Der Lehrsatz von Taylor

In der Rechnung gibt der Lehrsatz von Taylor eine Annäherung k Zeiten differentiable Funktion um einen gegebenen Punkt durch einen k-th bestellen Taylor-Polynom. Für analytische Funktionen sind die Polynome von Taylor an einem gegebenen Punkt begrenzte Ordnungsstutzungen der Reihe seines Taylors, die völlig die Funktion in einer Nachbarschaft des Punkts bestimmt. Der genaue Inhalt des "Lehrsatzes von Taylor" ist nicht allgemein vereinbart. Tatsächlich gibt es mehrere Versionen davon anwendbar in verschiedenen Situationen, und einige von ihnen enthalten ausführliche Schätzungen auf dem Annäherungsfehler der Funktion durch sein Taylor-Polynom.

Der Lehrsatz von Taylor wird nach dem Mathematiker Brook Taylor genannt, der eine Version davon 1712 festgesetzt hat. Und doch wurde ein ausführlicher Ausdruck des Fehlers viel später von Joseph-Louis Lagrange zur Verfügung gestellt. Eine frühere Version des Ergebnisses wird bereits 1671 von James Gregory erwähnt.

Der Lehrsatz von Taylor wird auf einleitenden Niveau-Rechnungskursen unterrichtet, und es ist eines der elementaren Hauptwerkzeuge in der mathematischen Analyse. Innerhalb der reinen Mathematik ist es der Startpunkt der fortgeschritteneren asymptotischen Analyse, und es wird in mehr angewandten Feldern von numerics sowie in der mathematischen Physik allgemein verwendet. Der Lehrsatz von Taylor verallgemeinert auch zu multivariate, und Vektor hat Funktionen auf irgendwelchen Dimensionen n und M geschätzt. Diese Generalisation des Lehrsatzes von Taylor ist die Basis für die Definition von so genannten Strahlen, die in der Differenzialgeometrie und den teilweisen Differenzialgleichungen erscheinen.

Motivation

Wenn eine reellwertige Funktion f differentiable am Punkt dann ist, hat es eine geradlinige Annäherung am Punkt a. Das bedeutet, dass dort eine Funktion h solch dass besteht

:

Hier

:

ist die geradlinige Annäherung von f am Punkt a. Der Graph dessen ist die Tangente-Linie zum Graphen von f daran. Der Fehler in der Annäherung ist

:

Bemerken Sie, dass das zur Null ein kleines bisschen schneller geht als, weil x zu a neigt.

Wenn wir eine bessere Annäherung an f gewollt haben, könnten wir stattdessen ein quadratisches Polynom statt einer geradlinigen Funktion versuchen. Anstatt gerade eine Ableitung von f an a zu vergleichen, können wir zwei Ableitungen vergleichen, so ein Polynom erzeugend, das denselben Hang und Konkavität wie f an a hat. Das quadratische fragliche Polynom ist

:

Der Lehrsatz von Taylor stellt sicher, dass die quadratische Annäherung, in einer genug kleinen Nachbarschaft des Punkts a, eine bessere Annäherung ist als die geradlinige Annäherung. Spezifisch,

:

Hier ist der Fehler in der Annäherung

:

der, in Anbetracht des Begrenzungsverhaltens von h, zur Null schneller geht als, weil x zu a neigt.

Ähnlich bekommen wir noch bessere Annäherungen an f, wenn wir Polynome des höheren Grads verwenden, seitdem können wir noch mehr Ableitungen mit f am ausgewählten Grundpunkt vergleichen. Im Allgemeinen wird der Fehler im Approximieren einer Funktion durch ein Polynom des Grads k zur Null ein kleines bisschen schneller gehen als, weil x zu a neigt.

Dieses Ergebnis ist von der asymptotischen Natur: Es sagt uns nur, dass der Fehler R in einer Annäherung durch einen k-th befiehlt, dass Polynom von Taylor P zur Null schneller neigt als jede Nichtnull k-th Grad-Polynom als x → a. Es erzählt uns nicht, wie groß der Fehler in jeder konkreten Nachbarschaft des Zentrums der Vergrößerung ist, aber für diesen Zweck gibt es ausführliche Formeln für den Rest-Begriff (gegeben unten), die unter einigen zusätzlichen Regelmäßigkeitsannahmen auf f gültig sind. Diese erhöhten Versionen des Lehrsatzes von Taylor führen normalerweise zu gleichförmigen Schätzungen für den Annäherungsfehler in einer kleinen Nachbarschaft des Zentrums der Vergrößerung, aber die Schätzungen halten für die Nachbarschaft nicht notwendigerweise, die zu groß ist, selbst wenn die Funktion f analytisch ist. In dieser Situation kann man mehrere Polynome von Taylor mit verschiedenen Zentren der Vergrößerung auswählen müssen, um zuverlässige Taylor-Annäherungen der ursprünglichen Funktion zu haben (sieh Zeichentrickfilm rechts.)

