Euklidische Geometrie ist ein mathematisches System, das dem Alexandrian griechischen Mathematiker Euklid zugeschrieben ist, den er in seinem Lehrbuch auf der Geometrie beschrieben hat: die Elemente. Die Methode von Euklid besteht im Annehmen eines kleinen Satzes intuitiv ansprechender Axiome und des Ableitens vieler anderer Vorschläge (Lehrsätze) von diesen. Obwohl viele Ergebnisse von Euklid von früheren Mathematikern festgesetzt worden waren, war Euklid erst, um zu zeigen, wie diese Vorschläge ein umfassendes deduktives und logisches System einbauen konnten. Die Elemente beginnen mit der Flugzeug-Geometrie, die noch in der Höheren Schule als das erste axiomatische System und die ersten Beispiele des formellen Beweises unterrichtet ist. Es geht zur Raumgeometrie der Körper von drei Dimensionen weiter. Viele der Elemente setzen Ergebnisse dessen fest, was jetzt Algebra und Zahlentheorie genannt wird, die auf der geometrischen Sprache ausgedrückt ist.

Seit mehr als zweitausend Jahren war das "Euklidische" Adjektiv unnötig, weil keine andere Sorte der Geometrie konzipiert worden war. Die Axiome von Euklid sind so intuitiv offensichtlich geschienen, dass sich jeder Lehrsatz von ihnen erwiesen hat, wurde wahr in einem Absoluten, häufig metaphysisch, Sinn gehalten. Heute, jedoch, ist viele andere konsequente nicht-euklidische Geometrie, die ersten bekannt, die am Anfang des 19. Jahrhunderts entdecken worden sind. Eine Implikation der Theorie von Einstein der allgemeinen Relativität ist, dass Euklidischer Raum eine gute Annäherung an die Eigenschaften des physischen Raums ist nur dort, wo das Schwerefeld nicht zu stark ist.

Die Elemente

Die Elemente sind hauptsächlich eine Systematisierung von früheren Kenntnissen der Geometrie. Seine Überlegenheit über frühere Behandlungen wurde mit dem Ergebnis schnell anerkannt, dass es wenig Interesse an der Bewahrung der früheren gab, und sie jetzt fast alle verloren werden.

Bücher I-IV und VI besprechen Flugzeug-Geometrie. Viele Ergebnisse über Flugzeug-Zahlen werden z.B bewiesen, Wenn ein Dreieck zwei gleiche Winkel hat, dann sind die durch die Winkel entgegengesetzten Seiten gleich. Der Pythagoreische Lehrsatz wird bewiesen.

Bücher V und VII-X befassen sich mit Zahlentheorie, mit Zahlen behandelt geometrisch über ihre Darstellung als Liniensegmente mit verschiedenen Längen. Begriffe wie Primzahlen und vernünftig und irrationale Zahlen werden eingeführt. Die Unendlichkeit von Primzahlen wird bewiesen.

Bücher XI-XIII Sorge-Raumgeometrie der Körper. Ein typisches Ergebnis ist 1:3 Verhältnis zwischen dem Volumen eines Kegels und einem Zylinder mit derselben Höhe und Basis.

Axiome

Euklidische Geometrie ist ein axiomatisches System, in dem alle Lehrsätze ("wahre Behauptungen") aus einer kleinen Zahl von Axiomen abgeleitet werden. In der Nähe vom Anfang des ersten Buches der Elemente gibt Euklid fünf Postulate (Axiome) für die Flugzeug-Geometrie, hat in Bezug auf Aufbauten (wie übersetzt, durch Thomas Heath) festgesetzt:

"Lassen Sie den folgenden verlangt werden":

1. "Um eine Gerade von jedem Punkt bis jeden Punkt zu ziehen."
2. "Um zu erzeugen [erweitern] eine begrenzte Gerade unaufhörlich in einer Gerade."
3. "Um einen Kreis mit jedem Zentrum und Entfernung [Radius] zu beschreiben."
4. "Dieser ganz richtig sind Winkel einander gleich."
5. Das parallele Postulat: "Das, wenn eine Gerade, die auf zwei Geraden fällt, die Innenwinkel auf derselben Seite weniger als zwei richtige Winkel, die zwei Geraden, wenn erzeugt, unbestimmt macht, trifft sich auf dieser Seite, auf der die Winkel weniger sind als die zwei richtigen Winkel."

Obwohl die Behauptung von Euklid der Postulate nur ausführlich die Existenz der Aufbauten behauptet, werden sie auch genommen, um einzigartig zu sein.

Die Elemente schließen auch die folgenden fünf "allgemeinen Begriffe" ein:

1. Dinge, die demselben Ding gleich sind, sind auch einander gleich.
2. Wenn gleich ist, werden dazu hinzugefügt ist gleich, dann sind die wholes gleich.
3. Wenn gleich ist, werden davon abgezogen ist gleich, dann sind die Reste gleich.
4. Dinge, die miteinander gleich einander zusammenfallen.
5. Der Ganze ist größer als der Teil.

