In der mathematischen Logik, einer Satzrechnung oder Logik (hat auch sentential Rechnung oder sentential Logik genannt), ist ein formelles System, in dem Formeln einer formellen Sprache als das Darstellen von Vorschlägen interpretiert werden können. Ein System von Interferenzregeln und Axiomen erlaubt bestimmten Formeln, abgeleitet, Lehrsätze genannt zu werden; der als wahre Vorschläge interpretiert werden kann. Die Reihe von Formeln, die innerhalb solch eines Systems gebaut wird, wird eine Abstammung genannt, und die letzte Formel der Reihe ist ein Lehrsatz, dessen Abstammung als ein Beweis der Wahrheit des durch den Lehrsatz vertretenen Vorschlags interpretiert werden kann.

Mit der Wahrheit funktionelle Satzlogik ist eine Satzlogik, deren Interpretation die Wahrheitswerte seiner Vorschläge zu zwei, gewöhnlich wahr und falsch beschränkt. Wie man betrachtet, sind mit der Wahrheit funktionelle Satzlogik und dazu isomorphe Systeme Zeroth-Ordnungslogik.

Geschichte

Obwohl Satzlogik (der mit der Satzrechnung austauschbar ist) von früheren Philosophen angedeutet worden war, wurde es in eine formale Logik von Chrysippus entwickelt und von Stoics ausgebreitet. Die Logik wurde auf Vorschläge eingestellt. Diese Förderung war von der traditionellen syllogistischen Logik verschieden, die zu Begriffen eingestellt wurde. Jedoch, später in der Altertümlichkeit, wurde die durch den stoics entwickelte Satzlogik nicht mehr verstanden. Infolgedessen wurde das System im Wesentlichen von Peter Abelard wiedererfunden.

Satzlogik wurde schließlich mit der symbolischen Logik raffiniert. Gottfried Leibniz ist zugeschrieben worden, der Gründer der symbolischen Logik für seine Arbeit mit der Rechnung ratiocinator zu sein. Obwohl seine Arbeit von seiner Art erst war, war es der größeren logischen Gemeinschaft unbekannt. Infolgedessen wurden viele der von Leibniz erreichten Fortschritte von Logikern wie George Boole und von Leibniz völlig unabhängiger Augustus De Morgan wiedererreicht.

Da Satzlogik als eine Förderung von der früheren syllogistischen Logik gesehen werden kann, war die Prädikat-Logik von Gottlob Frege eine Förderung von der früheren Satzlogik. Prädikat-Logik ist als das Kombinieren "der unterscheidenden Merkmale der syllogistischen Logik- und Satzlogik beschrieben worden." Infolgedessen hat Es ein neues Zeitalter in der Geschichte der Logik hineingeführt. Jedoch wurden Fortschritte in der Satzlogik noch nach Frege gemacht. Diese schließen Natürlichen Abzug, Wahrheitsbäume und Wahrheitstabellen ein. Natürlicher Abzug wurde von Jan Łukasiewicz erfunden. Wahrheitsbäume wurden von Evert Willem Beth erfunden. Die Erfindung von Wahrheitstabellen ist jedoch unbestimmt und umstritten.

Vorhergehende Wahrheitstabellen der Ideen sind sowohl in Frege als auch in Bertrand Russell gefunden worden, wohingegen die wirkliche 'tabellarische Struktur' (d. h. als ein Tisch gebildet werden), allgemein entweder Ludwig Wittgenstein, Emil Post oder beiden (unabhängig von einander) kreditiert wird. Außer Frege und Russell schließen andere, die daran kreditiert sind, vorhergehende Ideen von Wahrheitstabellen zu haben, Philo, Boole, Charles Sanders Peirce und Ernst Schröder ein. Und außer Post und Wittgenstein schließen andere, die die tabellarische Struktur zugeschrieben sind, Łukasiewicz, Schröder, Alfred North Whitehead, William Stanley Jevons, John Venn und Clarence Irving Lewis ein. Schließlich haben einige, wie John Shosky, beschlossen, dass "Es alles andere als klar ist, dass jedem Person der Titel 'des Erfinders' von Wahrheitstabellen gegeben werden sollte.".

Fachsprache

Allgemein ist eine Rechnung ein formelles System, das aus einer Reihe syntaktischer Ausdrücke (gut gebildeter formulæ oder wffs), eine ausgezeichnete Teilmenge dieser Ausdrücke (Axiome) plus eine Reihe formeller Regeln besteht, die eine spezifische binäre Beziehung, beabsichtigt definieren, um als logische Gleichwertigkeit auf dem Raum von Ausdrücken interpretiert zu werden.

Wenn das formelle System beabsichtigt ist, um ein logisches System zu sein, werden die Ausdrücke gemeint, um als Behauptungen interpretiert zu werden, und die Regeln, die als Interferenzregeln bekannt sind, sind normalerweise beabsichtigt, um Wahrheitsbewahrung zu sein. In dieser Einstellung können die Regeln (der Axiome einschließen kann) dann verwendet werden, um abzustammen (leiten) formulæ das Darstellen wahrer Behauptungen von gegebenem formulæ das Darstellen wahrer Behauptungen ("ab").

Der Satz von Axiomen, kann ein nichtleerer begrenzter Satz, ein zählbar unendlicher Satz leer sein, oder durch Axiom-Diagramme gegeben werden. Eine formelle Grammatik definiert rekursiv die Ausdrücke und gut gebildeten formulæ (wffs) der Sprache. Außerdem kann eine Semantik gegeben werden, der Wahrheit und Schätzungen (oder Interpretationen) definiert.

Die Sprache einer Satzrechnung besteht aus

1. eine Reihe primitiver Symbole, verschiedenartig gekennzeichnet als Atomformeln, Platzhalter, Vorschlag-Briefe, oder Variablen und
2. eine Reihe von Maschinenbediener-Symbolen, die verschiedenartig als logische Maschinenbediener oder logische Bindewörter interpretiert ist.

Eine gut gebildete Formel (wff) ist jede Atomformel oder jede Formel, die von atomarem formulæ mittels Maschinenbediener-Symbole ordnungsmäßig der Grammatik aufgebaut werden kann.

Mathematiker unterscheiden manchmal zwischen Satzkonstanten, Satzvariablen und Diagrammen. Satzkonstanten vertreten einen besonderen Vorschlag, während sich Satzvariablen über den Satz aller Atomvorschläge erstrecken. Diagramme erstrecken sich jedoch über alle Vorschläge. Es ist üblich, Satzkonstanten durch, und, Satzvariablen durch zu vertreten, und, und schematische Briefe sind häufig griechische Briefe meistenteils, und.

