In der Geometrie ist ein Koordinatensystem ein System, das eine oder mehr Zahlen oder Koordinaten verwendet, um die Position eines Punkts oder anderen geometrischen Elements auf einer Sammelleitung wie Euklidischer Raum einzigartig zu bestimmen. Die Ordnung der Koordinaten ist bedeutend, und sie werden manchmal durch ihre Position in einem bestellten Tupel und manchmal durch einen Brief, als in 'der X-Koordinate' identifiziert. In der elementaren Mathematik werden die Koordinaten genommen, um reelle Zahlen zu sein, aber können komplexe Zahlen oder Elemente eines abstrakteren Systems wie ein Ersatzring sein. Der Gebrauch eines Koordinatensystems erlaubt Problemen in der Geometrie, in Probleme über Zahlen und umgekehrt übersetzt zu werden; das ist die Basis der analytischen Geometrie.

Ein Beispiel im täglichen Gebrauch ist das System, Länge und Breite zu geografischen Positionen zuzuteilen. In der Physik wird ein Koordinatensystem, das verwendet ist, um Punkte im Raum zu beschreiben, ein Bezugssystem genannt.

Zahlenstrahl

Das einfachste Beispiel eines Koordinatensystems ist die Identifizierung von Punkten auf einer Linie mit reellen Zahlen mit dem Zahlenstrahl. In diesem System wird ein willkürlicher Punkt O (der Ursprung) auf einer gegebenen Linie gewählt. Die Koordinate eines Punkts P wird als die unterzeichnete Entfernung von O bis P definiert, wo die unterzeichnete Entfernung die Entfernung genommen als positiv oder negativ ist, abhängig von dem die Seite der Linie P lügt. Jeder Punkt wird eine einzigartige Koordinate gegeben, und jede reelle Zahl ist die Koordinate eines einzigartigen Punkts.

Kartesianisches Koordinatensystem

Das archetypische Beispiel eines Koordinatensystems ist das Kartesianische Koordinatensystem. Im Flugzeug werden zwei Lotlinien gewählt, und die Koordinaten eines Punkts werden genommen, um die unterzeichneten Entfernungen zu den Linien zu sein.

In drei Dimensionen werden drei rechtwinklige Flugzeuge gewählt, und die drei Koordinaten eines Punkts sind die unterzeichneten Entfernungen zu jedem der Flugzeuge. Das kann verallgemeinert werden, um N-Koordinaten für jeden Punkt im n-dimensional Euklidischen Raum zu schaffen.

Polarkoordinate-System

Ein anderes allgemeines Koordinatensystem für das Flugzeug ist das Polarkoordinate-System. Ein Punkt wird als der Pol gewählt, und ein Strahl von diesem Punkt wird als die polare Achse genommen. Für einen gegebenen Winkel θ gibt es eine einzelne Linie durch den Pol, dessen Winkel mit der polaren Achse θ (gemessen gegen den Uhrzeigersinn von der Achse bis die Linie) ist. Dann gibt es einen einzigartigen Punkt auf dieser Linie, deren unterzeichnete Entfernung vom Ursprung r für die gegebene Nummer r ist. Für ein gegebenes Paar von Koordinaten (r θ) gibt es einen einzelnen Punkt, aber jeder Punkt wird von vielen Paaren von Koordinaten vertreten. Zum Beispiel (r, θ), (r, θ + 2π) und (r, θ +π) sind alle Polarkoordinaten für denselben Punkt. Der Pol wird durch (0, θ) für jeden Wert von θ vertreten.

Zylindrische und kugelförmige Koordinatensysteme

Es gibt zwei übliche Methodik, für das Polarkoordinate-System zu drei Dimensionen zu erweitern. Im zylindrischen Koordinatensystem wird eine Z-Koordinate mit derselben Bedeutung wie in Kartesianischen Koordinaten zum r und den θ Polarkoordinaten hinzugefügt. Kugelförmige Koordinaten nehmen das ein Schritt weiter durch das Umwandeln des Paares von zylindrischen Koordinaten (r, z) zu Polarkoordinaten (ρ, φ) das Geben eines dreifachen (ρ, θ, φ)

Homogenes Koordinatensystem

Ein Punkt im Flugzeug kann in homogenen Koordinaten durch einen dreifachen vertreten werden (x, y, z), wo x/z und y/z die Kartesianischen Koordinaten des Punkts sind. Das führt eine "Extra"-Koordinate ein, da nur zwei erforderlich sind, um einen Punkt auf dem Flugzeug anzugeben, aber dieses System ist darin nützlich, vertritt es jeden Punkt auf dem projektiven Flugzeug ohne den Gebrauch der Unendlichkeit. Im Allgemeinen ist ein homogenes Koordinatensystem dasjenige, wo nur die Verhältnisse der Koordinaten bedeutend sind und nicht die Ist-Werte.

Koordinaten anderer Elemente

Koordinatensysteme werden häufig verwendet, um die Position eines Punkts anzugeben, aber sie können auch verwendet werden, um die Position von komplizierteren Zahlen wie Linien, Flugzeuge, Kreise oder Bereiche anzugeben. Zum Beispiel werden Plücker Koordinaten verwendet, um die Position einer Linie im Raum zu bestimmen. Wenn es ein Bedürfnis gibt, wird der Typ der Zahl, die wird beschreibt, verwendet, um den Typ des Koordinatensystems zu unterscheiden, zum Beispiel koordiniert der Begriff Linie, wird für jedes Koordinatensystem verwendet, das die Position einer Linie angibt.

