In der Mathematik, spezifisch allgemeinen Topologie und metrischen Topologie, ist ein Kompaktraum ein abstrakter mathematischer Raum, dessen Topologie das Kompaktheitseigentum hat, das viele wichtige in allgemeinen Räumen nicht gültige Implikationen hat. Kompaktheit ist nicht leicht, genau auf eine intuitive Weise zu beschreiben; in einem Sinn sagt es, dass die Topologie dem Raum erlaubt, als "klein" betrachtet zu werden (Kompaktheit ist eine Art topologische Kopie zur Endlichkeit von Sätzen), wenn auch als ein Satz es ziemlich groß sein kann. Außerdem sind intuitivere Charakterisierungen der Kompaktheit häufig von zusätzlichen Eigenschaften des topologischen Raums abhängig, gültig zu sein; die folgende Beschreibung nimmt an, dass der Raum ein metrischer Raum ist, so dass "die Nähe" von Punkten Bedeutung hat. Dann bedeutet Kompaktheit, dass, wann auch immer man ungeheuer viele Beispielpunkte aus dem Raum wählt, einige der Proben schließlich willkürlich in der Nähe von mindestens einem Punkt des Raums kommen müssen. Das konnte sein, weil ein Punkt selbst ungeheuer oft probiert wird (wie es notwendigerweise geschehen würde, wenn der Raum begrenzt wäre), aber eine bedeutendere Möglichkeit besteht darin, dass der Punkt selbst nicht in der Probe ist, aber dass jede Nachbarschaft des Punkts, jedoch klein, wirklich ungeheuer viele Beispielpunkte enthält.

Wichtige aber nichtoffensichtliche, Beispiele von Kompakträumen sind jeder geschlossene Zwischenraum der reellen Zahlen oder jedes Rechteck (einschließlich seiner Grenze) vom Flugzeug. Mehr allgemein charakterisiert der Lehrsatz von Heine-Borel Kompaktheit von Subräumen der reellen Zahlen, oder mehr allgemein begrenzter dimensionaler Euklidischer Räume als jene Teilmengen, die sowohl geschlossen und begrenzt werden. Abgesondert von geschlossenen und begrenzten Teilmengen des Euklidischen Raums schließen typische Beispiele von Kompakträumen Räume ein, die nicht geometrischer Punkte, aber Funktionen bestehen. Der kompakte Begriff wurde in die Mathematik von Maurice Fréchet 1906 als eine Destillation dieses Konzepts eingeführt. Die Kompaktheit in dieser allgemeineren Situation spielt eine äußerst wichtige Rolle in der mathematischen Analyse, weil viele klassische und wichtige Lehrsätze der Analyse des 19. Jahrhunderts, wie der äußerste Wertlehrsatz, zu dieser Situation leicht verallgemeinert werden. Eine typische Anwendung wird durch den Arzelà-Ascoli Lehrsatz und insbesondere den Existenz-Lehrsatz von Peano ausgestattet, in dem im Stande ist, die Existenz einer Funktion mit einigen erforderlichen Eigenschaften als ein Begrenzungsfall von etwas elementarerem Aufbau zu schließen.

Es gibt mehrere verschiedene Begriffe der Kompaktheit, die unten bemerkt ist, die in einigen Einstellungen gleichwertig sind; die Version, die oben beschrieben ist, ist als folgende Kompaktheit bekannt. In allgemeinen metrischen Räumen sind verschiedene Begriffe der Kompaktheit, einschließlich der folgenden Kompaktheits- und Grenze-Punkt-Kompaktheit gleichwertig. In allgemeinen topologischen Räumen, jedoch, sind die verschiedenen Begriffe der Kompaktheit nicht notwendigerweise gleichwertig, und der nützlichste Begriff, der von Pavel Alexandrov und Pavel Urysohn 1929 eingeführt ist, schließt die Existenz von bestimmten begrenzten Familien von offenen Sätzen ein, die den Raum im Sinn bedecken, dass jeder Punkt des Raums in einem in der Familie enthaltenen Satz liegen muss. Diese feinere Definition stellt Kompakträume als Generalisationen von begrenzten Sätzen aus. In Räumen, die in diesem letzten Sinn kompakt sind, ist es häufig möglich, zusammen Information zu flicken, die lokal (d. h. in einer Nachbarschaft jedes Punkts) in entsprechende Behauptungen hält, die überall im Raum halten, und viele Lehrsätze von diesem Charakter sind.