Grundlegende Konzepte

Die folgenden Umrisse eine Standardsatzrechnung. Viele verschiedene Formulierungen bestehen, die alle mehr oder weniger gleichwertig sind, aber sich in den Details von unterscheiden

1. ihre Sprache, d. h. die besondere Sammlung von primitiven Symbolen und Maschinenbediener-Symbolen,
2. der Satz von Axiomen, oder bemerkenswerter formulæ und
3. der Satz von Interferenzregeln.

Wir können jeden gegebenen Vorschlag mit einem Brief vertreten, den wir eine Satzkonstante nennen, die dem Darstellen einer Zahl durch einen Brief in der Mathematik zum Beispiel analog ist. Wir verlangen, dass alle Vorschläge genau einen von zwei Wahrheitswerten haben: wahr oder falsch. Um ein Beispiel zu nehmen, lassen Sie, der Vorschlag zu sein, dass es draußen regnet. Das wird wahr sein, wenn es draußen und falsch sonst regnet.

• Wir definieren dann mit der Wahrheit funktionelle Maschinenbediener, mit der Ablehnung beginnend. Wir schreiben, um die Ablehnung dessen zu vertreten, vom als die Leugnung dessen gedacht werden kann. Im Beispiel oben, Schnellzüge, dass es draußen, oder durch ein mehr normales Lesen nicht regnet: "Es ist nicht der Fall, dass es draußen regnet." Wenn wahr ist, ist falsch; und wenn falsch ist, ist wahr. immer hat denselben Wahrheitswert wie.
• Verbindung ist ein mit der Wahrheit funktionelles Bindewort, das einen Vorschlag aus zwei einfacheren Vorschlägen zum Beispiel bildet, und. Die Verbindung dessen und, wird und Schnellzüge geschrieben, dass jeder wahr ist. Wir lesen als "und". Für irgendwelche zwei Vorschläge gibt es vier mögliche Anweisungen von Wahrheitswerten:
• # ist wahr und ist wahrer
• # ist wahr und ist falscher
• # ist falsch und ist wahrer
• # ist falsch und ist falscher

:The-Verbindung dessen und ist wahr, im Falle dass 1 und sonst falsch ist. Wo der Vorschlag ist, dass es draußen regnet und der Vorschlag ist, dass eine Kaltfront über Kansas ist, ist wahr, wenn es draußen regnet und es eine Kaltfront über Kansas gibt. Wenn es draußen nicht regnet, dann falsch ist; und wenn es keine Kaltfront über Kansas gibt, dann falsch ist.

• Trennung ähnelt Verbindung, in der sie einen Vorschlag aus zwei einfacheren Vorschlägen bildet. Wir schreiben es, und es wird gelesen "oder". Es drückt das aus entweder oder ist wahr. So, in den Fällen, die oben, die Trennung dessen verzeichnet sind, und ist in allen Fällen außer 4 wahr. Mit dem Beispiel oben die Trennungsschnellzüge, dass es entweder draußen regnet oder gibt es eine Kaltfront über Kansas. (Bemerken Sie, dieser Gebrauch der Trennung soll dem Gebrauch des englischen Wortes ähneln "oder". Jedoch ist es am meisten den Engländern einschließlich ähnlich "oder", der verwendet werden kann, um die Wahrheit von mindestens einem von zwei Vorschlägen auszudrücken. Es ist den Engländern exklusiv nicht ähnlich "oder", der die Wahrheit von genau einem von zwei Vorschlägen ausdrückt. Das heißt, ist das exklusive "oder" falsch, wenn beide und (Fall 1) wahr sind. Ein Beispiel des exklusiven oder ist: Sie können ein ringförmiges Brötchen oder ein Gebäck, aber nicht beide haben. Manchmal, in Anbetracht des passenden Zusammenhangs, wird der Nachtrag, "aber nicht beide" weggelassen, aber einbezogen.)
• Material bedingt schließt sich auch zwei einfacheren Vorschlägen an, und wir schreiben, der "wenn dann" gelesen wird. Der Vorschlag links vom Pfeil wird das vorangegangene Ereignis genannt, und der Vorschlag wird nach rechts die Folgerung genannt. (Es gibt keine solche Benennung für die Verbindung oder Trennung, da sie Ersatzoperationen sind.) Drückt es aus das ist wahr, wann auch immer wahr ist. So ist es in jedem Fall oben außer dem Fall 2 wahr, weil das der einzige Fall ist, wenn wahr ist, aber nicht ist. Das Verwenden des Beispiels, wenn dann ausdrückt, dass, wenn es draußen dann regnet, es eine Kaltfront über Kansas gibt. Das bedingte Material ist häufig mit der physischen Verursachung verwirrt. Das Material bedingt verbindet jedoch nur zwei Vorschläge durch ihre Wahrheitswerte — der nicht die Beziehung der Ursache und Wirkung ist. Es ist in der Literatur streitsüchtig, ob die materielle Implikation logische Verursachung vertritt.
• Biconditional schließt sich zwei einfacheren Vorschlägen an, und wir schreiben, der "wenn und nur wenn" gelesen wird. Es drückt das aus, und haben Sie denselben Wahrheitswert so, wenn, und nur wenn in Fällen 1 und 4 wahr, und sonst falsch ist.

Es ist äußerst nützlich, auf die Wahrheitstabellen für diese verschiedenen Maschinenbediener, sowie die Methode von analytischen Gemälden zu schauen.

Verschluss unter Operationen

Satzlogik wird unter mit der Wahrheit funktionellen Bindewörtern geschlossen. Das heißt, für jeden Vorschlag, ist auch ein Vorschlag. Ebenfalls, für irgendwelche Vorschläge und, ist ein Vorschlag, und ähnlich für die Trennung, bedingt, und biconditional. Das deutet an, dass zum Beispiel ein Vorschlag ist, und so kann er mit einem anderen Vorschlag vereinigt werden. Um das zu vertreten, müssen wir Parenthesen verwenden, um anzuzeigen, welcher Vorschlag mit der vereinigt wird. Zum Beispiel, ist nicht eine gut gebildete Formel, weil wir nicht wissen, ob wir uns mit vereinigen, oder wenn wir uns damit vereinigen. So müssen wir schreiben, entweder um den ersteren zu vertreten, oder die Letzteren zu vertreten. Indem wir die Wahrheitsbedingungen bewerten, sehen wir, dass beide Ausdrücke dieselben Wahrheitsbedingungen haben (wird in denselben Fällen wahr sein), und außerdem dass jeder durch willkürliche Verbindungen gebildete Vorschlag dieselben Wahrheitsbedingungen unabhängig von der Position der Parenthesen haben wird. Das bedeutet, dass Verbindung jedoch assoziativ ist, sollte man nicht annehmen, dass Parenthesen nie einem Zweck dienen. Zum Beispiel hat der Satz dieselben Wahrheitsbedingungen wie nicht, so sind sie verschiedene Sätze bemerkenswert nur durch die Parenthesen. Man kann das durch die Wahrheitstabelle-Methode nachprüfen, die oben Verweise angebracht ist.

