In der Mathematik und Informatik stellen der Fußboden und die Decke-Funktionen eine reelle Zahl zum größten vorherigen oder der kleinsten folgenden ganzen Zahl beziehungsweise kartografisch dar. Genauer ist Fußboden (x) = die größte nicht größere ganze Zahl, als x und Decke (x) = die kleinste ganze Zahl nicht weniger sind als x.

Notation

Carl Friedrich Gauss hat die Notation [x] der eckigen Klammer für die Fußboden-Funktion in seinem dritten Beweis der quadratischen Reziprozität (1808) eingeführt.

Das ist der Standard in der Mathematik geblieben, bis Kenneth E. Iverson die Namen "Fußboden" und "Decke" eingeführt hat und die entsprechenden Notationen x und x seinen 1962 Eine Programmiersprache vorbestellen. Beide Notationen werden jetzt in der Mathematik verwendet; dieser Artikel folgt Iverson.

Die Fußboden-Funktion wird auch die größte ganze Zahl oder entier (Französisch für "die ganze Zahl") Funktion genannt, und sein Wert an x wird den integralen Bestandteil oder Teil der ganzen Zahl von x genannt; für negative Werte von x werden die letzten Begriffe manchmal stattdessen genommen, um der Wert der Decke-Funktion, d. h., der Wert von x zu sein, der zu einer ganzen Zahl zu 0 rund gemacht ist. Die Sprache APL (Programmiersprache) Gebrauch; andere Computersprachen verwenden allgemein Notationen wie (ALGOL), (GRUNDLEGEND), oder (C, C ++, R, und Pythonschlange). In der Mathematik kann es auch mit der Fettschrift oder den doppelten Klammern geschrieben werden.

Die Decke-Funktion wird gewöhnlich durch oder auf non-APL Computersprachen angezeigt, die eine Notation für diese Funktion haben. Die J Programmiersprache, ein Folgen auf APL, der entworfen wird, um Standardtastatur-Symbole, Gebrauch> zu verwenden. für die Decke und In der Mathematik gibt es eine andere Notation mit der umgekehrten Fettschrift oder den doppelten Klammern oder gerade dem Verwenden normaler umgekehrter Klammern x.

Die Bruchteil-Sägezahnfunktion, die durch für echten x angezeigt ist, wird durch die Formel definiert

:

Für den ganzen x,

:

Beispiele

Definition und Eigenschaften

In den folgenden Formeln sind x und y reelle Zahlen, k, M, und n sind ganze Zahlen, und ist der Satz von ganzen Zahlen (positiv, negativ, und Null).

Fußboden und Decke können durch die Satz-Gleichungen definiert werden

::

Da es genau eine ganze Zahl in einem halb offenen Zwischenraum der Länge ein gibt, für jeden echten x gibt es einzigartige ganze Zahlen M und n, der befriedigt

:

Dann und

Mai, auch als die Definition des Fußbodens und der Decke genommen werden.

Gleichwertigkeiten

Diese Formeln können verwendet werden, um Ausdrücke zu vereinfachen, die Stöcke und Decken einschließen.

:\begin {richten }\aus

\lfloor x \rfloor = M &\\; \; \mbox {wenn und nur wenn} &m &\\le x

Auf der Sprache der Ordnungstheorie ist die Fußboden-Funktion ein residuated kartografisch darstellend, d. h. ein Teil einer Verbindung von Galois: Es ist der obere adjoint der Funktion, die die ganzen Zahlen in den reals einbettet.

:\begin {richten }\aus

x

Diese Formeln zeigen, wie das Hinzufügen von ganzen Zahlen zu den Argumenten die Funktionen betrifft:

:\begin {richten }\aus

\lfloor x+n \rfloor &= \lfloor x \rfloor+n, \\

\lceil x+n \rceil &= \lceil x \rceil+n, \\

\{x+n \} &= \{x \}.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Der obengenannte ist nicht notwendigerweise wahr, wenn n nicht eine ganze Zahl ist; jedoch:

:

&\\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor &\\leq \; \lfloor x + y \rfloor \;&\leq \; \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1, \\

&\\lceil x \rceil + \lceil y \rceil-1 &\\leq \; \lceil x + y \rceil \;&\leq \; \lceil x \rceil + \lceil y \rceil.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Beziehungen unter den Funktionen

Es ist aus den Definitionen das klar

: mit der Gleichheit wenn, und nur wenn x eine ganze Zahl ist, d. h.

:

0& \mbox {wenn} x\in \mathbb {Z }\\\

1& \mbox {wenn} x\not\in \mathbb {Z }\

\end {Fälle} </Mathematik>

Tatsächlich, seitdem für ganze Zahlen n:

:

Das Verneinen des Arguments schaltet Fußboden und Decke und Änderungen das Zeichen:

: d. h.

