In der numerischen Analyse sind die Methode von Newton (auch bekannt als die Methode des Newtons-Raphson), genannt nach Isaac Newton und Joseph Raphson, eine Methode, um nacheinander bessere Annäherungen an die Wurzeln (oder zeroes) von einer reellwertigen Funktion zu finden. Der Algorithmus ist in der Klasse der Methoden des Wohnungsinhabers erst, die durch die Methode von Halley nachgefolgt sind. Die Methode kann auch zu komplizierten Funktionen und zu Gleichungssystemen erweitert werden.

Die Methode des Newtons-Raphson in einer Variable wird wie folgt durchgeführt:

In Anbetracht eines Funktions-ƒ, der über den reals x und seinen abgeleiteten ƒ definiert ist, beginnen wir mit einer ersten Annahme x für eine Wurzel der Funktion f. Vorausgesetzt dass die Funktion vernünftig wohl erzogen ist, ist eine bessere Annäherung x

Geometrisch, (x, 0) ist die Kreuzung mit der X-Achse einer Linientangente zu f an (x, f (x)).

Der Prozess wird als wiederholt

bis ein genug genauer Wert erreicht wird.

Beschreibung

Die Idee von der Methode ist wie folgt: Man fängt mit einer anfänglichen Annahme an, die vernünftig der wahren Wurzel nah ist, dann wird der Funktion durch seine Tangente-Linie näher gekommen (der mit den Werkzeugen der Rechnung geschätzt werden kann), und man den X-Abschnitt dieser Tangente-Linie schätzt (der mit der elementaren Algebra leicht getan wird). Dieser X-Abschnitt wird normalerweise eine bessere Annäherung an die Wurzel der Funktion sein als die ursprüngliche Annahme, und die Methode kann wiederholt werden.

Nehmen Sie ƒ an: [a b]  ist R eine Differentiable-Funktion, die auf dem Zwischenraum [a, b] mit Werten in den reellen Zahlen R definiert ist. Die Formel, um auf der Wurzel zusammenzulaufen, kann leicht abgeleitet werden. Nehmen Sie an, dass wir etwas aktuelle Annäherung x haben. Dann können wir die Formel für eine bessere Annäherung, x ableiten, indem wir uns auf das Diagramm rechts beziehen. Wir wissen aus der Definition der Ableitung an einem gegebenen Punkt, dass es der Hang einer Tangente an diesem Punkt ist.

Das ist

Hier, f 'zeigt die Ableitung der Funktion f an. Dann durch die einfache Algebra können wir ableiten

Wir beginnen den Prozess mit einem willkürlichen Anfangswert x. (Je näher an der Null, desto besser. Aber ohne jede Intuition über, wo die Null, eine "Annahme liegen und" Methode überprüfen könnte, könnte die Möglichkeiten zu einem vernünftig kleinen Zwischenraum durch das Appellieren an den Zwischenwertlehrsatz einengen.) Wird die Methode gewöhnlich zusammenlaufen, vorausgesetzt dass diese anfängliche Annahme an der unbekannten Null und diesem ƒ '(x)  0 nah genug ist. Außerdem, für eine Null der Vielfältigkeit 1, ist die Konvergenz mindestens quadratisch (sieh Rate der Konvergenz) in einer Nachbarschaft der Null, die intuitiv bedeutet, dass sich die Zahl von richtigen Ziffern grob mindestens in jedem Schritt verdoppelt. Mehr Details können in der Analyse-Abteilung unten gefunden werden.

Die Methoden des Wohnungsinhabers sind ähnlich, aber haben höhere Ordnung für die noch schnellere Konvergenz.

Jedoch kann die für jeden Schritt erforderliche Extraberechnung die gesamte Leistung hinsichtlich der Methode von Newton besonders verlangsamen, wenn f oder seine Ableitungen rechenbetont teuer sind, um zu bewerten.