Zeichen: Für jede beliebige Zahl von Satzkonstanten können wir eine begrenzte Zahl von Fällen bilden, die ihre möglichen Wahrheitswerte verzeichnen. Eine einfache Weise, das zu erzeugen, ist durch Wahrheitstabellen, in denen, …, für jede Liste von Satzkonstanten — das heißt, jede Liste von Satzkonstanten mit Einträgen schreibt. Unter dieser Liste schreibt man Reihen, und unten füllt man die erste Hälfte der Reihen mit dem wahren (oder T) und die zweite Hälfte mit dem falschen (oder F) aus. Unten füllt man ein Viertel der Reihen mit T, dann ein Viertel mit F, dann ein Viertel mit T und das letzte Viertel mit F aus. Die folgenden Säulenstellvertreter zwischen wahrem und falschem für jeden, der der Reihen, dann sixteenths und so weiter bis zur letzten Satzkonstante acht ist, ändern sich zwischen T und F für jede Reihe. Das wird eine ganze Auflistung von Fällen oder für jene Satzkonstanten möglichen Wahrheitswertzuweisungen geben.

Argument

Die Satzrechnung definiert dann ein Argument als eine Reihe von Vorschlägen. Ein gültiges Argument ist eine Reihe von Vorschlägen, von denen der letzte folgt — oder durch — der Rest einbezogen wird. Alle anderen Argumente sind ungültig. Das einfachste gültige Argument ist Modus ponens, dessen ein Beispiel der folgende Satz von Vorschlägen ist:

:

\begin {Reihe} {rl }\

1. & P \rightarrow Q \\

2. & P \\

\hline

\therefore & Q

\end {ordnen }\

</Mathematik>

Das ist eine Reihe drei Vorschläge, jede Linie ist ein Vorschlag, und das letzte folgt aus dem Rest. Die ersten zwei Linien werden Propositionen und die letzte Linie der Beschluss genannt. Wir sagen, dass jeder Vorschlag aus jedem Satz von Vorschlägen folgt, wenn wahr sein muss, wann auch immer jedes Mitglied des Satzes wahr ist. Im Argument oben, für irgendwelchen und, wann auch immer und notwendigerweise wahr sind, ist wahr. Bemerken Sie, dass, wenn wahr ist, wir Fälle 3 und 4 (von der Wahrheitstabelle) nicht in Betracht ziehen können. Wenn wahr ist, können wir nicht Fall 2 in Betracht ziehen. Das verlässt nur Fall 1, in dem Q auch wahr ist. So wird Q durch die Propositionen einbezogen.

Das verallgemeinert schematisch. So, wo und irgendwelche Vorschläge überhaupt, sein kann

:\begin {Reihe} {rl }\

1. & \varphi \rightarrow \psi \\

2. & \varphi \\

\hline

\therefore & \psi

\end {ordnen }\</Mathematik>

Andere Argument-Formen sind günstig, aber nicht notwendig. In Anbetracht eines ganzen Satzes von Axiomen (sieh unten für einen solchen Satz), ist Modus ponens genügend, um alle anderen Argument-Formen in der Satzlogik zu beweisen, und so können wir an sie als Ableitung denken. Bemerken Sie, das trifft auf die Erweiterung der Satzlogik zu anderer Logik wie Logik der ersten Ordnung nicht zu. Logik der ersten Ordnung verlangt mindestens eine zusätzliche Regel der Schlussfolgerung, um Vollständigkeit zu erhalten.

Die Bedeutung des Arguments in der formalen Logik besteht darin, dass man neue Wahrheiten von feststehenden Wahrheiten erhalten kann. Im ersten Beispiel oben, in Anbetracht der zwei Propositionen, ist die Wahrheit dessen noch nicht bekannt oder festgesetzt. Nachdem das Argument gemacht wird, wird abgeleitet. Auf diese Weise definieren wir ein Abzug-System als die eine Reihe aller Vorschläge, die aus einem anderen Satz von Vorschlägen abgeleitet werden können. Zum Beispiel, in Anbetracht des Satzes von Vorschlägen, können wir ein Abzug-System definieren, der der Satz aller Vorschläge ist, die folgen. Wiederholung wird immer, so angenommen. Außerdem vom ersten Element ist letztes Element, sowie Modus ponens, eine Folge, und so. Weil wir genug ganze Axiome aber nicht eingeschlossen haben, darf nichts anderes abgeleitet werden. So, wenn auch die meisten in der Satzlogik studierten Abzug-Systeme im Stande sind abzuleiten, ist dieser zu schwach, um solch einen Vorschlag zu beweisen.

Allgemeine Beschreibung einer Satzrechnung

Eine Satzrechnung ist ein formelles System, wo:

• Der Alpha-Satz ist ein begrenzter Satz von Elementen genannt Vorschlag-Symbole oder Satzvariablen. Syntaktisch das Sprechen, das sind die grundlegendsten Elemente der formellen Sprache, sonst gekennzeichnet als atomarer formulæ oder Endelemente. In den Beispielen, um zu folgen, sind die Elemente dessen normalerweise die Briefe und so weiter.
• Der Omega-Satz ist ein begrenzter Satz von Elementen genannt Maschinenbediener-Symbole oder logische Bindewörter. Der Satz wird in zusammenhanglose Teilmengen wie folgt verteilt:

:::

:In diese Teilung, ist der Satz von Maschinenbediener-Symbolen von arity.

:In die vertrauteren Satzrechnungen, wird normalerweise wie folgt verteilt:

::::::

:A hat oft Tagungsvergnügen die unveränderlichen logischen Werte als Maschinenbediener der arity Null so angenommen:

:::

:Some-Schriftsteller verwenden die Tilde (~), oder N, statt; und etwas Gebrauch das Und-Zeichen (&), der vorfeste K, oder statt. Notation ändert sich noch mehr für den Satz von logischen Werten, mit Symbolen wie {falsch, wahr}, {F, T}, oder alle, in verschiedenen Zusammenhängen statt {0, 1} gesehen werden.

• Der Zeta-Satz ist ein begrenzter Satz von Transformationsregeln, die Interferenzregeln genannt werden, wenn sie logische Anwendungen erwerben.
• Der Jota-Satz ist ein begrenzter Satz von anfänglichen Punkten, die Axiome genannt werden, wenn sie logische Interpretationen erhalten.

Die Sprache, auch bekannt als sein Satz von formulæ, gut gebildeten Formeln oder wffs, wird durch die folgenden Regeln induktiv definiert:

1. Basis: Jedes Element des Alpha-Satzes ist eine Formel dessen.
2. Wenn formulæ sind und darin ist, dann eine Formel ist.
3. Geschlossen: Nichts anderes ist eine Formel dessen.

