Rechnung (Latein, ein kleiner Stein, der verwendet ist, um zu zählen), ist ein Zweig der Mathematik hat sich auf Grenzen, Funktionen, Ableitungen, Integrale und unendliche Reihe konzentriert. Dieses Thema setzt einen Hauptteil der modernen Mathematik-Ausbildung ein. Es hat zwei Hauptzweige, Differenzialrechnung und Integralrechnung, die durch den Hauptsatz der Rechnung verbunden sind. Rechnung ist die Studie der Änderung, ebenso ist diese Geometrie die Studie der Gestalt, und Algebra ist die Studie von Operationen und ihrer Anwendung auf das Lösen von Gleichungen. Ein Kurs in der Rechnung ist ein Tor zu anderem, fortgeschritteneren Kursen in der Mathematik, die der Studie von Funktionen und Grenzen, weit gehend genannter mathematischer Analyse gewidmet ist. Rechnung hat weit verbreitete Anwendungen in der Wissenschaft, Volkswirtschaft und Technik und kann viele Probleme beheben, für die Algebra allein ungenügend ist.

Rechnung ist "die Rechnung von infinitesimals", oder "unendlich kleine Rechnung" historisch genannt worden. Mehr allgemein bezieht sich Rechnung (Mehrzahlrechnungen) auf jede Methode oder System der durch die symbolische Manipulation von Ausdrücken geführten Berechnung. Einige Beispiele anderer wohl bekannter Rechnungen sind Satzrechnung, abweichende Rechnung, Lambda-Rechnung, Pi-Rechnung, und schließen sich Rechnung an.

Geschichte

Alt

Die alte Periode hat einige der Ideen eingeführt, die zu Integralrechnung geführt haben, aber nicht scheinen, diese Ideen auf eine strenge und systematische Weise entwickelt zu haben. Berechnungen von Volumina und Gebieten, einer Absicht der Integralrechnung, können im ägyptischen Moskauer Papyrus gefunden werden (c. 1820 v. Chr.), aber die Formeln sind bloße Instruktionen ohne Anzeige betreffs der Methode, und einige von ihnen irren sich. Vom Alter der griechischen Mathematik, Eudoxus (c. 408355 v. Chr.) hat die Methode der Erschöpfung verwendet, die das Konzept der Grenze ankündigt, um Gebiete und Volumina, während Archimedes zu berechnen (c. 287212 v. Chr.) hat diese Idee weiter entwickelt, Heuristik erfindend, die den Methoden der Integralrechnung ähnelt. Die Methode der Erschöpfung wurde später in China von Liu Hui im 3. Jahrhundert n.Chr. wiedererfunden, um das Gebiet eines Kreises zu finden. Im 5. Jahrhundert n.Chr. hat Zu Chongzhi eine Methode gegründet, die später den Grundsatz von Cavalieri genannt würde, um das Volumen eines Bereichs zu finden.

Mittelalterlich

Im Indianermathematiker des 14. Jahrhunderts Madhava von Sangamagrama und der Schule von Kerala der Astronomie und Mathematik hat viele Bestandteile der Rechnung wie die Reihe von Taylor, unendlichen Reihe-Annäherungen, ein integrierter Test auf die Konvergenz, frühen Formen der Unterscheidung, des Begriffes durch die Begriff-Integration, wiederholenden Methoden für Lösungen nichtlinearer Gleichungen und die Theorie festgesetzt, dass das Gebiet unter einer Kurve sein Integral ist. Einige denken, dass der Yuktibhāā der erste Text auf der Rechnung ist.

Modern

In Europa war die Foundational-Arbeit eine Abhandlung wegen Bonaventura Cavalieris, der behauptet hat, dass Volumina und Gebiete als die Summen der Volumina und Gebiete unendlich klein dünner Querschnitte geschätzt werden sollten. Die Ideen waren Archimedes in Der Methode ähnlich, aber diese Abhandlung wurde bis zum frühen Teil des zwanzigsten Jahrhunderts verloren. Die Arbeit von Cavalieri wurde nicht gut respektiert, seitdem seine Methoden zu falschen Ergebnissen führen konnten, und die unendlich kleinen Mengen, die er eingeführt hat, zuerst übel waren.

Die formelle Studie der Rechnung hat den infinitesimals von Cavalieri mit der Rechnung von begrenzten Unterschieden verbunden, die in Europa um dieselbe Zeit entwickelt sind. Pierre de Fermat, behauptend, dass er von Diophantus geborgt hat, hat das Konzept von adequality eingeführt, der Gleichheit bis zu einem unendlich kleinen Fehlerbegriff vertreten hat. Die Kombination wurde von John Wallis, Isaac Barrow und James Gregory, der letzte zwei Beweis des zweiten Hauptsatzes der Rechnung 1670 erreicht.