:0& \mbox {wenn} x\in \mathbb {Z }\\\

-1& \mbox {wenn} x\not\in \mathbb {Z},

\end {Fälle} </Mathematik>:0& \mbox {wenn} x\in \mathbb {Z }\\\

1& \mbox {wenn} x\not\in \mathbb {Z}.

\end {Fälle} </Mathematik>

Das Verneinen des Arguments ergänzt den Bruchteil:

:0& \mbox {wenn} x\in \mathbb {Z }\\\1& \mbox {wenn} x\not\in \mathbb {Z}.\end {Fälle} </Mathematik>

Der Fußboden, die Decke und die Bruchteil-Funktionen sind idempotent:

:\begin {richten }\aus

\Big\lfloor \lfloor x \rfloor \Big\rfloor &= \lfloor x \rfloor, \\

\Big\lceil \lceil x \rceil \Big\rceil &= \lceil x \rceil, \\

\Big\{\{x \} \Big\} &= \{x \}. \\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Das Ergebnis des verschachtelten Fußbodens oder der Decke-Funktionen ist die innerste Funktion:

:\begin {richten }\aus

\Big\lfloor \lceil x \rceil \Big\rfloor &= \lceil x \rceil, \\

\Big\lceil \lfloor x \rfloor \Big\rceil &= \lfloor x \rfloor. \\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Für festen y x mod ist y idempotent:

:

Außerdem aus den Definitionen,

:

Quotienten

Wenn M und n ganze Zahlen und n  0, sind

:

Wenn n positiver ist

:</Mathematik>:</Mathematik>

Wenn M positiver ist

:</Mathematik>:</Mathematik>

Für die M = 2 beziehen diese ein

:

Mehr allgemein, für die positive M (Sieh die Identität von Hermite)

:</Mathematik>:</Mathematik>

Der folgende kann verwendet werden, um Stöcke zu Decken und umgekehrt (M positiv) umzuwandeln

::

Wenn M und n positiv sind und coprime, dann

:

Da die Rechte in der M und n symmetrisch ist, bezieht das das ein

:

\left\lfloor \frac {n} {M} \right \rfloor + \left\lfloor \frac {2n} {M} \right \rfloor + \dots + \left\lfloor \frac {(m-1) n} {M} \right \rfloor.

</Mathematik>

Mehr allgemein, wenn M und n, positiv

sind:

&\\left\lfloor \frac {x} {n} \right \rfloor +

\left\lfloor \frac {m+x} {n} \right \rfloor +

\left\lfloor \frac {2m+x} {n} \right \rfloor +

\dots +

\left\lfloor \frac {(n-1) m+x} {n} \right \rfloor \\=

&\\left\lfloor \frac {x} {M} \right \rfloor +

\left\lfloor \frac {n+x} {M} \right \rfloor +

\left\lfloor \frac {2n+x} {M} \right \rfloor +

\dots +

\left\lfloor \frac {(m-1) n+x} {M} \right \rfloor.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Das wird manchmal ein Reziprozitätsgesetz genannt.

Verschachtelte Abteilungen

Für positive ganze Zahlen M, n, und willkürliche reelle Zahl x:

::

Kontinuität

Keine der in diesem Artikel besprochenen Funktionen ist dauernd, aber alle sind geradlinig piecewise. und sind piecewise unveränderliche Funktionen mit discontinuites an den ganzen Zahlen. auch hat discontinuites an den ganzen Zahlen, und weil eine Funktion von x für festen y an Vielfachen von y diskontinuierlich ist.

ist halbdauernd ober und und sind halbdauernd niedriger. x mod ist y halbdauernd für positiven y und ober halbdauernd für negativen y niedriger.

Reihenentwicklungen

Da keine der in diesem Artikel besprochenen Funktionen dauernd ist, hat keiner von ihnen eine Macht-Reihenentwicklung. Da Fußboden und Decke nicht periodisch sind, haben sie Reihenentwicklungen von Fourier nicht.

x mod y für festen y hat die Reihenentwicklung von Fourier

:

\frac {\\sin\left (\frac {2 \pi k x} {y }\\Recht)} {k }\\qquad\mbox {für} x\mbox {nicht ein Vielfache} y.

</Mathematik>

im besonderen {x} = x mod 1 wird durch gegeben

:

\frac {\\Sünde (2 \pi k x)} {k }\\qquad\mbox {für} x\mbox {nicht eine ganze Zahl}.

</Mathematik>

An Punkten der Diskontinuität läuft eine Reihe von Fourier zu einem Wert zusammen, der der Durchschnitt seiner Grenzen links und des Rechts, verschieden vom Fußboden, der Decke und den Bruchteil-Funktionen ist: Für y befestigt und x ein Vielfache von y läuft die gegebene Reihe von Fourier zu y/2, aber nicht zu x mod y = 0 zusammen. An Punkten der Kontinuität läuft die Reihe zum wahren Wert zusammen.