Einführung

Ein Beispiel eines Kompaktraums ist der Einheitszwischenraum von reellen Zahlen. Wenn man eine unendliche Zahl von verschiedenen Punkten im Einheitszwischenraum wählt, dann muss es einen Anhäufungspunkt in diesem Zwischenraum geben. Zum Beispiel kommen die ungeradzahligen Begriffe der Folge willkürlich in der Nähe von 0, während die sogar numerierten willkürlich in der Nähe von 1 kommen. Wenn man die Folge von Punkten aufs Geratewohl wählt, dann wird jedem Punkt des Zwischenraums willkürlich nah durch einige der gewählten Punkte genähert. Die gegebene Beispiel-Folge zeigt die Wichtigkeit vom Umfassen der Grenzpunkte des Zwischenraums, da die Grenze-Punkte im Raum selbst sein müssen: Ein offener (oder halb offen) Zwischenraum der reellen Zahlen ist nicht kompakt. Es ist auch entscheidend, dass der Zwischenraum begrenzt wird, seitdem im Zwischenraum konnte man die Folge von Punkten wählen, von denen keine Subfolge schließlich willkürlich in der Nähe von jeder gegebenen reellen Zahl kommt.

In zwei Dimensionen sind geschlossene Platten kompakt, da für jede unendliche Zahl von von einer Platte probierten Punkten eine Teilmenge jener Punkte willkürlich nah entweder zu einem Punkt innerhalb der Scheibe, oder zu einem Punkt an der Grenze werden muss. Jedoch ist eine offene Platte nicht kompakt, weil eine Folge von Punkten zur Grenze neigen kann, ohne willkürlich in der Nähe von jedem Punkt im Interieur zu kommen. Ebenfalls sind Bereiche kompakt, aber ein Bereich, der einen Punkt verpasst, ist nicht, da eine Folge von Punkten zum fehlenden Punkt neigen kann, ohne zu jedem Punkt innerhalb des Raums zu neigen. Linien und Flugzeuge sind nicht kompakt, da man eine Reihe von Punkten ebenso unter Drogeneinfluss in jeder gegebenen Richtung nehmen kann, ohne sich jedem Punkt zu nähern.

Kompaktheit verallgemeinert viele wichtige Eigenschaften von geschlossenen und begrenzten Zwischenräumen in der echten Linie; d. h. Zwischenräume der Form für reelle Zahlen und. Zum Beispiel wird jede dauernde Funktion, die auf einem Kompaktraum in einen bestellten Satz (mit der Ordnungstopologie) wie die echte Linie definiert ist, begrenzt. So, was als der äußerste Wertlehrsatz in der Rechnung bekannt ist, verallgemeinert zu Kompakträumen. Auf diese Mode kann man viele wichtige Lehrsätze in der Klasse von Kompakträumen beweisen, die im Zusammenhang von nichtkompakten nicht halten.

Verschiedene Definitionen der Kompaktheit können abhängig vom Niveau der Allgemeinheit gelten. Eine Teilmenge des Euklidischen Raums wird insbesondere kompakt genannt, wenn es geschlossen und begrenzt wird. Das deutet durch den Bolzano-Weierstrass Lehrsatz an, dass jede unendliche Folge vom Satz eine Subfolge hat, die zu einem Punkt im Satz zusammenläuft. Das stellt einen feinen Punkt auf die Idee, "Schritte" in einem Raum zu machen. Verschiedene gleichwertige Begriffe der Kompaktheit, wie folgende Kompaktheits- und Grenze-Punkt-Kompaktheit, können in allgemeinen metrischen Räumen entwickelt werden.

In allgemeinen topologischen Räumen, jedoch, sind die verschiedenen Begriffe der Kompaktheit nicht gleichwertig, und der nützlichste Begriff der genannten Kompaktheit ursprünglich schließt Familien von offenen Sätzen bicompactness-ein, die den Raum im Sinn "bedecken", dass jeder Punkt des Raums in einem in der Familie enthaltenen Satz liegen muss. Spezifisch ist ein topologischer Raum kompakt, wenn, wann auch immer eine Sammlung von offenen Sätzen den Raum bedeckt, etwas Subsammlung, die nur aus begrenzt vielen offenen Sätzen auch besteht, den Raum bedeckt. Dass diese Form der Kompaktheit für geschlossene und begrenzte Teilmengen des Euklidischen Raums hält, ist als der Lehrsatz von Heine-Borel bekannt. Kompaktheit, wenn definiert, auf diese Weise, erlaubt häufig, Information zu nehmen, die lokal - in einer Nachbarschaft jedes Punkts des Raums bekannt ist - und es zur Information zu erweitern, die allgemein überall im Raum hält. Ein Beispiel dieses Phänomenes ist der Lehrsatz von Dirichlet, auf den es von Heine ursprünglich angewandt wurde, dass eine dauernde Funktion auf einem Kompaktzwischenraum gleichförmig dauernd ist: Hier ist Kontinuität ein lokales Eigentum der Funktion und gleichförmige Kontinuität das entsprechende globale Eigentum.

