Ein Axiom ist eine Proposition oder Startpunkt des Denkens. So klassisch konzipiert ist ein Axiom eine so offensichtliche Proposition, dass sie als wahr ohne Meinungsverschiedenheit akzeptiert wird; es ist besser bekannt und fester geglaubt als der Beschluss. Das Wort kommt aus dem Griechen  das, was würdig oder passend, das gedacht wird, was sich als offensichtlich empfiehlt.

Ein Axiom, wie verwendet, in der modernen Logik, ist einfach eine Proposition oder Startpunkt für das Denken, ohne jede Verweisung auf die extrageistige Wirklichkeit, und gleichwertig dazu, was Aristoteles eine Definition nennt. Mehr formell ist ein Axiom ein Vorschlag, der nicht ist und innerhalb des auf ihnen gestützten Systems nicht bewiesen werden kann. Axiome definieren und grenzen den Bereich der Analyse ab. Mit anderen Worten ist ein Axiom eine logische Behauptung, die, wie man annimmt, wahr ist. Deshalb wird seine Wahrheit innerhalb des besonderen Gebiets der Analyse als selbstverständlich betrachtet, und dient als ein Startpunkt, um anderen (Theorie und Bereichsabhängiger) Wahrheiten abzuleiten und abzuleiten. Ein Axiom wird als eine mathematische Behauptung definiert, die akzeptiert wird als, wahr ohne einen mathematischen Beweis zu sein.

In der Mathematik wird der Begriff Axiom in zwei zusammenhängenden, aber unterscheidbaren Sinnen gebraucht: "logische Axiome" und "nichtlogische Axiome". In beiden Sinnen ist ein Axiom jede mathematische Behauptung, die als ein Startpunkt dient, von dem andere Behauptungen logisch abgeleitet werden. Verschieden von Lehrsätzen können Axiome (wenn überflüssig) nicht durch Grundsätze des Abzugs abgeleitet werden, noch sie sind durch mathematische Beweise einfach beweisbar, weil sie Startpunkte sind; es gibt nichts anderes, von dem sie logisch folgen (sonst, würden sie als Lehrsätze klassifiziert).

Logische Axiome sind gewöhnlich Behauptungen, die genommen werden, um allgemein wahr zu sein (z.B, (A und B) bezieht A) ein, während nichtlogische Axiome (z.B,) wirklich Eigenschaften für das Gebiet einer spezifischen mathematischen Theorie (wie Arithmetik) definieren. Wenn verwendet, im letzten Sinn können "Axiom", "Postulat" und "Annahme" austauschbar verwendet werden. Im Allgemeinen ist ein nichtlogisches Axiom nicht eine selbstverständliche Wahrheit, aber eher ein formeller logischer im Abzug verwendeter Ausdruck, um eine mathematische Theorie zu bauen. Zu axiomatize soll ein System von Kenntnissen zeigen, dass seine Ansprüche aus einer kleinen, gut verstandenen Menge der Aussagen (die Axiome) abgeleitet werden können. Es gibt normalerweise vielfache Wege zu axiomatize ein gegebenes mathematisches Gebiet.

Außerhalb der Logik und Mathematik wird der Begriff "Axiom" für jeden feststehenden Grundsatz von einem Feld gebraucht.

Etymologie

Das Wort "Axiom" kommt aus dem griechischen Wort (axioma), einem wörtlichen Substantiv vom Verb (axioein), bedeutend, "für würdig" zu halten, sondern auch, "um zu verlangen", der der Reihe nach aus (axios) kommt, bedeutend, "im Gleichgewicht", und folglich seiend, "(dasselbe) Wert (als)", "würdig", "richtig" habend. Unter den alten griechischen Philosophen war ein Axiom ein Anspruch, der, wie man sehen konnte, ohne jedes Bedürfnis nach dem Beweis wahr war.

Die Wurzel, die vom Wort 'Postulat' bedeutet, soll 'fordern'; zum Beispiel können Anforderungen von Euklid von uns, dass wir zugeben, dass einige Sachen, z.B irgendwelche zwei Punkte gemacht werden können, durch eine Gerade usw. angeschlossen werden.

