Radian ist das Verhältnis zwischen der Länge eines Kreisbogens und seinem Radius. Der radian ist die Standardeinheit des winkeligen Maßes, das in vielen Gebieten der Mathematik verwendet ist. Die Einheit war früher ein SI ergänzende Einheit, aber diese Kategorie wurde 1995 abgeschafft, und der radian wird jetzt betrachtet ein SI hat Einheit abgeleitet. Die SI-Einheit des Raumwinkel-Maßes ist der Steradiant.

Der radian wird durch das Symbol "rad" oder, seltener, durch den Exponenten c (für das "kreisförmige Maß") vertreten. Zum Beispiel würde ein Winkel von 1.2 radians als "1.2 rad" geschrieben, oder "1.2" (ist das zweite Symbol häufig für einen Grad falsch: "1.2 °"). Als das Verhältnis von zwei Längen ist der radian eine "reine Zahl", die kein Einheitssymbol braucht, und im mathematischen Schreiben des Symbols "rad" fast immer weggelassen wird. Ohne jedes Symbol werden radians angenommen, und wenn Grade gemeint werden, wird das Symbol ° verwendet.

Definition

Radian beschreibt den Flugzeug-Winkel, der durch einen kreisförmigen Kreisbogen als die Länge des durch den Radius des Kreisbogens geteilten Kreisbogens entgegengesetzt ist. Ein radian ist der Winkel, der am Zentrum eines Kreises durch einen Kreisbogen entgegengesetzt ist, der in der Länge dem Radius des Kreises gleich ist. Mehr allgemein ist der Umfang in radians solch eines entgegengesetzten Winkels dem Verhältnis der Kreisbogen-Länge zum Radius des Kreises gleich; d. h. θ = s/r, wo θ der entgegengesetzte Winkel in radians ist, ist s Kreisbogen-Länge, und r ist Radius. Umgekehrt ist die Länge des beiliegenden Kreisbogens dem Radius gleich, der mit dem Umfang des Winkels in radians multipliziert ist; d. h. s = rθ.

Hieraus folgt dass der Umfang in radians einer ganzer Revolution (360 Grade) die Länge des kompletten Kreisumfangs ist, der durch den Radius, oder 2πr/r, oder 2π geteilt ist. So 2π ist radians 360 Graden gleich, bedeutend, dass ein radian 180/π Graden gleich ist.

Geschichte

Das Konzept des Bogenmaßes, im Vergleich mit dem Grad eines Winkels, wird normalerweise Roger Cotes 1714 kreditiert. Er hatte den radian in allem außer dem Namen, und er hat seine Natürlichkeit als eine Einheit des winkeligen Maßes anerkannt. Die Idee, Winkel durch die Länge des Kreisbogens zu messen, wurde bereits von anderen Mathematikern verwendet. Zum Beispiel al-Kashi (c. 1400) hat so genannte Diameter-Teile als Einheiten verwendet, wo ein Diameter-Teil 1/60 radian war und sie auch sexagesimal Subeinheiten des Diameter-Teils verwendet haben.

Der Begriff radian ist zuerst im Druck am 5. Juni 1873 in Überprüfungsfragen erschienen, die von James Thomson (Bruder von Herrn Kelvin) in der Universität der Königin, Belfast gesetzt sind. Er hat den Begriff schon in 1871 gebraucht, während 1869 Thomas Muir, dann der Universität St. Andrews, zwischen rad, radial und radian geschwankt ist. 1874 hat Muir radian nach einer Beratung mit James Thomson angenommen.

Konvertierungen

Konvertierung zwischen radians und Graden

Wie festgesetzt, ist ein radian 180/π Graden gleich. So, um sich von radians bis Grade umzuwandeln, multiplizieren Sie durch 180/π.

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Zum Beispiel:

:::

Umgekehrt, um sich von Graden bis radians umzuwandeln, multiplizieren Sie durch π/180.

:Zum Beispiel::

Radians kann zu Umdrehungen durch das Teilen der Zahl von radians durch 2π umgewandelt werden.

Radian zur Grad-Umwandlungsabstammung

Wir wissen, dass durch die Länge des Kreisumfangs eines Kreises gegeben wird, wo der Radius des Kreises ist.

Also, wir können sehr gut sagen, dass die folgende gleichwertige Beziehung wahr ist:

[Da ein Kehren Bedürfnis ist, einen Vollkreis] zu ziehen

Definitionsgemäß radian können wir das formulieren ein Vollkreis vertritt:

::Wenn wir

beide die obengenannten Beziehungen verbinden, können wir sagen:

:::

Konvertierung zwischen radians und Studenten im Aufbaustudium

radians sind einer Umdrehung gleich, die 400 ist. Also, um sich von radians bis Studenten im Aufbaustudium umzuwandeln, multiplizieren durch, und sich von Studenten im Aufbaustudium zu radians umzuwandeln, multiplizieren dadurch. Zum Beispiel,

::

Der Tisch zeigt die Konvertierung von einigen allgemeinen Winkeln.

Vorteile des Messens in radians

In der Rechnung und den meisten anderen Zweigen der Mathematik außer der praktischen Geometrie werden Winkel in radians allgemein gemessen. Das ist, weil radians eine mathematische "Natürlichkeit" haben, die zu einer eleganteren Formulierung mehrerer wichtiger Ergebnisse führt.