Definition

Formell wird ein topologischer Raum X kompakt genannt, wenn jeder seiner offenen Deckel einen begrenzten Subdeckel hat. Sonst wird es nichtkompakt genannt. Ausführlich bedeutet das das für jede willkürliche Sammlung

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offener Teilmengen von solchen dass

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es gibt eine begrenzte Teilmenge von solchen dass

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Einige Zweige der Mathematik wie algebraische Geometrie, normalerweise unter Einfluss der französischen Schule von Bourbaki, gebrauchen den Begriff, der für den allgemeinen Begriff quasikompakt ist, und bestellen den Begriff vor, der für topologische Räume kompakt ist, die sowohl Hausdorff als auch quasikompakt sind. Ein einzelner Kompaktsatz wird manchmal einen compactum genannt; im Anschluss an die lateinische zweite (sächliche) Beugung ist die entsprechende Mehrzahlform compacta.

Kompaktheit von Subräumen

Eine Teilmenge K eines topologischen Raums X wird kompakt genannt, wenn es in der veranlassten Topologie kompakt ist. Ausführlich bedeutet das das für jede willkürliche Sammlung

:offener Teilmengen von solchen dass:es gibt eine begrenzte Teilmenge von solchen dass:

Historische Entwicklung

Im 19. Jahrhundert wurden mehrere ungleiche mathematische Eigenschaften verstanden, der später als Folgen der Kompaktheit gesehen würde. Einerseits war Bernard Bolzano (1817) bewusst gewesen, dass jede begrenzte Folge von Punkten (in der Linie oder dem Flugzeug, zum Beispiel) eine Subfolge hat, die schließlich willkürlich in der Nähe von einem anderen Punkt, genannt einen Grenze-Punkt kommen muss. Der Beweis von Bolzano hat sich auf die Methode der Halbierung verlassen: Die Folge wurde in einen Zwischenraum gelegt, der dann in zwei gleiche Teile geteilt wurde, und ein Teil, der ungeheuer viele Begriffe der Folge enthält, ausgewählt wurde. Der Prozess konnte dann durch das Teilen des resultierenden kleineren Zwischenraums in kleinere und kleinere Teile wiederholt werden, bis es auf dem gewünschten Grenze-Punkt schließt. Die volle Bedeutung des Lehrsatzes von Bolzano und seine Methode des Beweises, würden bis fast 50 Jahre später nicht erscheinen, als es von Karl Weierstrass wieder entdeckt wurde.

In den 1880er Jahren ist es klar geworden, dass dem Bolzano-Weierstrass Lehrsatz ähnliche Ergebnisse für Räume von Funktionen aber nicht gerade Zahlen oder geometrischen Punkten formuliert werden konnten. Die Idee, Funktionen als selbst Punkte eines verallgemeinerten Raums zu betrachten, geht auf die Untersuchungen von Giulio Ascoli und Cesare Arzelà zurück. Der Höhepunkt ihrer Untersuchungen, des Arzelà-Ascoli Lehrsatzes, war eine Generalisation des Bolzano-Weierstrass Lehrsatzes zu Familien von dauernden Funktionen, von denen der genaue Beschluss darin bestand, dass es möglich war, eine gleichförmig konvergente Folge von Funktionen von einer passenden Familie von Funktionen herauszuziehen. Die gleichförmige Grenze dieser Folge hat dann genau dieselbe Rolle als der "Grenze-Punkt von Bolzano" gespielt. Zum Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts haben Ergebnisse, die diesem von Arzelà und Ascoli ähnlich sind, begonnen, im Gebiet von Integralgleichungen, wie untersucht, durch David Hilbert und Erhard Schmidt anzuwachsen. Für eine bestimmte Klasse von Funktionen von Green, die aus Lösungen von Integralgleichungen kommen, hatte Schmidt gezeigt, dass ein Eigentum, das dem Arzelà-Ascoli Lehrsatz analog ist, der im Sinne der Mittelkonvergenz - oder Konvergenz darin gehalten ist, was später ein Raum von Hilbert synchronisiert würde. Das hat schließlich zum Begriff eines Kompaktmaschinenbedieners als ein Spross des allgemeinen Begriffs eines Kompaktraums geführt. Es war Maurice Fréchet, der 1906 destilliert die Essenz des Bolzano-Weierstrass Eigentums hatte und den Begriff Kompaktheit ins Leben gerufen hat, um sich auf dieses allgemeine Phänomen zu beziehen.

