Mathematische Analyse, auf die sich Mathematiker einfach als Analyse beziehen, ist ein Zweig der reinen Mathematik, die die Theorien von Unterscheidung, Integration und Maß, Grenzen, unendlicher Reihe und analytischen Funktionen einschließt. Diese Theorien werden häufig im Zusammenhang von reellen Zahlen, komplexen Zahlen und echten und komplizierten Funktionen studiert. Analyse kann von der Geometrie herkömmlich bemerkenswert sein. Jedoch können Theorien der Analyse auf jeden Raum von mathematischen Gegenständen angewandt werden, der eine Definition der Nähe (ein topologischer Raum) oder, mehr spezifisch, Entfernung (ein metrischer Raum) hat.

Geschichte

Früh läuft auf Analyse hinaus sind implizit in den frühen Tagen der alten griechischen Mathematik da gewesen. Zum Beispiel ist eine unendliche geometrische Summe im Paradox von Zeno der Zweiteilung implizit. Später haben griechische Mathematiker wie Eudoxus und Archimedes ausführlicheren aber informellen, Gebrauch der Konzepte von Grenzen und Konvergenz gemacht, als sie die Methode der Erschöpfung verwendet haben, das Gebiet und Volumen von Gebieten und Festkörpern zu schätzen. In Indien der Mathematiker des 12. Jahrhunderts hat Bhāskara II Beispiele der Ableitung angeführt und hat verwendet, was jetzt als der Lehrsatz von Rolle bekannt ist.

Im 14. Jahrhundert hat Madhava von Sangamagrama unendliche Reihenentwicklungen, wie die Macht-Reihe und die Reihe von Taylor, von Funktionen wie Sinus, Kosinus, Tangente und arctangent entwickelt. Neben seiner Entwicklung der Reihe von Taylor der trigonometrischen Funktionen hat er auch den Umfang der geschaffenen Fehlerbegriffe geschätzt, indem er diese Reihen gestutzt hat, und hat eine vernünftige Annäherung einer unendlichen Reihe gegeben. Seine Anhänger in der Schule von Kerala der Astronomie und Mathematik haben weiter seine Arbeiten bis zum 16. Jahrhundert ausgebreitet.

In Europa, während der späteren Hälfte des 17. Jahrhunderts, haben Newton und Leibniz unabhängig unendlich kleine Rechnung entwickelt, die mit dem Stimulus der angewandten Arbeit gewachsen ist, die im Laufe des 18. Jahrhunderts, in Analyse-Themen wie die Rechnung von Schwankungen, gewöhnlichen und teilweisen Differenzialgleichungen, Analyse von Fourier und erzeugenden Funktionen weitergegangen hat. Während dieser Periode wurden Rechnungstechniken angewandt, um getrennten Problemen durch dauernde näher zu kommen.

Im 18. Jahrhundert hat Euler den Begriff der mathematischen Funktion eingeführt. Echte Analyse hat begonnen, als ein unabhängiges Thema zu erscheinen, als Bernard Bolzano die moderne Definition der Kontinuität 1816 eingeführt hat. aber die Arbeit von Bolzano ist weit bekannt bis zu den 1870er Jahren nicht geworden. 1821 hat Cauchy begonnen, Rechnung auf ein festes logisches Fundament zu stellen, indem er den Grundsatz der Allgemeinheit der Algebra zurückgewiesen hat, die weit in der früheren Arbeit besonders durch Euler verwendet ist. Statt dessen hat Cauchy Rechnung in Bezug auf geometrische Ideen und infinitesimals formuliert. So hat seine Definition der Kontinuität verlangt, dass eine unendlich kleine Änderung in x einer unendlich kleinen Änderung in y entsprochen hat. Er hat auch das Konzept der Cauchyfolge eingeführt, und hat die formelle Theorie der komplizierten Analyse angefangen. Poisson, Liouville, haben Fourier und andere teilweise Differenzialgleichungen und harmonische Analyse studiert. Die Beiträge dieser Mathematiker und haben sich andere, wie Weierstrass, entwickelt (ε, δ)-Definition der Grenze-Annäherung, so das moderne Feld der mathematischen Analyse gründend.

In der Mitte des Jahrhunderts hat Riemann seine Theorie der Integration eingeführt. Das letzte Drittel des 19. Jahrhunderts hat den arithmetization der Analyse durch Weierstrass gesehen, der gedacht hat, dass das geometrische Denken von Natur aus irreführend war, und die Definition "des Epsilon-Deltas" der Grenze eingeführt hat.