Die Produktregel und Kettenregel, der Begriff von höheren Ableitungen, Reihe von Taylor und analytischen Funktionen wurden von Isaac Newton in einer idiosynkratischen Notation eingeführt, die er gepflegt hat, Probleme der mathematischen Physik zu beheben. In seinen Veröffentlichungen hat Newton seine Ideen umformuliert, dem mathematischen Idiom der Zeit anzupassen, Berechnungen durch infinitesimals durch gleichwertige geometrische Argumente ersetzend, die außer dem Vorwurf betrachtet wurden. Er hat die Methoden der Rechnung verwendet, das Problem der planetarischen Bewegung, die Gestalt der Oberfläche von rotierender Flüssigkeit, der an den Polen Abgeplattetkeit der Erde, der Bewegung eines Gewichts zu beheben, das auf einem cycloid und vielen anderen Problemen gleitet, die in seinem Principia Mathematica (1687) besprochen sind. In anderer Arbeit hat er Reihenentwicklungen für Funktionen einschließlich unbedeutender und vernunftwidriger Mächte entwickelt, und es war klar, dass er die Grundsätze der Reihe von Taylor verstanden hat. Er hat alle diese Entdeckungen nicht veröffentlicht, und in dieser Zeit wurden unendlich kleine Methoden noch übel betrachtet.

Diese Ideen wurden in eine wahre Rechnung von infinitesimals von Gottfried Wilhelm Leibniz systematisiert, der wegen des Plagiats von Newton ursprünglich angeklagt wurde. Er wird jetzt als ein unabhängiger Erfinder und Mitwirkender zur Rechnung betrachtet. Sein Beitrag sollte ein klares Regelwerk zur Verfügung stellen, um unendlich kleine Mengen zu manipulieren, die Berechnung der zweiten und höheren Ableitungen erlaubend, und die Produktregel und Kettenregel in ihren unterschiedlichen und integrierten Formen zur Verfügung stellend. Verschieden von Newton hat Leibniz viel Aufmerksamkeit auf den Formalismus geschenkt, häufig Tage ausgebend, passende Symbole für Konzepte bestimmend.

Leibniz und Newton wird gewöhnlich beide die Erfindung der Rechnung zugeschrieben. Newton war erst, um Rechnung auf die allgemeine Physik anzuwenden, und Leibniz hat viel von der Notation entwickelt, die in der Rechnung heute verwendet ist. Die grundlegenden Einblicke, dass sowohl Newton als auch Leibniz zur Verfügung gestellt haben, waren die Gesetze der Unterscheidung und Integration, der zweiten und höheren Ableitungen und des Begriffs einer näher kommenden polynomischen Reihe. Vor der Zeit von Newton war der Hauptsatz der Rechnung bekannt.

Als Newton und Leibniz zuerst ihre Ergebnisse veröffentlicht haben, gab es große Meinungsverschiedenheit, über die Mathematiker (und deshalb der Land) Kredit verdient hat. Newton hat seine Ergebnisse zuerst abgeleitet, aber Leibniz hat zuerst veröffentlicht. Newton hat behauptet, dass Leibniz Ideen seinen unveröffentlichten Zeichen gestohlen hat, die Newton mit einigen Mitgliedern der Königlichen Gesellschaft geteilt hatte. Diese Meinungsverschiedenheit hat englisch sprechende Mathematiker von Kontinentalmathematikern viele Jahre lang zum Nachteil von der englischen Mathematik geteilt. Eine sorgfältige Überprüfung von den Papieren von Leibniz und Newton zeigt, dass sie ihre Ergebnisse unabhängig mit Leibniz erreicht haben, der zuerst mit der Integration und Newton mit der Unterscheidung anfängt. Heute wird sowohl Newton als auch Leibniz Kredit gegeben, um Rechnung unabhängig zu entwickeln. Es ist Leibniz jedoch, wer der neuen Disziplin seinen Namen gegeben hat. Newton hat seine Rechnung "die Wissenschaft von fluxions" genannt.

Seit der Zeit von Leibniz und Newton haben viele Mathematiker zur ständigen Entwicklung der Rechnung beigetragen. Eine der ersten und am meisten ganzen Arbeiten an der begrenzten und unendlich kleinen Analyse wurde 1748 von Maria Gaetana Agnesi geschrieben.

Fundamente

In der Rechnung beziehen sich Fundamente auf die strenge Entwicklung eines Themas von genauen Axiomen und Definitionen. In der frühen Rechnung wurde der Gebrauch von unendlich kleinen Mengen unstreng gedacht, und wurde von mehreren Autoren, am meisten namentlich Michel Rolle und Bischof Berkeley wild kritisiert. Berkeley hat berühmt infinitesimals als die Geister von verstorbenen Mengen in seinem Buch Der Analytiker 1734 beschrieben. Ein strenges Fundament für die Rechnung gut zu laufen, hat Mathematiker für viel vom Jahrhundert im Anschluss an Newton und Leibniz besetzt und ist noch einigermaßen ein aktives Gebiet der Forschung heute.