Das Verwenden der Formel {x} = x &minus; Fußboden (x), Fußboden (x) = x &minus; {x} gibt

:

Anwendungen

Maschinenbediener von Mod

Der mod Maschinenbediener, der durch x mod y für echten x und y, y  0 angezeigt ist, wird durch die Formel definiert

:

x mod ist y immer zwischen 0 und y; d. h.

wenn y, positiv

ist:

und wenn y, negativ

ist:

Wenn x eine ganze Zahl ist und y eine positive ganze Zahl, ist

:

x mod y für einen festen y ist eine Sägezahnfunktion.

Quadratische Reziprozität

Der dritte Beweis von Gauss der quadratischen Reziprozität, wie modifiziert, durch Eisenstein, hat zwei grundlegende Schritte.

Lassen Sie p und q verschiedene positive sonderbare Primzahlen sein, und zu lassen

:

Erstens wird das Lemma von Gauss verwendet, um zu zeigen, dass die Symbole von Legendre durch gegeben werden

:</Mathematik>und:</Mathematik>

Der zweite Schritt ist, ein geometrisches Argument zu verwenden, um dem zu zeigen

:

+ \left\lfloor\frac {p} {q }\\right\rfloor + \left\lfloor\frac {2p} {q }\\right\rfloor + \dots + \left\lfloor\frac {np} {q }\\right\rfloor

mn.

</Mathematik>

Das Kombinieren dieser Formeln gibt quadratische Reziprozität in der Form

:

Es gibt Formeln, die Fußboden verwenden, um den quadratischen Charakter von kleinen Zahlen mod sonderbare Blüte p auszudrücken:

::

Das Runden

Das gewöhnliche Runden der positiven Zahl x zur nächsten ganzen Zahl kann ausgedrückt werden, wie Das gewöhnliche Runden der negativen Zahl x zur nächsten ganzen Zahl als ausgedrückt werden kann

Stutzung

Die Stutzung einer nichtnegativen Zahl wird durch Die Stutzung einer nichtpositiven Zahl gegeben wird durch gegeben.

Durch die Stutzung jeder reellen Zahl kann gegeben werden: wo sgn (x) die Zeichen-Funktion ist.

Zahl von Ziffern

Die Zahl von Ziffern in der Basis b einer positiven ganzen Zahl k ist

::

mit der richtigen Seite der Gleichung, die auch dafür für wahr hält.

Faktoren von factorials

Lassen Sie n eine positive ganze Zahl und p eine positive Primzahl sein. Die Hochzahl der höchsten Macht von p, der n teilt! wird durch die Formel gegeben

:</Mathematik>

Bemerken Sie, dass das eine begrenzte Summe ist, da die Stöcke Null wenn p> n sind.

Folge von Beatty

Die Folge von Beatty zeigt, wie jede positive irrationale Zahl eine Teilung der natürlichen Zahlen in zwei Folgen über die Fußboden-Funktion verursacht.

Die Konstante von Euler (γ)

Es gibt Formeln für den unveränderlichen γ von Euler = 0.57721 56649..., die den Fußboden und die Decke z.B einschließen.

::</Mathematik>und:

\gamma = \sum_ {k=2} ^\\infty (-1) ^k \frac {\left \lfloor \log_2 k \right \rfloor} {k }\

= \tfrac12-\tfrac13

+ 2\left (\tfrac14 - \tfrac15 + \tfrac16 - \tfrac17\right)

+ 3\left (\tfrac18 - \dots - \tfrac1 {15 }\\Recht) + \dots

</Mathematik>

Funktion von Riemann (ζ)

Die Bruchteil-Funktion führt auch in integrierten Darstellungen des Riemanns zeta Funktion herauf. Es ist aufrichtig um (das Verwenden der Integration durch Teile) das zu beweisen, wenn φ (x) Funktion mit einer dauernden Ableitung im geschlossenen Zwischenraum [a, b], ist

:

Das Lassen φ (n) = n für den echten Teil von s, der größer ist als 1, und das Lassen a und b, ganze Zahlen und das Lassen b Annäherungsunendlichkeit sein, geben

:</Mathematik>

Diese Formel ist für den ganzen s mit dem echten Teil gültig, der größer ist als &minus;1, (außer s = 1, wo es einen Pol gibt) und verbunden mit der Vergrößerung von Fourier für {x} verwendet werden kann, um die Zeta-Funktion zum kompletten komplizierten Flugzeug zu erweitern und seine funktionelle Gleichung zu beweisen.

Für s = σ + ich t im kritischen Streifen (d. h. 0

</Mathematik>

1947 hat van der Pol diese Darstellung verwendet, um einen Entsprechungscomputer zu bauen, um Wurzeln der Zeta-Funktion zu finden.