Alter geometers hat eine Unterscheidung zwischen Axiomen und Postulaten aufrechterhalten. Während er die Bücher von Euklid kommentiert, bemerkt Proclus, dass "Geminus gemeint hat, dass dieses [4.] Postulat als ein Postulat, aber als ein Axiom nicht klassifiziert werden sollte, da es nicht wie die ersten drei Postulate tut, die Möglichkeit von etwas Aufbau behauptet, aber ein wesentliches Eigentum ausdrückt". Boethius hat 'Postulat' als petitio übersetzt und hat die Axiome notiones Kommunen genannt, aber in späteren Manuskripten wurde dieser Gebrauch nicht immer ausschließlich behalten.

Historische Entwicklung

Frühe Griechen

Die logico-deduktive Methode, wodurch Beschlüsse (neue Kenntnisse) aus Propositionen (alte Kenntnisse) durch die Anwendung gesunder Argumente (Syllogismen, Regeln der Schlussfolgerung) folgen, wurde von den alten Griechen entwickelt, und ist der Kerngrundsatz der modernen Mathematik geworden. Tautologie hat ausgeschlossen, nichts kann abgeleitet werden, wenn nichts angenommen wird. Axiome und Postulate sind die grundlegenden Annahmen, die einem gegebenen Körper von deduktiven Kenntnissen unterliegen. Sie werden ohne Demonstration akzeptiert. Alle anderen Behauptungen (Lehrsätze, wenn wir über die Mathematik sprechen) müssen mithilfe von diesen grundlegenden Annahmen bewiesen werden. Jedoch hat sich die Interpretation von mathematischen Kenntnissen von alten Zeiten zum modernen geändert, und folglich halten die Begriffe Axiom und Postulat eine ein bisschen verschiedene Bedeutung für den gegenwärtigen Mathematiker, als sie für Aristoteles und Euklid getan haben.

Die alten Griechen haben Geometrie als gerade eine von mehreren Wissenschaften gedacht, und haben die Lehrsätze der Geometrie gleichwertig mit wissenschaftlichen Tatsachen gehalten. Als solcher haben sie entwickelt und haben die logico-deduktive Methode als ein Mittel verwendet, Fehler zu vermeiden, und um Kenntnisse zu strukturieren und mitzuteilen. Aristoteles spätere Analytik ist eine endgültige Ausstellung der klassischen Ansicht.

Ein "Axiom", in der klassischen Fachsprache, hat sich auf eine selbstverständliche für viele Zweige der Wissenschaft übliche Annahme bezogen. Ein gutes Beispiel würde die Behauptung das sein

Am Fundament der verschiedenen Wissenschaften legen bestimmte zusätzliche Hypothesen, die ohne Beweis akzeptiert wurden. Solch eine Hypothese wurde ein Postulat genannt. Während die Axiome für viele Wissenschaften üblich waren, waren die Postulate jeder besonderen Wissenschaft verschieden. Ihre Gültigkeit musste mittels der wirklichen Erfahrung gegründet werden. Tatsächlich warnt Aristoteles, dass der Inhalt einer Wissenschaft nicht erfolgreich mitgeteilt werden kann, wenn der Anfänger an der Wahrheit der Postulate zweifelt.

Die klassische Annäherung wird durch die Elemente von Euklid gut illustriert, wo eine Liste von Postulaten (allgemeine-sensical geometrische Tatsachen gegeben wird, die von unserer Erfahrung gezogen sind), gefolgt von einer Liste "allgemeiner Begriffe" (sehr grundlegende, selbstverständliche Behauptungen).

:; Postulate

:# ist Es möglich, eine Gerade von jedem Punkt bis jeden anderen Punkt zu ziehen.

:# ist Es möglich, ein Liniensegment unaufhörlich in einer Gerade zu erweitern.