Jedoch war ein verschiedener Begriff der Kompaktheit auch zusammen am Ende des Jahrhunderts aus der Studie des Kontinuums langsam erschienen, das als grundsätzlich für die strenge Formulierung der Analyse gesehen wurde. 1870 hat Eduard Heine gezeigt, dass eine dauernde auf einem geschlossenen und begrenzten Zwischenraum definierte Funktion tatsächlich gleichförmig dauernd war. Im Laufe des Beweises hat er von einem Lemma Gebrauch gemacht, dass von jedem zählbaren Deckel des Zwischenraums durch kleinere offene Zwischenräume es möglich war, eine begrenzte Zahl von diesen auszuwählen, die es auch bedeckt haben. Die Bedeutung dieses Lemmas wurde von Émile Borel (1895) anerkannt, und es wurde zu willkürlichen Sammlungen von Zwischenräumen von Pierre Cousin (1895) und Henri Lebesgue (1904) verallgemeinert. Der Lehrsatz von Heine-Borel, wie das Ergebnis jetzt bekannt ist, ist ein anderes spezielles durch geschlossene und begrenzte Sätze von reellen Zahlen besessenes Eigentum.

Dieses Eigentum war bedeutend, weil es den Durchgang von der lokalen Information über einen Satz (wie die Kontinuität einer Funktion) zur globalen Information über den Satz (wie die gleichförmige Kontinuität einer Funktion) berücksichtigt hat. Dieses Gefühl wurde dadurch ausgedrückt, wer es auch in der Entwicklung des Integrals jetzt Lager seines Namens ausgenutzt hat. Schließlich hat die russische Schule der Topologie der Punkt-gesetzten, unter der Richtung von Pavel Alexandrov und Pavel Urysohn, Kompaktheit von Heine-Borel in einem Weg formuliert, der auf den modernen Begriff eines topologischen Raums angewandt werden konnte. hat gezeigt, dass die frühere Version der Kompaktheit wegen Fréchet, jetzt genannt folgende (verhältnis)-Kompaktheit, unter passenden Bedingungen aus der Version der Kompaktheit gefolgt ist, die in Bezug auf die Existenz von begrenzten Subdeckel formuliert wurde. Es war dieser Begriff der Kompaktheit, die der dominierende geworden ist, weil es nicht nur ein stärkere Eigentum war, aber es konnte in einer allgemeineren Einstellung mit einem Minimum der zusätzlichen technischen Maschinerie formuliert werden, weil es sich nur auf die Struktur der offenen Sätze in einem Raum verlassen hat.

Beispiele

Allgemeine Topologie

• Jeder begrenzte topologische Raum, einschließlich des leeren Satzes, ist kompakt. Ein bisschen mehr allgemein ist jeder Raum mit einer begrenzten Topologie (nur begrenzt viele offene Sätze) kompakt; das schließt insbesondere die triviale Topologie ein.
• Jeder Raum, der die cofinite Topologie trägt, ist kompakt.
• Jeder lokal kompakte Raum von Hausdorff kann in einen Kompaktraum durch das Hinzufügen eines einzelnen Punkts dazu, mittels des eines Punkts von Alexandroff compactification verwandelt werden. Der ein Punkt compactification R ist homeomorphic zum Kreis; der ein Punkt compactification R ist homeomorphic zum Bereich. Mit dem einem Punkt compactification kann man auch Kompakträume leicht bauen, die nicht Hausdorff durch das Starten mit einem non-Hausdorff Raum sind.
• Die richtige Ordnungstopologie oder verlassene Ordnungstopologie auf jedem begrenzten völlig bestellten Satz sind kompakt. Insbesondere Raum von Sierpinski ist kompakt.
• R das Tragen der niedrigeren Grenze-Topologie befriedigt das Eigentum, dass kein unzählbarer Satz kompakt ist.
• In der cocountable Topologie auf R (oder jeder unzählbare Satz, was das betrifft) ist kein unendlicher Satz kompakt.
• Keiner der Räume in den vorherigen zwei Beispielen ist lokal kompakt, aber beide sind noch Lindelöf

