In der Mathematik ist eine Folge eine geordnete Liste von Gegenständen (oder Ereignisse). Wie ein Satz enthält es Mitglieder (auch genannt Elemente oder Begriffe), und die Zahl von Begriffen (vielleicht unendlich) wird die Länge der Folge genannt. Verschieden von einem Satz, Ordnungssachen, und genau können dieselben Elemente mehrmals an verschiedenen Positionen in der Folge erscheinen. Eine Folge ist eine getrennte Funktion.

Zum Beispiel, (C, R, Y) ist eine Folge von Briefen, die sich von (Y, C, R) als die Einrichtungssachen unterscheidet. Folgen, können als in diesem Beispiel, oder unendlich, wie die Folge aller gleichen positiven ganzen Zahlen (2, 4, 6...) begrenzt sein. Begrenzte Folgen sind manchmal als Schnuren oder Wörter und unendliche Folgen als Ströme bekannt. Die leere Folge wird in die meisten Begriffe der Folge eingeschlossen, aber kann abhängig vom Zusammenhang ausgeschlossen werden.

Beispiele und Notation

Es gibt verschiedene und ziemlich verschiedene Begriffe von Folgen in der Mathematik, von denen einige (z.B, genaue Folge) durch die Notationen nicht bedeckt werden, die unten eingeführt sind.

Zusätzlich zum Identifizieren der Elemente einer Folge durch ihre Position, wie "das 3. Element" können Elemente Vornamen dafür sein, günstig Verweise anzubringen. Zum Beispiel könnte eine Folge als (a, a, a, …), oder (b, b, b, …), oder (c, c, c, …), abhängig davon geschrieben werden, was in der Anwendung nützlich ist.

Begrenzt und unendlich

Eine mehr formelle Definition einer begrenzten Folge mit Begriffen in einem Satz S ist eine Funktion von {1, 2..., n} zu S für einen n> 0. Eine unendliche Folge in S ist eine Funktion von {1, 2...} zu S. Zum Beispiel ist die Folge von Primzahlen (2,3,5,7,11, …) die Funktion 12, 23, 35, 47, 511, ….

Eine Folge einer begrenzten Länge n wird auch ein N-Tupel genannt. Begrenzte Folgen schließen die leere Folge ein , der keine Elemente hat.

Eine Funktion von allen ganzen Zahlen in einen Satz wird manchmal eine bi-infinite Folge oder unendliche Zweiwegefolge genannt. Ein Beispiel ist die bi-infinite Folge aller gleichen ganzen Zahlen (…,-4,-2, 0, 2, 4, 6, 8 …).

Multiplicative

Lassen Sie = (eine Folge, die durch eine Funktion f: {1, 2, 3 definiert ist...}  {1, 2, 3...}, solch dass = f (i).

Die Folge ist multiplicative, wenn f (xy) = f (x) f (y) für den ganzen x, y solch, dass x und y coprime sind.

Typen und Eigenschaften von Folgen

Eine Subfolge einer gegebenen Folge ist eine von der gegebenen Folge gebildete Folge durch das Löschen von einigen der Elemente, ohne die Verhältnispositionen der restlichen Elemente zu stören.

Wenn die Begriffe der Folge eine Teilmenge eines bestellten Satzes sind, dann ein monotonically, der zunehmende Folge ein ist, für den jeder Begriff größer oder gleich dem Begriff davor ist; wenn jeder Begriff ausschließlich größer ist als derjenige, der ihm vorangeht, wird die Folge ausschließlich monotonically Erhöhung genannt. Ein monotonically abnehmende Folge wird ähnlich definiert. Jede Folge, die das Monomuskeltonus-Eigentum erfüllt, wird monotonisch oder Eintönigkeit genannt. Das ist ein spezieller Fall des allgemeineren Begriffs der monotonischen Funktion.

Die Begriffe das Nichtverringern und die Nichterhöhung werden gebraucht, um jede mögliche Verwirrung mit der strengen Erhöhung und ausschließlich dem Verringern beziehungsweise zu vermeiden.