:# ist Es möglich, einen Kreis mit jedem Zentrum und jedem Radius zu beschreiben.

:# ist Es wahr, dass ganz richtig Winkel einander gleich sind.

:# ("Parallele verlangen"), ist Es wahr, dass, wenn eine Gerade, die auf zwei Geraden fällt, die Innenwinkel auf derselben Seite weniger als zwei richtige Winkel macht, sich die zwei Geraden, wenn erzeugt, unbestimmt, auf dieser Seite schneiden, auf der die Winkel weniger sind als die zwei richtigen Winkel.

:; allgemeine Begriffe:

:# sind Dinge, die demselben Ding gleich sind, auch einander gleich.

:#, Wenn gleich ist, werden dazu hinzugefügt ist gleich, die wholes sind gleich.

:#, Wenn gleich ist, werden davon abgezogen ist gleich, die Reste sind gleich.

:# sind Dinge, die miteinander zusammenfallen, einander gleich.

:# ist Der Ganze größer als der Teil.

Moderne Entwicklung

Eine Lektion, die durch die Mathematik in den letzten 150 Jahren gelernt ist, ist, dass es nützlich ist, die Bedeutung von den mathematischen Behauptungen (Axiome, Postulate, Vorschläge, Lehrsätze) und Definitionen abzuziehen. Man muss das Bedürfnis nach primitiven Begriffen, oder die unbestimmten Begriffe oder die Konzepte in jeder Studie zugeben. Solche Abstraktion oder Formalisierung machen mathematische Kenntnisse allgemeiner, fähig zu vielfachen verschiedenen Bedeutungen, und deshalb nützlich in vielfachen Zusammenhängen. Alessandro Padoa, Mario Pieri und Giuseppe Peano waren Pioniere in dieser Bewegung.

Strukturalist-Mathematik geht weiter, und entwickelt Theorien und Axiome (z.B Feldtheorie, Gruppentheorie, Topologie, Vektorräume) ohne jede besondere Anwendung im Sinn. Die Unterscheidung zwischen einem "Axiom" und einem "Postulat" verschwindet. Die Postulate von Euklid werden durch den Ausspruch rentabel motiviert, dass sie zu einem großen Reichtum von geometrischen Tatsachen führen. Die Wahrheit dieser komplizierten Tatsachen ruht auf der Annahme der grundlegenden Hypothesen. Jedoch dadurch, das fünfte Postulat von Euklid auszuwerfen, bekommen wir Theorien, die Bedeutung in breiteren Zusammenhängen, Hyperbelgeometrie zum Beispiel haben. Wir müssen einfach bereit sein, Etiketten wie "Linie" und "Parallele" mit der größeren Flexibilität zu verwenden. Die Entwicklung der Hyperbelgeometrie hat Mathematiker gelehrt, dass Postulate als rein formelle Behauptungen, und nicht als auf der Erfahrung gestützte Tatsachen betrachtet werden sollten.

Wenn Mathematiker die Feldaxiome verwenden, sind die Absichten noch abstrakter. Die Vorschläge der Feldtheorie betreffen keine besondere Anwendung; der Mathematiker arbeitet jetzt in der ganzen Abstraktion. Es gibt viele Beispiele von Feldern; Feldtheorie gibt richtige Kenntnisse über sie alle.

Es ist nicht richtig, um zu sagen, dass die Axiome der Feldtheorie "Vorschläge sind, die als wahr ohne Beweis betrachtet werden." Eher sind die Feldaxiome eine Reihe von Einschränkungen. Wenn ein gegebenes System der Hinzufügung und Multiplikation diese Einschränkungen befriedigt, dann ist man in der Lage, sofort sehr viel Extrainformation über dieses System zu wissen.

Moderne Mathematik formalisiert seine Fundamente dermaßen, dass mathematische Theorien als mathematische Gegenstände betrachtet werden können, und Logik selbst als ein Zweig der Mathematik betrachtet werden kann. Frege, Russell, Poincaré, Hilbert und Gödel sind einige der Schlüsselfiguren in dieser Entwicklung.