Analyse und Algebra

• Der geschlossene Einheitszwischenraum ist kompakt. Das folgt aus dem Lehrsatz von Heine-Borel. Der offene Zwischenraum ist nicht kompakt: Die öffnen vertreten hat keinen begrenzten Subdeckel. Ähnlich ist der Satz von rationalen Zahlen im geschlossenen Zwischenraum nicht kompakt: Die Sätze von rationalen Zahlen in den Zwischenräumen und bedecken in [0, 1] dafür der ganze rationals, aber dieser Deckel hat keinen begrenzten Subdeckel. (Bemerken Sie, dass die Sätze in der Subraumtopologie offen sind, wenn auch sie als Teilmengen von R. nicht offen sind)
• Der Satz R aller reellen Zahlen ist nicht kompakt, weil es einen Deckel von offenen Zwischenräumen gibt, der keinen begrenzten Subdeckel hat. Zum Beispiel, Zwischenräume , wo alle Werte der ganzen Zahl in Z, Deckel R nimmt, aber gibt es keinen begrenzten Subdeckel.
• Mehr allgemein sind Kompaktgruppen wie eine orthogonale Gruppe kompakt, während Gruppen wie eine allgemeine geradlinige Gruppe nicht sind.
• Für jede natürliche Zahl - ist Bereich kompakt. Wieder vom Lehrsatz von Heine-Borel ist der geschlossene Einheitsball jedes endlich-dimensionalen normed Vektorraums kompakt. Das ist für unendliche Dimensionen nicht wahr; tatsächlich ist ein normed Vektorraum endlich-dimensional, wenn, und nur wenn sein geschlossener Einheitsball kompakt ist.
• Andererseits ist der geschlossene Einheitsball des Doppel-von einem normed Raum für weak-* Topologie kompakt. (Der Lehrsatz von Alaoglu)
• Der Kantor ist untergegangen ist kompakt. Tatsächlich ist jeder metrische Kompaktraum ein dauerndes Image des Kantor-Satzes.
• Da die p-adic ganzen Zahlen homeomorphic zum Kantor-Satz sind, bilden sie einen Kompaktsatz.
• Denken Sie den Satz aller Funktionen von der Linie der reellen Zahl bis den geschlossenen Einheitszwischenraum, und definieren Sie eine Topologie darauf, so dass eine Folge darin dazu zusammenläuft, wenn, und nur wenn zu für alle zusammenläuft. Es gibt nur eine solche Topologie; es wird die Topologie der pointwise Konvergenz genannt. Dann ist ein topologischer Kompaktraum; das folgt aus dem Lehrsatz von Tychonoff.
• Denken Sie den Satz K vom ganzen Funktions-ƒ:  Zufriedenheit der Bedingung von Lipschitz (x) ƒ − ƒ (y)  x − y für den ganzen x, y . Ziehen Sie auf K&thinsp in Betracht; das durch die gleichförmige Entfernung veranlasste metrische. Dann durch den Arzelà-Ascoli Lehrsatz ist der Raum K kompakt.
• Das Spektrum jedes begrenzten geradlinigen Maschinenbedieners auf einem Banachraum ist eine nichtleere Kompaktteilmenge der komplexen Zahlen C. Umgekehrt entsteht jede Kompaktteilmenge von C auf diese Weise als das Spektrum von einem begrenzten geradlinigen Maschinenbediener. Zum Beispiel kann ein diagonaler Maschinenbediener auf dem Raum von Hilbert jede nichtleere Kompaktteilmenge von C als Spektrum haben.
• Das Spektrum jedes Ersatzrings mit der Topologie von Zariski (d. h. der Satz aller Hauptideale), ist aber nie Hausdorff (außer in trivialen Fällen) kompakt. In der algebraischen Geometrie sind solche topologischen Räume Beispiele von Quasikompaktschemas, dem "Quasi"-Verweisen zur non-Hausdorff Natur der Topologie.
• Das Spektrum einer Algebra von Boolean, ist eine Tatsache kompakt, die ein Teil des Steindarstellungslehrsatzes ist. Steinräume, völlig getrennte Kompakträume von Hausdorff, bilden das abstrakte Fachwerk, in dem diese Spektren studiert werden. Solche Räume sind auch in der Studie von pro-begrenzten Gruppen nützlich.
• Der Struktur-Raum einer unital Ersatzalgebra von Banach ist ein Kompaktraum von Hausdorff.
• Der Hilbert Würfel, ist wieder eine Folge des Lehrsatzes von Tychonoff kompakt.
• Eine pro-begrenzte Gruppe (z.B, Gruppe von Galois) sind kompakt.

