Aufbau des Kompasses-Und-Haarlineals oder Lineals-Und-Kompasses ist der Aufbau von Längen, Winkeln und anderen geometrischen Zahlen, die nur ein idealisierte Lineal und Kompass verwenden.

annimmt, ist das idealisierte Lineal, das als ein Haarlineal bekannt ist, in der Länge unendlich, und hat keine Markierungen darauf und nur einen Rand. Wie man annimmt, bricht der Kompass, wenn gehoben, von der Seite zusammen, so kann nicht direkt verwendet werden, um Entfernungen zu übertragen. (Das ist eine unwichtige Beschränkung, weil das über den Kompass-Gleichwertigkeitslehrsatz erreicht werden kann.) Mehr formell sind die einzigen erlaubten Aufbauten diejenigen, die durch die ersten drei Postulate von Euklid gewährt sind.

Jeder Punkt constructible das Verwenden des Haarlineals und Kompasses kann mit dem Kompass allein gebaut werden. Mehrere alte Probleme in der Flugzeug-Geometrie erlegen diese Beschränkung auf.

Die berühmtesten Probleme des Haarlineals-Und-Kompasses sind unmöglich in mehreren Fällen von Pierre Wantzel mit der mathematischen Theorie von Feldern bewiesen worden. Trotz vorhandener Beweise der Unmöglichkeit verharren einige auf dem Versuchen, diese Probleme zu beheben. Viele dieser Probleme sind leicht lösbar vorausgesetzt, dass anderen geometrischen Transformationen erlaubt wird: Zum Beispiel ist Verdoppelung des Würfels mögliche verwendende geometrische Aufbauten, aber nicht mögliches Verwenden-Haarlineal und Kompass allein.

Mathematiker Underwood Dudley hat eine Nebenbeschäftigung gemacht, falsche Beweise des Lineals-Und-Kompasses, sowie andere Arbeit von mathematischen Kurbeln zu sammeln, und hat sie in mehrere Bücher gesammelt.

Kompass und Haarlineal-Werkzeuge

Der "Kompass" und "das Haarlineal" des Kompasses und der Haarlineal-Aufbauten sind Idealisierungen von Linealen und Kompassen in der echten Welt:

• Der Kompass kann willkürlich breit geöffnet werden, aber (verschieden von einigen echten Kompassen) hat er keine Markierungen darauf. Kreise können nur mit zwei vorhandenen Punkten gezogen werden, die das Zentrum und einen Punkt auf dem Kreis geben. Der Kompass bricht wenn nicht verwendet für die Zeichnung zusammen, er kann nicht verwendet werden, um eine Länge zu einem anderen Platz zu kopieren.
• Das Haarlineal ist ungeheuer lang, aber es hat keine Markierungen darauf und hat nur einen Rand verschieden von gewöhnlichen Linealen. Es kann nur verwendet werden, um ein Liniensegment zwischen zwei Punkten zu ziehen oder eine vorhandene Linie zu erweitern.

Jeder Aufbau muss genau sein. "Eyeballing" zählt es (im Wesentlichen auf den Aufbau schauend und auf seine Genauigkeit schätzend, oder eine Form des Maßes, wie die Einheiten des Maßes auf einem Lineal verwendend) und nah werdend, als eine Lösung nicht.

Festgesetzt scheinen dieser Weg, Kompass und Haarlineal-Aufbauten, ein Gesellschaftsspiel, aber nicht ein ernstes praktisches Problem zu sein; aber der Zweck der Beschränkung ist sicherzustellen, dass, wie man beweisen kann, Aufbauten genau richtig sind, und so für das beides Zeichnen (Design sowohl durch die CAD-Software als auch durch das traditionelle Zeichnen mit Bleistift, Papier, Haarlineal und Kompass) und die Wissenschaft von Gewichten und Maßnahmen wichtig sind, in denen die genaue Synthese von Bezugskörpern oder Materialien äußerst wichtig ist. Einer der Hauptzwecke der griechischen Mathematik sollte genaue Aufbauten für verschiedene Längen finden; zum Beispiel die Seite eines Pentagons in einem gegebenen Kreis eingeschrieben. Die Griechen konnten Aufbauten für drei Probleme nicht finden:

• Quadrieren der Kreis: Zeichnung eines Quadrats der gemeinsame Bereich als ein gegebener Kreis.
• Verdoppelung des Würfels: Zeichnung eines Würfels mit zweimal dem Volumen eines gegebenen Würfels.
• Den Winkel dreimal zu teilen: Das Teilen eines gegebenen Winkels in drei kleinere Winkel die ganze dieselbe Größe.