Paralleles Postulat

Den Menschen der Antike ist das parallele Postulat weniger offensichtlich geschienen als andere. Euklid selbst scheint, es als qualitativ verschieden seiend von anderen, wie gezeigt, durch die Organisation der Elemente betrachtet zu haben: Die ersten 28 Vorschläge, die er präsentiert, sind diejenigen, die ohne es bewiesen werden können.

Viele alternative Axiome können formuliert werden, die dieselben logischen Folgen wie das parallele Postulat haben. Zum Beispiel die Axiom-Staaten von Playfair:

:In ein Flugzeug, durch einen Punkt nicht auf einer gegebenen Gerade, höchstens kann eine Linie gezogen werden, der nie die gegebene Linie entspricht.

Methoden des Beweises

Euklidische Geometrie ist konstruktiv. Postulate 1, 2, 3, und 5 behaupten die Existenz und Einzigartigkeit von bestimmten geometrischen Zahlen, und diese Behauptungen sind einer konstruktiven Natur: D. h. uns wird nicht nur gesagt, dass bestimmte Dinge bestehen, aber auch Methoden gegeben werden, um sie ohne mehr als einen Kompass und ein nicht markiertes Haarlineal zu schaffen. In diesem Sinn ist Euklidische Geometrie konkreter als viele moderne axiomatische Systeme wie Mengenlehre, die häufig die Existenz von Gegenständen behaupten ohne zu sagen, wie man sie baut, oder sogar die Existenz von Gegenständen behauptet, die innerhalb der Theorie nicht gebaut werden können. Genau genommen sind die Linien auf Papier Modelle der Gegenstände, die innerhalb des formellen Systems, aber nicht der Beispiele jener Gegenstände definiert sind. Zum Beispiel hat eine Euklidische Gerade keine Breite, aber jede echte gezogene Linie wird. Obwohl fast alle modernen Mathematiker nichtkonstruktive Methoden genauso als gesund betrachten wie konstruktive, haben die konstruktiven Beweise von Euklid häufig trügerische nichtkonstruktive — z.B, einige von den Beweisen des Pythagoreers verdrängt, die irrationale Zahlen eingeschlossen haben, die gewöhnlich eine Behauptung verlangt haben, die "Das größte allgemeine Maß..." finden

Euklid hat häufig Beweis durch den Widerspruch verwendet. Euklidische Geometrie erlaubt auch die Methode der Überlagerung, in der eine Zahl einem anderen Punkt im Raum übertragen wird. Zum Beispiel, Vorschlag ich 4, Seitenwinkelseite-Kongruenz von Dreiecken, werde bewiesen, indem ich eines der zwei Dreiecke bewege, so dass eine seiner Seiten mit der gleichen Seite des anderen Dreiecks zusammenfällt, und dann beweisend, dass die anderen Seiten ebenso zusammenfallen. Einige moderne Behandlungen fügen ein sechstes Postulat, die Starrheit des Dreiecks hinzu, das als eine Alternative zur Überlagerung verwendet werden kann.

System des Maßes und der Arithmetik

Euklidische Geometrie hat zwei grundsätzliche Typen von Maßen: Winkel und Entfernung. Die Winkelskala ist absolut, und Euklid verwendet den richtigen Winkel als seine grundlegende Einheit, so dass, z.B, ein 45-Grade-Winkel Hälfte eines richtigen Winkels genannt werden würde. Die Entfernungsskala ist relativ; man pickt willkürlich ein Liniensegment mit einer bestimmten Länge als die Einheit auf, und andere Entfernungen werden in Bezug darauf ausgedrückt.

Eine Linie in der Euklidischen Geometrie ist ein Modell der Linie der reellen Zahl. Ein Liniensegment ist ein Teil einer Linie, die durch zwei Endpunkte begrenzt wird, und jeden Punkt auf der Linie zwischen seinen Endpunkten enthält. Hinzufügung wird durch einen Aufbau vertreten, in dem ein Liniensegment auf das Ende eines anderen Liniensegmentes kopiert wird, um seine Länge, und ähnlich für die Subtraktion zu erweitern.

Maße des Gebiets und Volumens werden aus Entfernungen abgeleitet. Zum Beispiel hat ein Rechteck mit einer Breite 3 und einer Länge 4 ein Gebiet, das das Produkt, 12 vertritt. Weil diese geometrische Interpretation der Multiplikation auf drei Dimensionen beschränkt wurde, gab es keine direkte Weise, das Produkt von vier oder mehr Zahlen zu interpretieren, und Euklid hat solche Produkte vermieden, obwohl sie, z.B, im Beweis des Buches IX, Vorschlag 20 einbezogen werden.

Euklid bezieht sich auf ein Paar von Linien oder ein Paar von planaren oder festen Zahlen, als "gleich" (ἴσος), wenn ihre Längen, Gebiete oder Volumina, und ähnlich für Winkel gleich sind. Der stärkere "kongruente" Begriff bezieht sich auf die Idee, dass eine komplette Zahl dieselbe Größe und Gestalt wie eine andere Zahl ist. Wechselweise sind zwei Zahlen kongruent, wenn man oben auf dem anderen bewegt werden kann, so dass es damit genau zusammenpasst. (Dem Schnipsen davon wird erlaubt.) So, zum Beispiel, 2x6 Rechteck und 3x4 ist Rechteck gleich, aber nicht kongruent, und der Brief R ist zu seinem Spiegelimage kongruent. Abbildungen, die abgesehen von ihren sich unterscheidenden Größen kongruent sein würden, werden ähnlich genannt.