Mehrere Mathematiker, einschließlich Maclaurin, versucht, um die Stichhaltigkeit zu beweisen, infinitesimals zu verwenden, aber würde es nicht bis 150 Jahre später sein, als, wegen der Arbeit von Cauchy und Weierstrass, wie man schließlich fand, ein Mittel bloße "Begriffe" von ungeheuer kleinen Mengen vermieden hat. Die Fundamente der unterschiedlichen und Integralrechnung waren gelegt worden. Im Schreiben von Cauchy finden wir ein vielseitiges Spektrum von Foundational-Annäherungen, einschließlich einer Definition der Kontinuität in Bezug auf infinitesimals und eines (etwas ungenauen) Prototyps (ε, δ)-Definition der Grenze in der Definition der Unterscheidung. In seiner Arbeit hat Weierstrass das Konzept der Grenze formalisiert und hat infinitesimals beseitigt. Im Anschluss an die Arbeit von Weierstrass ist es schließlich üblich geworden, um Rechnung auf Grenzen statt unendlich kleiner Mengen zu stützen. Bernhard Riemann hat diese Ideen verwendet, eine genaue Definition des Integrals zu geben. Es war auch während dieser Periode, dass die Ideen von der Rechnung zum Euklidischen Raum und dem komplizierten Flugzeug verallgemeinert wurden.

In der modernen Mathematik werden die Fundamente der Rechnung ins Feld der echten Analyse eingeschlossen, die volle Definitionen und Beweise der Lehrsätze der Rechnung enthält. Die Reichweite der Rechnung ist auch außerordentlich erweitert worden. Henri Lebesgue hat Maß-Theorie erfunden und hat sie verwendet, um Integrale von allen außer den meisten pathologischen Funktionen zu definieren. Laurent Schwartz hat Vertrieb eingeführt, der verwendet werden kann, um die Ableitung jeder Funktion überhaupt zu nehmen.

Grenzen sind nicht die einzige strenge Annäherung an das Fundament der Rechnung. Eine Alternative ist die Sonderanalyse von Abraham Robinson. Die Annäherung von Robinson, entwickelt in den 1960er Jahren, verwendet technische Maschinerie von der mathematischen Logik, um das System der reellen Zahl mit dem unendlich kleinen und den unendlichen Zahlen, als in der ursprünglichen Vorstellung des Newtons-Leibniz zu vermehren. Die resultierenden Zahlen werden hyperechte Zahlen genannt, und sie können verwendet werden, um eine Leibniz ähnliche Entwicklung der üblichen Regeln der Rechnung zu geben.

Bedeutung

Während einige der Ideen von der Rechnung früher in Ägypten, Griechenland, China, Indien, dem Irak, Persien und Japan entwickelt worden waren, hat der moderne Gebrauch der Rechnung in Europa während des 17. Jahrhunderts begonnen, als Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz auf die Arbeit von früheren Mathematikern gebaut haben, um seine Kernprinzipien einzuführen. Auf die Entwicklung der Rechnung wurden auf früheren Konzepten der sofortigen Bewegung und des Gebiets unter Kurven gebaut.

Anwendungen der Differenzialrechnung schließen Berechnung ein, die mit Geschwindigkeit und Beschleunigung, dem Hang einer Kurve und der Optimierung verbunden ist. Anwendungen der Integralrechnung schließen Berechnung ein, die mit Gebiet, Volumen, Kreisbogen-Länge, Zentrum der Masse, der Arbeit und des Drucks verbunden ist. Fortgeschrittenere Anwendungen schließen Macht-Reihe und Reihe von Fourier ein.

Rechnung wird auch verwendet, um ein genaueres Verstehen der Natur des Raums, Zeit und Bewegung zu gewinnen. Seit Jahrhunderten haben Mathematiker und Philosophen mit der Paradox-Beteiligen-Abteilung durch die Null oder Summen von ungeheuer vielen Zahlen gerungen. Diese Fragen entstehen in der Studie der Bewegung und des Gebiets. Der alte griechische Philosoph Zeno von Elea hat mehrere berühmte Beispiele solcher Paradoxe angeführt. Rechnung stellt Werkzeuge, besonders die Grenze und die unendlichen Reihen zur Verfügung, die die Paradoxe auflösen.