Im modernen Verstehen ist eine Reihe von Axiomen jede Sammlung formell festgesetzter Behauptungen, von denen andere formell festgesetzte Behauptungen durch die Anwendung bestimmter bestimmter Regeln folgen. In dieser Ansicht wird Logik gerade ein anderes formelles System. Eine Reihe von Axiomen sollte entsprechen; es sollte unmöglich sein, einen Widerspruch vom Axiom abzuleiten. Eine Reihe von Axiomen sollte auch nichtüberflüssig sein; eine Behauptung, die aus anderen Axiomen abgeleitet werden kann, braucht als ein Axiom nicht betrachtet zu werden.

Es war die frühe Hoffnung auf moderne Logiker, dass verschiedene Zweige der Mathematik, vielleicht die ganze Mathematik, aus einer konsequenten Sammlung von grundlegenden Axiomen abgeleitet werden konnten. Ein früher Erfolg des Formalist-Programms war die Formalisierung von Hilbert der Euklidischen Geometrie und die zusammenhängende Demonstration der Konsistenz jener Axiome.

In einem breiteren Zusammenhang gab es einen Versuch, die ganze Mathematik auf der Mengenlehre des Kantoren zu stützen. Hier haben das Erscheinen des Paradoxes von Russell und die ähnlichen Antinomien der naiven Mengenlehre die Möglichkeit erhoben, dass sich jedes solches System erweisen konnte, inkonsequent zu sein.

Das Formalist-Projekt hat einen entscheidenden Rückschlag ertragen, als 1931 Gödel gezeigt hat, dass es, für jeden genug großen Satz von Axiomen (die Axiome von Peano, zum Beispiel) möglich ist, um eine Behauptung zu bauen, deren Wahrheit dieses Satzes von Axiomen unabhängig ist. Als eine Folgeerscheinung hat Gödel bewiesen, dass die Konsistenz einer Theorie wie Arithmetik von Peano eine unbeweisbare Behauptung im Rahmen dieser Theorie ist.

Es ist angemessen, an die Konsistenz der Arithmetik von Peano zu glauben, weil es durch das System von natürlichen Zahlen, ein unendliches, aber intuitiv zugängliches formelles System zufrieden ist. Jedoch, zurzeit, gibt es keine bekannte Weise, die Konsistenz der modernen Zermelo-Fraenkel Axiome für die Mengenlehre zu demonstrieren. Das Axiom der Wahl, eine Schlüsselhypothese dieser Theorie, bleibt eine sehr umstrittene Annahme. Außerdem mit Techniken, (Cohen) zu zwingen, kann man zeigen, dass die Kontinuum-Hypothese (Kantor) der Zermelo-Fraenkel Axiome unabhängig ist. So kann sogar dieser sehr allgemeine Satz von Axiomen nicht als das endgültige Fundament für die Mathematik betrachtet werden.

Andere Wissenschaften

Axiome spielen eine Schlüsselrolle nicht nur in der Mathematik, sondern auch in anderen Wissenschaften namentlich in der theoretischen Physik. Insbesondere die kolossale Arbeit von Isaac Newton basiert im Wesentlichen auf den Axiomen von Euklid, die durch ein Postulat auf der Nichtbeziehung der Raum-Zeit und der Physik vermehrt sind, die darin jederzeit stattfindet.

1905 wurden die Axiome des Newtons von denjenigen der speziellen Relativität von Albert Einstein, und später von denjenigen der allgemeinen Relativität ersetzt.