Für 2000 haben Jahr-Leute versucht, Aufbauten innerhalb des Grenze-Satzes oben zu finden und haben gescheitert. Alle drei sind jetzt laut mathematischer Regeln bewiesen worden, allgemein unmöglich zu sein (Winkel mit bestimmten Werten können dreimal geteilt werden, aber nicht alle möglichen Winkel).

Die grundlegenden Aufbauten

Der ganze Kompass und Haarlineal-Aufbauten bestehen aus der wiederholten Anwendung fünf grundlegender Aufbauten mit den Punkten, Linien und Kreisen, die bereits gebaut worden sind. Diese sind:

• Das Schaffen der Linie durch zwei vorhandene Punkte
• Das Schaffen des Kreises durch einen Punkt mit dem Zentrum ein anderer Punkt
• Das Schaffen des Punkts, der die Kreuzung von zwei vorhandenen, nichtparallelen Linien ist
• Das Schaffen der eines oder zwei Punkte in der Kreuzung einer Linie und eines Kreises (wenn sie sich schneiden)
• Das Schaffen der eines oder zwei Punkte in der Kreuzung von zwei Kreisen (wenn sie sich schneiden).

Zum Beispiel, mit gerade zwei verschiedenen Punkten anfangend, können wir eine Linie oder jeden von zwei Kreisen schaffen. Wenn wir beide Kreise ziehen, werden zwei neue Punkte an ihren Kreuzungen geschaffen. Die Zeichnung von Linien zwischen den zwei ursprünglichen Punkten und einem dieser neuen Punkte vollendet den Aufbau eines gleichseitigen Dreiecks.

Deshalb in jedem geometrischen Problem haben wir einen anfänglichen Satz von Symbolen (Punkte und Linien), ein Algorithmus und einige Ergebnisse. Von dieser Perspektive ist Geometrie zu einer axiomatischen Algebra gleichwertig, seine Elemente durch Symbole ersetzend. Wahrscheinlich hat Gauss zuerst das begriffen, und hat es verwendet, um die Unmöglichkeit von einigen Aufbauten zu beweisen; nur viel später hat Hilbert getan finden einen ganzen Satz von Axiomen für die Geometrie.

Punkte von Constructible und Längen

Formeller Beweis

Es gibt viele verschiedene Weisen zu beweisen, dass etwas unmöglich ist. Ein strengerer Beweis würde die Grenze des möglichen abgrenzen, und zeigen sollen, dass, um diese Probleme zu beheben, man diese Grenze überschreiten muss. Viel davon, wem gebaut werden kann, wird in der Abschnitt-Theorie bedeckt.

Wir konnten eine Algebra zu unserer Geometrie mit einem Kartesianischen Koordinatensystem vereinigen, das aus zwei Linien gemacht ist, und Punkte unseres Flugzeugs durch Vektoren vertreten. Schließlich können wir diese Vektoren als komplexe Zahlen schreiben.

Mit den Gleichungen für Linien und Kreise kann man zeigen, dass die Punkte, an denen sie sich schneiden, in einer quadratischen Erweiterung des kleinsten Feldes F liegen, das zwei Punkte auf der Linie, dem Zentrum des Kreises und dem Radius des Kreises enthält. D. h. sie sind der Form, wo x, y, und k in F sind.

Da das Feld von Constructible-Punkten unter Quadratwurzeln geschlossen wird, enthält es alle Punkte, die durch eine begrenzte Folge von quadratischen Erweiterungen des Feldes von komplexen Zahlen mit vernünftigen Koeffizienten erhalten werden können. Durch den obengenannten Paragrafen kann man zeigen, dass jeder Constructible-Punkt durch solch eine Folge von Erweiterungen erhalten werden kann. Als eine Folgeerscheinung davon findet man, dass der Grad des minimalen Polynoms für einen Constructible-Punkt (und deshalb jeder constructible Länge) eine Macht 2 ist. Insbesondere jeder Constructible-Punkt (oder Länge) ist eine algebraische Zahl, obwohl nicht jede algebraische Zahl constructible ist (d. h. die Beziehung zwischen constructible Längen und algebraischen Zahlen nicht bijektiv ist); zum Beispiel, ist algebraisch, aber nicht constructible.