Grundsätze

Grenzen und infinitesimals

Rechnung wird gewöhnlich durch die Manipulierung sehr kleiner Mengen entwickelt. Historisch war die erste Methode, so zu tun, durch infinitesimals. Das sind Gegenstände, die wie Zahlen behandelt werden können, aber die, in einem Sinn, "ungeheuer klein sind". Eine unendlich kleine Zahl dx konnte größer sein als 0, aber weniger als jede Zahl in der Folge 1, 1/2, 1/3... und weniger als jede positive reelle Zahl. Jede eines unendlich kleinen vielfache ganze Zahl ist noch ungeheuer klein, d. h., infinitesimals befriedigen das Eigentum von Archimedean nicht. Aus diesem Gesichtspunkt ist Rechnung eine Sammlung von Techniken, um infinitesimals zu manipulieren. Diese Annäherung ist aus Bevorzugung im 19. Jahrhundert gefallen, weil es schwierig war, den Begriff eines unendlich kleinen genauen zu machen. Jedoch wurde das Konzept im 20. Jahrhundert mit der Einführung der Sonderanalyse und glatten unendlich kleinen Analyse wiederbelebt, die feste Fundamente für die Manipulation von infinitesimals zur Verfügung gestellt hat.

Im 19. Jahrhundert wurden infinitesimals durch Grenzen ersetzt. Grenzen beschreiben den Wert einer Funktion an einem bestimmten Eingang in Bezug auf seine Werte am nahe gelegenen Eingang. Sie gewinnen kleines Verhalten gerade wie infinitesimals, aber verwenden das gewöhnliche System der reellen Zahl. In dieser Behandlung ist Rechnung eine Sammlung von Techniken, um bestimmte Grenzen zu manipulieren. Infinitesimals wird durch sehr kleine Zahlen ersetzt, und das ungeheuer kleine Verhalten der Funktion wird durch die Einnahme des Begrenzungsverhaltens für kleinere und kleinere Zahlen gefunden. Grenzen sind die leichteste Weise, strenge Fundamente für die Rechnung zur Verfügung zu stellen, und aus diesem Grund sind sie die Standardannäherung.

Differenzialrechnung

Differenzialrechnung ist die Studie der Definition, Eigenschaften und Anwendungen der Ableitung einer Funktion. Der Prozess, die Ableitung zu finden, wird Unterscheidung genannt. In Anbetracht einer Funktion und eines Punkts im Gebiet ist die Ableitung an diesem Punkt eine Weise, das kleine Verhalten der Funktion in der Nähe von diesem Punkt zu verschlüsseln. Durch die Entdeckung der Ableitung einer Funktion an jedem Punkt in seinem Gebiet ist es möglich, eine neue Funktion, genannt die abgeleitete Funktion oder gerade die Ableitung der ursprünglichen Funktion zu erzeugen. Im mathematischen Jargon ist die Ableitung ein geradliniger Maschinenbediener, der eine Funktion und Produktionen eine zweite Funktion eingibt. Das ist abstrakter als viele der in der elementaren Algebra studierten Prozesse, wo Funktionen gewöhnlich eine Zahl und Produktion eine andere Zahl eingeben. Zum Beispiel, wenn die sich verdoppelnde Funktion der Eingang drei gegeben wird, dann es Produktionen sechs, und wenn die Quadrieren-Funktion der Eingang drei, dann es Produktionen neun gegeben wird. Die Ableitung kann jedoch die Quadrieren-Funktion als ein Eingang nehmen. Das bedeutet, dass die Ableitung die ganze Information der Quadrieren-Funktion — wie diese zwei nimmt, wird an vier gesandt, drei wird an neun gesandt, vier wird an sechzehn, und so weiter gesandt — und verwendet diese Information, um eine andere Funktion zu erzeugen. (Die Funktion, die es erzeugt, erweist sich, die sich verdoppelnde Funktion zu sein.)

Das allgemeinste Symbol für eine Ableitung ist ein einem Apostroph ähnliches Zeichen genannt erst. So ist die Ableitung der Funktion von f f , ausgesprochen "f erst." Zum Beispiel, wenn f (x) = x die Quadrieren-Funktion ist, dann ist f  (x) = 2x seine Ableitung, die sich verdoppelnde Funktion.

Wenn der Eingang der Funktion Zeit vertritt, dann vertritt die Ableitung Änderung in Bezug auf die Zeit. Zum Beispiel, wenn f eine Funktion ist, die, wie eingegeben, Zeit in Anspruch nimmt und die Position eines Balls damals als Produktion gibt, dann ist die Ableitung von f, wie sich die Position rechtzeitig ändert, d. h. ist es die Geschwindigkeit des Balls.