Wenn die Begriffe einer Folge ganze Zahlen sind, dann ist die Folge eine Folge der ganzen Zahl. Wenn die Begriffe einer Folge Polynome sind, dann ist die Folge eine polynomische Folge.

Wenn S mit einer Topologie ausgestattet ist, dann wird es möglich, Konvergenz einer unendlichen Folge in S zu denken. Solche Rücksichten sind mit dem Konzept der Grenze einer Folge verbunden.

Wenn A ein Satz ist, der freie monoid über (hat A angezeigt) ist ein monoid, der alle begrenzten Folgen (oder Schnuren) von der Null oder mehr Elementen enthält, die von A mit der binären Operation der Verkettung gezogen sind. Die freie Halbgruppe A ist der subsemigroup von A, der alle Elemente außer der leeren Folge enthält.

Folgen in der Analyse

In der Analyse, wenn man über Folgen sprechen wird, wird man allgemein Folgen der Form denken

:

der, unendliche Folgen von durch natürliche Zahlen mit einem Inhaltsverzeichnis versehenen Elementen sagen soll.

Es kann günstig sein, den Folge-Anfang mit einem Index zu haben, der von 1 oder 0 verschieden ist. Zum Beispiel würde die Folge, die durch x = 1/loggst (n) definiert ist, nur für n  2 definiert.

Wenn

man über solche unendlichen Folgen spricht, ist es gewöhnlich genügend (und ändert sich viel für die meisten Rücksichten nicht) anzunehmen, dass die Mitglieder der Folge mindestens für alle Indizes groß genug, d. h. größer definiert werden als einige gegeben N.

Der elementarste Typ von Folgen ist numerische, d. h. Folgen von reellen Zahlen oder komplexen Zahlen.

Dieser Typ kann zu Folgen von Elementen von einem Vektorraum verallgemeinert werden. In der Analyse sind die betrachteten Vektorräume häufig Funktionsräume. Noch mehr allgemein kann man Folgen mit Elementen in einem topologischen Raum studieren.

Reihe

Die Summe von Begriffen einer Folge ist eine Reihe. Genauer, wenn (x, x, x...) eine Folge ist, kann man die Folge von teilweisen Summen (S, S, S...) mit denken

:

Formell umfasst dieses Paar von Folgen die Reihe mit den Begriffen x, x, x..., der als angezeigt wird

:

Wenn die Folge von teilweisen Summen konvergent ist, verwendet man auch die unendliche Summe-Notation für seine Grenze. Für mehr Details, sieh Reihe.

Unendliche Folgen in der theoretischen Informatik

Unendliche Folgen von Ziffern (oder Charaktere) gezogen von einem begrenzten Alphabet sind von besonderem Interesse in der theoretischen Informatik. Auf sie wird häufig einfach als Folgen oder Ströme im Vergleich mit begrenzten Schnuren verwiesen. Unendliche binäre Folgen sind zum Beispiel unendliche Folgen von Bit (Charaktere, die vom Alphabet {0,1} gezogen sind). Der Satz C = {0, 1} aller unendlichen, binären Folgen wird manchmal den Kantor-Raum genannt.

Eine unendliche binäre Folge kann eine formelle Sprache (eine Reihe von Schnuren) durch das Setzen n th Bit der Folge zu 1 vertreten, wenn, und nur wenn n th Schnur (in der Shortlex-Ordnung) auf der Sprache ist. Deshalb kann die Studie von Kompliziertheitsklassen, die Sätze von Sprachen sind, als studierende Sätze von unendlichen Folgen betrachtet werden.

Eine unendliche Folge, die vom Alphabet {0, 1..., b−1} gezogen ist, kann auch eine reelle Zahl vertreten, die im Grund-B Stellungszahl-System ausgedrückt ist. Diese Gleichwertigkeit wird häufig verwendet, um den Techniken der echten Analyse dazu zu bringen, sich auf Kompliziertheitsklassen zu beziehen.

