Ein fractal ist ein mathematischer Satz, der eine fractal Dimension hat, die gewöhnlich seine topologische Dimension überschreitet und zwischen den ganzen Zahlen fallen kann. Fractals sind normalerweise selbstähnliche Muster, wo selbstähnlich bedeutet, dass sie "dasselbe von der Nähe sind, weil von weitem" Fractals genau dasselbe an jeder Skala, oder wie illustriert, in der Abbildung 1 sein kann, können sie fast dasselbe an verschiedenen Skalen sein. Die Definition von fractal übertrifft Selbstähnlichkeit per se, um triviale Selbstähnlichkeit auszuschließen und die Idee von einem ausführlichen Muster einzuschließen, das sich wiederholt.

Als mathematische Gleichungen sind fractals gewöhnlich nirgends differentiable, was bedeutet, dass sie auf traditionelle Weisen nicht gemessen werden können. Eine unendliche Fractal-Kurve kann als das Winden durch den Raum verschieden von einer gewöhnlichen Linie wahrgenommen werden, noch eine 1-dimensionale Linie zu sein, die noch eine fractal Dimension hat, die es auch anzeigt, ähnelt einer Oberfläche.

Die mathematischen Wurzeln der Idee von fractals sind durch einen formellen Pfad von veröffentlichten Arbeiten verfolgt worden, im 17. Jahrhundert mit Begriffen von recursion anfangend, dann sich durch die immer strengere mathematische Behandlung des Konzepts zur Studie von dauernden, aber nicht differentiable Funktionen im 19. Jahrhundert, und auf dem Münzen des Wortes im 20. Jahrhundert mit einem nachfolgenden Knospen von Interesse in fractals und dem computergestützten Modellieren im 21. Jahrhundert bewegend. Der Begriff "fractal" wurde zuerst vom Mathematiker Benoît Mandelbrot 1975 gebraucht. Mandelbrot hat es auf der lateinischen Bedeutung "gebrochen" oder "zerbrochen" gestützt, und hat es verwendet, um das Konzept theoretischer Bruchdimensionen zu geometrischen Mustern in der Natur zu erweitern.

Es gibt etwas Unstimmigkeit unter Behörden darüber, wie das Konzept eines fractal formell definiert werden sollte. Die allgemeine Einigkeit besteht darin, dass theoretische fractals ungeheuer selbstähnlich, wiederholt sind, und über mathematische Konstruktionen ausführlich berichtet haben, die fractal Dimensionen haben, von denen viele Beispiele formuliert und in der großen Tiefe studiert worden sind. Fractals werden auf geometrische Muster nicht beschränkt, aber können auch Prozesse rechtzeitig beschreiben. Muster von Fractal mit verschiedenen Graden der Selbstähnlichkeit sind gemacht oder in Images, Strukturen und Tönen studiert und in der Natur, Technologie und Kunst gefunden worden.

Einführung

Das Wort "fractal" hat häufig verschiedene Konnotationen für laypeople als Mathematiker, wo der Laie mit größerer Wahrscheinlichkeit mit der fractal Kunst vertraut sein wird als eine mathematische Vorstellung. Das mathematische Konzept ist schwierig, sogar für Mathematiker formell zu definieren, aber Hauptmerkmale können mit wenig mathematischem Hintergrund verstanden werden.

Die Eigenschaft "der Selbstähnlichkeit" wird zum Beispiel analog zum Heranholen mit einer Linse oder anderem Gerät leicht verstanden, das Digitalimages heranholt, um feiner, vorher unsichtbare, neue Struktur aufzudecken. Wenn das auf fractals jedoch getan wird, erscheint kein neues Detail; nichts ändert sich und dieselben Muster-Wiederholungen immer wieder, oder für einen fractals, fast dasselbe Muster erscheint immer wieder wieder. Selbstähnlichkeit selbst ist nicht notwendigerweise gegenintuitiv (z.B, Leute haben Selbstähnlichkeit informell solcher als in der unendlichen Rückwärtsbewegung in parallelen Spiegeln oder dem Menschlein, dem kleinen Mann innerhalb des Kopfs des kleinen Mannes innerhalb des Kopfs... erwogen). Der Unterschied für fractals ist, dass über das wieder hervorgebrachte Muster ausführlich berichtet werden muss.