Es ist auch möglich, dass die Erhöhung des Grads des näher kommenden Polynoms die Qualität der Annäherung überhaupt nicht vergrößert, selbst wenn die Funktion f, um näher gekommen zu werden, ungeheuer oft differentiable ist. Ein Beispiel dieses Verhaltens wird unten angeführt, und es ist mit der Tatsache verbunden, dass verschieden von analytischen Funktionen allgemeinere Funktionen durch die Werte ihrer Ableitungen an einem einzelnen Punkt nicht (lokal) bestimmt werden.

Der Lehrsatz von Taylor in einer echter Variable

Behauptung des Lehrsatzes

Die genaue Behauptung der grundlegendsten Version des Lehrsatzes von Taylor ist wie folgt.

Das Polynom, das im Lehrsatz von Taylor erscheint, ist das K-Th-Ordnungspolynom von Taylor'

:

der Funktion f am Punkt a. Das Polynom von Taylor ist das einzigartige "asymptotische beste passende" Polynom im Sinn, dass, wenn dort besteht, eine Funktion und ein k-th Polynom p solch dass bestellen

:

dann p = beschreibt der Lehrsatz von P. Taylor das asymptotische Verhalten des Rest-Begriffes

:

der der Annäherungsfehler ist, wenn er f mit seinem Polynom von Taylor näher kommt. Mit wenig-o Notation liest die Behauptung im Lehrsatz von Taylor als

:

Ausführliche Formeln für den Rest

Unter stärkeren Regelmäßigkeitsannahmen auf f gibt es mehrere genaue Formeln für den Rest-Begriff-R des Polynoms von Taylor, die allgemeinsten, die das folgende sind.

Diese Verbesserungen des Lehrsatzes von Taylor werden gewöhnlich verwendend des Mittelwertlehrsatzes, woher der Name bewiesen. Auch andere ähnliche Ausdrücke können gefunden werden. Zum Beispiel, wenn G (t) auf dem geschlossenen Zwischenraum und differentiable mit einer nichtverschwindenden Ableitung auf dem offenen Zwischenraum zwischen a und x, dann dauernd

ist:

für eine Zahl ξ zwischen a und x. Diese Version bedeckt die Formen von Lagrange und Cauchy des Rests als spezielle Fälle, und wird unter dem Verwenden des Mittelwertlehrsatzes von Cauchy bewiesen.

Die Behauptung für die integrierte Form des Rests ist fortgeschrittener als die vorherigen, und verlangt das Verstehen der Integrationstheorie von Lebesgue für die volle Allgemeinheit. Jedoch hält es auch im Sinne integrierten Riemanns hat (k+1) zur Verfügung gestellt - die St.-Ableitung von f ist auf dem geschlossenen Zwischenraum [a, x] dauernd.

Wegen der absoluten Kontinuität von f auf dem geschlossenen Zwischenraum zwischen a und x besteht seine Ableitung f als eine L-Funktion, und das Ergebnis kann durch eine formelle Berechnung mit dem Hauptsatz der Rechnung und Integration durch Teile bewiesen werden.

Schätzungen für den Rest

Es ist häufig in der Praxis nützlich im Stande zu sein, den Rest-Begriff zu schätzen, der in der Annäherung von Taylor erscheint, anstatt eine spezifische Form davon zu haben. Nehmen Sie an, dass f (k+1) - Zeiten unaufhörlich differentiable in einem Zwischenraum ich ist, a enthaltend. Nehmen Sie an, dass es echte Konstanten q und solchen Q dass gibt

:

überall ich. Dann befriedigt der Rest-Begriff die Ungleichheit

:

wenn, und eine ähnliche Schätzung wenn {1-\beta }\

, \qquad \frac {r }\\leq \beta

Beispiel

Die Funktion f:R→R definiert durch

:

ist analytisch, d. h. lokal bestimmt durch seine Reihe von Taylor echt. Diese Funktion wurde oben geplant, um die Tatsache zu illustrieren, dass einigen Elementarfunktionen durch Polynome von Taylor in der Nachbarschaft des Zentrums der Vergrößerung nicht näher gekommen werden kann, die zu groß ist. Diese Art des Verhaltens wird im Fachwerk der komplizierten Analyse leicht verstanden. Nämlich streckt sich die Funktion f in eine Meromorphic-Funktion aus