Wenn eine Funktion geradlinig ist (d. h. wenn der Graph der Funktion eine Gerade ist), dann kann die Funktion als geschrieben werden, wo x die unabhängige Variable ist, ist y die abhängige Variable, b ist der Y-Abschnitt, und:

:

Das gibt einen genauen Wert für den Hang einer Gerade. Wenn der Graph der Funktion nicht eine Gerade jedoch ist, dann ändert sich die Änderung in y, der durch die Änderung in x geteilt ist. Ableitungen geben eine genaue Bedeutung dem Begriff der Änderung in der Produktion in Bezug auf die Änderung im Eingang. Um konkret zu sein, lassen Sie f eine Funktion sein, und einen Punkt im Gebiet von f zu befestigen. (a, f (a)) ist ein Punkt auf dem Graphen der Funktion. Wenn h eine Zahl in der Nähe von der Null ist, dann + ist h eine Zahl in der Nähe von a. Deshalb (+ h, f (+ h)) ist in der Nähe von (a, f (a)). Der Hang zwischen diesen zwei Punkten ist

:

Dieser Ausdruck wird einen Unterschied-Quotienten genannt. Eine Linie durch zwei Punkte auf einer Kurve wird eine schneidende Linie genannt, so ist M der Hang der schneidenden Linie zwischen (a, f (a)) und (+ h, f (+ h)). Die schneidende Linie ist nur eine Annäherung an das Verhalten der Funktion am Punkt, weil es dafür nicht verantwortlich ist, was zwischen a und + h geschieht. Es ist nicht möglich, das Verhalten an durch das Setzen h zur Null zu entdecken, weil das das Teilen durch die Null verlangen würde, die unmöglich ist. Die Ableitung wird durch die Einnahme der Grenze definiert, weil h zur Null neigt, bedeutend, dass es das Verhalten von f für alle kleinen Werte von h denkt und einen konsequenten Wert für den Fall herauszieht, wenn h Null gleichkommt:

:

Geometrisch ist die Ableitung der Hang der Tangente-Linie zum Graphen von f an a. Die Tangente-Linie ist eine Grenze von schneidenden Linien, wie die Ableitung eine Grenze von Unterschied-Quotienten ist. Deshalb wird die Ableitung manchmal den Hang der Funktion f genannt.

Hier ist ein besonderes Beispiel, die Ableitung der Quadrieren-Funktion am Eingang 3. Lassen Sie f (x) = x die Quadrieren-Funktion sein.

:

&= \lim_ {h \to 0} {9 + 6. + h^2 - 9\over {h}} \\

&= \lim_ {h \to 0} {6. + H^2\over {h}} \\

&= \lim_ {h \to 0} (6 + h) \\

&= 6.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Der Hang der Tangente-Linie zur Quadrieren-Funktion am Punkt (3,9) ist 6, das heißt, steigt es sechsmal so schnell wie es geht nach rechts. Der gerade beschriebene Grenze-Prozess kann für jeden Punkt im Gebiet der Quadrieren-Funktion durchgeführt werden. Das definiert die abgeleitete Funktion der Quadrieren-Funktion, oder gerade die Ableitung der Quadrieren-Funktion für den kurzen. Eine ähnliche Berechnung zu derjenigen über Shows, dass die Ableitung der Quadrieren-Funktion die sich verdoppelnde Funktion ist.

Notation von Leibniz

Eine allgemeine Notation, die von Leibniz für die Ableitung im Beispiel oben eingeführt ist, ist

:

\begin {richten }\aus

y&=x^2 \\

\frac {dy} {dx}

&=2x. \end {richten }\aus</Mathematik>

In einer auf Grenzen gestützten Annäherung soll das Symbol dy/dx nicht als der Quotient von zwei Zahlen, aber als eine Schnellschrift für die Grenze interpretiert werden, die oben geschätzt ist. Leibniz hat es wirklich jedoch beabsichtigt, um den Quotienten von zwei unendlich klein kleinen Zahlen, dy zu vertreten, das unendlich klein Kleingeld in y zu sein, der durch ein unendlich klein Kleingeld dx verursacht ist, angewandt auf x. Wir können auch an d/dx als ein Unterscheidungsmaschinenbediener denken, der eine Funktion als ein Eingang nimmt und eine andere Funktion, die Ableitung als die Produktion gibt. Zum Beispiel:

:

\frac {d} {dx} (X^2) =2x.

</Mathematik>

In diesem Gebrauch wird der dx im Nenner als "in Bezug auf x" gelesen. Selbst wenn Rechnung mit Grenzen aber nicht infinitesimals entwickelt wird, ist es üblich, Symbole wie dx und dy zu manipulieren, als ob sie reelle Zahlen waren; obwohl es möglich ist, solche Manipulationen zu vermeiden, sind sie manchmal notationally günstig im Ausdrücken von Operationen wie die Gesamtableitung.

Integralrechnung

Integralrechnung ist die Studie der Definitionen, Eigenschaften und Anwendungen zwei zusammenhängender Konzepte, des unbestimmten Integrals und des bestimmten Integrals. Der Prozess, den Wert eines Integrals zu finden, wird Integration genannt. Auf der Fachsprache studiert Integralrechnung zwei verwandte geradlinige Maschinenbediener.