Winkel von Constructible

Es gibt eine Bijektion zwischen den Winkeln, die constructible und die Punkte sind, die constructible auf jedem constructible Kreis sind. Die Winkel, die constructible sind, bilden eine abelian Gruppe unter der Hinzufügung modulo 2π (der Multiplikation der Punkte auf dem Einheitskreis entspricht, der als komplexe Zahlen angesehen ist). Die Winkel, die constructible sind, sind genau diejenigen, deren Tangente (oder gleichwertig, Sinus oder Kosinus) constructible als eine Zahl ist. Zum Beispiel ist der regelmäßige heptadecagon constructible weil

wie entdeckt, durch Gauss.

Die Gruppe von Constructible-Winkeln wird unter der Operation geschlossen, die Hälften umbiegen (der Einnahme von Quadratwurzeln entspricht). Die einzigen Winkel der begrenzten Ordnung, die gebaut werden kann, mit zwei Punkten anfangend, sind diejenigen, deren Ordnung entweder eine Macht zwei oder ein Produkt einer Macht von zwei und einer Reihe verschiedener Blüte von Fermat ist. Außerdem gibt es einen dichten Satz von constructible Winkeln der unendlichen Ordnung.

Kompass und Haarlineal-Aufbauten als komplizierte Arithmetik

In Anbetracht einer Reihe von Punkten im Euklidischen Flugzeug, irgendwelche von ihnen auswählend, um 0 genannt zu werden, und erlaubt ein anderer, um 1, zusammen mit einer willkürlichen Wahl der Orientierung genannt zu werden, uns, die Punkte als eine Reihe von komplexen Zahlen zu betrachten.

In Anbetracht jeder solcher Interpretation von einer Reihe von Punkten als komplexe Zahlen sind die Punkte constructible das Verwenden gültigen Kompasses und Haarlineal-Aufbauten allein genau die Elemente des kleinsten Feldes, das den ursprünglichen Satz von Punkten und geschlossen unter den komplizierten verbundenen und Quadratwurzel-Operationen enthält (um Zweideutigkeit zu vermeiden, wir können die Quadratwurzel mit dem komplizierten Argument weniger angeben als π). Die Elemente dieses Feldes sind genau diejenigen, die als eine Formel in den ursprünglichen Punkten mit nur die Operationen von Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation, Abteilung, komplizierter verbundener und Quadratwurzel ausgedrückt werden können, die, wie man leicht sieht, eine zählbare dichte Teilmenge des Flugzeugs ist. Jede dieser sechs Operationen entsprechend einem einfachen Kompass und Haarlineal-Aufbaus. Von solch einer Formel ist es aufrichtig, um einen Aufbau des entsprechenden Punkts durch das Kombinieren der Aufbauten für jede der arithmetischen Operationen zu erzeugen. Effizientere Aufbauten eines besonderen Satzes von Punkten entsprechen Abkürzungen in solchen Berechnungen.

Gleichwertig (und ohne Bedürfnis, zwei Punkte willkürlich zu wählen), können wir sagen, dass, in Anbetracht einer willkürlichen Wahl der Orientierung, eine Reihe von Punkten eine Reihe komplizierter Verhältnisse bestimmt, die durch die Verhältnisse der Unterschiede zwischen irgendwelchen zwei Paaren von Punkten gegeben ist. Der Satz von Verhältnissen constructible das Verwenden des Kompasses und Haarlineals von solch einem Satz von Verhältnissen ist genau das kleinste Feld, das die ursprünglichen Verhältnisse enthält, und geschlossen unter der Einnahme des Komplexes paart sich und Quadratwurzeln.

Zum Beispiel sind der echte Teil, der imaginäre Teil und das Modul eines Punkts oder Verhältnisses z (Einnahme von einem der zwei Gesichtspunkte oben) constructible, weil diese als ausgedrückt werden können

Die Verdoppelung des Würfels und der Dreiteilung eines Winkels (abgesehen von speziellen Winkeln wie jeder solcher φ, dass φ/6π eine rationale Zahl mit dem Nenner das Produkt einer Macht von zwei und einer Reihe verschiedener Blüte von Fermat ist) verlangt Verhältnisse, die die Lösung von kubischen Gleichungen sind, während Quadrieren der Kreis ein transzendentales Verhältnis verlangt. Keiner von diesen ist in den beschriebenen Feldern, folglich besteht kein Kompass- und Haarlineal-Aufbau für diese.

Unmögliche Aufbauten

Quadrieren der Kreis

Das berühmteste von diesen Problemen, Quadrieren der Kreis, der sonst als die Quadratur des Kreises bekannt ist, schließt das Konstruieren eines Quadrats mit dem gemeinsamen Bereich als ein gegebener Kreis mit nur das Haarlineal und den Kompass ein.