Notation und Fachsprache

Das Namengeben von Punkten und Zahlen

Punkte werden gewöhnlich mit Großbuchstaben des Alphabetes genannt. Andere Zahlen, wie Linien, Dreiecke, oder Kreise, werden genannt, indem sie eine ausreichende Anzahl von Punkten verzeichnen, um sie eindeutig von der relevanten Zahl z.B auszuwählen, Dreieck-Abc würde normalerweise ein Dreieck mit Scheitelpunkten an Punkten A, B, und C sein.

Ergänzende und ergänzende Winkel

Winkel, deren Summe ein richtiger Winkel ist, werden ergänzend genannt. Ergänzungswinkel werden gebildet, wenn ein oder mehr Strahlen denselben Scheitelpunkt teilen und in einer Richtung angespitzt werden, die zwischen den zwei ursprünglichen Strahlen ist, die den richtigen Winkel bilden. Die Zahl von Strahlen zwischen den zwei ursprünglichen Strahlen ist unendlich. Diejenigen, deren Summe ein gerader Winkel ist, sind ergänzend. Ergänzende Winkel werden gebildet, wenn ein oder mehr Strahlen denselben Scheitelpunkt teilen und in einer Richtung angespitzt werden, dass zwischen den zwei ursprünglichen Strahlen, die den geraden Winkel (180 Grade) bilden. Die Zahl von Strahlen zwischen den zwei ursprünglichen Strahlen ist wie diejenigen unendlich, die im Ergänzungswinkel möglich sind.

Moderne Versionen der Notation von Euklid

In der modernen Fachsprache würden Winkel normalerweise in Graden oder radians gemessen.

Moderne Schullehrbücher definieren häufig getrennte Zahlen genannt Linien (unendlich), Strahlen (halbunendlich), und Liniensegmente (von der begrenzten Länge). Euklid, anstatt einen Strahl als ein Gegenstand zu besprechen, der sich bis zu die Unendlichkeit in einer Richtung ausstreckt, würde normalerweise Ausdrücke solcher als verwenden, "wenn die Linie zu einer genügend Länge erweitert wird," obwohl er sich gelegentlich auf "unendliche Linien bezogen hat." Eine "Linie" in Euklid konnte entweder gerade oder gebogen sein, und er hat den spezifischeren Begriff "Gerade", wenn notwendig, gebraucht.

Einige wichtige oder weithin bekannte Ergebnisse

Die Brücke Image:pons_asinorum.png|The des Esel-Lehrsatzes setzt das A=B und C=D fest.

Die Image:sum_of_angles_of_triangle.png|The Summe von Winkeln A, B, und C ist 180 Graden gleich.

Image:Pythagorean.svg|Pythagoras' Lehrsatz: Die Summe der Gebiete der zwei Quadrate auf den Beinen (a und b) eines rechtwinkligen Dreieckes kommt dem Gebiet des Quadrats auf der Hypotenuse (c) gleich.

Image:Thales' Lehrsatz Einfacher svg|Thales' Lehrsatz: Wenn AC ein Diameter ist, dann ist der Winkel an B ein richtiger Winkel.

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Brücke von Eseln

Die Brücke von Eseln (Pons Asinorum) stellt fest, dass in gleichschenkligen Dreiecken die Winkel an der Basis gleich einander, und, wenn die gleichen Geraden weiter, dann die Winkel unter der Basis gleich einander erzeugt werden. Sein Name kann seiner häufigen Rolle als der erste echte Test in den Elementen der Intelligenz des Lesers und als eine Brücke zu den härteren Vorschlägen zugeschrieben werden, die gefolgt sind. Es könnte auch wegen der Ähnlichkeit der geometrischen Zahl mit einer steilen Brücke so genannt werden, die nur ein sichere Esel durchqueren konnte.

Kongruenz von Dreiecken

Dreiecke sind kongruent, wenn sie alle drei Seiten gleich (SSS), zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen gleich (SAS), oder die zwei Winkel und eine Seite gleich (ASA) (Buch I, Vorschläge 4, 8, und 26) haben. (Dreiecke mit drei gleichen Winkeln sind allgemein ähnlich, aber nicht notwendigerweise kongruent. Außerdem sind Dreiecke mit zwei gleichen Seiten und einem angrenzenden Winkel nicht notwendigerweise gleich.)

Summe der Winkel eines Dreiecks akute, stumpfe und richtige Winkelgrenzen

Die Summe der Winkel eines Dreiecks ist einem geraden Winkel (180 Grade) gleich. Das veranlasst ein gleichseitiges Dreieck, 3 Innenwinkel von 60 Graden zu haben. Außerdem veranlasst es jedes Dreieck, mindestens 2 akute Winkel und bis zu 1 stumpfen oder richtigen Winkel zu haben.