Das unbestimmte Integral ist die Antiableitung, der inverse Betrieb zur Ableitung. F ist ein unbestimmtes Integral von f, wenn f eine Ableitung von F. ist (Dieser Gebrauch tiefer - und Großbuchstaben für eine Funktion und sein unbestimmtes Integral in der Rechnung üblich ist.)

Die bestimmten integrierten Eingänge eine Funktion und Produktionen eine Zahl, die die algebraische Summe von Gebieten zwischen dem Graphen des Eingangs und der X-Achse gibt. Die technische Definition des bestimmten Integrals ist die Grenze einer Summe von Gebieten von Rechtecken, genannt eine Summe von Riemann.

Ein Motivieren-Beispiel ist die in einer gegebenen Zeit gereisten Entfernungen.

:

Wenn die Geschwindigkeit unveränderlich ist, ist nur Multiplikation erforderlich, aber wenn sich die Geschwindigkeit ändert, dann brauchen wir eine stärkere Methode, die Entfernung zu finden. Eine solche Methode ist näher zu kommen die Entfernung ist dadurch gereist, die Zeit in viele kurze Zwischenräume der Zeit zu zerbrechen, dann hat das Multiplizieren der Zeit in jedem Zwischenraum durch eine der Geschwindigkeiten bei diesem Zwischenraum vergangen, und dann ist das Nehmen der Summe (eine Summe von Riemann) der ungefähren Entfernung in jedem Zwischenraum gereist. Die Grundidee besteht dass darin, wenn nur eine kurze Zeit vergeht, dann wird die Geschwindigkeit mehr oder weniger dasselbe bleiben. Jedoch gibt eine Summe von Riemann nur eine Annäherung der gereisten Entfernung. Wir müssen die Grenze aller dieser Summen von Riemann nehmen, um zu finden, dass die genaue Entfernung gereist ist.

Wenn f (x) im Diagramm links Geschwindigkeit vertritt, weil es sich mit der Zeit ändert, ist die Entfernung gereist (zwischen den durch a vertretenen Zeiten, und b) ist das Gebiet des beschatteten Gebiets s.

Um diesem Gebiet näher zu kommen, würde eine intuitive Methode sein, die Entfernung zwischen a und b in mehrere gleiche Segmente, die Länge jedes Segmentes zu zerteilen, das durch das Symbol Δx vertreten ist. Für jedes kleine Segment können wir einen Wert der Funktion f (x) wählen. Nennen Sie diesen Wert h. Dann gibt das Gebiet des Rechtecks mit der Basis Δx und Höhe h die Entfernung (Zeit Δx multipliziert mit der Geschwindigkeit h) ist in diesem Segment gereist. Vereinigt mit jedem Segment ist der durchschnittliche Wert der Funktion darüber, f (x) =h. Die Summe aller dieser Rechtecke gibt eine Annäherung des Gebiets zwischen der Achse und der Kurve, die eine Annäherung der gereisten Gesamtentfernung ist. Ein kleinerer Wert für Δx wird mehr Rechtecke und in den meisten Fällen eine bessere Annäherung geben, aber für eine genaue Antwort müssen wir eine Grenze nehmen, weil sich Δx Null nähert.

Das Symbol der Integration ist, ein verlängerter S (tritt der S für "Summe" ein). Das bestimmte Integral wird als geschrieben:

:

und wird "das Integral von bis b von f-of-x in Bezug auf x." Die Notation von Leibniz dx gelesen ist beabsichtigt, um anzudeuten, das Gebiet unter der Kurve in eine unendliche Zahl von Rechtecken zu teilen, so dass ihre Breite Δx der unendlich klein kleine dx wird. In einer Formulierung der Rechnung, die auf Grenzen, die Notation gestützt ist

:soll

als ein Maschinenbediener verstanden werden, der eine Funktion als ein Eingang nimmt und eine Zahl, das Gebiet als eine Produktion gibt; dx ist nicht eine Zahl, und wird mit f (x) nicht multipliziert.

Das unbestimmte Integral, oder antiabgeleitet, wird geschrieben:

:

Funktionen, die sich durch nur eine Konstante unterscheiden, haben dieselbe Ableitung, und deshalb ist die Antiableitung einer gegebenen Funktion wirklich eine Familie von Funktionen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Da die Ableitung der Funktion y = x ² + C, wo C jede Konstante ist, y  = 2x ist, wird durch die Antiableitung der Letzteren gegeben:

:

Eine unentschiedene Konstante wie C in der Antiableitung ist als eine Konstante der Integration bekannt.