Formeln für Primzahlen

n ist eine Blüte wenn und nur wenn

:

\sum_ {m=1} ^\\infty \left (\left\lfloor\frac {n} {M }\\right\rfloor-\left\lfloor\frac {n-1} {M }\\right\rfloor\right) = 2.

</Mathematik>

Lassen Sie r> 1 eine ganze Zahl, p sein, die n Blüte zu sein, und zu definieren

:

Dann

:

Es gibt eine Zahl θ = 1.3064... (Die Konstante von Mühlen) mit dem Eigentum das

:

sind die ganze Blüte.

Es gibt auch eine Zahl ω = 1.9287800... mit dem Eigentum das

:sind die ganze Blüte.

π (x) ist die Zahl der Blüte weniger als oder gleich x. Es ist ein aufrichtiger Abzug vom Lehrsatz von Wilson das

:

Außerdem, wenn n  2,

:

\pi (n) = \sum_ {j=2} ^n \left\lfloor \frac {1} {\\sum_ {k=2} ^j\left\lfloor\left\lfloor\frac {j} {k }\\right\rfloor\frac {k} {j }\\right\rfloor }\\right\rfloor.

</Mathematik>

Keine der Formeln in dieser Abteilung ist von jedem praktischen Nutzen.

Behobenes Problem

Ramanujan hat dieses Problem der Zeitschrift der Mathematischen Indianergesellschaft vorgelegt.

Wenn n eine positive ganze Zahl ist, beweisen Sie das

(i)

</Mathematik>

(ii)

</Mathematik>

(iii)

</Mathematik>

Ungelöstes Problem

Die Studie des Problems von Waring hat zu einem ungelösten Problem geführt:

Gibt es irgendwelche positiven ganzen Zahlen k, k  6, solch dass

:

Mahler hat bewiesen, dass es nur eine begrenzte Zahl solchen k geben kann; niemand ist bekannt.

Computerdurchführungen

Viele Programmiersprachen (einschließlich C, C ++, PHP und Pythonschlange) stellen Standardfunktionen für den Fußboden und die Decke zur Verfügung.

Spreadsheet-Software

Die meisten Spreadsheet-Programme unterstützen eine Form einer Funktion. Obwohl sich die Details zwischen Programmen unterscheiden, unterstützen die meisten Durchführungen einen zweiten Parameter — dessen Vielfache die gegebene Zahl dazu rund gemacht werden soll. Zum Beispiel, Runden 2 bis zum nächsten Vielfache 3, 3 gebend. Die Definition dessen, was "Zusammenfassung" jedoch bedeutet, unterscheidet sich vom Programm bis Programm.

Bis Übertreffen 2010, die Funktion von Microsoft Excel war für negative Argumente falsch; Decke (-4.5) war-5.

. Das hat zum Büro Offenes XML Dateiformat durchgezogen. Die richtige Decke-Funktion kann mit "" durchgeführt werden. Ragen Sie hervor 2010 folgt jetzt der Standarddefinition.

Das Dateiformat von OpenDocument, wie verwendet, durch OpenOffice.org und andere, folgt der mathematischen Definition der Decke für seine Funktion, mit einem fakultativen Parameter dafür Übertreffen Vereinbarkeit. Zum Beispiel, Umsatz 4.

Schriftsetzen

Der Fußboden und die Decke-Funktion sind gewöhnlich Schriftsatz mit linken und richtigen eckigen Klammern, wo das obere (für die Fußboden-Funktion) oder tiefer (für die Decke-Funktion) horizontale Bars, und z.B im LATEX-Schriftsetzen-System vermisst werden, können diese Symbole mit dem \lfloor, \rfloor, \lceil und \rceil-Befehle in der Matheweise angegeben werden. HTML 4.0 Gebrauch dieselben Namen: &amp;lfloor; &amp;rfloor; &amp;lceil; und &amp;rceil;. Unicode enthält codepoints für diese Symbole an-: x , x .

Siehe auch

• Nächste Funktion der ganzen Zahl
• Stutzung, eine ähnliche Funktion
• Schritt-Funktion

Referenzen

• Nicholas J. Higham, Handbuch des Schreibens für die mathematischen Wissenschaften, SIAM. Internationale Standardbuchnummer 0-89871-420-6, p. 25
• ISO/IEC. ISO/IEC 9899:: 1999 (E): Programmiersprachen — C (2. Hrsg.), 1999; Abschnitt 6.3.1.4, p. 43.
• Michael Sullivan. Vorrechnung, 8. Ausgabe, p. 86

Links

• Štefan Porubský, "Fungiert das Runden der ganzen Zahl", Interaktives Informationsportal für die Algorithmische Mathematik, das Institut für die Informatik der tschechischen Akademie von Wissenschaften, Prag, Tschechien, wiederbekommen am 24. Oktober 2008