Der Logarithmus einer Zahl ist die Hochzahl, durch die ein anderer fester Wert, die Basis, erhoben werden muss, um diese Zahl zu erzeugen. Zum Beispiel ist der Logarithmus 1000, um 10 zu stützen, 3, weil 1000 10 zur Macht 3 ist: Mehr allgemein, wenn x = b, dann ist y der Logarithmus von x, um b zu stützen, und wird Klotz (x), so Klotz (1000) = 3 geschrieben.

Logarithmen wurden von John Napier am Anfang des 17. Jahrhunderts als ein Mittel eingeführt, Berechnungen zu vereinfachen. Sie wurden von Wissenschaftlern, Ingenieuren und anderen schnell angenommen, um Berechnung leichter, mit Rechenschiebern und Logarithmus-Tabellen durchzuführen. Diese Geräte verlassen sich auf das für die Tatsache wichtige in seinem eigenen Recht - dass der Logarithmus eines Produktes die Summe der Logarithmen der Faktoren ist:

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Der heutige Begriff von Logarithmen kommt aus Leonhard Euler, der sie mit der Exponentialfunktion im 18. Jahrhundert verbunden hat.

Der Logarithmus, um b = 10 zu stützen, wird den allgemeinen Logarithmus genannt und hat viele Anwendungen in der Wissenschaft und Technik. Der natürliche Logarithmus hat den unveränderlichen e ( 2.718) als seine Basis; sein Gebrauch ist in der reinen Mathematik, besonders Rechnung weit verbreitet. Der binäre Logarithmus-Gebrauch stützt b = 2, und ist in der Informatik prominent.

Logarithmische Skalen reduzieren weiträumige Mengen auf kleinere Spielraume. Zum Beispiel ist das Dezibel eine logarithmische Einheit, die gesunden Druck und Stromspannungsverhältnisse misst. In der Chemie sind pH und pOH logarithmische Maßnahmen für die Säure einer wässrigen Lösung. Logarithmen sind in wissenschaftlichen Formeln, und in Maßen der Kompliziertheit von Algorithmen gewöhnlich, und geometrischer Gegenstände hat fractals genannt. Sie beschreiben Musikzwischenräume, erscheinen in Formeln, Primzahlen aufzählend, informieren einige Modelle in psychophysics, und können in der forensischen Buchhaltung helfen.

Ebenso, da der Logarithmus exponentiation umkehrt, ist der komplizierte Logarithmus die umgekehrte Funktion der auf komplexe Zahlen angewandten Exponentialfunktion. Der getrennte Logarithmus ist eine andere Variante; es hat Anwendungen in der Geheimschrift des öffentlichen Schlüssels.

Motivation und Definition

Die Idee von Logarithmen ist, die Operation von exponentiation umzukehren, der eine Anzahl zu einer Macht steigert. Zum Beispiel ist die dritte Macht (oder Würfel) 2 8, weil 8 das Produkt von drei Faktoren 2 ist:

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Hieraus folgt dass der Logarithmus 8 in Bezug auf die Basis 2 3 ist.

Exponentiation

Die dritte Macht von einer Nummer b ist das Produkt von 3 Faktoren von b. Mehr allgemein wird die Aufhebung b zur Macht, wo n eine natürliche Zahl ist, durch das Multiplizieren n von Faktoren getan. Die Macht von b wird b, so dass geschrieben

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Die n-te Macht von b, b, wird definiert, wann auch immer b eine positive Zahl ist und n eine reelle Zahl ist. Zum Beispiel ist b das Gegenstück von b, d. h.

Definition

Der Logarithmus einer Nummer x in Bezug auf die Basis b ist die Hochzahl, zu der b erhoben werden muss, um x nachzugeben. Mit anderen Worten ist der Logarithmus von x, um b zu stützen, die Lösung y der Gleichung

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Der Logarithmus wird "Klotz (x)" (ausgesprochen als "der Logarithmus von x angezeigt, um b" oder "den Logarithmus von x" zu stützen). In der Gleichung y = loggen (x), ist der Wert y die Antwort zur Frage "Daran welche Macht muss b erhoben werden, um x nachzugeben?". Für den zu definierenden Logarithmus muss die Basis b eine positive reelle Zahl sein, die 1 nicht gleich ist, und x muss eine positive Zahl sein.

