In der Satzlogik, Modus ponendo ponens (Latein für "den Weg, der durch das Bestätigen versichert"; häufig abgekürzt dem Abgeordneten oder Modus ponens), oder Implikationsbeseitigung ist eine gültige, einfache Argument-Form und Regel der Schlussfolgerung. Es kann zusammengefasst werden, weil "P Q einbezieht; wie man behauptet, ist P wahr, so deshalb muss Q wahr sein."

Während es eines der meistens verwendeten Konzepte in der Logik ist, muss es nicht für ein logisches Gesetz falsch sein; eher ist es einer der akzeptierten Mechanismen für den Aufbau von deduktiven Beweisen, der die "Regel der Definition" einschließt und die "Regel des Ersatzes" Modus ponens erlaubt, eine bedingte Behauptung von einem logischen Beweis oder Argument (die vorangegangenen Ereignisse) zu beseitigen und dadurch diese vorangegangenen Ereignisse in einer sich jemals verlängernden Reihe von Symbolen nicht voranzubringen; aus diesem Grund wird Modus ponens manchmal die Regel des Abstands genannt. Enderton bemerkt zum Beispiel, dass "Modus ponens kürzere Formeln von längeren erzeugen kann", und Russell bemerkt, dass "der Prozess der Schlussfolgerung auf Symbole nicht reduziert werden kann. Seine alleinige Aufzeichnung ist das Ereignis von q [die Folgerung]... eine Schlussfolgerung ist das Fallen einer wahren Prämisse [sic]; es ist die Auflösung einer Implikation".

Eine Rechtfertigung für das "Vertrauen auf die Schlussfolgerung ist der Glaube, dass, wenn die zwei ehemaligen Behauptungen [die vorangegangenen Ereignisse] nicht irrtümlicherweise, die Endbehauptung [sind, die Folgerung] nicht irrtümlicherweise ist". Mit anderen Worten: Wenn eine Behauptung oder Vorschlag einen zweiten einbeziehen, und die erste Behauptung oder der Vorschlag wahr sind, dann ist der zweite auch wahr. Wenn einbezieht und wahr ist, dann wahr ist. Ein Beispiel ist:

:If es regnet, werde ich Sie am Filmtheater treffen.

Regnender:It's.

:Therefore, ich werde Sie am Filmtheater treffen.

Modus ponens kann formell als festgesetzt werden:

wo die Regel dass darin besteht, wann auch immer ein Beispiel "" und "" durch sich auf Linien eines logischen Beweises erscheinen, "" kann auf einer nachfolgenden Linie gültig gelegt werden.

Es ist nah mit einer anderen gültigen Form des Arguments, Modus tollens verbunden. Beide haben anscheinend ähnliche, aber ungültige Formen wie das Bestätigen der Folgerung, das vorangegangene Ereignis, den Beweis durch den Widerspruch, den Beweis durch contrapositive und die Beweise der Abwesenheit bestreitend. Konstruktives Dilemma ist die abtrennende Version des Modus ponens. Hypothetischer Syllogismus, der nah mit dem Modus ponens und manchmal Gedanken als "doppelter Modus ponens verbunden ist."

Formelle Notation

Der Modus ponens Regel kann in der folgenden Notation geschrieben werden:

wo ein metalogical Symbol ist, das bedeutet, dass das eine syntaktische Folge und in einem logischen System ist;

oder als die Behauptung einer mit der Wahrheit funktionellen Tautologie oder der Lehrsatz der Satzlogik:

wo, und in einem logischen System ausgedrückte Vorschläge sind.

Erklärung

Die Argument-Form hat zwei Propositionen. Die erste Proposition ist, "wenn dann" oder bedingter Anspruch, nämlich dass P Q einbezieht. Die zweite Proposition ist, dass P, das vorangegangene Ereignis des bedingten Anspruchs, wahr ist. Von diesen zwei Propositionen kann es logisch beschlossen werden, dass Q, die Folgerung des bedingten Anspruchs, ebenso wahr sein muss. In der künstlichen Intelligenz wird Modus ponens häufig vorwärts genannt kettend.

Ein Beispiel eines Arguments, das den Form-Modus ponens passt:

:If ist heute Dienstag, dann wird John zur Arbeit gehen.

:Today ist Dienstag.

:Therefore, John wird zur Arbeit gehen.

Dieses Argument ist gültig, aber das hat kein Lager an, ob einige der Behauptungen im Argument wahr ist; für den Modus ponens, um ein gesundes Argument zu sein, müssen die Propositionen für irgendwelche wahren Beispiele des Beschlusses wahr sein. Ein Argument kann gültig, aber dennoch ungesund sein, wenn eine oder mehr Propositionen falsch sind; wenn ein Argument gültig ist und alle Propositionen wahr sind, dann ist das Argument gesund. Zum Beispiel könnte John am Mittwoch zur Arbeit gehen. In diesem Fall ist das Denken für John zur Arbeit gehend (weil es Mittwoch ist) ungesund. Das Argument ist nicht nur Ton an den Dienstagen (wenn John zur Arbeit geht), aber gültig an jedem Tag der Woche. Wie man sagt, ist ein Satzargument mit dem Modus ponens deduktiv.

Im einzelnen Beschluss folgende Rechnungen ist Modus ponens die Kürzungsregel. Der Kürzungsbeseitigungslehrsatz für eine Rechnung sagt, dass jede Probebeteiligen-Kürzung (allgemein, durch eine konstruktive Methode) in einen Beweis ohne Kürzung, und folglich umgestaltet werden kann, der Kürzung zulässig ist.

Die Ähnlichkeit des Currys-Howard zwischen Beweisen und Programmen verbindet Modus ponens, um Anwendung zu fungieren: Wenn f eine Funktion des Typs P  Q ist und x des Typs P ist, dann ist f x des Typs Q.

Rechtfertigung über die Wahrheitstabelle

Die Gültigkeit des Modus ponens in der klassischen zwei geschätzten Logik kann klar durch den Gebrauch einer Wahrheitstabelle demonstriert werden.

In Beispielen des Modus ponens nehmen wir als Propositionen an, dass p  q wahr ist und p wahr ist. Nur eine Linie der Wahrheitstabelle — des ersten — befriedigt diese zwei Bedingungen (p und p  q). Auf dieser Linie ist q auch wahr. Deshalb, wann auch immer p  q wahr ist und p wahr ist, muss q auch wahr sein.

Formeller Beweis

Siehe auch

• Was die Schildkröte Achilles gesagt

• Kondensierter Abstand

Quellen

• 1946-Einführung von Alfred Tarski in die Logik und in die Methodik der Deduktiven Wissenschaften 2. Ausgabe, die durch Veröffentlichungen von Dover, Mineola NY nachgedruckt ist. Internationale Standardbuchnummer 0 486 28462 X (pbk).
• Alfred North Whitehead und Bertrand Russell 1927 Principia Mathematica zu *56 (die Zweite Ausgabe) Paperback-Ausgabe 1962, Cambridge an der Universitätspresse, London das Vereinigte Königreich. Keine internationale Standardbuchnummer, kein LCCCN.
• HerbertB. Enderton, 2001, Eine Mathematische Einführung in die Zweite Logikausgabe, Harcourt Akademische Presse, Burlington MA, internationale Standardbuchnummer 13: 978-0-12-238452-3.

Außenverbindungen

• Modus ponens am Wolfram MathWorld