Diese Idee, ausführlich berichtet zu werden, bezieht sich auf eine andere Eigenschaft, die ohne mathematischen Hintergrund verstanden werden kann: Eine unbedeutende oder fractal Dimension zu haben, die größer ist als seine topologische Dimension zum Beispiel, bezieht sich darauf, wie ein fractal im Vergleich dazu klettert, wie geometrische Gestalten gewöhnlich wahrgenommen werden. Wie man herkömmlich versteht, ist eine regelmäßige Linie zum Beispiel 1-dimensional; wenn solch eine Kurve in Stücke jeder 1/3 die Länge des Originals geteilt wird, gibt es immer 3 gleiche Stücke. Denken Sie im Gegensatz die Kurve in der Abbildung 2. Es ist auch aus demselben Grund wie die gewöhnliche Linie 1-dimensional, aber es, hat außerdem, eine fractal Dimension, die größer ist als 1 wegen, wie sein Detail gemessen werden kann. Die Fractal-Kurve, die in Teile 1/3 die Länge der ursprünglichen Linie geteilt ist, wird 4 Stücke, die umgeordnet sind, um das ursprüngliche Detail zu wiederholen, und diese ungewöhnliche Beziehung ist die Basis seiner fractal Dimension.

Das führt auch zum Verstehen einer dritten Eigenschaft, dass fractals als mathematische Gleichungen "nirgends differentiable" sind. In einem konkreten Sinn bedeutet das, dass fractals auf traditionelle Weisen nicht gemessen werden kann. Um im Versuchen ausführlich zu behandeln, die Länge einer welligen Non-Fractal-Kurve zu finden, konnte man gerade Segmente von einem Messwerkzeug klein genug finden, um der Länge nach über die Wellen zu liegen, wo die Stücke klein genug werden konnten, um betrachtet zu werden, sich der Kurve auf die normale Weise des Messens mit einem Metermaß anzupassen. Aber im Messen einer welligen Fractal-Kurve wie diejenige in der Abbildung 2 würde man nie finden, dass sich ein genug kleines gerades Segment der Kurve anpasst, weil das wellige Muster immer wieder erscheinen würde, obgleich an einer kleineren Größe, im Wesentlichen etwas mehr vom Metermaß in die Gesamtlänge ziehend, gemessen hat, hat jedes Mal ein versucht, es dichter und dichter zur Kurve zu passen. Das ist vielleicht gegenintuitiv, aber es ist, wie sich fractals benehmen.

Geschichte

Die Geschichte von fractals verfolgt einen Pfad von hauptsächlich theoretischen Studien bis moderne Anwendungen in der Computergrafik mit mehreren bemerkenswerten Menschen, die kanonische Fractal-Formen entlang dem Weg beitragen. Gemäß Pickover hat die Mathematik hinter fractals begonnen, Gestalt im 17. Jahrhundert zu nehmen, als der Mathematiker und Philosoph Gottfried Leibniz rekursive Selbstähnlichkeit erwogen haben (obwohl er den Fehler des Denkens gemacht hat, dass nur die Gerade in diesem Sinn selbstähnlich war). In seinen Schriften hat Leibniz den Begriff "Bruchhochzahlen" gebraucht, aber hat gejammert diese "Geometrie" hat von ihnen noch nicht gewusst. Tatsächlich, gemäß verschiedenen historischen Rechnungen, nach diesem Punkt haben wenige Mathematiker die Probleme und die Arbeit von denjenigen angepackt, die getan haben, ist verdunkelt größtenteils wegen des Widerstands gegen solche fremden erscheinenden Konzepte geblieben, die manchmal mathematische "Ungeheuer" genannt geworden sind. So, erst als zwei Jahrhunderte das 1872 passiert hatten, hat Karl Weierstrass der ersten Definition einer Funktion mit einem Graphen geboten, der heute als fractal betrachtet würde, das nichtintuitive Eigentum habend, überall dauernd zu sein, aber nirgends differentiable. Nicht lange danach, 1883, Georg Cantor, der Vorträgen durch Weierstrass, veröffentlichte Beispiele von Teilmengen der echten Linie beigewohnt hat, die als Sätze von Cantor bekannt ist, die ungewöhnliche Eigenschaften hatten und jetzt als fractals anerkannt werden. Auch im letzten Teil dieses Jahrhunderts haben Felix Klein und Henri Poincaré eine Kategorie von fractal eingeführt, der gekommen ist, "um selbstumgekehrten" fractals genannt zu werden.