Folgen als Vektoren

Folgen über ein Feld können auch als Vektoren in einem Vektorraum angesehen werden. Spezifisch ist der Satz von F-valued Folgen (wo F ein Feld ist) ein Funktionsraum (tatsächlich, ein Produktraum) F-Valued-Funktionen über den Satz von natürlichen Zahlen.

Insbesondere der Begriff-Folge-Raum bezieht sich gewöhnlich auf einen geradlinigen Subraum des Satzes aller möglichen unendlichen Folgen mit Elementen darin.

Doppelt unendliche Folgen

Normalerweise hat der Begriff, den unendliche Folge auf eine Folge verweist, die in einer Richtung unendlich, und im anderen — die Folge begrenzt ist, ein erstes Element, aber kein Endelement (eine einzeln unendliche Folge). Eine doppelt unendliche Folge ist in beiden Richtungen unendlich — sie hat weder einen ersten noch ein Endelement. Einzeln unendliche Folgen sind Funktionen von den natürlichen Zahlen (N) zu einem Satz, wohingegen doppelt unendliche Folgen Funktionen von den ganzen Zahlen (Z) zu einem Satz sind.

Man kann einzeln unendliche Folgen als Elemente des Halbgruppenrings der natürlichen Zahlen und doppelt unendliche Folgen als Elemente des Gruppenrings der ganzen Zahlen interpretieren. Diese Perspektive wird im Produkt von Cauchy von Folgen verwendet.

Mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Folge

Eine mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Folge ist eine Generalisation einer Folge. Wenn α eine Ordnungs-Grenze ist und X ein Satz ist, ist eine α-indexed Folge von Elementen X eine Funktion von α bis X. In dieser Fachsprache ist eine ω-indexed Folge eine gewöhnliche Folge.

Folgen und Automaten

Von

Automaten oder Zustandsmaschinen kann normalerweise als geleitete Graphen, mit etikettierten Rändern mit einem spezifischen Alphabet, Σ gedacht werden. Die meisten vertrauten Typen des Automaten-Übergangs vom Staat bis Staat durch das Lesen von Eingangsbriefen von Σ, im Anschluss an Ränder mit dem Zusammenbringen von Etiketten; der bestellte Eingang für solch einen Automaten formt sich eine Folge hat ein Wort genannt (oder geben Sie Wort ein). Die Folge von durch den Automaten gestoßenen Staaten, wenn man ein Wort bearbeitet, wird einen Lauf genannt. Ein nichtdeterministischer Automat kann unetikettiert haben oder Doppel-Ränder für jeden Staat, mehr als einem Nachfolger für einen Eingangsbrief gebend. Davon wird normalerweise als das Produzieren vielfacher möglicher Läufe für ein gegebenes Wort, jeder gedacht, eine Folge von einzelnen Staaten seiend, anstatt einen einzelnen Lauf zu erzeugen, der eine Folge von Sätzen von Staaten ist; jedoch, 'geführt' wird gelegentlich verwendet, um die Letzteren zu bedeuten.

Typen von Folgen

• ±1-sequence
• Arithmetischer Fortschritt
• Cauchyfolge
• Folge von Farey
• Folge von Fibonacci
• Geometrischer Fortschritt
• Schauen-und-sagen Folge
• Thue-Morsezeichen-Folge

Zusammenhängende Konzepte

• Liste, (rechnend)
• Mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Folge
• Recursion (Informatik)
• Tupel
• Mengenlehre

Operationen auf Folgen

• Produkt von Cauchy
• Grenze einer Folge

Siehe auch

• Netz (Topologie) (eine Generalisation von Folgen)
• Online-Enzyklopädie von Folgen der ganzen Zahl
• Versetzung
• Wiederauftreten-Beziehung
• Folge-Raum

Links

• Die Online-Enzyklopädie von Folgen der ganzen Zahl
• Zeitschrift von Folgen der ganzen Zahl (freier)