Lehrsätze

Einige Lehrsätze haben sich auf die Kompaktheit bezogen (sieh das Wörterverzeichnis der Topologie für die Definitionen):

• Ein dauerndes Image eines Kompaktraums ist kompakt.
• Das Vorimage eines Kompaktraums laut einer richtigen Karte ist kompakt.
• Der äußerste Wertlehrsatz: Eine dauernde reellwertige Funktion auf einem nichtleeren Kompaktraum wird oben begrenzt und erreicht sein Supremum. (Ein bisschen mehr allgemein ist das für eine obere halbdauernde Funktion wahr.)
• Eine geschlossene Teilmenge eines Kompaktraums ist kompakt.
• Eine begrenzte Vereinigung von Kompaktsätzen ist kompakt.
• Eine nichtleere Kompaktteilmenge der reellen Zahlen hat ein größtes Element und kleinstes Element.
• Das Produkt jeder Sammlung von Kompakträumen ist kompakt. (Der Lehrsatz von Tychonoff, der zum Axiom der Wahl gleichwertig ist)
• Jeder topologische Raum X ist ein dichter Subraum eines Kompaktraums, der höchstens einen Punkt mehr als X, durch den einen Punkt von Alexandroff compactification hat. Durch denselben Aufbau ist jeder lokal kompakte Raum von Hausdorff X ein dichter Subraum eines Kompaktraums von Hausdorff, der höchstens einen Punkt mehr als X. hat.
• Lassen Sie X ein einfach bestellter mit der Ordnungstopologie ausgestatteter Satz sein. Dann X ist kompakt, wenn, und nur wenn X ein ganzes Gitter ist (d. h. alle Teilmengen haben suprema und infima).

Charakterisierungen der Kompaktheit

(Das Annehmen des Axioms der Wahl), der folgende ist gleichwertig.

1. Ein topologischer Raum X ist kompakt.
2. Jede Sammlung von geschlossenen Teilmengen X mit dem begrenzten Kreuzungseigentum hat nichtleere Kreuzung.
3. X hat eine solche Subbasis, dass jeder Deckel des Raums durch Mitglieder der Subbasis einen begrenzten Subdeckel (der Subgrundlehrsatz von Alexander) hat
4. Jedes Netz auf X hat ein konvergentes Teilnetz (sieh den Artikel über Netze für einen Beweis).
5. Jeder Filter auf X hat eine konvergente Verbesserung.
6. Jeder Ultrafilter auf X läuft zu mindestens einem Punkt zusammen.
7. Jede unendliche Teilmenge X hat einen ganzen Anhäufungspunkt.

Euklidischer Raum

Für jede Teilmenge des Euklidischen Raums R ist der folgende gleichwertig:

1. A ist kompakt.
2. Jeder offene Deckel von A hat einen begrenzten Subdeckel.
3. Jede Folge in A hat eine konvergente Subfolge, deren Grenze in A liegt.
4. Jede unendliche Teilmenge von A hat mindestens einen Grenze-Punkt in A.
5. A wird geschlossen und (Lehrsatz von Heine-Borel) begrenzt.
6. A ist abgeschlossen und völlig begrenzt.

In der Praxis ist die Bedingung (5) am leichtesten, zum Beispiel ein geschlossener Zwischenraum oder geschlossener N-Ball nachzuprüfen. Bemerken Sie, dass, in einem metrischen Raum, jede Kompaktteilmenge geschlossen und begrenzt wird. Jedoch kann das gegenteilige in nicht-euklidischem R scheitern. Zum Beispiel wird die echte mit der getrennten Topologie ausgestattete Linie geschlossen und begrenzt, aber nicht kompakt, weil die Sammlung aller Singleton-Punkte des Raums ein offener Deckel ist, der keinen begrenzten Subdeckel zulässt.