Wiederholte Anwendungen dieser Regeln erlauben den Aufbau des Komplexes formulæ. Zum Beispiel:

1. Durch die Regel 1, ist eine Formel.
2. Durch die Regel 2, ist eine Formel.

Durch die Regel 1, ist eine Formel.Durch die Regel 2, ist eine Formel.

Beispiel 1. Einfaches Axiom-System

Lassen Sie, wo, wie folgt definiert werden:

• Das gesetzte Alpha, ist ein begrenzter Satz von Symbolen, der groß genug ist, um die Bedürfnisse nach einer gegebenen Diskussion zum Beispiel zu liefern:

:::

• Der drei Bindewörter für die Verbindung, Trennung und Implikation (und), kann eine als primitiv genommen werden, und die anderen zwei können in Bezug darauf und Ablehnung definiert werden. Tatsächlich können alle logischen Bindewörter in Bezug auf einen alleinigen genügend Maschinenbediener definiert werden. Der biconditional kann natürlich in Bezug auf die Verbindung und Implikation, mit dem definierten als.Adopting Ablehnung und Implikation definiert werden, weil die zwei primitiven Operationen einer Satzrechnung mit dem Setzen des Omegas Teilung wie folgt gleichbedeutend sind:

:::

:::

• Ein Axiom-System, das von Jan Łukasiewicz entdeckt ist, formuliert eine Satzrechnung auf dieser Sprache wie folgt. Die Axiome sind alle Ersatz-Beispiele:

::*

::*::*

• Die Regel der Schlussfolgerung ist Modus ponens (d. h., von und, leiten Sie ab). Dann wird als definiert, und wird als definiert.

Beispiel 2. Natürliches Abzug-System

Lassen Sie, wo, wie folgt definiert werden:

• Das gesetzte Alpha, ist ein begrenzter Satz von Symbolen, der groß genug ist, um die Bedürfnisse nach einer gegebenen Diskussion zum Beispiel zu liefern:

:

• Das Omega hat Teilungen wie folgt gesetzt:

::

Im folgenden Beispiel einer Satzrechnung sind die Transformationsregeln beabsichtigt, um als die Interferenzregeln eines so genannten natürlichen Abzug-Systems interpretiert zu werden. Das besondere System präsentiert hier hat keine anfänglichen Punkte, was bedeutet, dass seine Interpretation für logische Anwendungen seine Lehrsätze von einem leeren Axiom-Satz ableitet.

• Der Satz von anfänglichen Punkten ist leer, d. h.
• Der Satz von Transformationsregeln wird wie folgt beschrieben:

Unsere Satzrechnung hat zehn Interferenzregeln. Diese Regeln erlauben uns, andere wahre Formeln gegeben eine Reihe von Formeln abzuleiten, die, wie man annimmt, wahr sind. Die ersten neun stellen einfach fest, dass wir bestimmten wffs aus anderem wffs ableiten können. Die letzte Regel verwendet jedoch das hypothetische Denken im Sinn, dass in der Proposition der Regel wir provisorisch eine (unbewiesene) Hypothese annehmen, ein Teil des Satzes von abgeleiteten Formeln zu sein, um zu sehen, ob wir eine bestimmte andere Formel ableiten können. Da die ersten neun Regeln das nicht tun, werden sie gewöhnlich als nichthypothetische Regeln und die letzte als eine hypothetische Regel beschrieben.

Im Beschreiben der Transformationsregeln können wir ein Metasprache-Symbol einführen. Es ist grundsätzlich eine günstige Schnellschrift für den Ausspruch "leiten das ab". Das Format ist, in dem (vielleicht leer) Satz von Formeln genannt Propositionen ist, und eine Formel genannt Beschluss ist. Die Transformationsregel bedeutet, dass, wenn jeder Vorschlag darin ein Lehrsatz ist (oder hat denselben Wahrheitswert wie die Axiome), dann auch ein Lehrsatz ist. Bemerken Sie, dass, die folgende Regel-Verbindungseinführung denkend, wir wissen werden, wann auch immer mehr als eine Formel hat, können wir es immer in eine Formel mit der Verbindung sicher reduzieren. So für den kurzen von dieser Zeit an können wir als eine Formel statt eines Satzes vertreten. Eine andere Weglassung für die Bequemlichkeit ist, wenn ein leerer Satz ist, in welchem Fall nicht erscheinen kann.

Anzeige von Reductio absurdum (Ablehnungseinführung): Davon und, ableiten.

: D. h.

Verdoppeln Sie negative Beseitigung: Davon, ableiten.

: D. h.

Verbindungseinführung: Davon und, ableiten.

: D. h.

Verbindungsbeseitigung: Davon, ableiten.

: Davon, ableiten.

: D. h. und.

Trennungseinführung: Davon, ableiten.

: Davon, ableiten.: D. h. und.

Trennungsbeseitigung: Davon und und, ableiten.

: D. h.

Einführung von Biconditional: Davon und, ableiten.

: D. h.

Beseitigung von Biconditional: Davon, ableiten.

: Davon, ableiten.: D. h. und.

Modus ponens (bedingte Beseitigung): Davon und, ableiten.

: D. h.

Bedingter Beweis (bedingte Einführung): Von [erlaubt das Annehmen einen Beweis], ableiten.

: D. h.

Grundlegende und abgeleitete Argument-Formen

Beweise in der Satzrechnung

Einer des Hauptgebrauches einer Satzrechnung, wenn interpretiert, für logische Anwendungen, soll Beziehungen der logischen Gleichwertigkeit zwischen Satzformulæ bestimmen. Diese Beziehungen werden mittels der verfügbaren Transformationsregeln bestimmt, von denen Folgen Abstammungen oder Beweise genannt werden.

In der Diskussion, um zu folgen, wird ein Beweis als eine Folge von numerierten Linien mit jeder Linie präsentiert, die aus einer einzelnen Formel besteht, die von einem Grund oder Rechtfertigung gefolgt ist, um diese Formel einzuführen. Jede Proposition des Arguments, d. h. eine als eine Hypothese des Arguments eingeführte Annahme, wird am Anfang der Folge verzeichnet und wird als eine "Proposition" anstatt anderer Rechtfertigung gekennzeichnet. Der Beschluss wird auf der letzten Linie verzeichnet. Ein Beweis ist abgeschlossen, wenn jede Linie aus den vorherigen durch die richtige Anwendung einer Transformationsregel folgt. (Für eine sich abhebende Annäherung, sieh Probebäume).

Beispiel eines Beweises

• Das gezeigt zu werden.
• Ein möglicher Beweis davon (der, obwohl gültig, zufällig mehr Schritte enthält als, sind notwendig), kann wie folgt eingeordnet werden:

Dolmetschen Sie als das "Annehmen, leiten Sie ab". Lesen Sie als "Das Annehmen von nichts, leiten Sie ab, dass einbezieht", oder "Es ist eine Tautologie, die einbezieht", oder "Es ist immer wahr, dass einbezieht".