Pythagoreischer Lehrsatz

Der berühmte Pythagoreische Lehrsatz (Buch I, Vorschlag 47) stellt fest, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck das Gebiet des Quadrats, dessen Seite die Hypotenuse ist (die Seite gegenüber dem richtigen Winkel) der Summe der Gebiete der Quadrate gleich ist, deren Seiten die zwei Beine sind (die zwei Seiten, die sich im rechten Winkel treffen).

Der Lehrsatz von Thales

Der Lehrsatz von Thales, genannt nach Thales von Miletus stellt fest, dass, wenn A, B, und C Punkte auf einem Kreis sind, wo die Linie AC ein Diameter des Kreises dann ist, das Winkelabc ein richtiger Winkel ist. Kantor hat angenommen, dass Thales seinen Lehrsatz mittels des Buches I von Euklid bewiesen hat, stützen Sie 32 nach der Weise des Buches III von Euklid, stützen Sie 31. Tradition hat es, dass Thales einen Ochsen geopfert hat, um diesen Lehrsatz zu feiern.

Schuppen des Gebiets und Volumens

In der modernen Fachsprache ist das Gebiet einer Flugzeug-Zahl zum Quadrat von einigen seiner geradlinigen Dimensionen, und dem Volumen eines Festkörpers zum Würfel proportional. Euklid hat bewiesen, dass diese auf verschiedene spezielle Fälle wie das Gebiet eines Kreises und das Volumen eines parallelepipedal Festkörpers hinauslaufen. Euklid hat einige, aber nicht alle der relevanten Konstanten der Proportionalität bestimmt. Z.B war es sein Nachfolger Archimedes, der bewiesen hat, dass ein Bereich 2/3 das Volumen des Umgrenzen-Zylinders hat.

Anwendungen

Wegen des grundsätzlichen Status der euklidischen Geometrie in der Mathematik würde es unmöglich sein, mehr als eine vertretende Stichprobenerhebung von Anwendungen hier zu geben.

Image:us Landüberblick-Landvermesser des Offiziers jpg|A verwendet ein Niveau

Image:Ambersweet Orangenjpg|Sphereverpackung gilt für einen Stapel von Orangen.

Image:Parabola mit dem Fokus und der willkürlichen Linie svg|A parabolischer Spiegel bringt parallele Strahlen des Lichtes zu einem Fokus.

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Wie angedeutet, durch die Etymologie des Wortes überblickte einer der frühsten Gründe für das Interesse an der Geometrie, und bestimmte praktische Ergebnisse von Euklidischer Geometrie, wie das Eigentum des richtigen Winkels des 3-4-5 Dreiecks, wurden verwendet, lange bevor sie formell bewiesen wurden. Die grundsätzlichen Typen von Maßen in der Euklidischen Geometrie sind Entfernungen und Winkel, und beide dieser Mengen können direkt von einem Landvermesser gemessen werden. Historisch wurden Entfernungen häufig durch Ketten wie die Kette von Gunter und Winkel mit Teilkreisen und, später, der Theodolit gemessen.

Eine Anwendung der Euklidischen Raumgeometrie der Körper ist der Entschluss, Maßnahmen wie das Problem einzupacken, die effizienteste Verpackung von Bereichen in n Dimensionen zu finden. Dieses Problem hat Anwendungen in der Fehlerentdeckung und Korrektur.

Geometrische Optik verwendet Euklidische Geometrie, um die Fokussierung des Lichtes durch Linsen und Spiegel zu analysieren.

Image:Damascus Khan asad Pacha hat abgeschnitten jpg|Geometry wird in der Kunst und Architektur verwendet.

Abgeschnittener jpg|The Wasserturm des Turms von Image:Water besteht aus einem Kegel, einem Zylinder und einer Halbkugel. Sein Volumen kann mit der Raumgeometrie der Körper berechnet werden.

Image:Origami abgeschnittener jpg|Geometry Kran kann an das Designorigami gewöhnt sein.

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Geometrie wird umfassend in der Architektur verwendet.

Geometrie kann an das Designorigami gewöhnt sein. Einige klassische Bauprobleme der Geometrie sind unmöglicher Verwenden-Kompass und Haarlineal, aber können mit dem Origami behoben werden.

Als eine Beschreibung der Struktur des Raums

Euklid hat geglaubt, dass seine Axiome selbstverständliche Behauptungen über die physische Wirklichkeit waren. Die Beweise von Euklid hängen von Annahmen ab, die vielleicht in den grundsätzlichen Axiomen von Euklid insbesondere nicht offensichtlich sind, dass bestimmte Bewegungen von Zahlen ihre geometrischen Eigenschaften wie die Längen von Seiten und Innenwinkeln, den so genannten Euklidischen Bewegungen nicht ändern, die Übersetzungen und Folgen von Zahlen einschließen.