Dann haben Mathematiker angefangen sich Sorgen zu machen, dass sie die Existenz eines Kontinuums von reellen Zahlen ohne Beweis annahmen. Dedekind hat dann die reellen Zahlen durch Kürzungen von Dedekind gebaut, in denen irrationale Zahlen formell definiert werden, die dienen, um die "Lücken" zwischen rationalen Zahlen zu schließen, dadurch einen ganzen Satz schaffend: Das Kontinuum von reellen Zahlen, die bereits von Simon Stevin in Bezug auf dezimale Vergrößerungen entwickelt worden waren. Um diese Zeit haben die Versuche, die Lehrsätze der Integration von Riemann zu raffinieren, zur Studie der "Größe" des Satzes von Diskontinuitäten von echten Funktionen geführt.

Außerdem haben "Ungeheuer" (nirgends dauernde Funktionen, dauernd, aber nirgends differentiable Funktionen, raumfüllende Kurven) begonnen, geschaffen zu werden. In diesem Zusammenhang hat der Jordan seine Theorie des Maßes entwickelt, Kantor hat entwickelt, was jetzt naive Mengenlehre genannt wird, und Baire den Kategorie-Lehrsatz von Baire bewiesen hat. Am Anfang des 20. Jahrhunderts wurde Rechnung mit einer axiomatischen Mengenlehre formalisiert. Lebesgue hat das Problem des Maßes behoben, und Hilbert hat Räume von Hilbert eingeführt, um Integralgleichungen zu lösen. Die Idee vom normed Vektorraum war in der Luft, und in den 1920er Jahren hat Banach Funktionsanalyse geschaffen.

Unterteilungen

Mathematische Analyse schließt die folgenden Teilfelder ein.

• Differenzialgleichungen
• Echte Analyse, die strenge Studie von Ableitungen und Integrale von Funktionen von echten Variablen. Das schließt die Studie von Folgen und ihren Grenzen, Reihe ein.
• Mehrvariable Rechnung
• Echte Analyse auf zeitliche Rahmen - eine Vereinigung der echten Analyse mit der Rechnung von begrenzten Unterschieden
• Maß-Theorie - gegeben ein Satz, die Studie dessen, wie man jeder passenden Teilmenge eine Zahl zuteilt, die intuitiv als die Größe der Teilmenge interpretiert ist.
• Vektor-Rechnung
• Funktionsanalyse studiert Räume von Funktionen und führt Konzepte wie Banach spaces und Räume von Hilbert ein.
• Die Rechnung von Schwankungen befasst sich extremizing functionals im Vergleich mit der gewöhnlichen Rechnung, die sich mit Funktionen befasst.
• Harmonische Analyse befasst sich mit Reihe von Fourier und ihren Abstraktionen.
• Geometrische Analyse ist mit dem Gebrauch von geometrischen Methoden in der Studie von teilweisen Differenzialgleichungen und der Anwendung der Theorie von teilweisen Differenzialgleichungen zur Geometrie verbunden.
• Komplizierte Analyse, die Studie von Funktionen vom komplizierten Flugzeug bis sich, die komplizierter differentiable (d. h. holomorphic) sind.
• Mehrere komplizierte Variablen
• Analyse von Clifford
• P-Adic-Analyse, die Studie der Analyse innerhalb des Zusammenhangs von p-adic Zahlen, der sich auf einige interessante und überraschende Weisen von seinen echten und komplizierten Kollegen unterscheidet.
• Sonderanalyse, die die hyperreellen Zahlen und ihre Funktionen untersucht und eine strenge Behandlung von infinitesimals und ungeheuer großer Anzahl gibt. Es wird normalerweise als Mustertheorie klassifiziert.
• Numerische Analyse, die Studie von Algorithmen, für den Problemen der dauernden Mathematik näher zu kommen.
• Berechenbare Analyse, deren Studie Teile der Analyse auf eine berechenbare Weise ausgeführt werden können.
• Stochastische Rechnung - analytische Begriffe haben sich für stochastische Prozesse entwickelt.
• Satz-geschätzte Analyse - wendet Ideen von der Analyse und Topologie zu Satz-geschätzten Funktionen an.
• Tropische Analyse (oder idempotent Analyse) - Analyse im Zusammenhang des Halbrings max-plus Algebra, wo der Mangel an einem zusätzlichen Gegenteil etwas durch den idempotent ersetzt wird, herrschen über A+A=A. Wenn übertragen, der tropischen Einstellung werden viele nichtlineare Probleme geradlinig.

Klassische Analyse

Klassische Analyse würde normalerweise als jede Arbeit verstanden, Funktionsanalyse-Techniken nicht verwendend, und wird manchmal auch harte Analyse genannt; es bezieht sich auch natürlich auf die traditionelleren Themen. Die Studie von Differenzialgleichungen wird jetzt mit anderen Feldern wie dynamische Systemtheorie geteilt, obwohl das Übergreifen mit der herkömmlichen Analyse groß ist.