Stichhaltigkeit und Vollständigkeit der Regeln

Die entscheidenden Eigenschaften dieses Regelwerkes bestehen darin, dass sie gesund und abgeschlossen sind. Informell bedeutet das, dass die Regeln richtig sind, und dass keine anderen Regeln erforderlich sind. Diese Ansprüche können mehr formell wie folgt erhoben werden.

Wir definieren eine Wahrheitsanweisung als eine Funktion, die Satzvariablen zum wahren oder falschen kartografisch darstellt. Informell kann solch eine Wahrheitsanweisung als die Beschreibung einer möglichen Lage der Dinge verstanden werden (oder mögliche Welt), wo bestimmte Behauptungen wahr sind und andere nicht sind. Die Semantik von Formeln kann dann durch das Definieren formalisiert werden, für die "Lage der Dinge", wie man betrachtet, sie wahr sind, der ist, was durch die folgende Definition getan wird.

Wir definieren, wenn solch eine Wahrheitsanweisung einen bestimmten wff mit den folgenden Regeln befriedigt:

• befriedigt die Satzvariable wenn und nur wenn

• befriedigt, wenn, und nur wenn nicht befriedigt

• befriedigt, wenn, und nur wenn beide und befriedigt

• befriedigt, wenn, und nur wenn mindestens einen entweder oder befriedigt

• befriedigt, wenn, und nur wenn es nicht der Fall ist, der befriedigt, aber nicht

• befriedigt, wenn, und nur wenn beide befriedigt und oder keinen von ihnen befriedigt

Mit dieser Definition können wir jetzt formalisieren, was es für eine Formel bedeutet, durch einen bestimmten Satz von Formeln einbezogen zu werden. Informell ist das wahr, wenn in allen Welten, die gegeben der Satz von Formeln möglich sind, die die Formel auch hält. Das führt zur folgenden formellen Definition: Wir sagen, dass eine Reihe von wffs semantisch zur Folge hat (oder einbezieht) ein bestimmter wff, wenn alle Wahrheitsanweisungen, die alle Formeln in auch befriedigen, befriedigen

Schließlich definieren wir syntaktischen solchen entailment, der dadurch syntaktisch zur Folge gehabt wird, wenn, und nur wenn wir ihn mit den Interferenzregeln ableiten können, die oben in einer begrenzten Zahl von Schritten präsentiert wurden. Das erlaubt uns, genau zu formulieren, was es für den Satz von Interferenzregeln bedeutet, gesund und abgeschlossen zu sein:

Stichhaltigkeit: Wenn der Satz von wffs syntaktisch zur Folge hat, dass wff dann semantisch zur Folge hat

Vollständigkeit: Wenn der Satz von wffs semantisch zur Folge hat, dass wff dann syntaktisch zur Folge hat

Für das obengenannte Regelwerk ist das tatsächlich der Fall.

Skizze eines Stichhaltigkeitsbeweises

(Für die meisten logischen Systeme ist das die "verhältnismäßig einfache" Richtung des Beweises)

Vereinbarung von Notational: Lassen Sie, eine variable Anordnung über Mengen der Aussagen zu sein. Lassen Sie, und Reihe über Sätze. Für "hat syntaktisch zur Folge, dass" wir schreiben, "erweist sich". Für "hat semantisch zur Folge, dass" wir schreiben, "bezieht ein".

Wir wollen uns zeigen: (wenn sich dann erweist, bezieht ein).

Wir bemerken, dass "sich" das "erweist", hat eine induktive Definition, und das gibt uns die unmittelbaren Mittel, um Ansprüche der Form zu demonstrieren, "Wenn sich dann erweist...". So geht unser Beweis durch die Induktion weiter.

</ol> </li>

</ol>

Bemerken Sie, dass Basisschritt II für natürliche Abzug-Systeme weggelassen werden kann, weil sie keine Axiome haben. Wenn verwendet, schließt Schritt II Vertretung ein, dass jedes der Axiome eine (semantische) logische Wahrheit ist.

Der Basisschritt (E) demonstriert (s), dass die einfachsten nachweisbaren Sätze davon auch durch, für irgendwelchen einbezogen werden. (Einfach seit der semantischen Tatsache zu sein, dass ein Satz einige seiner Mitglieder einbezieht, ist auch trivial.) Der Induktive Schritt wird alle weiteren Sätze systematisch bedecken, die nachweisbar sein könnten — indem sie jeden Fall in Betracht gezogen worden ist, wo wir zu einem logischen Schluss mit einer Interferenzregel gelangen könnten — und zeigen, dass, wenn ein neuer Satz nachweisbar ist, es auch logisch einbezogen wird. (Zum Beispiel könnten wir eine Regel haben, uns erzählend, dass von "" wir abstammen können "oder". In III.a nehmen Wir an, dass, wenn nachweisbar ist, er einbezogen wird. Wir wissen auch dass, wenn dann nachweisbar ist "oder" nachweisbar ist. Wir müssen zeigen, dass dann "oder" auch einbezogen wird. Wir tun so durch die Bitte an die semantische Definition und die Annahme, die wir gerade gemacht haben. ist davon nachweisbar, wir nehmen an. So wird es auch dadurch einbezogen. So macht jede semantische Schätzung, die alle wahren macht, wahr. Aber jede Schätzung, die wahr macht, macht "oder" wahr, durch die definierte Semantik für "oder". So macht jede Schätzung, die alle wahren macht, "oder" wahr. So "oder" wird einbezogen.) Allgemein wird der Induktive Schritt aus einer langen, aber einfachen Fall-für-Fall-Analyse aller Regeln der Schlussfolgerung bestehen, zeigend, dass jeder semantische Implikation "bewahrt".

Durch die Definition von provability gibt es keine Sätze nachweisbar anders als, indem es ein Mitglied, ein Axiom, oder im Anschluss an durch eine Regel gewesen wird; so, wenn alle von denjenigen semantisch einbezogen werden, ist der Logikkalkül gesund.

Skizze des Vollständigkeitsbeweises

(Das ist gewöhnlich die viel härtere Richtung des Beweises.)

Wir nehmen dieselbe notational Vereinbarung wie oben an.

Wir wollen uns zeigen: Wenn einbezieht, sich dann erweist. Wir gehen durch die philosophische Gegenüberstellung weiter: Wir zeigen stattdessen, dass, wenn sich dann nicht erweist, nicht einbezieht.

