Ein Punkt im Euklidischen Flugzeug ist ein Constructible-Punkt, wenn, in Anbetracht eines festen Koordinatensystems (oder ein festes Liniensegment der Einheitslänge), der Punkt mit dem ungeherrschten Haarlineal und Kompass gebaut werden kann. Eine komplexe Zahl ist eine constructible Zahl, wenn sein entsprechender Punkt im Euklidischen Flugzeug constructible vom üblichen x- und den Y-Koordinatenäxten ist.

Es kann dann gezeigt werden, dass eine reelle Zahl r constructible ist, wenn, und nur wenn, in Anbetracht eines Liniensegmentes der Einheitslänge, ein Liniensegment der Länge |r | mit dem Kompass und Haarlineal gebaut werden kann. Es kann auch gezeigt werden, dass eine komplexe Zahl constructible ist, wenn, und nur wenn seine echten und imaginären Teile constructible sind.

Der Satz von constructible Zahlen kann auf der Sprache der Feldtheorie völlig charakterisiert werden: Die constructible Zahlen bilden die kleinste Felderweiterung der rationalen Zahlen, die unter der Quadratwurzel und komplizierten Konjugation geschlossen wird. Das hat die Wirkung, geometrische Fragen über den Kompass und die Haarlineal-Aufbauten in die Algebra umzugestalten. Diese Transformation führt zu den Lösungen vieler berühmter mathematischer Probleme, die sich über Jahrhunderte des Angriffs hinweggesetzt haben.

Geometrische Definitionen

Die geometrische Definition eines Constructible-Punkts ist wie folgt. Erstens, für irgendwelche zwei verschiedenen Punkte P und Q im Flugzeug, lassen Sie L (P, Q) zeigen die einzigartige Linie durch P und Q an, und lassen C (P, Q) zeigen den einzigartigen Kreis mit dem Zentrum P an, Q. durchführend (Bemerken Sie dass die Ordnung von P und Q Sachen für den Kreis.) Durch die Tagung, L (P, P) = C (P, P) = {P}. Dann ist ein Punkt Z constructible von E, F, G und H wenn irgendein

1. Z ist in der Kreuzung von L (E, F) und L (G, H), wo L (E, F)  L (G, H);
2. Z ist in der Kreuzung von C (E, F) und C (G, H), wo C (E, F)  C (G, H);
3. Z ist in der Kreuzung von L (E, F) und C (G, H).

Da die Ordnung von E, F, G, und H in der obengenannten Definition irrelevant sind, können die vier Briefe in jedem Fall permutiert werden. Gestellt einfach ist Z constructible von E, F, G und H, wenn es in der Kreuzung irgendwelcher zwei verschiedenen Linien, oder irgendwelcher zwei verschiedenen Kreise, oder einer Linie und eines Kreises liegt, wo diese Linien und/oder Kreise durch E, F, G, und H im obengenannten Sinn bestimmt werden können.

Lassen Sie jetzt A und A′ seien Sie irgendwelche zwei verschiedenen festen Punkte im Flugzeug. Ein Punkt Z ist constructible wenn irgendein

1. Z = A;
2. Z =

1. dort bestehen Sie Punkte P..., P, mit Z = P, solch, dass für den ganzen j  1 P constructible von Punkten im Satz {A, A&prime ist; P..., P\.

Gestellt einfach ist Z constructible, wenn es entweder A oder A&prime ist; oder wenn es von einer begrenzten Folge von Punkten erreichbar ist, die mit A und A&prime anfangen; wo jeder neue Punkt constructible von vorherigen Punkten in der Folge ist.

Zum Beispiel, der Zentrum-Punkt von A und A′ wird wie folgt definiert. Die Kreise C (A, A&prime) und C (A′ schneiden Sie sich A) in zwei verschiedenen Punkten; diese Punkte bestimmen eine einzigartige Linie, und das Zentrum wird definiert, um die Kreuzung dieser Linie mit L zu sein (A, A&prime).

Transformation in die Algebra

Alle rationalen Zahlen sind constructible, und alle constructible Zahlen sind algebraische Zahlen. Außerdem, wenn a und b constructible Zahlen mit b  0 sind, dann und a/b sind constructible. So bildet der Satz K aller constructible komplexen Zahlen ein Feld, ein Teilfeld des Feldes von algebraischen Zahlen.

Außerdem wird K unter Quadratwurzeln und komplizierter Konjugation geschlossen. Diese Tatsachen können verwendet werden, um das Feld von constructible Zahlen zu charakterisieren, weil, hauptsächlich, die Gleichungsdefinieren-Linien und Kreise nicht schlechter sind als quadratisch. Die Charakterisierung ist der folgende: Eine komplexe Zahl ist constructible, wenn, und nur wenn es in einem Feld an der Oberseite von einem begrenzten Turm von quadratischen Erweiterungen liegt, mit dem vernünftigen Feld Q anfangend. Genauer ist z constructible, wenn, und nur wenn dort ein Turm von Feldern besteht

wo z in K und für den ganzen 0  j ist: K] = 2.

Unmögliche Aufbauten

Die algebraische Charakterisierung von constructible Zahlen stellt eine wichtige notwendige Bedingung für constructibility zur Verfügung: Wenn z constructible ist, dann ist es algebraisch, und sein minimales nicht zu vereinfachendes Polynom hat Grad eine Macht 2, oder gleichwertig, die Felderweiterung Q (z)/Q hat Dimension eine Macht 2. Man sollte bemerken, dass es, wahr (aber nicht offensichtlich ist zu zeigen), dass das gegenteilige falsch ist - ist das nicht eine genügend Bedingung für constructibility. Jedoch kann dieser Defekt durch das Betrachten des normalen Verschlusses von Q (z)/Q behoben werden.

Der non-constructibility von bestimmten Anzahlen beweist die Unmöglichkeit von bestimmten von den Philosophen des alten Griechenlands versuchten Problemen. In der folgenden Karte vertritt jede Reihe ein spezifisches altes Bauproblem. Die linke Säule gibt den Namen des Problems. Die zweite Säule gibt eine gleichwertige algebraische Formulierung des Problems. Mit anderen Worten ist die Lösung des Problems bejahend, wenn, und nur wenn jede Zahl im gegebenen Satz von Zahlen constructible ist. Schließlich stellt die letzte Säule das einfachste bekannte Gegenbeispiel zur Verfügung. Mit anderen Worten ist die Zahl in der letzten Säule ein Element des Satzes in derselben Reihe, aber ist nicht constructible.

Siehe auch

• Berechenbare Zahl
• Definierbare reelle Zahl
• Kompass und Haarlineal-Aufbauten

Referenzen

• Constructible Zahlen an der Knoten-Kürzung