Einer der folgenden Meilensteine ist 1904 gekommen, als Helge von Koch, Ideen von Poincaré und unzufrieden mit der abstrakten und analytischen Definition von Weierstrass erweiternd, eine geometrischere Definition einschließlich der Hand gezogene Images einer ähnlichen Funktion gegeben hat, die jetzt die Kurve von Koch genannt wird (sieh Abbildung 2). Ein anderer Meilenstein ist ein Jahrzehnt später 1915 gekommen, als Wacław Sierpiński sein berühmtes Dreieck dann, ein Jahr später, seinen Teppich gebaut hat. Vor 1918 sind zwei französische Mathematiker, Pierre Fatou und Gaston Julia, obwohl, unabhängig arbeitend, im Wesentlichen gleichzeitig in Ergebnisse angekommen, die beschreiben, was jetzt als fractal Verhalten gesehen wird, das damit vereinigt ist, komplexe Zahlen und wiederholende Funktionen und das Führen zu weiteren Ideen über attractors und repellors kartografisch darzustellen (d. h., Punkte, die anziehen oder andere Punkte zurücktreiben), die sehr wichtig in der Studie von fractals geworden sind (sieh Abbildung 3 und Abbildung 4). Sehr, kurz nachdem diese Arbeit vor dem März 1918 vorgelegt wurde, hat Felix Hausdorff die Definition "der Dimension" bedeutsam für die Evolution der Definition von fractals ausgebreitet, um Sätze zu berücksichtigen, um Dimensionen der nichtganzen Zahl zu haben. Die Idee von selbstähnlichen Kurven wurde weiter von Paul Pierre Lévy genommen, der, in seinem 1938-Papierflugzeug oder Raumkurven und Oberflächen, die aus dem Ganzen Ähnlichen Teilen Bestehen, eine neue Fractal-Kurve, der Lévy C Kurve beschrieben hat.

Verschiedene Forscher haben verlangt, dass ohne die Hilfe der modernen Computergrafik frühe Ermittlungsbeamte darauf beschränkt wurden, was sie in manuellen Zeichnungen zeichnen konnten, so hat an den Mitteln Mangel gehabt, sich die Schönheit zu vergegenwärtigen und einige der Implikationen von vielen der Muster zu schätzen, die sie entdeckt hatten (der Satz von Julia, zum Beispiel, konnte nur durch einige Wiederholungen als sehr einfache Zeichnungen vergegenwärtigt werden, die kaum dem Image in der Abbildung 3 ähneln). Das änderte sich jedoch in den 1960er Jahren, als Benoît Mandelbrot anfing, über die Selbstähnlichkeit in Zeitungen solchen als zu schreiben, Wie lang die Küste Großbritanniens Ist? Statistische Selbstähnlichkeit und Bruchdimension, die auf frühere Arbeit von Lewis Fry Richardson gebaut hat. 1975 hat Mandelbrot Hunderte von Jahren des Gedankens und der mathematischen Entwicklung im Münzen des Wortes "fractal" konsolidiert und hat seine mathematische Definition mit dem Anschlagen von computergebauten Vergegenwärtigungen illustriert. Diese Images, solcher bezüglich seines kanonischen in der Abbildung 1 geschilderten Satzes von Mandelbrot haben die populäre Einbildungskraft gewonnen; viele von ihnen haben auf recursion basiert, zur populären Bedeutung des Begriffes "fractal" führend.

Zurzeit, fractal Studien sind im Wesentlichen exklusiv computergestützt.

Eigenschaften

Eine häufig zitierte Beschreibung, die Mandelbrot veröffentlicht hat, um geometrischen fractals zu beschreiben, ist "ein rauer oder hat geometrische Gestalt gebrochen, die in Teile gespalten werden kann, von denen jeder (mindestens ungefähr) eine Kopie der reduzierten Größe des Ganzen ist"; das ist allgemein nützlich, aber beschränkt. Behörden stimmen auf der genauen Definition von fractal nicht überein, aber behandeln am meisten gewöhnlich die Grundideen der Selbstähnlichkeit und einer ungewöhnlichen Beziehung mit dem Raum ausführlich, in dem ein fractal eingebettet wird.