</ol> </li>

</ol> </li>

</ol>

</ol>

QED

Ein anderer Umriss für einen Vollständigkeitsbeweis

Wenn eine Formel eine Tautologie ist, dann gibt es eine Wahrheitstabelle dafür, welche Shows, dass jede Schätzung den für die Formel wahren Wert nachgibt. Denken Sie solch eine Schätzung. Durch die mathematische Induktion auf der Länge der Subformeln, zeigen Sie, dass die Wahrheit oder Unehrlichkeit der Subformel aus der Wahrheit oder Unehrlichkeit (als passend für die Schätzung) jeder Satzvariable in der Subformel folgen. Dann verbinden Sie sich die Linien der Wahrheitstabelle zusammen zwei auf einmal durch das Verwenden" (P ist wahr bezieht S ein) bezieht ein ((P ist falsch bezieht S ein) bezieht S) ein". Setzen Sie fort, das zu wiederholen, bis alle Abhängigkeiten von Satzvariablen beseitigt worden sind. Das Ergebnis besteht darin, dass wir die gegebene Tautologie bewiesen haben. Da jede Tautologie nachweisbar ist, ist die Logik abgeschlossen.

Interpretation einer mit der Wahrheit funktionellen Satzrechnung

Eine Interpretation einer mit der Wahrheit funktionellen Satzrechnung ist eine Anweisung zu jedem Satzsymbol von einem oder dem anderen (aber nicht beide) der Wahrheit schätzt Wahrheit (T) und Unehrlichkeit (F), und eine Anweisung zu den verbindenden Symbolen von ihren üblichen mit der Wahrheit funktionellen Bedeutungen. Eine Interpretation einer mit der Wahrheit funktionellen Satzrechnung kann auch in Bezug auf Wahrheitstabellen ausgedrückt werden.

Für verschiedene Satzsymbole gibt es verschiedene mögliche Interpretationen. Für jedes besondere Symbol, zum Beispiel, gibt es mögliche Interpretationen:

1. wird T oder zugeteilt

1. wird F zugeteilt.

Für das Paar gibt es mögliche Interpretationen:

1. beide werden T, zugeteilt
2. beide werden F, zugeteilt

1. wird T zugeteilt und wird F oder zugeteilt

1. wird F zugeteilt und wird T zugeteilt.

Seitdem, hat d. h. denumerably viele Satzsymbole, es, gibt und deshalb unzählbar viele verschiedene mögliche Interpretationen dessen.

Interpretation eines Satzes der mit der Wahrheit funktionellen Satzlogik

Wenn und Formeln dessen sind und eine Interpretation dann ist:

• Ein Satz der Satzlogik ist unter einer Interpretation iff wahr teilt den Wahrheitswert T diesem Satz zu. Wenn ein Satz unter einer Interpretation wahr ist, dann wird diese Interpretation ein Modell dieses Satzes genannt.

ist

• unter einer Interpretation iff falsch ist darunter nicht wahr.
• Ein Satz der Satzlogik ist logisch gültiger iff es ist unter jeder Interpretation wahr

: Mittel, das logisch gültiger ist

• Ein Satz der Satzlogik ist eine semantische Folge eines Satzes iff es gibt keine Interpretation, unter der wahr ist und falsch ist.
• Ein Satz der Satzlogik ist konsequenter iff es ist unter mindestens einer Interpretation wahr. Es ist inkonsequent, wenn es nicht entspricht.

Einige Folgen dieser Definitionen:

• Für jede gegebene Interpretation ist eine gegebene Formel entweder wahr oder falsch.
• Keine Formel ist sowohl wahr als auch unter derselben Interpretation falsch.

ist

• für eine gegebene Interpretation iff falsch ist für diese Interpretation wahr; und ist unter einer Interpretation iff wahr ist unter dieser Interpretation falsch.
• Wenn und beide unter einer gegebenen Interpretation wahr sind, dann ist unter dieser Interpretation wahr.
• Wenn und, dann.

ist

• unter iff wahr ist darunter nicht wahr.

ist

• unter iff wahr entweder ist darunter nicht wahr oder ist darunter wahr.
• Ein Satz der Satzlogik ist eine semantische Folge eines Satzes iff, ist d. h. iff logisch gültig.

Alternative Rechnung

Es ist möglich, eine andere Version der Satzrechnung zu definieren, die den grössten Teil der Syntax der logischen Maschinenbediener mittels Axiome definiert, und die nur eine Interferenzregel verwendet.

Axiome

Lassen Sie, und treten Sie für gut gebildeten formulæ ein. (Der wffs selbst würde keine griechischen Briefe, aber nur römische Kapitalbriefe, verbindende Maschinenbediener und Parenthesen enthalten.) Dann sind die Axiome wie folgt:

Wie man

• betrachten kann, ist Axiom DANN 2 ein "verteilendes Eigentum der Implikation in Bezug auf die Implikation."
• Axiome UND 1 und UND 2 entsprechen "Verbindungsbeseitigung". Die Beziehung zwischen UND 1 und UND 2 widerspiegelt den commutativity des Verbindungsmaschinenbedieners.
• Axiom UND 3 entspricht "Verbindungseinführung."
• Axiome ODER 1 und ODER 2 entsprechen "Trennungseinführung." Die Beziehung zwischen ODER 1 und ODER 2 widerspiegelt den commutativity des Trennungsmaschinenbedieners.
• Axiom NICHT 1 entspricht "reductio Anzeige absurdum."
• Axiom NICHT 2 sagt, dass "irgendetwas aus einem Widerspruch abgeleitet werden kann."
• Axiom NICHT 3 wird "tertium nicht datur" genannt (Latein: "Ein Drittel wird" nicht gegeben), und widerspiegelt die semantische Schätzung von Satzformeln: Eine Formel kann einen Wahrheitswert entweder wahren oder falschen haben. Es gibt keinen dritten Wahrheitswert, mindestens nicht in der klassischen Logik. Logiker von Intuitionistic akzeptieren das Axiom NICHT 3 nicht.

Interferenzregel

Die Interferenzregel ist Modus ponens:

:.

Meta-Interferenzregel

Lassen Sie eine Demonstration durch eine Folge, mit Hypothesen links vom Drehkreuz und dem Beschluss rechts vom Drehkreuz vertreten werden. Dann kann der Abzug-Lehrsatz wie folgt festgesetzt werden:

: Wenn die Folge

::

: ist demonstriert worden, dann ist es auch möglich, die Folge zu demonstrieren

::.

Dieser Abzug-Lehrsatz (DT) wird mit der Satzrechnung nicht selbst formuliert: Es ist nicht ein Lehrsatz der Satzrechnung, aber ein Lehrsatz über die Satzrechnung. In diesem Sinn ist es ein Meta-Lehrsatz, der mit Lehrsätzen über die Stichhaltigkeit oder Vollständigkeit der Satzrechnung vergleichbar ist.

Andererseits ist DT so nützlich, für den syntaktischen Probeprozess zu vereinfachen, dass es betrachtet und als eine andere Interferenzregel, Begleitmodus ponens verwendet werden kann. In diesem Sinn entspricht DT der natürlichen bedingten Probeinterferenzregel, die ein Teil der ersten Version der in diesem Artikel eingeführten Satzrechnung ist.