Geschichte

Die Methode des Newtons wurde von Isaac Newton in De analysi pro aequationes numero terminorum infinitas (geschrieben 1669, veröffentlicht 1711 von William Jones) und in De metodis fluxionum und serierum infinitarum beschrieben (geschrieben 1671, übersetzt, und hat als Methode von Fluxions 1736 durch John Colson veröffentlicht). Jedoch unterscheidet sich seine Beschreibung wesentlich von der modernen Beschreibung, die oben gegeben ist: Newton wendet die Methode nur auf Polynome an. Er schätzt die aufeinander folgenden Annäherungen nicht, aber schätzt eine Folge von Polynomen und nur am Ende, er erreicht eine Annäherung für die Wurzel x. Schließlich sieht Newton die Methode als rein algebraisch an und scheitert, die Verbindung mit der Rechnung zu bemerken. Isaac Newton hat wahrscheinlich seine Methode von einer ähnlichen, aber weniger genauen Methode durch Vieta abgeleitet. Die Essenz der Methode von Vieta kann in der Arbeit des persischen Mathematikers, Al-Lärm von Sharaf al-Tusi gefunden werden, während sein Nachfolger Jamshīd al-Kāshī eine Form der Methode von Newton verwendet hat zu lösen, um Wurzeln von N (Ypma 1995) zu finden. Ein spezieller Fall der Methode von Newton, um Quadratwurzeln zu berechnen, war viel früher bekannt und wird häufig die babylonische Methode genannt.

Die Methode des Newtons wurde vom japanischen Mathematiker des 17. Jahrhunderts Seki Kōwa verwendet, um einzeln-variable Gleichungen zu lösen, obwohl die Verbindung mit der Rechnung vermisst wurde.

Die Methode von Newton wurde zuerst 1685 in Einer Abhandlung der Algebra veröffentlicht, die sowohl Historisch als auch von John Wallis praktisch ist. 1690 hat Joseph Raphson eine vereinfachte Beschreibung in der Analyse aequationum universalis veröffentlicht. Raphson hat wieder die Methode von Newton rein als eine algebraische Methode angesehen und hat seinen Gebrauch auf Polynome eingeschränkt, aber er beschreibt die Methode in Bezug auf die aufeinander folgenden Annäherungen x statt der mehr komplizierten Folge von von Newton verwendeten Polynomen. Schließlich, 1740, hat Thomas Simpson die Methode von Newton als eine wiederholende Methode beschrieben, um allgemeine nichtlineare Gleichungen mit fluxional Rechnung zu lösen, im Wesentlichen die Beschreibung oben gebend. In derselben Veröffentlichung gibt Simpson auch die Generalisation Systemen von zwei Gleichungen und bemerkt, dass die Methode von Newton verwendet werden kann, um Optimierungsprobleme durch das Setzen des Anstiegs auf die Null zu lösen.

Arthur Cayley 1879 im Newton-Fourier imaginäres Problem war erst, wer die Schwierigkeiten bemerkt hat, die Methode des Newtons zu komplizierten Wurzeln von Polynomen mit dem Grad zu verallgemeinern, der größer ist als 2 und komplizierte Anfangswerte. Das hat den Weg zur Studie der Theorie von Wiederholungen von vernünftigen Funktionen geöffnet.

Praktische Rücksichten

Die Methode des Newtons ist eine äußerst starke Technik im Allgemeinen die Konvergenz ist quadratisch: Da die Methode auf der Wurzel zusammenläuft, wird der Unterschied zwischen der Wurzel und der Annäherung quadratisch gemacht (die Zahl von genauen Ziffern verdoppelt sich grob) an jedem Schritt. Jedoch gibt es einige Schwierigkeiten mit der Methode.

Schwierigkeit, Ableitung einer Funktion zu berechnen

Die Methode von Newton verlangt, dass die Ableitung direkt berechnet wird. Ein analytischer Ausdruck für die Ableitung kann nicht leicht erreichbar sein und konnte teuer sein, um zu bewerten. In diesen Situationen kann es passend sein, der Ableitung durch das Verwenden des Hangs einer Linie durch zwei nahe gelegene Punkte auf der Funktion näher zu kommen. Das Verwenden dieser Annäherung würde auf etwas wie das Sekantenverfahren hinauslaufen, dessen Konvergenz langsamer ist als diese der Methode von Newton.

Misserfolg der Methode, zur Wurzel zusammenzulaufen

Es ist wichtig, den Beweis der quadratischen Konvergenz der Methode des Newtons vor dem Einführen davon nachzuprüfen. Spezifisch sollte man die im Beweis gemachten Annahmen nachprüfen. Für Situationen, wo die Methode scheitert zusammenzulaufen, ist es, weil die in diesem Beweis gemachten Annahmen nicht entsprochen werden.

Überschwingen

Wenn die erste Ableitung in der Nachbarschaft einer besonderen Wurzel nicht gut benommen wird, kann die Methode übers Ziel hinausschießen, und von dieser Wurzel abweichen.

