In der Mathematik ist ein unzählbarer Satz ein unendlicher Satz, der zu viele Elemente enthält, um zählbar zu sein. Der uncountability eines Satzes ist nah mit seiner Grundzahl verbunden: Ein Satz ist unzählbar, wenn seine Grundzahl größer ist als dieser des Satzes aller natürlichen Zahlen.

Charakterisierungen

Es gibt viele gleichwertige Charakterisierungen von uncountability. Ein Satz X ist unzählbar, wenn, und nur wenn einige der folgenden Bedingungen hält:

• Es gibt keine Injective-Funktion von X bis den Satz von natürlichen Zahlen.
• X ist nichtleer, und jeder ω-sequence von Elementen X scheitert, mindestens ein Element X einzuschließen. D. h. X ist nichtleer, und es gibt keine Surjective-Funktion von den natürlichen Zahlen bis X.
• Der cardinality X ist weder begrenzt noch (aleph-ungültig, der cardinality der natürlichen Zahlen) gleich.
• Der Satz X hat cardinality, der ausschließlich größer ist als.

Die ersten drei dieser Charakterisierungen können gleichwertig in der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre ohne das Axiom der Wahl bewiesen werden, aber die Gleichwertigkeit des dritten und vierten kann ohne zusätzliche auserlesene Grundsätze nicht bewiesen werden.

Eigenschaften

• Wenn ein unzählbarer Satz X eine Teilmenge des Satzes Y ist, dann ist Y unzählbar.

Beispiele

Das am besten bekannte Beispiel eines unzählbaren Satzes ist der Satz R von allen reellen Zahlen; das diagonale Argument des Kantoren zeigt, dass dieser Satz unzählbar ist. Die diagonalization Probetechnik kann auch verwendet werden, um zu zeigen, dass mehrere andere Sätze, wie der Satz aller unendlichen Folgen von natürlichen Zahlen und der Satz aller Teilmengen des Satzes von natürlichen Zahlen unzählbar sind. Der cardinality von R wird häufig den cardinality des Kontinuums genannt und durch c, oder, oder (beth ein) angezeigt.

Der Kantor ist untergegangen ist eine unzählbare Teilmenge von R. Der Kantor ist untergegangen ist ein fractal und hat Dimension von Hausdorff, die größer ist als Null, aber weniger als ein (R hat Dimension eine). Das ist ein Beispiel der folgenden Tatsache: Jede Teilmenge von R der Dimension von Hausdorff, die ausschließlich größer ist als Null, muss unzählbar sein.

Ein anderes Beispiel eines unzählbaren Satzes ist der Satz aller Funktionen von R bis R. Dieser Satz ist sogar "unzählbarer" als R im Sinn, dass der cardinality dieses Satzes ist (beth zwei), der größer ist als.

Ein abstrakteres Beispiel eines unzählbaren Satzes ist der Satz aller zählbaren Ordinalzahlen, die durch Ω (Omega) oder ω angezeigt sind. Der cardinality von Ω wird (aleph ein) angezeigt. Es kann mit dem Axiom der Wahl gezeigt werden, die die kleinste unzählbare Grundzahl ist. So entweder, der cardinality des reals, ist dem gleich, oder es ist ausschließlich größer. Georg Cantor war erst, um die Frage dessen vorzuschlagen, ob dem gleich ist. 1900 hat David Hilbert diese Frage als das erste von seinen 23 Problemen gestellt. Die Erklärung, die jetzt die Kontinuum-Hypothese genannt wird und bekannt ist, der Zermelo-Fraenkel Axiome für die Mengenlehre (einschließlich des Axioms der Wahl) unabhängig zu sein.

Ohne das Axiom der Wahl

Ohne das Axiom der Wahl, dort könnte cardinalities unvergleichbar zu (nämlich, der cardinalities von Dedekind-begrenzten unendlichen Sätzen) bestehen. Sätze dieser cardinalities befriedigen die ersten drei Charakterisierungen oben, aber nicht die vierte Charakterisierung. Weil diese Sätze nicht größer sind als die natürlichen Zahlen im Sinne cardinality, können einige nicht sie unzählbar nennen wollen.

Wenn das Axiom der Wahl hält, sind die folgenden Bedingungen auf einem Kardinal gleichwertig:

• und
• , wo und kleinste anfängliche Ordnungszahl ist, die größer ist als

Jedoch können diese alle verschieden sein, wenn das Axiom der Wahl scheitert. So ist es nicht offensichtlich, welcher die passende Generalisation von "uncountability" ist, wenn das Axiom scheitert. Es kann am besten sein zu vermeiden, das Wort in diesem Fall zu verwenden und anzugeben, welchen von diesen bedeutet.

Siehe auch

• Zahl von Aleph
• Zahl von Beth
• Natürliche Zahl
• Injective fungieren
• Halmos, Paul, Naive Mengenlehre. Princeton, New Jersey:D. Van Nostrand Company, 1960. Nachgedruckt vom Springer-Verlag, New York, 1974. Internationale Standardbuchnummer 0-387-90092-6 (Ausgabe des Springers-Verlag).
• Jech, Thomas, 2003. Mengenlehre: Die Dritte Millennium-Ausgabe, Revidiert und Ausgebreitet. Springer. Internationale Standardbuchnummer 3-540-44085-2.

Links

• Beweis, dass R unzählbarer ist