Der gegenteilige von DT ist auch gültig:

: Wenn die Folge::: ist demonstriert worden, dann ist es auch möglich, die Folge zu demonstrieren::

tatsächlich ist die Gültigkeit des gegenteiligen von DT fast im Vergleich zu diesem von DT trivial:

: Wenn

::

: dann

:: 1:

:: 2:

: und von (1) und (2) kann abgeleitet werden

:: 3:

: mittels des Modus ponens, Q.E.D.

Der gegenteilige von DT hat starke Implikationen: Es kann verwendet werden, um ein Axiom in eine Interferenzregel umzuwandeln. Zum Beispiel, das Axiom UND 1,

:

kann mittels des gegenteiligen vom Abzug-Lehrsatz in den Schlussfolgerung Regel umgestaltet werden

:

der Verbindungsbeseitigung, eine der zehn Interferenzregeln ist, die in der ersten Version (in diesem Artikel) von der Satzrechnung verwendet sind.

Beispiel eines Beweises

Der folgende ist ein Beispiel einer (syntaktischen) Demonstration, nur Axiome DANN 1 und DANN 2 einschließend:

Erweisen Sie sich: (Reflexivity der Implikation).

Beweis:

1. : Axiom DANN 2 mit,
2. : Axiom DANN 1 mit,
3. : Von (1) und (2) durch den Modus ponens.

: Axiom DANN 1 mit,

1. : Von (3) und (4) durch den Modus ponens.

Gleichwertigkeit zur equational Logik

Die vorhergehende alternative Rechnung ist ein Beispiel eines Hilbert-artigen Abzug-Systems. Im Fall von Satzsystemen sind die Axiome mit logischen Bindewörtern gebaute Begriffe, und die einzige Interferenzregel ist Modus ponens. Logik von Equational, wie normal verwendet, informell in der Algebra der Höheren Schule ist eine verschiedene Art der Rechnung von Systemen von Hilbert. Seine Lehrsätze sind Gleichungen, und seine Interferenzregeln drücken die Eigenschaften der Gleichheit nämlich aus, dass es eine Kongruenz zu Begriffen ist, die Ersatz zulässt.

Klassische Satzrechnung, ist wie beschrieben, oben zur Algebra von Boolean gleichwertig, während intuitionistic Satzrechnung zur Algebra von Heyting gleichwertig ist. Die Gleichwertigkeit wird durch die Übersetzung in jeder Richtung der Lehrsätze der jeweiligen Systeme gezeigt. Lehrsätze der klassischen oder intuitionistic Satzrechnung werden als Gleichungen der Algebra von Boolean oder Heyting beziehungsweise übersetzt. Umgekehrt werden Lehrsätze der Algebra von Boolean oder Heyting als Lehrsätze der klassischen oder Satzrechnung beziehungsweise übersetzt, für die eine Standardabkürzung ist. Im Fall von der Boolean Algebra kann auch als übersetzt werden, aber diese Übersetzung ist falscher intuitionistically.

Sowohl in der Algebra von Boolean als auch in Heyting kann Ungleichheit im Platz der Gleichheit verwendet werden. Die Gleichheit ist expressible als ein Paar der Ungleichheit und. Umgekehrt ist die Ungleichheit expressible als die Gleichheit, oder als. Die Bedeutung der Ungleichheit für Hilbert-artige Systeme besteht darin, dass sie dem Abzug des Letzteren oder entailment Symbol entspricht. Ein entailment

::

wird in der Ungleichheitsversion des algebraischen Fachwerks als übersetzt

::

Umgekehrt wird die algebraische Ungleichheit als der entailment übersetzt

::.

Der Unterschied zwischen der Implikation und Ungleichheit oder entailment oder ist, dass der erstere zur Logik inner ist, während der Letztere äußerlich ist. Die innere Implikation zwischen zwei Begriffen ist ein anderer Begriff derselben Art. Entailment als Außenimplikation zwischen zwei Begriffen drückt einen metatruth außerhalb der Sprache der Logik aus, und wird als ein Teil der Metasprache betrachtet. Selbst wenn die Logik unter der Studie intuitionistic ist, wird entailment normalerweise, klassisch wie zwei geschätzt, verstanden: Entweder die linke Seite hat zur Folge, oder ist less-equal zu, die richtige Seite, oder es ist nicht.

Ähnliche, aber kompliziertere Übersetzungen zu und von der algebraischen Logik sind für natürliche Abzug-Systeme, wie beschrieben, oben und für die folgende Rechnung möglich. Der entailments der Letzteren, kann wie zwei geschätzt, interpretiert werden, aber eine aufschlussreichere Interpretation ist als ein Satz, dessen Elemente als abstrakte als der morphisms einer Kategorie organisierte Beweise verstanden werden können. In dieser Interpretation entspricht die Kürzungsregel der folgenden Rechnung Zusammensetzung in der Kategorie. Boolean und Algebra von Heyting gehen in dieses Bild als spezielle Kategorien ein, die am grössten Teil eines morphism pro homset, d. h., ein Beweis pro entailment entsprechend der Idee haben, dass die Existenz von Beweisen alles das Sachen ist: Jeder Beweis wird tun, und es gibt nichts im Unterscheiden von ihnen.

Grafische Rechnungen

Es ist möglich, die Definition einer formellen Sprache von einer Reihe begrenzter Folgen über eine begrenzte Basis zu verallgemeinern, um viele andere Sätze von mathematischen Strukturen einzuschließen, so lange sie durch Finitary-Mittel von begrenzten Materialien aufgebaut werden. Was mehr ist, sind viele dieser Familien von formellen Strukturen für den Gebrauch in der Logik besonders gut passend.

Zum Beispiel gibt es viele Familien von Graphen, die nahe genug Entsprechungen von formellen Sprachen sind, dass das Konzept einer Rechnung zu ihnen ganz leicht und natürlich erweitert wird. Tatsächlich entstehen viele Arten von Graphen als Syntaxanalyse-Graphen in der syntaktischen Analyse der entsprechenden Familien von Textstrukturen. Die Dringlichkeit der praktischen Berechnung auf formellen Sprachen fordert oft, dass Textschnuren in Zeigestock-Struktur-Interpretationen von Syntaxanalyse-Graphen einfach als Angelegenheit für die Überprüfung umgewandelt werden, ob Schnuren wffs sind oder nicht. Sobald das getan wird, gibt es viele Vorteile, davon gewonnen zu werden, die grafische Entsprechung der Rechnung auf Schnuren zu entwickeln. Von Schnuren kartografisch darzustellen, um Graphen grammatisch zu analysieren, wird genannt grammatisch analysierend, und von Syntaxanalyse-Graphen bis Schnuren umgekehrt kartografisch darzustellen, wird durch eine Operation erreicht, die genannt wird, den Graphen überquerend.