Genommen als eine physische Beschreibung des Raums, verlangen Sie 2 (das Verlängern einer Linie) behauptet, dass Raum Löcher oder Grenzen nicht hat (mit anderen Worten, ist Raum homogen und unbegrenzt); verlangen Sie 4 (Gleichheit von richtigen Winkeln) sagt, dass Raum isotropisch ist und Zahlen zu jeder Position bewegt werden können, während man Kongruenz aufrechterhält; und verlangen Sie 5 (das parallele Postulat), dass Raum flach ist (hat keine innere Krümmung).

Wie besprochen, ausführlicher unten modifiziert die Relativitätstheorie von Einstein bedeutsam diese Ansicht.

Der zweideutige Charakter der Axiome, wie ursprünglich formuliert, durch Euklid macht es möglich für verschiedene Kommentatoren, über einige ihrer anderen Implikationen für die Struktur des Raums, solcher als nicht übereinzustimmen, ob es (sieh unten) unendlich ist, und wie seine Topologie ist. Moderne, strengere neue Darlegungen des Systems zielen normalerweise auf eine sauberere Trennung dieser Probleme. Die Axiome von Euklid im Geist dieser moderneren Annäherung interpretierend, sind Axiome 1-4 entweder mit dem unendlichen oder mit begrenzten Raum (als in der elliptischen Geometrie) im Einklang stehend, und alle fünf Axiome sind mit einer Vielfalt von Topologien (z.B, ein Flugzeug, ein Zylinder oder ein Ring für die zweidimensionale Euklidische Geometrie) im Einklang stehend.

Spätere Arbeit

Archimedes und Apollonius

Archimedes (ca. 287 BCE - ca. 212 BCE), eine bunte Zahl, über die viele historische Anekdoten registriert werden, wird zusammen mit Euklid als einer der größten von alten Mathematikern nicht vergessen. Obwohl die Fundamente seiner Arbeit von Euklid aufgestellt wurden, wie man glaubt, ist seine Arbeit, verschieden von Euklid, völlig ursprünglich gewesen. Er hat Gleichungen für die Volumina und Gebiete von verschiedenen Zahlen in zwei und drei Dimensionen bewiesen, und hat das Eigentum von Archimedean von begrenzten Zahlen behauptet.

Apollonius von Perga (ca. 262 BCE-ca. 190 BCE) ist für seine Untersuchung von konischen Abteilungen hauptsächlich bekannt.

Das 17. Jahrhundert: Descartes

René Descartes (1596-1650) hat analytische Geometrie, eine alternative Methode entwickelt, um Geometrie zu formalisieren. In dieser Annäherung wird ein Punkt von seinem Kartesianer (x, y) Koordinaten vertreten, eine Linie wird durch seine Gleichung und so weiter vertreten. In der ursprünglichen Annäherung von Euklid folgt der Pythagoreische Lehrsatz aus den Axiomen von Euklid. In der Kartesianischen Annäherung sind die Axiome die Axiome der Algebra, und die Gleichung, die den Pythagoreischen Lehrsatz ausdrückt, ist dann eine Definition von einem der Begriffe in den Axiomen von Euklid, die jetzt als Lehrsätze betrachtet werden. Die Gleichung

:

das Definieren der Entfernung zwischen zwei Punkten P = (p, q) und Q = (r, s) ist dann bekannt, weil die Euklidische metrische und andere Metrik nicht-euklidische Geometrie definiert.

In Bezug auf die analytische Geometrie bedeutet die Beschränkung der klassischen Geometrie zum Kompass und Haarlineal-Aufbauten eine Beschränkung zum ersten - und Gleichungen der zweiten Ordnung, z.B, y = 2x + 1 (eine Linie), oder x + y = 7 (ein Kreis).

Auch im 17. Jahrhundert hat Girard Desargues, der durch die Theorie der Perspektive motiviert ist, das Konzept von idealisierten Punkten, Linien und Flugzeugen an der Unendlichkeit eingeführt. Das Ergebnis kann als ein Typ der verallgemeinerten Geometrie, projektiven Geometrie betrachtet werden, aber es kann auch verwendet werden, um Beweise in der gewöhnlichen Euklidischen Geometrie zu erzeugen, in der die Anzahl von speziellen Fällen vermindert wird.

Das 18. Jahrhundert

Geometers des 18. Jahrhunderts hat sich angestrengt, die Grenzen des Euklidischen Systems zu definieren. Viele haben vergebens versucht, das fünfte Postulat von den ersten vier zu beweisen. Vor 1763 waren mindestens 28 verschiedene Beweise veröffentlicht worden, aber alle wurden falsch gefunden.