Ein anderes Papier von Albert Einstein und Mitarbeitern (sieh EPR Paradox), fast sofort widersprochen von Niels Bohr, hat die Interpretation der Quant-Mechanik betroffen. Das war 1935. Gemäß Bohr sollte diese neue Theorie probabilistic sein, wohingegen gemäß Einstein es deterministisch sein sollte. Namentlich ist das zu Grunde liegende Quant mechanische Theorie, d. h. der Satz von dadurch abgeleiteten "Lehrsätzen", geschienen, identisch zu sein. Einstein hat sogar angenommen, dass es genügend sein würde, zur Quant-Mechanik "verborgene Variablen" hinzuzufügen, um Determinismus geltend zu machen. Jedoch, dreißig Jahre später, 1964, hat John Bell gefunden, dass ein Lehrsatz, einschließend optische Korrelationen kompliziert hat (sieh Ungleichheit von Bell), der messbar verschiedene Ergebnisse mit den Axiomen von Einstein im Vergleich zum Verwenden der Axiome von Bohr nachgegeben hat. Und man hat grob weitere zwanzig Jahre gebraucht, bis ein Experiment von Alain Aspect Ergebnisse zu Gunsten von den Axiomen von Bohr, nicht Einstein bekommen hat. (Die Axiome von Bohr sind einfach: Die Theorie sollte probabilistic im Sinne der Kopenhagener Interpretation sein.)

Demzufolge ist es nicht notwendig, die Axiome von Einstein, mehr ausführlich zu zitieren, da sie feine Punkte auf der "Wirklichkeit" und "Gegend" von Experimenten betreffen.

Trotzdem ist die Rolle von Axiomen in der Mathematik und in den oben erwähnten Wissenschaften verschieden. In der Mathematik ein weder "beweist" noch "widerlegt" ein Axiom für eine Reihe von Lehrsätzen; der Punkt ist einfach, dass im durch die Axiome identifizierten Begriffsbereich die Lehrsätze logisch folgen. Im Gegensatz in der Physik hat ein Vergleich mit Experimenten immer Sinn, da eine gefälschte physische Theorie Modifizierung braucht.

Mathematische Logik

Im Feld der mathematischen Logik wird eine klare Unterscheidung zwischen zwei Begriffen von Axiomen gemacht: logisch und nichtlogisch (etwas ähnlich der alten Unterscheidung zwischen "Axiomen" und "Postulaten" beziehungsweise).

Logische Axiome

Das sind bestimmte Formeln auf einer formellen Sprache, die, d. h. Formeln allgemein gültig sind, die durch jede Anweisung von Werten zufrieden sind. Gewöhnlich nimmt man als logische Axiome mindestens einen minimalen Satz der Tautologie, der genügend ist, um die ganze Tautologie auf der Sprache zu beweisen; im Fall von der Prädikat-Logik logischere Axiome, als die erforderlich sind, um logische Wahrheiten zu beweisen, die nicht Tautologie im strengen Sinn sind.

Beispiele

Satzlogik

In der Satzlogik ist es üblich, als logische Axiome alle Formeln der folgenden Formen zu nehmen, wo, und irgendwelche Formeln der Sprache sein kann, und wo die eingeschlossenen primitiven Bindewörter nur "" für die Ablehnung sofort im Anschluss an den Vorschlag und "" für die Implikation vom vorangegangenen Ereignis bis folgende Vorschläge sind:

Jedes dieser Muster ist ein Axiom-Diagramm, eine Regel, für eine unendliche Zahl von Axiomen zu erzeugen. Zum Beispiel, wenn, und Satzvariablen sind, dann und sind beide Beispiele des Axiom-Diagramms 1, und sind folglich Axiome. Es kann gezeigt werden, dass mit nur diesen drei Axiom-Diagrammen und Modus ponens man die ganze Tautologie der Satzrechnung beweisen kann. Es kann auch gezeigt werden, dass kein Paar dieser Diagramme genügend ist, um die ganze Tautologie mit dem Modus ponens zu beweisen.

Andere Axiom-Diagramme, die dieselben oder verschiedenen Sätze von primitiven Bindewörtern einschließen, können wechselweise gebaut werden.

Diese Axiom-Diagramme werden auch in der Prädikat-Rechnung verwendet, aber zusätzliche logische Axiome sind erforderlich, um einen quantifier in die Rechnung einzuschließen.

Mathematische Logik

Axiom der Gleichheit. Lassen Sie, eine Sprache der ersten Ordnung zu sein. Für jede Variable, die Formel

</Zentrum>ist

allgemein gültig.