Am meisten namentlich, läuft auf Analyse hinaus, die mit trigonometrischen Funktionen verbunden ist, sind einfach und elegant, wenn die Argumente der Funktionen in radians ausgedrückt werden. Zum Beispiel führt der Gebrauch von radians zur einfachen Grenze-Formel

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der die Basis von vieler anderer Identität in der Mathematik einschließlich ist

::

Wegen dieser und anderen Eigenschaften erscheinen die trigonometrischen Funktionen in Lösungen mathematischer Probleme, die nicht offensichtlich mit den geometrischen Bedeutungen der Funktionen (zum Beispiel, die Lösungen der Differenzialgleichung, der Einschätzung des Integrals, und so weiter) verbunden sind. In allen diesen Fällen wird es gefunden, dass die Argumente für die Funktionen in der Form am natürlichsten geschrieben werden, die in geometrischen Zusammenhängen zum radian Maß von Winkeln entspricht.

Die trigonometrischen Funktionen haben auch einfache und elegante Reihenentwicklungen, wenn radians verwendet werden; zum Beispiel, die folgende Reihe von Taylor für die Sünde x:

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Wenn x in Graden dann ausgedrückt würden, würde die Reihe unordentliche Faktoren enthalten, die Mächte von π/180 einschließen: Wenn x die Zahl von Graden ist, ist die Zahl von radians y = πx/180, so

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Mathematisch wichtige Beziehungen zwischen dem Sinus und den Kosinus-Funktionen und der Exponentialfunktion (sieh zum Beispiel, die Formel von Euler), sind wieder, elegant, wenn die Argumente der Funktionen in radians und unordentlich sonst sind.

Dimensionale Analyse

Obwohl der radian eine Einheit des Maßes ist, ist es eine ohne Dimension Menge. Das kann aus der Definition gegeben früher gesehen werden: Der Winkel, der am Zentrum eines Kreises entgegengesetzt ist, der in radians gemessen ist, ist dem Verhältnis der Länge des beiliegenden Kreisbogens zur Länge des Radius des Kreises gleich. Da die Einheiten des Maßes annullieren, ist dieses Verhältnis ohne Dimension.

Eine andere Weise, die Ohnekeit Dimension des radian zu sehen, ist in den Reihe-Darstellungen der trigonometrischen Funktionen, wie die Reihe von Taylor für die Sünde hat x früher erwähnt:

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Wenn x Einheiten hätte, dann würde die Summe sinnlos sein: Der geradlinige Begriff x kann zu nicht hinzugefügt werden (oder haben Abstriche gemacht) der Kubikbegriff oder der Quintic-Begriff, usw. Deshalb muss x ohne Dimension sein.

Obwohl polare und kugelförmige Koordinaten radians verwenden, um Koordinaten in zwei und drei Dimensionen zu beschreiben, wird die Einheit aus der Radius-Koordinate abgeleitet, so ist das Winkelmaß noch ohne Dimension.

Verwenden Sie in der Physik

Der radian wird in der Physik weit verwendet, wenn winkelige Maße erforderlich sind. Zum Beispiel wird winkelige Geschwindigkeit normalerweise in radians pro Sekunde (rad/s) gemessen. Eine Revolution ist pro Sekunde 2π radians pro Sekunde gleich.

Ähnlich wird winkelige Beschleunigung häufig in radians pro Sekunde pro Sekunde (rad/s) gemessen.

Zum Zweck der dimensionalen Analyse sind die Einheiten s und s beziehungsweise.

Ebenfalls kann der Phase-Unterschied von zwei Wellen auch in radians gemessen werden. Zum Beispiel, wenn der Phase-Unterschied von zwei Wellen ist (k · 2π) radians, wo k eine ganze Zahl ist, werden sie in der Phase, während betrachtet, wenn der Phase-Unterschied von zwei Wellen ist (k · 2π + π), wo k eine ganze Zahl ist, werden sie in der Antiphase betrachtet.

Vielfachen von radian Einheiten

Metrische Präfixe haben Gebrauch mit radians und niemandem in der Mathematik beschränkt.

Es gibt 2π × 1000 milliradians ( 6283.185 mrad) in einem Kreis. So ist ein trigonometrischer milliradian gerade unter eines Kreises. Diese "echte" trigonometrische Einheit des winkeligen Maßes eines Kreises ist im Gebrauch durch teleskopische Anblick-Hersteller, die (stadiametric) rangefinding in Fadenkreuzen verwenden.

Die Abschweifung von Laserbalken wird auch gewöhnlich in milliradians gemessen.

Eine Annäherung des trigonometrischen milliradian (0.001 rad), bekannt als der (winkelige) mil, wird von NATO und anderen militärischen Organisationen in der Artilleriewissenschaft und dem Zielen verwendet. Jeder winkelige mil vertritt eines Kreises und ist um 1-⅞ % kleiner als der trigonometrische milliradian. Für die kleinen im Zielen der Arbeit normalerweise gefundenen Winkel überwiegt die Bequemlichkeit, die Nummer 6400 in der Berechnung zu verwenden, die kleinen mathematischen Fehler, die es einführt. In der Vergangenheit haben andere Artilleriewissenschaft-Systeme verschiedene Annäherungen daran verwendet; zum Beispiel hat Schweden den streck und die verwendete UDSSR verwendet.

Auf dem milliradian basierend, setzt die NATO mil ungefähr 1 M an einer Reihe von 1000 M entgegen (in solchen kleinen Winkeln, die Krümmung ist unwesentlich).

Kleinere Einheiten wie microradians (μrads) und nanoradians (nrads) werden in der Astronomie verwendet, und können auch verwendet werden, um die Balken-Qualität von Lasern mit der ultraniedrigen Abschweifung zu messen. Ähnlich sind die Präfixe, die kleiner sind als milli-, im Messen äußerst kleiner Winkel potenziell nützlich.

Siehe auch

• Winkeliger mil - militärisches Maß
• Trigonometrie
• Harmonische Analyse
• Winkelige Frequenz
• Student im Aufbaustudium
• Steradiant - das "Quadrat radian"

Außenverbindungen

• Radian an MathWorld