Bis zu dieser Periode, geometers dazu zu bringen, hat auch versucht zu bestimmen, welche Aufbauten in der Euklidischen Geometrie vollbracht werden konnten. Zum Beispiel ist das Problem, einen Winkel mit einem Kompass und Haarlineal dreimal zu teilen, dasjenige, das natürlich innerhalb der Theorie vorkommt, da sich die Axiome auf konstruktive Operationen beziehen, die mit jenen Werkzeugen ausgeführt werden können. Jedoch haben Jahrhunderte von Anstrengungen gescheitert, eine Lösung dieses Problems zu finden, bis Pierre Wantzel einen Beweis 1837 veröffentlicht hat, dass solch ein Aufbau unmöglich war. Andere Aufbauten, die unmöglich bewiesen wurden, schließen Verdoppelung des Würfels und Quadrierens der Kreis ein. Im Fall von der Verdoppelung des Würfels entsteht die Unmöglichkeit des Aufbaus aus der Tatsache, dass der Kompass und die Haarlineal-Methode zuerst - und Gleichungen der zweiten Ordnung einschließen, während die Verdoppelung eines Würfels die Lösung einer Gleichung der dritten Ordnung verlangt.

Euler hat eine Generalisation der genannten affine Geometrie der euklidischen Geometrie besprochen, die das fünfte unmodifizierte Postulat behält, während sie Postulate drei und vier in einem Weg schwächt, der die Begriffe des Winkels beseitigt (woher, werden rechtwinklige Dreiecke sinnlos) und von der Gleichheit der Länge von Liniensegmenten im Allgemeinen (woher Kreise werden sinnlos), während man die Begriffe des Parallelismus als eine Gleichwertigkeitsbeziehung zwischen Linien und Gleichheit der Länge von parallelen Liniensegmenten behält (so setzen Liniensegmente fort, einen Mittelpunkt zu haben).

Das 19. Jahrhundert und die nicht-euklidische Geometrie

Am Anfang des 19. Jahrhunderts haben Carnot und Möbius systematisch den Gebrauch von unterzeichneten Winkeln und die Liniensegmente als eine Weise entwickelt, Ergebnisse zu vereinfachen und zu vereinigen.

Die bedeutendste Entwicklung des Jahrhunderts in der Geometrie ist vorgekommen, als, 1830, János Bolyai und Nikolai Ivanovich Lobachevsky getrennt Arbeit an der nicht-euklidischen Geometrie veröffentlicht haben, in der das parallele Postulat nicht gültig ist. Da nicht-euklidische Geometrie mit der Euklidischen Geometrie nachweisbar relativ im Einklang stehend ist, kann das parallele Postulat nicht aus den anderen Postulaten bewiesen werden.

Im 19. Jahrhundert wurde es auch begriffen, dass die zehn Axiome von Euklid und allgemeine Begriffe nicht genügen, um zu beweisen, dass alle Lehrsätze in den Elementen festgesetzt haben. Zum Beispiel hat Euklid implizit angenommen, dass jede Linie mindestens zwei Punkte enthält, aber diese Annahme kann von den anderen Axiomen nicht bewiesen werden, und muss deshalb ein Axiom selbst sein. Der allererste geometrische Beweis in den Elementen, die in der Zahl oben gezeigt sind, ist, dass jedes Liniensegment ein Teil eines Dreiecks ist; Euklid baut das auf die übliche Weise, indem er Kreise um beide Endpunkte zieht und ihre Kreuzung als das dritte nimmt. Seine Axiome versichern jedoch nicht, dass sich die Kreise wirklich schneiden, weil sie das geometrische Eigentum der Kontinuität nicht behaupten, die in Kartesianischen Begriffen zum Vollständigkeitseigentum der reellen Zahlen gleichwertig ist. Mit Moritz Pasch 1882 anfangend, sind viele verbesserte axiomatische Systeme für die Geometrie, das am besten bekannte Wesen diejenigen von Hilbert, George Birkhoff und Tarski vorgeschlagen worden.

Das 20. Jahrhundert und die allgemeine Relativität

Die Theorie von Einstein der allgemeinen Relativität zeigt, dass die wahre Geometrie der Raum-Zeit nicht Euklidische Geometrie ist. Zum Beispiel, wenn ein Dreieck aus drei Strahlen des Lichtes gebaut wird, dann im Allgemeinen belaufen sich die Innenwinkel auf 180 Grade wegen des Ernstes nicht. Ein relativ schwaches Schwerefeld, wie die Erde oder die Sonne, wird durch einen metrischen vertreten, der ungefähr, aber nicht genau, Euklidisch ist. Bis zum 20. Jahrhundert gab es keine Technologie, die dazu fähig ist, die Abweichungen von der Euklidischen Geometrie zu entdecken, aber Einstein hat vorausgesagt, dass solche Abweichungen bestehen würden. Sie wurden später durch Beobachtungen wie das geringe Verbiegen des Sternenlichtes durch die Sonne während einer Sonneneklipse 1919 nachgeprüft, und solche Rücksichten sind jetzt ein integraler Bestandteil der Software, die das GPS System führt. Es ist möglich, gegen diese Interpretation der allgemeinen Relativität zu protestieren mit der Begründung, dass leichte Strahlen unpassende physische Modelle der Linien von Euklid sein könnten, oder diese Relativität umformuliert werden konnte, um die geometrischen Interpretationen zu vermeiden. Jedoch ist eine der Folgen der Theorie von Einstein, dass es keinen möglichen physischen Test gibt, der zwischen einem Lichtstrahl als ein Modell einer geometrischen Linie und jedem anderen physischen Modell unterscheiden kann. So sind die einzigen logischen Möglichkeiten, nicht-euklidische Geometrie als physisch echt zu akzeptieren, oder den kompletten Begriff von physischen Tests der Axiome der Geometrie zurückzuweisen, die dann als ein formelles System ohne jede innere wirkliche Bedeutung vorgestellt werden kann.