Beispiele

Zum Beispiel, seitdem 16. Logarithmen können auch negativ sein:

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seitdem

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Ein drittes Beispiel: Klotz (150) ist etwa 2.176, der zwischen 2 und 3 liegt, wie 150 zwischen liegt und. Schließlich, für jede Basis b, und, seitdem und, beziehungsweise.

Logarithmische Identität

Mehrere wichtige Formeln, manchmal genannt logarithmische Identität oder Klotz-Gesetze, verbinden Logarithmen mit einander.

Produkt, Quotient, Macht und Wurzel

Der Logarithmus eines Produktes ist die Summe der Logarithmen der Zahlen, die multiplizieren werden; der Logarithmus des Verhältnisses von zwei Zahlen ist der Unterschied der Logarithmen. Deshalb ist der Logarithmus der Macht einer Zahl p Zeiten der Logarithmus der Zahl selbst; der Logarithmus einer Wurzel ist der Logarithmus der durch p geteilten Zahl. Der folgende Tisch verzeichnet diese Identität mit Beispielen:

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Änderung der Basis

Der Logarithmus-Klotz (x) kann von den Logarithmen von x und b in Bezug auf eine willkürliche Basis k das Verwenden der folgenden Formel geschätzt werden:

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Typische wissenschaftliche Rechenmaschinen berechnen die Logarithmen zu Basen 10 und e. Logarithmen in Bezug auf jede Basis b können mit jedem dieser zwei Logarithmen durch die vorherige Formel bestimmt werden:

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In Anbetracht einer Nummer x und sein Logarithmus-Klotz (x) zu einer unbekannten Basis b wird durch die Basis gegeben:

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Besondere Basen

Unter allen Wahlen für die Basis b, drei sind besonders üblich. Das ist b = 10, b = e (der vernunftwidrige mathematische unveränderliche  2.71828) und b = 2. In der mathematischen Analyse ist der Logarithmus, um e zu stützen, wegen seiner besonderen analytischen Eigenschaften weit verbreitet, die unten erklärt sind. Andererseits sind Logarithmen leicht, für manuelle Berechnungen im Dezimalzahl-System zu verwenden:

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Loggen Sie so (x) ist mit der Zahl von dezimalen Ziffern einer positiven ganzen Zahl x verbunden: Die Zahl von Ziffern ist die kleinste ganze Zahl, die ausschließlich größer ist als Klotz (x). Loggen Sie zum Beispiel (1430) ist etwa 3.15. Die folgende ganze Zahl ist 4, der die Zahl von Ziffern von 1430 ist. Der Logarithmus, um zwei zu stützen, wird in der Informatik verwendet, wo das binäre System allgegenwärtig ist.

Der folgende Tisch verzeichnet allgemeine Notationen für Logarithmen zu diesen Basen und den Feldern, wo sie verwendet werden. Viele Disziplinen schreiben Klotz (x) statt des Klotzes (x), wenn die beabsichtigte Basis vom Zusammenhang bestimmt werden kann. Der Notationsklotz (x) kommt auch vor. Die "ISO Notation" Säule verzeichnet Benennungen, die von der Internationalen Organisation für die Standardisierung (ISO 31-11) angedeutet sind.

Geschichte

Vorgänger

Der Indianermathematiker des achten Jahrhunderts Virasena hat mit dem Konzept von ardhaccheda gearbeitet: Die Zahl von Zeiten mehrere Form 2 konnte halbiert werden. Für genaue Mächte 2 ist das der Logarithmus zu dieser Basis, die eine ganze Zahl ist; für andere Zahlen ist es unbestimmt. Er hat Beziehungen wie die Produktformel beschrieben und hat auch Logarithmen der ganzen Zahl in der Basis 3 (trakacheda) eingeführt, und stützen Sie 4 (caturthacheda). Michael Stifel hat Arithmetica integra in Nürnberg 1544 veröffentlicht, das einen Tisch von ganzen Zahlen und Mächte 2 enthält, der als eine frühe Version eines logarithmischen Tisches betrachtet worden ist.

In den 16. und frühen 17. Jahrhunderten hat ein Algorithmus gerufen prosthaphaeresis wurde verwendet, um Multiplikation und Abteilung näher zu kommen. Das hat die trigonometrische Identität verwendet

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oder ähnlich oder Bekehrter die Multiplikationen zu Hinzufügungen und Tisch lookups. Jedoch sind Logarithmen aufrichtiger und verlangen weniger Arbeit. Es kann mit komplexen Zahlen gezeigt werden, dass das grundsätzlich dieselbe Technik ist.