Quadrieren der Kreis ist unmöglich bewiesen worden, weil es das Erzeugen eines transzendentalen Verhältnisses einschließt, d. h. Nur bestimmte algebraische Verhältnisse können mit dem Lineal und Kompass allein, nämlich diejenigen gebaut werden, die von den ganzen Zahlen mit einer begrenzten Folge von Operationen von Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation, Abteilung und Quadratwurzeln gebaut sind. Der Ausdruck "Quadrieren der Kreis" wird häufig verwendet, um zu bedeuten, "den Unmöglichen" aus diesem Grund zu tun.

Ohne die Einschränkung, Lösung durch das Lineal und den Kompass allein zu verlangen, ist das Problem durch ein großes Angebot an den geometrischen und algebraischen Mitteln leicht lösbar, und ist oft in der Altertümlichkeit behoben worden.

Verdoppelung des Würfels

Verdoppelung des Würfels: Das Verwenden nur eines Haarlineals und Kompasses, bauen Sie die Seite eines Würfels, der zweimal das Volumen eines Würfels mit einer gegebenen Seite hat. Das ist unmöglich, weil die Würfel-Wurzel 2, obwohl algebraisch, von ganzen Zahlen durch Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation, Abteilung nicht geschätzt werden kann, und Quadratwurzeln nehmend. Das folgt, weil sein minimales Polynom über den rationals Grad 3 hat. Dieser Aufbau ist das mögliche Verwenden eines Lineals mit zwei Zeichen darauf und eines Kompasses.

Winkeldreiteilung

Winkeldreiteilung: Verwendend nur eines Lineals und eines Kompasses, bauen Sie einen Winkel, der ein Drittel eines gegebenen willkürlichen Winkels ist. Das ist im allgemeinen Fall unmöglich. Zum Beispiel: Obwohl der Winkel von π/3 radians (60 °) nicht dreimal geteilt werden kann, kann der Winkel 2π/5 radians (72 ° = 360 °/5) dreimal geteilt werden.

Das Konstruieren regelmäßiger Vielecke

Einige regelmäßige Vielecke (z.B ein Pentagon) sind leicht, mit dem Lineal und Kompass zu bauen; andere sind nicht. Das hat zur Frage geführt: Ist es möglich, alle regelmäßigen Vielecke mit dem Lineal und Kompass zu bauen?

Carl Friedrich Gauss 1796 hat gezeigt, dass ein regelmäßiges n-sided Vieleck mit dem Lineal und Kompass gebaut werden kann, wenn die sonderbaren Hauptfaktoren von n verschiedene Blüte von Fermat sind. Gauss hat vermutet, dass diese Bedingung auch notwendig war, aber er hat keinen Beweis dieser Tatsache angeboten, die von Pierre Wantzel 1837 zur Verfügung gestellt wurde.

Das Konstruieren mit nur dem Lineal oder nur Kompass

Es ist (gemäß dem Mohr-Mascheroni Lehrsatz) möglich, irgendetwas mit gerade einem Kompass zu bauen, wenn es mit einem Lineal und Kompass gebaut werden kann, vorausgesetzt, dass die gegebenen Daten und die zu findenden Daten aus getrennten Punkten (nicht Linien oder Kreise) bestehen. Es ist unmöglich, eine Quadratwurzel mit gerade einem Lineal zu nehmen, so können einige Dinge, die mit einem Lineal nicht gebaut werden können, mit einem Kompass gebaut werden; aber (durch den Lehrsatz von Poncelet-Steiner) gegeben ein einzelner Kreis und sein Zentrum können sie gebaut werden.

Verlängerte Aufbauten

Lineale von Markable

Archimedes und Apollonius haben Aufbauten gegeben, die mit dem Gebrauch eines markable Lineals verbunden sind. Das würde ihnen erlauben, zum Beispiel ein Liniensegment, zwei Linien (oder Kreise), und ein Punkt zu nehmen; und dann ziehen Sie eine Linie, die den gegebenen Punkt durchführt und beide Linien, und solch durchschneidet, dass die Entfernung zwischen den Punkten der Kreuzung dem gegebenen Segment gleichkommt. Das, das die Griechen neusis ("Neigung", "Tendenz" oder "verging") genannt haben, weil die neue Linie zum Punkt neigt.