Hauptsatz

Der Hauptsatz der Rechnung stellt fest, dass Unterscheidung und Integration inverse Betriebe sind. Genauer verbindet es die Werte von Antiableitungen zu bestimmten Integralen. Weil es gewöhnlich leichter ist, eine Antiableitung zu schätzen, als, die Definition eines bestimmten Integrals anzuwenden, stellt der Hauptsatz der Rechnung eine praktische Weise zur Verfügung, bestimmte Integrale zu schätzen. Es kann auch als eine genaue Behauptung der Tatsache interpretiert werden, dass Unterscheidung das Gegenteil der Integration ist.

Der Hauptsatz von Rechnungsstaaten: Wenn eine Funktion f auf dem Zwischenraum [a, b] dauernd ist, und wenn F eine Funktion ist, deren Ableitung f auf dem Zwischenraum (a, b), dann ist

:

Außerdem, für jeden x im Zwischenraum (a, b),

:

Diese Verwirklichung, die sowohl von Newton als auch von Leibniz gemacht ist, der ihre Ergebnisse auf der früheren Arbeit von Isaac Barrow gestützt hat, war Schlüssel zur massiven Proliferation von analytischen Ergebnissen, nachdem ihre Arbeit bekannt geworden ist. Der Hauptsatz stellt eine algebraische Methode zur Verfügung, viele bestimmte Integrale zu schätzen —, ohne Grenze-Prozesse — durch die Entdeckung von Formeln für Antiableitungen durchzuführen. Es ist auch eine Prototyp-Lösung einer Differenzialgleichung. Differenzialgleichungen verbinden eine unbekannte Funktion mit seinen Ableitungen, und sind in den Wissenschaften allgegenwärtig.

Anwendungen

Rechnung wird in jedem Zweig der physischen Wissenschaften, der Aktuarwissenschaft, der Informatik, der Statistik, der Technik, der Volkswirtschaft, des Geschäfts, der Medizin, der Bevölkerungsstatistik, und in anderen Feldern verwendet, wo auch immer ein Problem mathematisch modelliert werden kann und eine optimale Lösung gewünscht wird. Es erlaubt, von (nichtunveränderlichen) Raten der Änderung zur Gesamtänderung oder umgekehrt, und oft im Studieren eines Problems zu gehen, das wir ein wissen und versuchen, den anderen zu finden.

Physik macht besonderen Gebrauch der Rechnung; alle Konzepte in der klassischen Mechanik und dem Elektromagnetismus werden durch die Rechnung zueinander in Beziehung gebracht. Die Masse eines Gegenstands der bekannten Dichte, der Moment der Trägheit von Gegenständen, sowie der Gesamtenergie eines Gegenstands innerhalb eines konservativen Feldes kann durch den Gebrauch der Rechnung gefunden werden. Ein Beispiel des Gebrauches der Rechnung in der Mechanik ist das zweite Gesetz von Newton der Bewegung: Historisch festgesetzt gebraucht es ausdrücklich den Begriff "Rate der Änderung", die sich auf die Ableitung bezieht sagend, dass Die Rate der Änderung des Schwungs eines Körpers der resultierenden Kraft gleich ist, die dem Körper folgt, und in derselben Richtung ist. Allgemein ausgedrückt heute als Kraft = Masse × Beschleunigung schließt es Differenzialrechnung ein, weil Beschleunigung die Zeitableitung der Geschwindigkeits- oder Ableitung des zweiten Mals der Schussbahn oder Raumposition ist. Davon anfangend, zu wissen, wie sich ein Gegenstand beschleunigt, verwenden wir Rechnung, um seinen Pfad abzuleiten.

Die Theorie von Maxwell des Elektromagnetismus und die Theorie von Einstein der allgemeinen Relativität werden auch auf der Sprache der Differenzialrechnung ausgedrückt. Chemie verwendet auch Rechnung in der Bestimmung von Reaktionsraten und radioaktivem Zerfall. In der Biologie fängt Bevölkerungsdynamik mit der Fortpflanzung und Mortalität zu Musterbevölkerungsänderungen an.

Rechnung kann in Verbindung mit anderen mathematischen Disziplinen verwendet werden. Zum Beispiel kann es mit der geradlinigen Algebra verwendet werden, um die "beste passende" geradlinige Annäherung für eine Reihe von Punkten in einem Gebiet zu finden. Oder es kann in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet werden, die Wahrscheinlichkeit einer dauernden zufälligen Variable von einer angenommenen Dichte-Funktion zu bestimmen. In der analytischen Geometrie, der Studie von Graphen von Funktionen, wird Rechnung verwendet, um Höhepunkte und niedrige Punkte (Maxima und Minima), Hang, Konkavität und Beugungspunkte zu finden.

Der Lehrsatz des Grüns, der die Beziehung zwischen einer Linie gibt, die um eine einfache geschlossene Kurve C und einem doppelten Integral über das Flugzeug durch C begrenztes Gebiet D integriert ist, wird in einem Instrument bekannt als ein planimeter angewandt, der verwendet wird, um das Gebiet einer flachen Oberfläche auf einer Zeichnung zu berechnen. Zum Beispiel kann es verwendet werden, um den Betrag des Gebiets zu berechnen, das durch ein Blumenbeet in der unregelmäßigen Form oder Schwimmbad aufgenommen ist, wenn es das Lay-Out eines Stückes des Eigentums entwirft.