Behandlung der Unendlichkeit

Unendliche Gegenstände

Euklid hat manchmal ausführlich zwischen "begrenzten Linien" (z.B, Postulat 2) und "unendlichen Linien" (Buch I, Vorschlag 12) unterschieden. Jedoch hat er normalerweise solche Unterscheidungen nicht gemacht, wenn sie nicht notwendig waren. Die Postulate beziehen sich auf unendliche Linien nicht ausführlich, obwohl zum Beispiel einige Kommentatoren Postulat 3, Existenz eines Kreises mit jedem Radius als Andeutung interpretieren, dass Raum unendlich ist.

Der Begriff unendlich klein kleiner Mengen war vorher umfassend von der Eleatic Schule besprochen worden, aber niemand war im Stande gewesen, sie auf einer festen logischen Basis mit Paradoxen wie das Paradox von Zeno zu stellen, das vorkommt, der zur universalen Befriedigung nicht aufgelöst worden war. Euklid hat die Methode der Erschöpfung aber nicht infinitesimals verwendet.

Später haben alte Kommentatoren wie Proclus (410-485 CE) viele Fragen über die Unendlichkeit als Probleme anspruchsvoller Beweis und z.B behandelt, Proclus hat behauptet, die unendliche Teilbarkeit einer Linie zu beweisen, die auf einem Beweis durch den Widerspruch gestützt ist, in dem er die Fälle von geraden und ungeraden Zahlen von Punkten in Betracht gezogen hat, die es einsetzen.

Am Ende des 20. Jahrhunderts, Otto Stolz, Paul du Bois-Reymonds, Giuseppe Veroneses, und haben andere umstrittene Arbeit an non-Archimedean Modellen der Euklidischen Geometrie erzeugt, in der die Entfernung zwischen zwei Punkten unendlich oder im Sinn des Newtons-Leibniz unendlich klein sein kann. Fünfzig Jahre später hat Abraham Robinson ein strenges logisches Fundament für die Arbeit von Veronese zur Verfügung gestellt.

Unendliche Prozesse

Ein Grund, dass die Menschen der Antike das parallele Postulat als weniger sicher behandelt haben als andere, besteht darin, dass das Überprüfen davon physisch verlangen würde, dass wir zwei Linien untersuchen, um zu überprüfen, dass sie sich nie sogar an einem sehr entfernten Punkt geschnitten haben, und diese Inspektion eine unendliche Zeitdauer potenziell nehmen konnte.

Die moderne Formulierung des Beweises durch die Induktion wurde nicht entwickelt bis zum 17. Jahrhundert, aber einigen späteren Kommentatoren betrachten es als implizit in einigen von den Beweisen von Euklid, z.B, dem Beweis der Unendlichkeit der Blüte.

Angenommene Paradoxe, die unendliche Reihe wie das Paradox von Zeno einschließen, haben Euklid zurückdatiert. Euklid hat solche Diskussionen, das Geben, zum Beispiel, den Ausdruck für die teilweisen Summen der geometrischen Reihe in IX.35 vermieden, ohne sich über die Möglichkeit zu äußern, die Zahl von Begriffen unendlich werden zu lassen.

Logische Basis

Klassische Logik

Euklid hat oft die Methode des Beweises durch den Widerspruch verwendet, und deshalb nimmt die traditionelle Präsentation der Euklidischen Geometrie klassische Logik an, in der jeder Vorschlag entweder wahr oder, d. h., für jeden Vorschlag P falsch ist, ist der Vorschlag "P oder nicht P" automatisch wahr.

Moderne Standards der Strenge

Das Stellen der Euklidischen Geometrie auf einer festen axiomatischen Basis war eine Hauptbeschäftigung von Mathematikern seit Jahrhunderten. Die Rolle von primitiven Begriffen oder unbestimmte Konzepte, wurde klar von Alessandro Padoa der Delegation von Peano in 1900 Pariser Konferenz vorgebracht:

D. h. Mathematik ist mit dem Zusammenhang unabhängige Kenntnisse innerhalb eines hierarchischen Fachwerks. Wie gesagt, durch Bertrand Russell:

Solcher foundational nähert sich Reihe zwischen foundationalism und Formalismus.

