In der Mathematik ist ein selbstähnlicher Gegenstand genau oder ungefähr ähnlich einem Teil von sich (d. h. der Ganze hat dieselbe Gestalt wie ein oder mehr von den Teilen). Viele Gegenstände in der echten Welt, wie Küstenlinien, sind statistisch selbstähnlich: Teile von ihnen zeigen dieselben statistischen Eigenschaften an vielen Skalen. Selbstähnlichkeit ist ein typisches Eigentum von fractals.

Skala invariance ist eine genaue Form der Selbstähnlichkeit wo an jeder Vergrößerung es gibt ein kleineres Stück des Gegenstands, der dem Ganzen ähnlich ist. Zum Beispiel ist eine Seite der Schneeflocke von Koch sowohl symmetrisch als auch Skala-invariant; es kann ständig 3x vergrößert werden, ohne Gestalt zu ändern.

Definition

Ein topologischer Kompaktraum X ist selbstähnlich, wenn dort ein begrenzter Satz S das Indexieren einer Reihe von non-surjective homeomorphisms für der besteht

Wenn wir X selbstähnlich rufen, wenn es die einzige nichtleere Teilmenge von solchem Y ist, dass die Gleichung oben dafür hält. Wir nennen

eine selbstähnliche Struktur. Der homeomorphisms kann wiederholt werden, auf ein wiederholtes Funktionssystem hinauslaufend. Die Zusammensetzung von Funktionen schafft die algebraische Struktur eines monoid. Wenn der Satz S nur zwei Elemente hat, ist der monoid als der dyadische monoid bekannt. Der dyadische monoid kann als ein unendlicher binärer Baum vergegenwärtigt werden; mehr allgemein, wenn der Satz S p Elemente hat, dann kann der monoid als ein p-adic Baum vertreten werden.

Der automorphisms des dyadischen monoid ist die Modulgruppe; der automorphisms kann als Hyperbelfolgen des binären Baums geschildert werden.

Beispiele

Der Mandelbrot-Satz ist auch um Punkte von Misiurewicz selbstähnlich.

Selbstähnlichkeit hat wichtige Folgen für das Design von Computernetzen, wie typischer Netzverkehr selbstähnliche Eigenschaften hat. Zum Beispiel, in der teletraffic Technik, hat Paket umgeschaltet Datenverkehr-Muster scheinen, statistisch selbstähnlich zu sein. Dieses Eigentum bedeutet, dass einfache Modelle mit einem Vertrieb von Poisson ungenau sind, und Netze, die entworfen sind, ohne Selbstähnlichkeit in Betracht zu ziehen, wahrscheinlich auf unerwartete Weisen fungieren werden.

Ähnlich werden Aktienbörse-Bewegungen als das Anzeigen der Selbstsympathie beschrieben, d. h. sie scheinen selbstähnlich, wenn umgestaltet, über eine passende affine Transformation für das Niveau des Details, das wird zeigt.

Selbstähnlichkeit kann in der Natur ebenso gefunden werden. Nach rechts ist ein mathematisch erzeugtes, vollkommen selbstähnliches Image eines Farns, das eine gekennzeichnete Ähnlichkeit mit natürlichen Farnen hat. Andere Werke, wie Brokkoli von Romanesco, stellen starke Selbstähnlichkeit aus.

In der Musik ist ein Ton von Shepard in der Frequenz oder den Wellenlänge-Gebieten selbstähnlich.

Siehe auch

• Wirkung von Droste
• Recursion
• Selbstverweisung
• Das Gesetz von Zipf
• Selbstunähnlichkeit

Links

• "Kupferstich-Chevrons" — ein selbstähnlicher fractal Zoom-Film
• "Selbstähnlichkeit" — Artikel New über die Selbstähnlichkeit. Walzer-Algorithmus