Metrische Räume

• Ein metrischer Raum (oder gleichförmiger Raum) sind kompakt, wenn, und nur wenn es abgeschlossen und völlig begrenzt ist.
• Wenn der metrische Raum X kompakt ist und ein offener Deckel X gegeben wird, dann dort besteht eine solche Zahl, dass jede Teilmenge von X des Diameters Mehr allgemein, Kompaktsätze durch offene Sätze getrennt werden können: Wenn K und K kompakt und zusammenhanglos sind, dort bestehen Sie zusammenhanglose offene Sätze U und solcher U dass und. Das soll sagen, Kompaktraum von Hausdorff ist normal.
• Zwei Kompakträume von Hausdorff X und X sind homeomorphic, wenn, und nur wenn ihre Ringe von dauernden reellwertigen Funktionen C (X) und C (X) isomorph sind. (Gelfand-Naimark Lehrsatz) Eigenschaften des Banachraums von dauernden Funktionen auf einem Kompaktraum von Hausdorff sind zur abstrakten Analyse zentral.
• Jede dauernde Karte von einem Kompaktraum bis einen Raum von Hausdorff wird geschlossen und richtig (d. h. das Vorimage eines Kompaktsatzes ist kompakt.) Insbesondere jede dauernde bijektive Karte von einem Kompaktraum bis einen Raum von Hausdorff ist ein homeomorphism.
• Ein topologischer Raum kann in einem Kompaktraum von Hausdorff eingebettet werden, wenn, und nur wenn es ein Raum von Tychonoff ist.

Andere Formen der Kompaktheit

Es gibt mehrere topologische Eigenschaften, die zur Kompaktheit in metrischen Räumen gleichwertig sind, aber inequivalent in allgemeinen topologischen Räumen sind. Diese schließen das folgende ein.

• Folgend kompakt: Jede Folge hat eine konvergente Subfolge.
• Zählbar kompakt: Jeder zählbare offene Deckel hat einen begrenzten Subdeckel. (Oder, gleichwertig, hat jede unendliche Teilmenge einen ω-Accumulation-Punkt.)
• Pseudokompakt: Jede reellwertige dauernde Funktion auf dem Raum wird begrenzt.
• Kompakter Grenze-Punkt: Jede unendliche Teilmenge hat einen Anhäufungspunkt.

Während alle diese Bedingungen für metrische Räume gleichwertig sind, im Allgemeinen haben wir die folgenden Implikationen:

• Kompakträume sind zählbar kompakt.
• Folgend kompakte Räume sind zählbar kompakt.
• Zählbar kompakte Räume sind pseudokompakt und schwach zählbar kompakt.

Nicht jeder zählbar kompakte Raum ist kompakt; ein Beispiel wird durch die erste unzählbare Ordnungszahl mit der Ordnungstopologie angeführt.

Nicht jeder Kompaktraum ist folgend kompakt; ein Beispiel wird durch 2, mit der Produkttopologie angeführt.

Ein metrischer Raum wird vorkompakt oder völlig begrenzt genannt, wenn eine Folge eine Subfolge von Cauchy hat; das kann zu gleichförmigen Räumen verallgemeinert werden. Für ganze metrische Räume ist das zur Kompaktheit gleichwertig. Sieh relativ kompakt für die topologische Version.

Ein anderer zusammenhängender Begriff, der (durch die meisten Definitionen) ausschließlich schwächer ist als Kompaktheit, ist lokale Kompaktheit.

Generalisationen der Kompaktheit schließen H-closed und das Eigentum ein, ein H-Satz in einem Elternteilraum zu sein. Ein Hausdorff Raum ist H-closed, wenn jeder offene Deckel eine begrenzte Unterfamilie hat, deren Vereinigung dicht ist. Wohingegen wir X sagen, ist ein H-Satz von Z, wenn jeder Deckel X mit offenen Sätzen von Z eine begrenzte Unterfamilie hat, deren Z Verschluss X enthält.

Siehe auch

• Kompakt erzeugter Raum
• Erschöpfung durch Kompaktsätze
• Raum von Lindelöf
• Raum von Metacompact
• Raum von Noetherian
• Raum von Orthocompact
• Parakompaktraum

Referenzen

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• (Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen irgendwelchen zwei Werten, die Ergebnisse des entgegengesetzten Zeichens geben, dort mindestens eine echte Wurzel der Gleichung liegt).

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Links

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