Das bedeutet, dass für jedes variable Symbol die Formel als ein Axiom betrachtet werden kann. Außerdem in diesem Beispiel, dafür, um in die Zweideutigkeit und eine endlose Reihe "primitiver Begriffe", entweder ein genauer Begriff dessen nicht zu fallen, wodurch wir vorhaben (oder, was das betrifft, "um" gleich zu sein), muss zuerst gut gegründet werden, oder muss ein rein formeller und syntaktischer Gebrauch des Symbols, nur bezüglich seiner als eine Schnur und nur eine Reihe von Symbolen beachtet werden, und mathematische Logik tut wirklich tatsächlich das.

Ein anderer, interessanteres Beispiel-Axiom-Schema, ist dass, der uns damit zur Verfügung stellt, was als Universaler Instantiation bekannt ist:

Axiom-Schema für Universalen Instantiation. In Anbetracht einer Formel auf einer Sprache der ersten Ordnung, einer Variable und einem Begriff, der gegen in, die Formel austauschbar

ist</Zentrum>ist allgemein gültig.

Wo das Symbol für die Formel mit dem Begriff eintritt, der dafür eingesetzt ist. (Sieh Ersatz von Variablen.) In informellen Begriffen erlaubt dieses Beispiel uns festzustellen, dass, wenn wir wissen, dass ein bestimmtes Eigentum für jeder hält und das für einen besonderen Gegenstand in unserer Struktur eintritt, dann sollten wir im Stande sein zu fordern. Wieder behaupten wir, dass die Formel gültig ist, d. h. müssen wir im Stande sein, einen "Beweis" dieser Tatsache, oder richtiger das Sprechen, einen metaproof zu geben. Wirklich sind diese Beispiele metatheorems unserer Theorie der mathematischen Logik, da wir uns mit dem wirklichen Konzept des Beweises selbst befassen. Beiseite davon können wir auch Existenzielle Generalisation haben:

Axiom-Schema für die Existenzielle Generalisation. In Anbetracht einer Formel auf einer Sprache der ersten Ordnung, einer Variable und einem Begriff, der gegen in, die Formel austauschbar

ist</Zentrum>ist allgemein gültig.

Nichtlogische Axiome

Nichtlogische Axiome sind Formeln, die die Rolle von mit der Theorie spezifischen Annahmen spielen. Das Denken ungefähr zwei verschiedener Strukturen, zum Beispiel die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen, kann mit denselben logischen Axiomen verbunden sein; die nichtlogischen Axiome haben zum Ziel zu gewinnen, was über eine besondere Struktur (oder Satz von Strukturen, wie Gruppen) speziell ist. So sind nichtlogische Axiome, verschieden von logischen Axiomen, nicht Tautologie. Ein anderer Name für ein nichtlogisches Axiom ist Postulat.

Fast jede moderne mathematische Theorie fängt von einem gegebenen Satz von nichtlogischen Axiomen an, und es wurde gedacht, dass im Prinzip jede Theorie axiomatized auf diese Weise und formalisiert unten in die bloße Sprache von logischen Formeln sein konnte.

Nichtlogische Axiome werden häufig einfach Axiome im mathematischen Gespräch genannt. Das bedeutet nicht, dass es gefordert wird, dass sie in einem absoluten Sinn wahr sind. Zum Beispiel, in einigen Gruppen, ist die Gruppenoperation auswechselbar, und das kann mit der Einführung eines zusätzlichen Axioms behauptet werden, aber ohne dieses Axiom können wir ganz gesund sein (das allgemeinere) Gruppentheorie zu entwickeln, und wir können sogar seine Ablehnung als ein Axiom für die Studie von Nichtersatzgruppen nehmen.

So ist ein Axiom eine elementare Basis für ein System der formalen Logik, die zusammen mit den Regeln der Schlussfolgerung ein deduktives System definieren.