:

auf dem compactified komplizierten Flugzeug. Es hat einfache Pole an z=i und z=−i, und es ist anderswohin analytisch. Jetzt hat seine Reihe von Taylor an z coverges auf jeder Scheibe B (z, r) mit r im Mittelpunkt gestanden, wo dieselbe Reihe von Taylor an z∈C zusammenläuft. Deshalb läuft die Reihe von Taylor von f, der an 0 in den Mittelpunkt gestellt ist, auf B (0,1) zusammen, und es läuft für keinen z∈C mit |z> 1 erwarteter zu den Polen an mir und −i zusammen. Aus demselben Grund läuft die Reihe von Taylor von f, der an 1 in den Mittelpunkt gestellt ist, auf B (1, 2) zusammen und läuft für keinen z∈C mit |z-1 |>  2 zusammen.

Generalisationen des Lehrsatzes von Taylor

Höhere Ordnung differentiability

Eine Funktion f:R → R ist differentiable an ∈ R wenn, und nur wenn dort ein geradliniger funktioneller L besteht: R → R und eine Funktion h: R → R solch dass

:

\qquad \lim_ {\\boldsymbol {x }\\to\boldsymbol} h (\boldsymbol {x}) =0. </Mathematik>

Wenn das der Fall ist, dann ist L = df (a) (einzigartig definiert) Differenzial von f am Punkt a. Außerdem dann bestehen die partiellen Ableitungen von f an a und dem Differenzial von f dabei, gegeben durch zu sein

:

Führen Sie die Mehrindex-Notation ein

:

für &alpha; &isin; N und x &isin; R. Wenn alle k-th befehlen, dass partielle Ableitungen dessen daran dauernd sind, dann durch den Lehrsatz von Clairaut kann man die Ordnung von Mischableitungen an a, so die Notation ändern

:

für die höhere Ordnung partielle Ableitungen wird in dieser Situation gerechtfertigt. Dasselbe ist wenn ganz wahr (k &minus; 1) befehlen-th, dass partielle Ableitungen von f in einer Nachbarschaft von a bestehen und differentiable an a sind. Dann sagen wir, dass f k Zeiten differentiable am Punkt a ist.

Der Lehrsatz von Taylor für Multivariate-Funktionen

{Dx^ {k-1}} (f (x) - P (x))} {\\frac {D^ {k-1}} {Dx^ {k-1}} (x-a) ^k }\\\

&= \frac {1} {k! }\\lim_ {x\to} \frac {F^ {(k-1)} (x) - P^ {(k-1)} (x)} {x-a }\\\

&= \frac {1} {k!} (f^ {(k)} (a) - f^ {(k)} (a)) = 0

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wo das zweite, um Gleichheit zu dauern, durch die Definition der Ableitung an x = a folgt.

Abstammung für die Mittelwertformen des Rests

Lassen Sie G jede reellwertige Funktion sein, die auf dem geschlossenen Zwischenraum zwischen a und x und differentiable mit einer nichtverschwindenden Ableitung auf dem offenen Zwischenraum zwischen a und x dauernd ist, und zu definieren

:

F (t) = f (t) + f' (t) (x-t) + \frac {f (t)} {2!} (x-t) ^2 + \cdots + \frac {f^ {(k)} (t)} {k!} (x-t) ^k.

</Mathematik>

Dann, durch den Mittelwertlehrsatz von Cauchy,

:

(*) \quad \frac {F' (\xi)} {G' (\xi)} = \frac {F (x) - F (a)} {G (x) - G (a) }\

</Mathematik>

für einige &xi; auf dem offenen Zwischenraum zwischen a und x. Bemerken Sie, dass hier der Zähler genau der Rest des Polynoms von Taylor für f (x) ist. Schätzen Sie

:

F' (t) = & f' (t) + \big (f (t) (x-t) - f' (t) \big) + \Big (\frac {f^ {(3)} (t)} {2!} (x-t) ^2 - \frac {f^ {(2)} (t)} {1!} (x-t) \Big) + \cdots \\

& \cdots + \Big (\frac {F^ {(k+1)} (t)} {k!} (x-t) ^k - \frac {f^ {(k)} (t)} {(k-1)!} (x-t) ^ {k-1 }\\Groß)

\frac {F^ {(k+1)} (t)} {k!} (x-t) ^k,

\end {richten} </Mathematik> {aus}

stopfen Sie es in (*) zu und ordnen Sie Begriffe um, um das zu finden

:

R_k = \frac {F^ {(k+1)} (\xi)} {k!} (x-\xi) ^k \frac {G (x)-G (a)} {G' (\xi)}.

</Mathematik>

Das ist die Form des Rest-Begriffes erwähnt nach der wirklichen Behauptung des Lehrsatzes von Taylor mit dem Rest in der Mittelwertform.

