In der Rechnung, den Mittelwertlehrsatz-Staaten, grob: In Anbetracht eines Kreisbogens zwischen zwei Endpunkten gibt es mindestens einen Punkt, an dem die Tangente zum Kreisbogen zur Sekante durch seine Endpunkte parallel ist.

Der Lehrsatz wird verwendet, um globale Behauptungen über eine Funktion auf einem Zwischenraum zu beweisen, der aus lokalen Hypothesen über Ableitungen an Punkten des Zwischenraums anfängt.

Genauer, wenn eine Funktion f (x) auf dem geschlossenen Zwischenraum [a, b], wo &lt dauernd ist; b, und differentiable auf dem offenen Zwischenraum (a, b), dann dort besteht ein Punkt c in (a, b) solch dass

Dieser Lehrsatz kann intuitiv durch die Verwendung davon verstanden werden, um zu winken: Wenn ein Auto hundert Meilen in einer Stunde reist, dann war seine durchschnittliche Geschwindigkeit während dieser Zeit 100 Meilen pro Stunde. Um mit dieser durchschnittlichen Geschwindigkeit zu kommen, muss das Auto entweder an unveränderlichen 100 Meilen pro Stunde während dieser ganzen Zeit gehen, oder, wenn es langsamer in einem Moment geht, muss es schneller in einem anderen Moment ebenso gehen (und umgekehrt), um noch mit einem Durchschnitt von 100 Meilen pro Stunde zu enden. Deshalb sagt der Mittelwertlehrsatz uns, dass an einem Punkt während der Reise das Auto an genau 100 Meilen pro Stunde gereist sein muss; d. h. es reiste mit seiner durchschnittlichen Geschwindigkeit.

Ein spezieller Fall dieses Lehrsatzes wurde zuerst von Parameshvara (1370-1460) von der Schule von Kerala der Astronomie und Mathematik in seinen Kommentaren zu Govindasvāmi und Bhaskara II beschrieben. Der Mittelwertlehrsatz in seiner modernen Form wurde später von Augustin Louis Cauchy (1789-1857) festgesetzt. Es ist eines der wichtigsten Ergebnisse in der Differenzialrechnung, sowie einer der wichtigsten Lehrsätze in der mathematischen Analyse, und ist im Beweis des Hauptsatzes der Rechnung notwendig. Der Mittelwertlehrsatz folgt aus der spezifischeren Behauptung des Lehrsatzes von Rolle und kann verwendet werden, um die allgemeinere Behauptung des Lehrsatzes von Taylor (mit der Form von Lagrange des Rest-Begriffes) zu beweisen.

Formelle Behauptung

Lässt f: [a, b]  R, eine dauernde Funktion auf dem geschlossenen Zwischenraum [a, b], und differentiable auf dem offenen Zwischenraum (a, b), wo sein