Beispiele

Diese Abteilung führt Beispiele von mathematischen Theorien an, die völlig von einer Reihe nichtlogischer Axiome (Axiome, künftig) entwickelt werden. Eine strenge Behandlung von einigen dieser Themen beginnt mit einer Spezifizierung dieser Axiome.

Grundlegende Theorien, wie Arithmetik, echte Analyse und komplizierte Analyse werden häufig nichtaxiomatisch, aber implizit eingeführt, oder ausführlich gibt es allgemein eine Annahme, dass die Axiome, die verwenden werden, die Axiome der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre mit der Wahl sind, hat ZFC oder ein sehr ähnliches System der axiomatischen Mengenlehre wie Mengenlehre von Von Neumann-Bernays-Gödel, eine konservative Erweiterung von ZFC abgekürzt. Manchmal werden ein bisschen stärkere Theorien wie Mengenlehre der Morsezeichen-Kelley oder Mengenlehre mit einem stark unzugänglichen Kardinal, der den Gebrauch eines Weltalls von Grothendieck erlaubt, verwendet, aber tatsächlich können die meisten Mathematiker wirklich alles beweisen, was sie in Systemen brauchen, die schwächer sind als ZFC wie Arithmetik der zweiten Ordnung.

Die Studie der Topologie in der Mathematik streckt sich überall durch Punkt-Satz-Topologie, algebraische Topologie, Differenzialtopologie und das ganze zusammenhängende Zubehör, wie Homologie-Theorie, homotopy Theorie aus. Die Entwicklung der abstrakten Algebra, die mit sich Gruppentheorie, Ringe und Felder, Theorie von Galois gebracht ist.

Diese Liste konnte ausgebreitet werden, um die meisten Felder der Mathematik, einschließlich der Maß-Theorie, ergodic Theorie, Wahrscheinlichkeit, Darstellungstheorie und Differenzialgeometrie einzuschließen.

Combinatorics ist ein Beispiel eines Feldes der Mathematik, die im Allgemeinen der axiomatischen Methode nicht folgt.

Arithmetik

Die Peano Axiome sind der am weitesten verwendete axiomatization der Arithmetik der ersten Ordnung. Sie sind eine Reihe von Axiomen, die stark genug ist, um viele wichtige Tatsachen über die Zahlentheorie zu beweisen, und sie haben Gödel erlaubt, seinen berühmten zweiten Unvollständigkeitslehrsatz zu gründen.

Wir haben eine Sprache, wo ein unveränderliches Symbol ist und eine unäre Funktion und die folgenden Axiome ist:

1. für jede Formel mit einer freier Variable.

Die Standardstruktur ist, wo der Satz von natürlichen Zahlen ist, die Nachfolger-Funktion ist und als die Nummer 0 natürlich interpretiert wird.

Euklidische Geometrie

Wahrscheinlich ist die älteste und berühmteste, Liste von Axiomen die 4 + die Postulate von 1 Euklid der Flugzeug-Geometrie. Die Axiome werden "4 + 1" weil seit fast zwei Millennien das fünfte (parallele) Postulat genannt ("durch einen Punkt außerhalb einer Linie gibt es genau eine Parallele") wurde verdächtigt, von den ersten vier ableitbar zu sein. Schließlich, wie man fand, war das fünfte Postulat der ersten vier unabhängig. Tatsächlich kann man annehmen, dass genau eine Parallele durch einen Punkt außerhalb einer Linie besteht, oder dass ungeheuer viele bestehen. Diese Wahl gibt uns zwei alternative Formen der Geometrie, in der sich die Innenwinkel eines Dreiecks genau auf 180 Grade oder weniger beziehungsweise belaufen, und als Euklidische und hyperbolische Geometrie bekannt sind. Wenn man auch umzieht, das zweite Postulat ("eine Linie kann unbestimmt" erweitert werden) dann elliptische Geometrie entsteht, wo es keine Parallele durch einen Punkt außerhalb einer Linie gibt, und in dem sich die Innenwinkel eines Dreiecks auf mehr als 180 Grade belaufen.