Die Lagrange-Form des Rests wird durch die Auswahl und die Form von Cauchy durch die Auswahl gefunden.

Bemerkung. Mit dieser Methode kann man auch die integrierte Form des Rests wieder erlangen, indem man wählt

:

G (t) = \int_a^t \frac {F^ {(k+1)} (s)} {k!} (x-s) ^k \, ds,

</Mathematik>

aber die Voraussetzungen für für den Gebrauch des Mittelwertlehrsatzes erforderlichen f sind zu stark, wenn man zum Ziel hat, den Anspruch im Fall zu beweisen, dass f nur absolut dauernd ist. Jedoch, wenn man Riemann verwendet, der statt integrierten Lebesgue integriert ist, können die Annahmen nicht geschwächt werden.

Abstammung für die integrierte Form des Rests

Wegen der absoluten Kontinuität von f auf dem geschlossenen Zwischenraum zwischen a und x besteht seine Ableitung f als eine L-Funktion, und wir können Hauptsatz der Rechnung und Integration durch Teile verwenden. Dieser derselbe Beweis bewirbt sich um den Riemann das integrierte Annehmen, dass f auf dem geschlossenen Zwischenraum und differentiable auf dem offenen Zwischenraum zwischen a und x dauernd ist, und das zu demselben Ergebnis führt als das Verwenden des Mittelwertlehrsatzes.

Der Hauptsatz der Rechnung setzt das fest

:

Jetzt können wir durch Teile integrieren und den Hauptsatz der Rechnung wieder verwenden, um das zu sehen

:

f (x) &= f (a) + \Big (xf' (x) - Niederfrequenz' (a) \Big)-\int_a^x tf (t) \, dt \\

&= f (a) + x\Big (f' (a) + \int_a^x f (t) \, dt \Big) - Niederfrequenz' (a)-\int_a^x tf (t) \, dt \\

&= f (a) + (x-a) f' (a) + \int_a^x \, (x-t) f (t) \, dt,

\end {richten} </Mathematik> {aus}

der genau der Lehrsatz von Taylor mit dem Rest in der integrierten Form im Fall k=1 ist.

Die allgemeine Behauptung wird mit der Induktion bewiesen. Nehmen Sie das an

:

Die Integrierung des Rests nennt durch Teile wir erreichen

:

\int_a^x \frac {F^ {(k+1)} (t)} {k!} (x - t) ^k \, dt = & - \Big [\frac {F^ {(k+1)} (t)} {(k+1) k!} (x - t) ^ {k+1} \Big] _a^x + \int_a^x \frac {F^ {(k+2)} (t)} {(k+1) k!} (x - t) ^ {k+1} \, dt \\

& \\frac {F^ {(k+1)} (a)} {(k+1)!} (x - a) ^ {k+1} + \int_a^x \frac {F^ {(k+2)} (t)} {(k+1)!} (x - t) ^ {k+1} \, dt. \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Das Ersetzen davon in die Formel zeigt, dass, wenn es für den Wert k hält, es auch für den Wert k + 1 halten muss.

Deshalb, da es für k = 1 hält, muss es für jede positive ganze Zahl k halten.

Abstammung für den Rest von multivariate Polynomen von Taylor

Wir beweisen den speziellen Fall, wo f: R &rarr; R hat dauernde partielle Ableitungen bis zum Auftrag k+1 in einem geschlossenen Ball B mit dem Zentrum a. Die Strategie des Beweises ist, den Ein-Variable-Fall des Lehrsatzes von Taylor zur Beschränkung von f zum Liniensegment anzuwenden, das x und a angrenzt. Parametrisieren Sie das Liniensegment zwischen a und x durch u (t) = Wir wenden die Ein-Variable-Version des Lehrsatzes von Taylor zur Funktion an:

:

Das Wenden an die Kettenregel für mehrere Variablen gibt

:

g^ {(j)} (t) &= \frac {d^j} {dt^j} f (u (t)) = \frac {d^j} {dt^j} f (\mathbf {ein} +t (\mathbf {x}-\mathbf)) \\

&= \sum_\alpha | = j\\left (\begin {Matrix} j \\\alpha\end {Matrix} \right) (D^\\Alpha f) (\mathbf {ein} +t (\mathbf {x}-\mathbf)) (\mathbf {x}-\mathbf) ^\\Alpha

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wo der multinomial Koeffizient ist. Seitdem bekommen wir

:

(\mathbf x-\mathbf a) ^\\Alpha \int_0^1 (1-t) ^k (D^\\Alpha f) (\mathbf a+t (\mathbf x-\mathbf a)) \, dt. </math>

Siehe auch

Kommentare

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