Andere logische Rechnungen

Satzrechnung ist über die einfachste Art der logischen Rechnung im aktuellen Gebrauch. Es kann auf mehrere Weisen erweitert werden. (Aristotelische "syllogistische" Rechnung, die in der modernen Logik größtenteils verdrängt wird, ist in mancher Hinsicht — aber auf andere Weisen komplizierter einfacher — als Satzrechnung.) Soll die unmittelbarste Weise, eine kompliziertere logische Rechnung zu entwickeln, Regeln einführen, die zu mehr feinkörnigen Details der Sätze empfindlich sind, die verwenden werden.

Logik der ersten Ordnung (auch bekannt als Prädikat-Logik der ersten Ordnung) resultieren, wenn die "Atomsätze" der Satzlogik in Begriffe, Variablen, Prädikate und quantifiers, alles zerbrochen werden, die Regeln der Satzlogik mit einigen neuen eingeführten behaltend. (Zum Beispiel, von "Allen Hunden sind Säugetiere" wir können ableiten, "Wenn Rover ein Hund dann ist, ist Rover ein Säugetier".) Mit den Werkzeugen der Logik der ersten Ordnung ist es möglich, mehrere Theorien entweder mit ausführlichen Axiomen oder durch Regeln der Schlussfolgerung zu formulieren, die selbst als logische Rechnungen behandelt werden kann. Arithmetik ist von diesen am besten bekannt; andere schließen Mengenlehre und mereology ein. Logik der zweiten Ordnung und andere höherwertige Logik sind formelle Erweiterungen der Logik der ersten Ordnung. So hat es Sinn, Satzlogik als "Zeroth-Ordnungslogik" zu kennzeichnen, wenn es es mit dieser Logik vergleicht.

Modale Logik bietet auch eine Vielfalt von Schlussfolgerungen an, die in der Satzrechnung nicht gewonnen werden können. Zum Beispiel von "Notwendigerweise" können uns das ableiten. Von können uns ableiten "Es ist das möglich". Die Übersetzung zwischen modaler Logik und algebraischer Logik ist bezüglich der klassischen und intuitionistic Logik, aber mit der Einführung eines unären Maschinenbedieners auf Algebra von Boolean oder Heyting, die von den Operationen von Boolean verschieden sind, die Möglichkeitsmodalität, und im Fall von der Algebra von Heyting ein zweiter Maschinenbediener interpretierend, der Notwendigkeit interpretiert (für die Algebra von Boolean ist das überflüssig, da, ist Notwendigkeit der De Morgan, der der Möglichkeit Doppel-ist). Der erste Maschinenbediener bewahrt 0 und Trennung während die zweiten Konserven 1 und Verbindung.

Vielgeschätzte Logik ist diejenigen, die Sätze erlauben, Werte außer wahr und falsch zu haben. (Zum Beispiel sind keiner und beide "Standardextrawerte"; "Kontinuum-Logik" erlaubt jedem Satz, einige einer unendlichen Zahl von "Graden der Wahrheit" zwischen wahrem und falschem zu haben.) Diese Logik verlangt häufig calculational von der Satzrechnung ziemlich verschiedene Geräte. Wenn die Werte eine Algebra von Boolean bilden (der mehr als zwei oder sogar ungeheuer viele Werte haben kann), nimmt vielgeschätzte Logik zur klassischen Logik ab; vielgeschätzte Logik ist deshalb nur vom unabhängigen Interesse, wenn die Werte eine Algebra bilden, die nicht Boolean ist.

Solvers

Entdeckung von Lösungen von Satzlogikformeln ist ein NP-complete Problem. Jedoch bestehen praktische Methoden (z.B, DPLL Algorithmus, 1962; Spreu-Algorithmus, 2001), die für viele nützliche Fälle sehr schnell sind. Neue Arbeit hat die GESESSENEN solver Algorithmen erweitert, um mit Vorschlägen zu arbeiten, die arithmetische Ausdrücke enthalten; das ist der SMT solvers.

Siehe auch

Höher logische Niveaus

• Logik der ersten Ordnung
• Zweite Ordnung Satzlogik
• Logik der zweiten Ordnung
• Höherwertige Logik

Zusammenhängende Themen

• Algebra von Boolean (Logik)
• Algebra von Boolean (Struktur)
• Algebra-Themen von Boolean

Gebiet von Boolean Boolean fungieren GeBoolean-schätzte Funktion

• Kategorische Logik
• Logik von Combinational
• Logik von Combinatory
• Begriffsgraph
• Abtrennender Syllogismus
• Graph von Entitative
• Existenzieller Graph
• Die Satzrechnung von Frege
• Implicational Satzrechnung
• Intuitionistic Satzrechnung
• Gesetze der Form
• Logischer Graph
• Logisch NOCH
• Wahrheitswert
• Minimaler Ablehnungsmaschinenbediener
• Mehrrang-Maschinenbediener
• Operation
• Parametrischer Maschinenbediener

Das Gesetz von Peirce

• Satzformel
• Symmetrischer Unterschied

Wahrheitstabelle

Weiterführende Literatur

• Braun, Frank Markham (2003), Boolean das Denken: Die Logik von Boolean Gleichungen, 1. Ausgabe, Kluwer Akademische Herausgeber, Norwell, Massachusetts 2. Ausgabe, Veröffentlichungen von Dover, Mineola, New York
• Chang, C.C. und Keisler, H.J. (1973), Mustertheorie, Nordholland, Amsterdam, die Niederlande.
• Kohavi, Zvi (1978), Umschaltend und Begrenzte Automaten-Theorie, 1. Ausgabe, McGraw-Hügel, 1970. 2. Ausgabe, McGraw-Hügel, 1978.
• Korfhage, Robert R. (1974), getrennte rechenbetonte Strukturen, akademische Presse, New York, New York
• Lambek, J. und Scott, P.J. (1986), Einführung in die höhere Ordnung kategorische Logik, Universität von Cambridge Presse, Cambridge, das Vereinigte Königreich.
• Mendelson, Elliot (1964), Einführung in die mathematische Logik, D. Van Nostrand Company.

Zusammenhängende Arbeiten

Links

• Klement, Kevin C. (2006), "Satzlogik", in James Fieser und Bradley Dowden (Hrsg.). Internetenzyklopädie der Philosophie, Eprint.
• Einführung in die mathematische Logik durch V. Detlovs und K. Podnieks
• Formelle Prädikat-Rechnung, enthält eine systematische formelle Entwicklung entlang den Linien der Alternativen Rechnung
• forall x: Eine Einführung in die formale Logik, durch P.D. Magnus, bedeckt formelle Semantik und Probetheorie für die sentential Logik.

• auf PlanetMath (GFDLed)
• Category:Propositional Rechnung auf ProofWiki (GFDLed)