Angewandte analytische Techniken

Techniken von der Analyse werden auch in anderen Gebieten gefunden wie:

• Analytische Zahlentheorie
• Analytischer combinatorics
• Dauernde Wahrscheinlichkeit
• Differenzialwärmegewicht in der Informationstheorie
• Differenzialspiele
• Differenzialgeometrie, die Anwendung der Rechnung zu spezifischen mathematischen Räumen, die als Sammelleitungen bekannt sind, die eine komplizierte innere Struktur besitzen, aber sich auf eine einfache Weise lokal benehmen.
• Differenzialtopologie

Topologische Räume, metrische Räume

Die Motivation, um mathematische Analyse im breiteren Zusammenhang von topologischen oder metrischen Räumen zu studieren, ist dreifach:

1. Dieselben grundlegenden Techniken haben sich anwendbar auf eine breitere Klasse von Problemen (z.B, die Studie von Funktionsräumen) erwiesen.
2. Ein größeres Verstehen der Analyse in abstrakteren Räumen erweist sich oft, auf klassische Probleme direkt anwendbar zu sein. Zum Beispiel, in der Analyse von Fourier, werden Funktionen in Bezug auf eine bestimmte unendliche Summe von trigonometrischen Funktionen ausgedrückt. So könnte Analyse von Fourier verwendet werden, um einen Ton in eine einzigartige Kombination von reinen Tönen von verschiedenen Würfen zu zersetzen. Von den "Gewichten" oder Koeffizienten, der Begriffe in der Vergrößerung von Fourier einer Funktion kann als Bestandteile eines Vektoren in einem unendlichen dimensionalen als ein Raum von Hilbert bekannten Raum gedacht werden. Die Studie von Funktionen, die in dieser allgemeineren Einstellung so definiert sind, stellt eine günstige Methode zur Verfügung, Ergebnisse über die Weise abzuleiten, wie sich Funktionen im Raum sowie Zeit oder, in mehr mathematischen Begriffen, teilweisen Differenzialgleichungen ändern, wo diese Technik als Trennung von Variablen bekannt ist.
3. Die Bedingungen mussten beweisen, dass das besondere Ergebnis ausführlicher festgesetzt wird. Der Analytiker wird sich dann mehr genau bewusst, welcher Aspekt der Annahme erforderlich ist, um den Lehrsatz zu beweisen.

Rechnung von begrenzten Unterschieden, getrennte Rechnung oder getrennte Analyse

Da die obengenannte Abteilung auf topologischen Räumen verständlich macht, ist Analyse nicht so etwa Kontinuität im traditionellen Sinn von reellen Zahlen. Analyse ist im Wesentlichen über Funktionen, die Räume, denen die Funktionen folgen und die Funktionsräume, deren die Funktionen selbst Mitglieder sind. Eine getrennte Funktion f (n) wird gewöhnlich eine Folge (n) genannt. Eine Folge konnte eine begrenzte Folge von einer Datenquelle oder eine unendliche Folge von einem getrennten dynamischen System sein. Eine getrennte Funktion konnte ausführlich durch eine Liste, oder durch eine Formel für f (n) definiert werden, oder es konnte implizit durch eine Wiederauftreten-Beziehung oder Unterschied-Gleichung gegeben werden. Eine Unterschied-Gleichung ist die getrennte Entsprechung von einer Differenzialgleichung und kann verwendet werden, um den Letzteren oder studiert in seinem eigenen Recht näher zu kommen. Jede Frage und Methode über Differenzialgleichungen haben eine getrennte Entsprechung für Unterschied-Gleichungen. Zum Beispiel, wo dort integriert sind, verwandelt sich in der harmonischen Analyse, um dauernde Funktionen oder analoge Signale zu studieren, dort sind getrennt verwandelt sich für getrennte Funktionen oder Digitalsignale. Sowie die getrennten metrischen dort sind allgemeinere getrennte oder begrenzte metrische Räume und begrenzte topologische Räume.

Siehe auch

• Methode der Erschöpfung
• Nichtklassische Analyse
• Glätten Sie unendlich kleine Analyse
• Parakonsequente Mathematik
• Konstruktive Analyse
• Analyse von Fourier
• Konvexe Analyse
• Zeitachse der Rechnung und mathematischen Analyse
• Geschichte der Rechnung

Zeichen

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Links

• Frühster bekannter Gebrauch von einigen der Wörter der Mathematik: Rechnung & Analyse
• Grundlegende Analyse: Einführung in die echte Analyse durch Jiri Lebl (kreatives Unterhaus BY-NC-SA)