Stationärer Punkt

Wenn auf einen stationären Punkt der Funktion gestoßen wird, ist die Ableitung Null, und die Methode wird wegen der Abteilung durch die Null enden.

Schlechte anfängliche Schätzung

Ein großer Fehler in der anfänglichen Schätzung kann zu Nichtkonvergenz des Algorithmus beitragen.

Milderung der Nichtkonvergenz

In einer robusten Durchführung der Methode von Newton ist es üblich, Grenzen auf der Zahl von Wiederholungen zu legen, hat die Lösung eines Zwischenraums gebunden, der bekannt ist, die Wurzel zu enthalten, und die Methode mit einer robusteren Wurzelentdeckungsmethode zu verbinden.

Langsame Konvergenz für Wurzeln der Vielfältigkeit> 1

Wenn die Wurzel, die wird sucht, größere Vielfältigkeit hat, als einer die Konvergenz-Rate bloß geradlinig ist (Fehler, die durch einen unveränderlichen Faktor an jedem Schritt reduziert sind), wenn spezielle Schritte nicht gemacht werden. Wenn es zwei oder mehr Wurzeln gibt, die eng miteinander dann sind, kann man viele Wiederholungen brauchen, bevor das Wiederholen nah genug an einem von ihnen für die quadratische Konvergenz wird, um offenbar zu sein. Jedoch, wenn die Vielfältigkeit der Wurzel bekannt ist, kann man den folgenden modifizierten Algorithmus verwenden, der die quadratische Konvergenz-Rate bewahrt:

Analyse

Nehmen Sie an, dass der Funktions-ƒ eine Null an α, d. h., ƒ (α) = 0 hat.

Wenn f unaufhörlich differentiable ist und seine Ableitung Nichtnull an α ist, dann dort besteht eine Nachbarschaft von solchem α, dass für alle Startwerte x in dieser Nachbarschaft die Folge {x} zu α zusammenlaufen wird.

Wenn die Funktion unaufhörlich differentiable ist und seine Ableitung nicht 0 an α ist und es eine zweite Ableitung an α dann hat, ist die Konvergenz quadratisch oder schneller. Wenn die zweite Ableitung nicht 0 an α dann ist, ist die Konvergenz bloß quadratisch. Wenn die dritte Ableitung besteht und in einer Nachbarschaft von α, dann begrenzt wird:

wo

Wenn die Ableitung 0 an α ist, dann ist die Konvergenz gewöhnlich nur geradlinig. Spezifisch, wenn ƒ zweimal unaufhörlich differentiable, ƒ (α) = 0 und ƒ ist

Jedoch wird sogar geradlinige Konvergenz in pathologischen Situationen nicht versichert.

In der Praxis sind diese Ergebnisse lokal, und die Nachbarschaft der Konvergenz ist im Voraus nicht bekannt. Aber es gibt auch einige Ergebnisse auf der globalen Konvergenz: Zum Beispiel, in Anbetracht einer richtigen Nachbarschaft U α, wenn f zweimal differentiable in U und wenn ist,

Beweis der quadratischen Konvergenz für die wiederholende Methode von Newton

Gemäß dem Lehrsatz von Taylor kann jede Funktion f (x), der eine dauernde zweite Ableitung hat, durch eine Vergrößerung über einen Punkt vertreten werden, der einer Wurzel von f (x) nah ist. Nehmen Sie an, dass diese Wurzel Dann die Vergrößerung von f (α) über x ist, ist:

wo die Form von Lagrange des Reihenentwicklungsrests von Taylor ist

wo ξ zwischen x und ist

Seitdem ist die Wurzel, wird:

Das Teilen der Gleichung durch und Umordnen gibt

Das Erinnern, dass x durch definiert wird

man findet das

Das, ist

Die Einnahme absoluten Werts beider Seiten gibt

Gleichung zeigt, dass die Rate der Konvergenz quadratisch ist, wenn folgende Bedingungen zufrieden sind:

1. genug in der Nähe von der Wurzel

Der Begriff genug nahe in diesem Zusammenhang bedeutet den folgenden:

(a) Annäherung von Taylor ist solch genau genug, dass wir höhere Ordnungsbegriffe, ignorieren können

(b)

(c)

Schließlich, kann folgendermaßen ausgedrückt werden: