierten Koeffizienten.

Klassen von Gruppen

Eine Gruppe G ist eine abelian Gruppe, wenn, und nur wenn die abgeleitete Gruppe trivial ist: [G, G] = {e}. Gleichwertig, wenn, und nur wenn die Gruppe seinem abelianization gleichkommt. Sieh oben für die Definition eines abelianization einer Gruppe.

Eine Gruppe G ist eine vollkommene Gruppe, wenn, und nur wenn die abgeleitete Gruppe der Gruppe selbst gleichkommt: [G, G] = G. Gleichwertig, wenn, und nur wenn der abelianization der Gruppe trivial ist. Das ist zu abelian "entgegengesetzt".

Eine Gruppe mit für einen n in N wird eine lösbare Gruppe genannt; das ist schwächer als abelian, der n = 1 der Fall ist.

Eine Gruppe mit für eine Ordinalzahl, vielleicht unendlich, wird eine hypoabelian Gruppe genannt; das ist schwächer als lösbar, der der Fall ist, ist α (eine natürliche Zahl) begrenzt.

Beispiele

• Die Umschalter-Untergruppe der Wechselgruppe A ist der Klein vier Gruppe.
• Die Umschalter-Untergruppe der symmetrischen Gruppe S ist die Wechselgruppe A.
• Die Umschalter-Untergruppe der quaternion Gruppe Q = {1, −1, bin ich, −i, j, −j, k, −k} [Q, Q] = {1, −1}.

Karte von

Da die abgeleitete Untergruppe charakteristisch ist, veranlasst jeder automorphism von G einen automorphism des abelianization. Da der abelianization abelian, innere Automorphisms-Tat trivial ist, folglich gibt das eine Karte nach

:

Siehe auch

• lösbare Gruppe
• Nilpotent-Gruppe