Ein vereinbarter Punkt ist, dass fractal Muster durch fractal Dimensionen charakterisiert werden, aber wohingegen diese Zahlen Kompliziertheit messen (d. h., Detail mit der sich ändernden Skala ändernd), sie weder einzigartig beschreiben noch Details dessen angeben, wie man besondere fractal Muster baut. 1975, als Mandelbrot das Wort "fractal" ins Leben gerufen hat, hat er so getan, um einen Gegenstand anzuzeigen, dessen Hausdorff-Besicovitch Dimension größer ist als seine topologische Dimension. Es ist bemerkt worden, dass dieser dimensionalen Anforderung durch fractal raumfüllende Kurven wie die Kurve von Hilbert nicht entsprochen wird.

Gemäß dem Falkner, anstatt, ausschließlich definiert zu werden, sollte fractals, zusätzlich dazu differentiable und fähig zu sein, eine fractal Dimension zu haben, allgemein durch einen gestalt der folgenden Eigenschaften charakterisiert zu werden:

:* Selbstähnlichkeit, die als manifestiert werden kann:

::* Genaue Selbstähnlichkeit: identisch an allen Skalen; z.B Schneeflocke von Koch

::* Quasiselbstähnlichkeit: Kommt demselben Muster an verschiedenen Skalen näher; kann kleine Kopien des kompletten fractal in verdrehten und degenerierten Formen enthalten; z.B sind die Satz-Satelliten von Mandelbrot Annäherungen des kompletten Satzes, aber nicht genaue Kopien, wie gezeigt, in der Abbildung 1

::* Statistische Selbstähnlichkeit: Wiederholt ein Muster stochastisch, deshalb werden numerische oder statistische Maßnahmen über Skalen bewahrt; z.B, zufällig erzeugter fractals; das wohl bekannte Beispiel der Küstenlinie Großbritanniens, für das nicht annehmen würde, ein Segment erklettert und wiederholt so ordentlich zu finden, wie die wiederholte Einheit, die, zum Beispiel, die Schneeflocke von Koch definiert

::*Qualitative-Selbstähnlichkeit: als in einer Zeitreihe

::* Schuppen von Multifractal: charakterisiert durch mehr als eine fractal Dimension oder Regel erkletternd

:* Feine oder ausführliche Struktur an willkürlich kleinen Skalen. Eine Folge dieser Struktur ist fractals kann auftauchende Eigenschaften (verbunden mit dem folgenden Kriterium in dieser Liste) haben.

:* Unregelmäßigkeit lokal, und allgemein der auf der traditionellen Euklidischen geometrischen Sprache nicht leicht beschrieben wird. Für Images von fractal Mustern ist das durch Ausdrücke solcher ausgedrückt worden, weil, "glatt Oberflächen" anhäufend, und "auf Strudel wirbelt".

:* Einfach und "vielleicht sehen rekursive" Definitionen Allgemeine Techniken, um fractals zu erzeugen

Als eine Gruppe bilden diese Kriterien Richtlinien für das Ausschließen bestimmter Fälle, wie diejenigen, die selbstähnlich sein können, ohne anderen normalerweise fractal Eigenschaften zu haben. Eine Gerade ist zum Beispiel selbstähnlich, aber nicht fractal, weil sie an Detail Mangel hat, auf der Euklidischen Sprache leicht beschrieben wird, dieselbe Dimension von Hausdorff wie topologische Dimension hat, und ohne ein Bedürfnis nach recursion völlig definiert wird.

Allgemeine Techniken, um fractals zu erzeugen

:* Wiederholte Funktionssysteme - Gebrauch hat geometrische Ersatzregeln befestigt; kann stochastisch oder deterministisch sein; z.B, Schneeflocke von Koch, ist Kantor, Teppich von Sierpinski, Dichtung von Sierpinski, Kurve von Peano, Harter-Heighway Drache-Kurve, Reißschiene, Schwamm von Menger untergegangen

:* Fremde attractors - verwenden Wiederholungen einer Karte oder Lösungen eines Systems von Anfangswert-Differenzialgleichungen, die Verwirrung ausstellen (z.B, sieh multifractal Image)