In diesem ausgebreiteten Schema ist jede Entfernung, deren Verhältnis zu einer vorhandenen Entfernung die Lösung eines kubischen oder einer quartic Gleichung ist, constructible. Hieraus folgt dass, wenn markable Linealen und neusis, die Dreiteilung des Winkels erlaubt wird (sieh die Dreiteilung von Archimedes), und die Verdoppelung des Würfels erreicht werden kann; die Quadratur des Kreises ist noch unmöglich. Einige regelmäßige Vielecke, wie das Heptagon, werden constructible; und John H. Conway gibt Aufbauten für mehrere von ihnen; aber das 11-seitige Vieleck, der hendecagon, ist noch, und ungeheuer viele andere unmöglich.

Wenn nur ein Winkel trisector erlaubt wird, gibt es eine ganze Beschreibung aller regelmäßigen Vielecke, die gebaut werden können, einschließlich des obengenannten hat regelmäßiges Heptagon, triskaidecagon (13-gon) und (19-gon) enneadecagon erwähnt. Es ist offen, ob es ungeheuer viele Blüte p gibt, für den ein regelmäßiger p-gon constructible mit dem Lineal, Kompass und einem Winkel trisector ist.

Origami

Die mathematische Theorie des Origamis ist stärker als Kompass und staightedge Aufbau. Falten, die die Huzita-Hatori Axiome befriedigen, können genau denselben Satz von Punkten wie die verlängerten Aufbauten mit einem Kompass und einem gekennzeichneten Lineal bauen. Deshalb kann Origami auch verwendet werden, um kubische Gleichungen (und folglich quartic Gleichungen) zu lösen, und so zwei der klassischen Probleme zu beheben.

Das Erweiterungsfeld

In abstrakten Begriffen mit diesen stärkeren Werkzeugen entweder von neusis erweitert das Verwenden eines markable Lineals oder von der Aufbauten des Origamis das Feld von constructible Zahlen zu einem größeren Teilfeld der komplexen Zahlen, das nicht nur die Quadratwurzel, sondern auch die Würfel-Wurzeln von jedem Element enthält. Die arithmetischen Formeln für Constructible-Punkte, die oben beschrieben sind, haben Analogien in diesem größeren Feld, Formeln erlaubend, die Würfel-Wurzeln ebenso einschließen. Die Felderweiterung, die durch jeden zusätzlichen Punkt constructible in diesem größeren Feld erzeugt ist, hat Grad ein Vielfache einer Macht zwei und einer Macht drei, und kann in einen Turm von Erweiterungen des Grads 2 und 3 gebrochen werden.

Neue Forschung

Simon Plouffe hat eine Zeitung geschrieben, die sich zeigt, wie Lineal und Kompass als ein einfacher Computer mit der unerwarteten Macht verwendet werden können, binäre Ziffern von bestimmten Anzahlen zu schätzen.

Siehe auch

• Zahl von Constructible
• Vieleck von Constructible
• Geometrography
• Interaktive Geometrie-Software kann dem Benutzer erlauben, Aufbauten des Lineals-Und-Kompasses zu schaffen und zu manipulieren.
• Liste der interaktiven Geometrie-Software, die meisten von ihnen zeigen Kompass und Haarlineal-Aufbauten
• Mohr-Mascheroni Lehrsatz
• Lehrsatz von Poncelet-Steiner

Links

• Die Lineal-Aufbauten von Van Schooten an der Konvergenz
• Online-Bauwerkzeug des Lineals-Und-Kompasses
• Quadrieren der Kreis
• Unmöglichkeit des Quadrierens der Kreis
• Die Verdoppelung des Würfels
• Winkeldreiteilung
• Eine Untersuchung von historischen geometrischen Aufbauten an der Konvergenz
• Dreiteilung eines Winkels
• Regelmäßige Vieleck-Aufbauten
• Der Gebrauch von Simon Plouffe des Lineals und Kompasses als ein Computer
• Warum Gauss Notwendigkeit von constructible regelmäßigen Vielecken nicht bewiesen haben könnte
• Aufbau mit dem Kompass Nur an der Knoten-Kürzung
• Renaissance die Aufbauten von Künstlern von regelmäßigen Vielecken an der Konvergenz
• Winkeldreiteilung durch Hippocrates
• Verschiedene Aufbauten mit dem Kompass und Haarlineal Mit interaktiven belebten schrittweisen Instruktionen
• Mathetrick-Hilfe Entwerfen Sie Geschäftsprojekte: Meistern Sie einen einfachen Kompass, und Sie sind ein Entwerfer; wandeln Sie Ihren Router in einen mit einem Netz um, und weg gehen Sie, Populäre Wissenschaft, Mai 1971, p104,106,108, Artikel Scanned über Google-Bücher: