In der Satzlogik sind Modus tollens (oder Modus tollendo tollens und auch das Bestreiten der Folgerung) (Latein für "den Weg, der durch das Bestreiten bestreitet") eine gültige Argument-Form und Regel der Schlussfolgerung.

Es ist die Schlussfolgerung, dass, wenn einbezieht, und die zweite Proposition falsch ist, dann kann es logisch beschlossen werden, dass auch falsch sein muss. Modus tollens ist nah mit einer anderen gültigen Form des Arguments, Modus ponens verbunden. Es gibt auch ähnliche aber ungültige Argumente wie das Bestätigen der Folgerung und Bestreiten des vorangegangenen Ereignisses. Die Regel kann formell als festgesetzt werden:

:

Wo "P bedeutet, bezieht Q ein" bedeutet, dass Q (nicht Q) falsch ist. Der Modus tollens Regel ist dann, dass, wo auch immer sowohl "" als auch "" durch sich auf einer Linie eines Beweises, dann "" erscheinen, auf einer nachfolgenden Linie gültig gelegt werden kann;

Formelle Notation

Der Modus tollens Regel kann in der folgenden Notation geschrieben werden:

:wo ein metalogical Symbol ist, das bedeutet, dass das eine syntaktische Folge und in einem logischen System ist;oder als die Behauptung einer mit der Wahrheit funktionellen Tautologie oder der Lehrsatz der Satzlogik::

wo, und in einem logischen System ausgedrückte Vorschläge sind;

oder einschließlich Annahmen:

:

obwohl da die Regel die Menge von Annahmen nicht ändert, ist das nicht ausschließlich notwendig.

Kompliziertere Wiederschriften, die mit Modus tollens verbunden sind, werden häufig zum Beispiel in der Mengenlehre gesehen:

:::

("P ist eine Teilmenge von Q. x ist nicht in Q. Deshalb ist x nicht in P.")

Auch in der Prädikat-Logik der ersten Ordnung:

:::

("Für jeden x, wenn x P dann ist, ist x Q.Some-Gegenstand x ist solch, dass x nicht Q ist. Deshalb ist ein Gegenstand x nicht P.")

Genau genommen sind das nicht Beispiele des Modus tollens, aber sie können mit dem Modus tollens abgeleitet werden, einige Extraschritte verwendend.

Erklärung

Das Argument hat zwei Propositionen. Die erste Proposition ist das bedingte, "wenn dann" Behauptung, nämlich dass P Q einbezieht. Die zweite Proposition ist, dass Q falsch ist. Von diesen zwei Propositionen kann es logisch beschlossen werden, dass P falsch sein muss.

Denken Sie ein Beispiel:

:If der Aufpasser entdeckt einen Einbrecher, der Hund, wird bellen.

:The-Hund hat nicht gebellt

:Therefore, kein Einbrecher wurde vom Aufpasser entdeckt.

Angenommen, dass die Propositionen sowohl wahr sind (der Hund wird bellen, wenn er einen Einbrecher entdeckt, als auch tatsächlich nicht bellt), folgt er dann, dass kein Einbrecher entdeckt worden ist. Das ist ein gültiges Argument, da es für die Propositionen nicht möglich ist, wahr zu sein, und der falsche Beschluss. (Es ist denkbar, dass es geben kann, sind ein Einbrecher gewesen, den der Hund nicht entdeckt hat, aber das macht das Argument nicht ungültig; die erste Proposition geht, "wenn der Aufpasser einen Einbrecher entdeckt." Das wichtige Ding besteht darin, dass der Hund entdeckt oder keinen Einbrecher, nicht entdeckt, wenn es dasjenige gibt.)

Ein anderes Beispiel:

:If ich bin der Axt-Mörder dann, habe ich eine Axt verwendet.

:I kann keine Axt verwenden.

:Therefore, ich bin nicht der Axt-Mörder.

Modus tollens ist weithin bekannt geworden, als er von Karl Popper in seiner vorgeschlagenen Antwort auf das Problem der Induktion, falsificationism verwendet wurde. Jedoch hier ist der Gebrauch des Modus tollens viel mehr umstritten, weil "Wahrheit" oder "Unehrlichkeit" unpassende Konzepte sind, um für Theorien zu gelten (die allgemein Annäherungen an die Wirklichkeit sind), und experimentelle Ergebnisse (dessen Interpretation häufig vor anderen Theorien abhängig ist).

Beziehung zum Modus ponens

Jeder Gebrauch des Modus tollens kann zu einem Gebrauch des Modus ponens und einem Gebrauch der Umstellung zur Proposition umgewandelt werden, die eine materielle Implikation ist. Zum Beispiel:

:If P, dann Q. (Proposition - materielle Implikation)

:If Q ist falsch, dann ist P falsch. (abgeleitet durch die Umstellung)

:Q ist falsch. (Proposition)

:Therefore, P ist falsch. (abgeleitet durch den Modus ponens)

Ebenfalls kann jeder Gebrauch des Modus ponens zu einem Gebrauch des Modus tollens und Umstellung umgewandelt werden.

Rechtfertigung über die Wahrheitstabelle

Die Gültigkeit des Modus tollens kann klar durch eine Wahrheitstabelle demonstriert werden.

In Beispielen des Modus tollens nehmen wir als Propositionen an, dass p  q wahr ist und q falsch ist. Es gibt nur eine Linie der Wahrheitstabelle - der vierten Linie - der diese zwei Bedingungen befriedigt. In dieser Linie ist p falsch. Deshalb in jedem Beispiel, in dem p  q wahr ist und ist q falsch, p muss auch falsch sein.

Formeller Beweis

Siehe auch

• Beweise der Abwesenheit
• Unlogische Folgerung
• Beweis durch den Widerspruch
• Beweis durch contrapositive

Zeichen

Außenverbindungen

• Modus Tollens am Wolfram MathWorld