:* L-Systeme - verwenden das Schnur-Neuschreiben; kann sich verzweigenden Mustern, solcher als in Werken, biologische Zellen ähneln (z.B, Neurone und Immunsystem-Zellen), Geäder, Lungenstruktur, usw. (z.B, sieh Abbildung 5), oder Schildkröte-Grafikmuster wie raumfüllende Kurven und tilings

:* Mit der Flucht malige fractals - verwenden eine Formel oder Wiederauftreten-Beziehung an jedem Punkt in einem Raum (wie das komplizierte Flugzeug); gewöhnlich "Quasi-selbst ähnlich"; auch bekannt als "Bahn" fractals; z.B gehen Mandelbrot unter, Julia, ist Brennendes Schiff fractal, Nova fractal und Lyapunov fractal untergegangen. Die 2. Vektorfelder, die durch eine oder zwei Wiederholungen von mit der Flucht maligen Formeln auch erzeugt werden, verursachen eine Fractal-Form, wenn Punkte (oder Pixel-Daten) durch dieses Feld wiederholt passiert werden.

:* Zufällige fractals - verwenden stochastische Regeln; z.B, Flug von Lévy, Filtrationstrauben, selbst das Vermeiden von Spaziergängen, fractal Landschaften, Schussbahnen der Brownschen Bewegung und des Baums von Brownian (d. h., dendritic fractals erzeugt durch das Modellieren der Verbreitungsbeschränkten Ansammlung oder Reaktionsbeschränkten Ansammlungstrauben).

Vorgetäuschter fractals

Muster von Fractal sind umfassend, obgleich innerhalb einer Reihe von Skalen aber nicht ungeheuer infolge der praktischen Grenzen der physischen Zeit und Raums modelliert worden. Modelle können theoretischen fractals oder natürliche Phänomene mit Fractal-Eigenschaften vortäuschen. Die Produktionen des Modellieren-Prozesses können hoch künstlerische Übergabe, Produktionen für die Untersuchung oder Abrisspunkte für die fractal Analyse sein. Einige spezifische Anwendungen von fractals zur Technologie werden anderswohin verzeichnet. Images und andere Produktionen des Modellierens werden genannt normalerweise "fractals" zu sein, selbst wenn sie ausschließlich fractal Eigenschaften, solcher als nicht haben, wenn es möglich ist, in ein Gebiet des fractal Images zu surren, das keine fractal Eigenschaften ausstellt. Außerdem können diese Berechnung einschließen oder Kunsterzeugnisse zeigen, die nicht Eigenschaften von wahrem fractals sind.

Modellierter fractals kann Töne, Digitalimages, elektrochemische Muster, circadian Rhythmen usw. sein.

Muster von Fractal sind im physischen 3-dimensionalen Raum und eigentlich wieder aufgebaut, häufig "in silico" das Modellieren genannt worden. Modelle von fractals werden allgemein mit dem Fractal-Erzeugen der Software geschaffen, die Techniken wie diejenigen durchführt, die oben entworfen sind. Als eine Illustration können Bäume, Farne, Zellen des Nervensystems, des Bluts und der Lunge vasculature und der anderen sich verzweigenden Muster in der Natur auf einem Computer durch das Verwenden rekursiver Algorithmen und L-Systemtechniken modelliert werden. Die rekursive Natur von einigen Mustern ist in bestimmten Beispielen offensichtlich — ein Zweig von einem Baum oder einem Wedel von einem Farn ist eine Miniaturreplik des Ganzen: nicht identisch, aber ähnlich in der Natur. Ähnlich sind zufällige fractals verwendet worden, um viele hoch unregelmäßige wirkliche Gegenstände zu beschreiben zu/schaffen. Eine Beschränkung, fractals zu modellieren, ist, dass die Ähnlichkeit eines fractal Modells zu einer Naturerscheinung nicht beweist, dass das Phänomen, das wird modelliert, durch einen dem Modellieren-Algorithmus ähnlichen Prozess gebildet wird.

Natürliche Phänomene mit Fractal-Eigenschaften

Kommen Sie fractals näher, der in der Natur-Anzeigeselbstähnlichkeit über verlängerte aber begrenzte, Skalenbereiche gefunden ist. Die Verbindung zwischen fractals und Blättern wird zurzeit zum Beispiel verwendet, um zu bestimmen, wie viel Kohlenstoff in Bäumen enthalten wird.