Axiomatische Formulierungen

• Die Axiome von Euklid: In seiner Doktorarbeit zur Dreieinigkeitsuniversität, Cambridge, hat Bertrand Russell die sich ändernde Rolle der Geometrie von Euklid in den Meinungen von Philosophen bis zu dieser Zeit zusammengefasst. Es war ein Konflikt zwischen bestimmten Kenntnissen, die des Experimentes, und Empirismus unabhängig sind, experimentellen Eingang verlangend. Dieses Problem ist klar geworden, weil es entdeckt wurde, dass das parallele Postulat nicht notwendigerweise gültig war und seine Anwendbarkeit eine empirische Sache war, entscheidend, ob die anwendbare Geometrie euklidisch oder nicht-euklidisch war.
• Die Axiome von Hilbert: Die Axiome von Hilbert hatten die Absicht, einen einfachen und ganzen Satz von unabhängigen Axiomen zu identifizieren, aus denen die wichtigsten geometrischen Lehrsätze abgeleitet werden konnten. Die hervorragenden Ziele waren, Euklidische Geometrie streng (das Vermeiden von verborgenen Annahmen) zu machen und die Implikationen des parallelen Postulates verständlich zu machen.
• Die Axiome von Birkhoff: Birkhoff hat vier Postulate für die Euklidische Geometrie vorgeschlagen, die experimentell mit der Skala und dem Gradbogen bestätigt werden kann. Die Begriffe des Winkels und der Entfernung werden primitive Konzepte.
• Der axioms:Tarski von Tarski (1902-1983) und seine Studenten haben elementare Euklidische Geometrie als die Geometrie definiert, die in der Logik der ersten Ordnung ausgedrückt werden kann und von Mengenlehre für seine logische Basis im Gegensatz zu den Axiomen von Hilbert nicht abhängt, die Punkt-Sätze einschließen. Tarski hat bewiesen, dass seine axiomatische Formulierung der elementaren Euklidischen Geometrie entspricht und im gewissen Sinne abgeschlossen ist: Es gibt einen Algorithmus, der, für jeden Vorschlag, entweder wahr oder falsch gezeigt werden kann. (Das verletzt den Lehrsatz von Gödel nicht, weil Euklidische Geometrie keinen genügend Betrag der Arithmetik für den Lehrsatz beschreiben kann, um zu gelten.) Ist das zur Entscheidbarkeit von echten geschlossenen Feldern gleichwertig, von denen elementare Euklidische Geometrie ein Modell ist.

Konstruktive Annäherungen und Unterrichtsmethode

Der Prozess des Auszugs axiomatization, wie veranschaulicht, durch die Axiome von Hilbert reduziert Geometrie auf den Lehrsatz-Beweis oder Prädikat-Logik. Im Gegensatz haben die Griechen Baupostulate verwendet, und haben das Problem-Lösen betont. Für die Griechen sind Aufbauten primitiver als Existenz-Vorschläge und können verwendet werden, um Existenz-Vorschläge, aber nicht umgekehrt zu beweisen. Problem zu beschreiben, das entsprechend löst, verlangt ein reicheres System von logischen Konzepten. Die Unähnlichkeit in der Annäherung kann zusammengefasst werden:

• Axiomatischer Beweis: Beweise sind deduktive Abstammungen von Vorschlägen von primitiven Propositionen, die in einem Sinn 'wahr' sind. Das Ziel ist, den Vorschlag zu rechtfertigen.
• Analytischer Beweis: Beweise sind nichtdeduktive Abstammungen der Hypothese von Problemen. Das Ziel ist, Hypothesen fähig dazu zu finden, eine Lösung des Problems zu geben. Man kann behaupten, dass die Axiome von Euklid in auf diese Weise angekommen wurden. Insbesondere es wird gedacht, dass Euklid gefunden hat, dass das parallele Postulat auf ihn, wie angezeigt, durch seinen Widerwillen gezwungen wurde, davon, und seine Ankunft darauf durch die Methode des Widerspruchs Gebrauch zu machen.

Andrei Nicholaevich Kolmogorov hat ein Problem vorgeschlagen, Basis für die Geometrie lösend. Diese Arbeit war ein Vorgänger einer modernen Formulierung in Bezug auf die konstruktive Typ-Theorie. Diese Entwicklung hat Implikationen für die Unterrichtsmethode ebenso.

Siehe auch

• Analytische Geometrie
• Typ-Theorie
• Interaktive Geometrie-Software
• Nicht-euklidische Geometrie
• Bestellte Geometrie
• Vorkommen-Geometrie
• Metrische Geometrie
• Die Axiome von Birkhoff

Die Axiome von Hilbert

• Paralleles Postulat
• Die Kritik von Schopenhauer der Beweise des Parallelen Postulates
• Kartesianisches Koordinatensystem

Klassische Lehrsätze

• Der Lehrsatz von Ceva
• Die Formel des Reihers
• Neun-Punkte-Kreis
• Pythagoreischer Lehrsatz
• Der Lehrsatz von Menelaus
• Winkelhalbierungslinie-Lehrsatz
• Schmetterling-Lehrsatz

Zeichen

• Die herrische Übersetzung des Moors der Elemente von Euklid plus seine umfassende historische Forschung und ausführlich berichteter Kommentar überall im Text.
• Alfred Tarski (1951) eine Entscheidungsmethode für die elementare Algebra und Geometrie. Univ. der Presse von Kalifornien.

Links

• Kiran Kedlaya, Geometrie Ungebunden (eine Behandlung mit der analytischen Geometrie; PDF Format, GFDL lizenziert)