Die Babylonier einmal in 2000-1600 haben v. Chr. den Viertel-Quadratmultiplikationsalgorithmus erfunden, um zwei Zahlen mit nur die Hinzufügung, Subtraktion und einen Tisch von Quadraten zu multiplizieren. Jedoch konnte es nicht für die Abteilung ohne einen zusätzlichen Tisch von Gegenstücken verwendet werden. Diese Methode wurde verwendet, um die genaue Multiplikation der großen Anzahl, bis ersetzt, durch den Gebrauch von Computern zu vereinfachen.

Von Napier bis Euler

Die Methode von Logarithmen wurde von John Napier 1614, in einem Buch genannt Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Beschreibung der Wunderbaren Regel von Logarithmen) öffentlich vorgetragen. Joost Bürgi hat unabhängig Logarithmen erfunden, aber hat sechs Jahre nach Napier veröffentlicht.

Johannes Kepler, der Logarithmus-Tische umfassend verwendet hat, um seine Ephemeride zu kompilieren, und sie deshalb John Napier gewidmet hat, hat sich geäußert:

Durch wiederholte Subtraktionen hat Napier für L im Intervall von 1 bis 100 gerechnet. Das Ergebnis für L=100 ist etwa 0.99999 = 1  10. Napier hat dann die Produkte dieser Zahlen mit für L von 1 bis 50 berechnet, und hat ähnlich mit getan und. Diese Berechnung, die 20 Jahre besetzt hat, hat ihm erlaubt, für jede Nummer N von 5 bis 10 Millionen, die Nummer L zu geben, die die Gleichung löst

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Napier zuerst genannt L eine "künstliche Zahl", aber später eingeführt das Wort "Logarithmus", um eine Zahl zu bedeuten, die ein Verhältnis anzeigt: (Firmenzeichen), die Verhältnis und (arithmos) Bedeutung der Zahl bedeuten. In der modernen Notation ist die Beziehung zu natürlichen Logarithmen:

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wo die sehr nahe Annäherung der Beobachtung das entspricht

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Die Erfindung wurde mit dem Beifall schnell und weit entsprochen. Die Arbeiten von Bonaventura Cavalieri (Italien), Edmund Wingate (Frankreich), Xue Fengzuo (China) und

Chilias logarithmorum von Johannes Kepler (Deutschland) hat geholfen, das Konzept weiter auszubreiten.

1647 hat Grégoire de Saint-Vincent Logarithmen mit der Quadratur der Hyperbel verbunden, indem er darauf hingewiesen hat, dass das Gebiet f (t) unter der Hyperbel von dazu befriedigt

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Der natürliche Logarithmus wurde zuerst von Nicholas Mercator in seiner Arbeit 1668 veröffentlichter Logarithmotechnia beschrieben, obwohl der Mathematik-Lehrer John Speidell bereits 1619 einen Tisch auf dem natürlichen Logarithmus kompiliert hatte. 1730 hat Leonhard Euler die Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus durch definiert

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Euler hat auch gezeigt, dass die zwei Funktionen zu einander umgekehrt sind.

Logarithmus-Tabellen, Rechenschieber und historische Anwendungen

Durch die Vereinfachung schwieriger Berechnungen haben Logarithmen zum Fortschritt der Wissenschaft, und besonders der Astronomie beigetragen. Sie waren zu Fortschritten im Vermessen, der himmlischen Navigation und den anderen Gebieten kritisch. Pierre-Simon Laplace hat Logarithmen genannt

Ein Schlüsselwerkzeug, das den praktischen Gebrauch von Logarithmen vor Rechenmaschinen und Computern ermöglicht hat, war der Tisch von Logarithmen. Der erste derartige Tisch wurde von Henry Briggs 1617 sofort nach der Erfindung von Napier kompiliert. Nachher wurden Tische mit dem zunehmenden Spielraum und der Präzision geschrieben. Diese Tische haben die Werte des Klotzes (x) und b für jede Nummer x in einer bestimmten Reihe, an einer bestimmten Präzision, für eine bestimmte Basis b (gewöhnlich b = 10) verzeichnet. Zum Beispiel hat der erste Tisch von Briggs die allgemeinen Logarithmen aller ganzen Zahlen in der Reihe 1-1000, mit einer Präzision von 8 Ziffern enthalten. Da die Funktion die umgekehrte Funktion des Klotzes (x) ist, ist es den Antilogarithmus genannt worden. Das Produkt und der Quotient von zwei positiven Zahlen c und d wurden als die Summe und der Unterschied ihrer Logarithmen alltäglich berechnet. Das Produkt cd oder der Quotient c/d sind daraus gekommen, den Antilogarithmus der Summe oder des Unterschieds auch über denselben Tisch nachzuschlagen:

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und

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Für manuelle Berechnungen, die fordern, ist jede merkliche Präzision, den lookups der zwei Logarithmen durchführend, ihre Summe oder Unterschied berechnend, und den Antilogarithmus nachschlagend, viel schneller als das Durchführen der Multiplikation durch frühere Methoden wie prosthaphaeresis, der sich auf die trigonometrische Identität verlässt. Berechnungen von Mächten und Wurzeln werden auf Multiplikationen oder Abteilungen und Blick-USV durch reduziert

:und:

Viele Logarithmus-Tische geben Logarithmen durch die getrennte Versorgung der Eigenschaft und mantissa von x, das heißt, der Teil der ganzen Zahl und der Bruchteil des Klotzes (x). Die Eigenschaft dessen ist ein plus die Eigenschaft von x, und ihre significands sind dasselbe. Das erweitert das Spielraum von Logarithmus-Tischen: In Anbetracht eines Tisches, der Klotz (x) für alle ganzen Zahlen x im Intervall von 1 bis 1000 verzeichnet, wird dem Logarithmus 3542 durch näher gekommen

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Eine andere kritische Anwendung war der Rechenschieber, ein Paar logarithmisch geteilter Skalen, die für die Berechnung, wie illustriert, hier verwendet sind:

Die nichtgleitende logarithmische Skala, die Regierung von Gunter, wurde kurz nach der Erfindung von Napier erfunden. William Oughtred hat es erhöht, um den Rechenschieber — ein Paar von logarithmischen in Bezug auf einander beweglichen Skalen zu schaffen. Zahlen werden auf gleitenden Skalen in Entfernungen gelegt, die zu den Unterschieden zwischen ihren Logarithmen proportional sind. Das Schieben der oberen Skala beläuft sich passend auf das mechanische Hinzufügen von Logarithmen. Zum Beispiel gibt das Hinzufügen der Entfernung von 1 bis 2 auf der niedrigeren Skala zur Entfernung von 1 bis 3 auf der oberen Skala ein Produkt 6 nach, der von am niedrigeren Teil gelesen wird. Der Rechenschieber war ein wesentliches Rechenwerkzeug für Ingenieure und Wissenschaftler bis zu den 1970er Jahren, weil er, auf Kosten der Präzision, viel schnelleren Berechnung erlaubt als auf Tischen gestützte Techniken.

Analytische Eigenschaften

Eine tiefere Studie von Logarithmen verlangt das Konzept einer Funktion. Eine Funktion ist eine Regel, die, in Anbetracht einer Zahl, eine andere Zahl erzeugt. Ein Beispiel ist die Funktion, die die Macht von b von jeder reellen Zahl x erzeugt, wo die Basis (oder Basis) b eine festgelegte Zahl ist. Diese Funktion wird geschrieben

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Logarithmische Funktion

Um die Definition von Logarithmen zu rechtfertigen, ist es notwendig, dass die Gleichung zu zeigen

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hat eine Lösung x, und dass diese Lösung einzigartig ist, vorausgesetzt, dass y positiv ist, und dass b positiv und 1 ungleich ist. Ein Beweis dieser Tatsache verlangt den Zwischenwertlehrsatz von der elementaren Rechnung. Dieser Lehrsatz stellt fest, dass eine dauernde Funktion, die zwei Werte M und n auch erzeugt, jeden Wert erzeugt, der zwischen M und n liegt. Eine Funktion ist dauernd, wenn sie nicht "springt", d. h. wenn sein Graph gezogen werden kann, ohne den Kugelschreiber zu heben.

Wie man

zeigen kann, hält dieses Eigentum für die Funktion f (x) = b. Weil f willkürlich große und willkürlich kleine positive Werte nimmt, liegt jede Zahl zwischen f (x) und f (x) für passenden x und x. Folglich stellt der Zwischenwertlehrsatz sicher, dass die Gleichung f (x) = y eine Lösung hat. Außerdem gibt es nur eine Lösung dieser Gleichung, weil die Funktion f (dafür) ausschließlich zunimmt, oder ausschließlich abnimmt (dafür