Beispiele von Phänomenen bekannt oder vorausgesehen, Fractal-Eigenschaften zu haben, werden unten verzeichnet:

• Wolken
• Flussnetze
• Schuld-Linien
• Bergketten
• Krater
• Blitzbolzen
• Küstenlinien
• verschiedene Gemüsepflanzen (Blumenkohl und Brokkoli)
• Tierfärbungsmuster.
• Brokkoli von Romanesco
• Herzraten
• Herzschlag
• Erdbeben
• Schnee-Flocken
• Kristalle
• Geäder und Lungenbehälter,
• Ozeanwellen
• DNA

In kreativen Arbeiten

Muster von Fractal sind in den Bildern des amerikanischen Künstlers Jackson Pollock gefunden worden. Während die Bilder von Pollock scheinen, aus dem chaotischen Tröpfeln und Bespritzen zusammengesetzt zu werden, hat Computeranalyse fractal Muster in seiner Arbeit gefunden.

Abziehbild, eine Technik, die von Künstlern wie Max Ernst verwendet ist, kann fractal ähnliche Muster erzeugen. Es schließt drückende Farbe zwischen zwei Oberflächen ein und sie auseinander zu reißen.

Kybernetiker Ron Eglash hat vorgeschlagen, dass fractal ähnliche Strukturen in der afrikanischen Kunst und Architektur überwiegend sind. Kreisförmige Häuser erscheinen in Kreisen von Kreisen, rechteckigen Häusern in Rechtecken von Rechtecken und so weiter. Solche kletternden Muster können auch in afrikanischen Textilwaren, Skulptur, und sogar cornrow Frisuren gefunden werden.

In einem 1996-Interview mit Michael Silverblatt hat David Foster Wallace zugegeben, dass die Struktur des ersten Entwurfs des Unendlichen Scherzes, den er seinem Redakteur Michael Pietsch gegeben hat, durch fractals, spezifisch das Dreieck von Sierpinski (auch bekannt als Dichtung von Sierpinski) begeistert wurde, aber dass der editierte Roman "mehr wie eine schiefe Sierpinsky Dichtung" ist.

Anwendungen in der Technologie

• Fractal-Antennen
• Digitalbildaufbereitung
• städtisches Wachstum
• Die Klassifikation von histopathology lässt gleiten
• Landschaft von Fractal oder Küstenlinie-Kompliziertheit
• Enzyme/enzymology (Michaelis-Menten Kinetik)
• Generation der neuen Musik
• Signal und Bildkompression
• Entwicklung von fotografischen Digitalvergrößerungen
• Seismologie
• Fractal in der Boden-Mechanik
• Computer und Videospiel-Design
• Computergrafik
• organische Umgebungen
• Verfahrensgeneration
• Fractography und Bruch-Mechanik
• Kleine Winkelzerstreuen-Theorie von fractally raue Systeme
• T-Shirts und andere Mode
• Generation von Mustern für die Tarnung, wie MARPAT
• Digitalsonnenuhr
• Technische Analyse der Preisreihe
• Fractals in Netzen
• Medizin
• neuroscience
• diagnostische Bildaufbereitung
• Pathologie
• Geologie
• Erdkunde
• Archäologie
• Boden-Mechanik
• Seismologie
• suchen Sie und retten Sie
• technische Analyse

Siehe auch

• Banach hat Punkt-Lehrsatz befestigt
• Gabelungstheorie
• Kasten, zählend
• Schmetterling-Wirkung
• Kompliziertheit
• Theorie von Constructal
• Cymatics
• Diamantquadratalgorithmus
• Wirkung von Droste
• Feigenbaum fungieren
• Kompression von Fractal
• Kosmologie von Fractal
• Netze von Fractal
• Fractint
• Fracton
• Goldenes Verhältnis
• Graftal
• Greeble
• Lacunarity
• Liste von fractals durch die Dimension von Hausdorff
• Veröffentlichungen in der fractal Geometrie
• Mandelbulb
• System von Multifractal
• Newton fractal
• Filtration
• Macht-Gesetz
• Zufälliger Spaziergang
• Heilige Geometrie
• Selbst das Vermeiden des Spaziergangs
• Selbstverweisung
• Fremde Schleife
• Turbulenz