Der Lehrsatz des getrennten Grüns, der die Beziehung zwischen einem doppelten Integral einer Funktion um eine einfache geschlossene rechteckige Kurve C und einer geradlinigen Kombination der Werte der Antiableitung an Eckpunkten entlang dem Rand der Kurve gibt, erlaubt schnelle Berechnung von Summen von Werten in rechteckigen Gebieten. Zum Beispiel kann es verwendet werden, um Summen von rechteckigen Gebieten in Images effizient zu berechnen, um Eigenschaften schnell herauszuziehen und Gegenstand zu entdecken - sieh auch den summierten Bereichstabellenalgorithmus.

Im Bereich der Medizin kann Rechnung verwendet werden, um den optimalen sich verzweigenden Winkel eines Blutgefäßes zu finden, um Fluss zu maximieren. Aus den Zerfall-Gesetzen für eine Beseitigung eines besonderen Rauschgifts vom Körper wird es verwendet, um Dosieren-Gesetze abzuleiten. In der Kernmedizin wird es verwendet, um Modelle des Strahlentransports in ins Visier genommenen Geschwulst-Therapien zu bauen.

In der Volkswirtschaft berücksichtigt Rechnung den Entschluss vom maximalen Gewinn durch die Versorgung einer Weise, sowohl Randkosten als auch Randeinnahmen leicht zu berechnen.

Rechnung wird auch verwendet, um ungefähre Lösungen von Gleichungen zu finden; in der Praxis ist es die Standardweise, Differenzialgleichungen zu lösen, und lässt wirklich Entdeckung in den meisten Anwendungen einwurzeln. Beispiele sind Methoden wie die Methode von Newton, befestigte Punkt-Wiederholung und geradlinige Annäherung. Zum Beispiel verwenden Raumfahrzeuge eine Schwankung der Methode von Euler, gebogenen Kursen innerhalb von Nullernst-Umgebungen näher zu kommen.

Siehe auch

Listen

• Liste von Rechnungsthemen
• Liste von Ableitungen und Integralen in alternativen Rechnungen
• Liste der Unterscheidungsidentität
• Veröffentlichungen in der Rechnung
• Tisch von Integralen

Zusammenhängende Themen

• Rechnung von begrenzten Unterschieden
• Rechnung mit Polynomen
• Komplizierte Analyse
• Differenzialgleichung
• Differenzialgeometrie
• Reihe von Fourier
• Integralgleichung
• Mathematische Analyse
• Mehrvariable Rechnung
• Nichtklassische Analyse
• Sonderanalyse
• Sonderrechnung
• Vorrechnung (mathematische Ausbildung)
• Produkt integrierter
• Stochastische Rechnung
• Reihe von Taylor

Zeichen

Bücher

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• Stewart, James (2008). Rechnung: Früher Transcendentals, 6. Hrsg., Brooks Cole Cengage Learning. Internationale Standardbuchnummer 9780495011668
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Andere Mittel

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• Schmied, William V (2001). "Die Rechnung" Wiederbekommen am 4. Juli 2008 http://www.math.byu.edu/~smithw/Calculus/ (HTML nur).

Links

• Rechnung Gemacht Leicht (1914) durch Silvanus P. Thompson Voller Text in PDF
• Calculus.org: Die Rechnungsseite an der Universität Kaliforniens, Davis - enthält Mittel und Verbindungen zu anderen Seiten
• KUH: Die Rechnung im Web an der Tempel-Universität - enthält Mittel im Intervall von der Vorrechnung und vereinigten Algebra
• Frühster bekannter Gebrauch von einigen der Wörter der Mathematik: Rechnung & Analyse
• Online-Integrator (WebMathematica) von der Wolfram-Forschung
• Die Rolle der Rechnung in der Universitätsmathematik von ERICDigests.org
• Rechnung von OpenCourseWare vom Institut von Massachusetts für die Technologie
• Unendlich kleine Rechnung - ein Artikel über seine historische Entwicklung, in der Enzyklopädie der Mathematik, Hrsg. von Michiel Hazewinkel
• Elemente der Rechnung I und Rechnung II für das Geschäft, OpenCourseWare von der Universität der Notre Dame mit Tätigkeiten, Prüfungen und interaktivem applets.
• Rechnung für Anfänger und Künstler durch Daniel Kleitman, MIT
• Rechnungsprobleme und Lösungen durch D. A. Kouba
• Behobene Probleme in der Rechnung
• Videoerklärungen und behobene Probleme in der Rechnung Raymond, CUNY