Echte Analyse

Der Gegenstand der Studie ist die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen werden (bis zum Isomorphismus) durch die Eigenschaften von Dedekind ganzes bestelltes Feld einzigartig ausgewählt, bedeutend, dass jeder nichtleere Satz von reellen Zahlen mit einem gebundenen oberen einen gebundenen am wenigsten oberen hat. Jedoch verlangt das Ausdrücken dieser Eigenschaften als Axiome Gebrauch der Logik der zweiten Ordnung. Die Löwenheim-Skolem Lehrsätze sagen uns, dass, wenn wir uns zur Logik der ersten Ordnung einschränken, jedes Axiom-System für den reals andere Modelle sowohl einschließlich Modelle zulässt, die kleiner sind als der reals als auch die Modelle, die größer sind. Einige der Letzteren werden in der Sonderanalyse studiert.

Deduktive Systeme und Vollständigkeit

Ein deduktives System, besteht von einer Reihe logischer Axiome, einer Reihe nichtlogischer Axiome und einer Reihe von Regeln der Schlussfolgerung. Ein wünschenswertes Eigentum eines deduktiven Systems besteht darin, dass es abgeschlossen ist. Wie man sagt, ist ein System wenn, für alle Formeln, abgeschlossen

</Zentrum>

d. h. für jede Behauptung, die eine logische Folge dort wirklich ist, besteht ein Abzug der Behauptung davon. Das wird manchmal als "alles ausgedrückt, was wahr ist, ist nachweisbar", aber es muss verstanden werden, dass "wahr" hier "gemacht wahr durch den Satz von Axiomen", und nicht, zum Beispiel, "wahr in der beabsichtigten Interpretation" bedeutet. Der Vollständigkeitslehrsatz von Gödel gründet die Vollständigkeit eines bestimmten allgemein verwendeten Typs des deduktiven Systems.

Bemerken Sie, dass "Vollständigkeit" eine verschiedene Bedeutung hier hat, als sie im Zusammenhang des ersten Unvollständigkeitslehrsatzes von Gödel tut, der feststellt, dass keine rekursive, konsistente Menge von nichtlogischen Axiomen der Theorie der Arithmetik im Sinn abgeschlossen ist, dass dort immer eine solche Rechenanweisung bestehen wird, dass weder noch vom gegebenen Satz von Axiomen bewiesen werden kann.

Es gibt so, einerseits, den Begriff der Vollständigkeit eines deduktiven Systems und andererseits dieser der Vollständigkeit von einer Reihe nichtlogischer Axiome. Der Vollständigkeitslehrsatz und der Unvollständigkeitslehrsatz, trotz ihrer Namen, widersprechen einander nicht.

Weitere Diskussion

Frühe Mathematiker haben axiomatische Geometrie als ein Modell des physischen Raums betrachtet, und offensichtlich konnte es nur ein solches Modell geben. Die Idee, dass alternative mathematische Systeme bestehen könnten, beunruhigte sich Mathematikern des 19. Jahrhunderts sehr, und die Entwickler von Systemen wie Algebra von Boolean haben wohl durchdachte Anstrengungen gemacht, sie von der traditionellen Arithmetik abzuleiten. Galois hat kurz vor seinem vorzeitigen Tod gezeigt, dass diese Anstrengungen größtenteils vergeudet wurden. Schließlich, wie man sah, waren die abstrakten Parallelen zwischen algebraischen Systemen wichtiger, als die Details und moderne Algebra geboren gewesen sind. In der modernen Ansicht können Axiome jeder Satz von Formeln sein, so lange, wie man bekannt, sie nicht inkonsequent sind.

Siehe auch

• Axiomatisches System
• Liste von Axiomen
• Mustertheorie
• Lehrsatz
• Mendelson, Elliot (1987). Einführung in die mathematische Logik. Belmont, Kalifornien: Wadsworth & Brooks. Internationale Standardbuchnummer 0-534-06624-0

Links

• Axiom-Seite von Metamath