Das Fractal-Erzeugen von Programmen

Es gibt viele fractal das Erzeugen von Programmen verfügbar, sowohl frei als auch kommerziell. Einige der fractal das Erzeugen von Programmen schließen ein:

• Apophysis - die offene Quellsoftware für Windows von Microsoft hat Systeme gestützt
• Elektrische Schafe - offene Quelle hat Rechensoftware verteilt
• Fractint - freeware mit der verfügbaren Quelle codieren
• Sterling - die Software von Freeware für Windows von Microsoft hat Systeme gestützt
• SpangFract - für Mac OS
• Extremer Fractal - Ein fractal Eigentumsgenerator für Windows von Microsoft hat Systeme gestützt
• XaoS - Eine böse Plattform öffnet Quelle fractal surrendes Programm
• Terragen - ein fractal Terrain-Generator

Die meisten obengenannten Programme machen zweidimensionalen fractals mit einigen schaffenden dreidimensionalen Fractal-Gegenständen wie Quaternion. Ein spezifischer Typ von dreidimensionalem fractal, genannt mandelbulbs, wurde 2009 eingeführt.

Referenzen

Weiterführende Literatur

• Barnsley, Michael F. und das Steigen von Hawley. Fractals Überall. Boston: Akademischer Pressefachmann, 1993. Internationale Standardbuchnummer 0-12-079061-0
• Falkner, Kenneth. Techniken in der Fractal Geometrie. John Wiley and Sons, 1997. Internationale Standardbuchnummer 0-471-92287-0
• Jürgens, Hartmut, Heins-Otto Peitgen und Dietmar Saupe. Chaos und Fractals: Neue Grenzen der Wissenschaft. New York: Springer-Verlag, 1992. Internationale Standardbuchnummer 0-387-97903-4
• Benoît B. Mandelbrot Die Fractal Geometrie der Natur. New York:W. H. Freeman and Co., 1982. Internationale Standardbuchnummer 0-7167-1186-9
• Peitgen, Heinz-Otto, und Dietmar Saupe, Hrsg. Die Wissenschaft von Fractal Images. New York: Springer-Verlag, 1988. Internationale Standardbuchnummer 0-387-96608-0
• Clifford A. Pickover, Hrsg. Chaos und Fractals: Ein Computer Grafische Reise - Eine 10-jährige Kompilation der Fortgeschrittenen Forschung. Elsevier, 1998. Internationale Standardbuchnummer 0-444-50002-2
• Jesse Jones, Fractals für den Macintosh, die Presse von Waite Group, Corte Madera, Kalifornien, 1993. Internationale Standardbuchnummer 1-878739-46-8.
• Hans Lauwerier, Fractals: Endlos Wiederholte Geometrische Abbildungen, die durch Sophia Gill-Hoffstadt, Universität von Princeton Presse, Princeton NJ, 1991 übersetzt sind. Internationale Standardbuchnummer 0 691 08551 X, Stoff. Internationale Standardbuchnummer 0-691-02445-6 Paperback. "Dieses Buch ist für ein breites Publikum geschrieben worden..." Schließt GRUNDLEGENDE Beispielprogramme in einen Anhang ein.
• Bernt Wahl, Peter Van Roy, Michael Larsen, und Eric Kampman Exploring Fractals auf dem Macintosh, Addison Wesley, 1995. Internationale Standardbuchnummer 0-201-62630-6
• Nigel Lesmoir-Gordon. "Die Farben der Unendlichkeit: Die Schönheit, Die Macht und der Sinn von Fractals." Internationale Standardbuchnummer 1-904555-05-5 (Kommt das Buch mit einer zusammenhängenden DVD der Dokumentareinführung von Arthur C. Clarke ins fractal Konzept und den Satz von Mandelbrot.
• Gouyet, Jean-François. Physik und Fractal Strukturen (Vorwort von B. Mandelbrot); Masson, 1996. Internationale Standardbuchnummer 2-225-85130-1 und New York: Springer-Verlag, 1996. Internationale Standardbuchnummer 978-0-387-94153-0. Vergriffen. Verfügbar in der PDF Version daran.

Links

• Scaling und Fractals, der von Shlomo Havlin, Universität der Bar-Ilan präsentiert ist
• Das Jagen der Verborgenen Dimension, PBS NOVA, hat zuerst am 24. August 2011 gelüftet