Es kann vorkommen, dass Systeme von Koordinaten für zwei verschiedene Sätze von geometrischen Zahlen in Bezug auf ihre Analyse gleichwertig sind. Ein Beispiel davon ist die Systeme von homogenen Koordinaten für Punkte und Linien im projektiven Flugzeug. Wie man sagt, sind die zwei Systeme in einem Fall wie das dualistisch. Dualistische Systeme haben das Eigentum, das sich aus einem System ergibt, kann zum anderen vorgetragen werden, da diese Ergebnisse nur verschiedene Interpretationen desselben analytischen Ergebnisses sind; das ist als der Grundsatz der Dualität bekannt.

Transformationen zwischen Koordinatensystemen

Weil es häufig viele verschiedene mögliche Koordinatensysteme gibt, um geometrische Zahlen zu beschreiben, ist es wichtig zu verstehen, wie sie verbunden sind. Solche Beziehungen werden durch Koordinatentransformationen beschrieben, die Formeln für die Koordinaten in einem System in Bezug auf die Koordinaten in einem anderen System geben. Zum Beispiel, im Flugzeug, wenn Kartesianische Koordinaten (x, y) und Polarkoordinaten (r, θ) denselben Ursprung haben, und ist die polare Achse die positive x Achse, dann wird die Koordinatentransformation vom polaren bis Kartesianische Koordinaten durch x = r cosθ und y = r sinθ gegeben.

Koordinatenkurven und Oberflächen

In zwei Dimensionen, wenn alle außer einer Koordinate in einem Punkt-Koordinatensystem festgehalten werden und wird der restlichen Koordinate erlaubt sich zu ändern, dann wird die resultierende Kurve eine Koordinatenkurve genannt (einige Autoren verwenden den Ausdruck "Koordinatenlinie"). Dieses Verfahren hat Sinn nicht immer, zum Beispiel gibt es keine Koordinatenkurven in einem homogenen Koordinatensystem. Im Kartesianischen Koordinatensystem sind die Koordinatenkurven, tatsächlich, Linien. Spezifisch sind sie die Linienparallele zu einer der Koordinatenäxte. Für andere Koordinatensysteme können die Koordinatenkurven allgemeine Kurven sein. Zum Beispiel sind die Koordinatenkurven in erhaltenen Polarkoordinaten durch das Halten r unveränderlich die Kreise mit dem Zentrum am Ursprung. Koordinatensysteme für den Euklidischen Raum außer dem Kartesianischen Koordinatensystem werden krummlinige Koordinatensysteme genannt.

Im dreidimensionalen Raum, wenn eine Koordinate festgehalten wird und wird den restlichen Koordinaten erlaubt sich zu ändern, dann wird die resultierende Oberfläche eine Koordinatenoberfläche genannt. Zum Beispiel sind die erhaltenen Koordinatenoberflächen durch das Halten ρ unveränderlich im kugelförmigen Koordinatensystem die Bereiche mit dem Zentrum am Ursprung. Im dreidimensionalen Raum ist die Kreuzung von zwei Koordinatenoberflächen eine Koordinatenkurve. Koordinatenhyperoberflächen werden ähnlich in höheren Dimensionen definiert.

Koordinatenkarten

Das Konzept einer Koordinatenkarte oder Karte ist zur Theorie von Sammelleitungen zentral. Eine Koordinatenkarte ist im Wesentlichen ein Koordinatensystem für eine Teilmenge eines gegebenen Raums mit dem Eigentum, dass jeder Punkt genau einen Satz von Koordinaten hat. Genauer ist eine Koordinatenkarte ein homeomorphism von einer offenen Teilmenge eines Raums X zu einer offenen Teilmenge von R. Es ist häufig nicht möglich, ein konsequentes Koordinatensystem für einen kompletten Raum zur Verfügung zu stellen. In diesem Fall, eine Sammlung von Koordinatenkarten werden zusammengestellt, um einen Atlas zu bilden, der den Raum bedeckt. Ein mit solch einem Atlas ausgestatteter Raum wird genannt eine mannigfaltige und zusätzliche Struktur kann auf einer Sammelleitung definiert werden, wenn die Struktur entspricht, wo die Koordinate Übergreifen kartografisch darstellt. Zum Beispiel ist eine Differentiable-Sammelleitung eine Sammelleitung, wo die Änderung von Koordinaten von einer Koordinatenkarte bis einen anderen immer eine Differentiable-Funktion ist.

Änderung von Koordinaten

In der Geometrie und kinematics werden Koordinatensysteme nicht nur verwendet, um die (geradlinige) Position von Punkten zu beschreiben, sondern auch die winkelige Position von Äxten, Flugzeugen und starren Körpern zu beschreiben. Im letzten Fall, der Orientierung einer Sekunde (normalerweise verwiesen auf als "lokal") wird Koordinatensystem, das zum Knoten befestigt ist, gestützt auf dem ersten (normalerweise gekennzeichnet als "globales" oder "Welt"-Koordinatensystem) definiert. Zum Beispiel kann die Orientierung eines starren Körpers durch eine Orientierungsmatrix vertreten werden, die, in seinen drei Säulen, den Kartesianischen Koordinaten von drei Punkten einschließt. Diese Punkte werden verwendet, um die Orientierung der Äxte des lokalen Systems zu definieren; sie sind die Tipps von drei nach jenen Äxten ausgerichteten Einheitsvektoren.

Transformationen

Eine Koordinatentransformation ist eine Konvertierung von einem System bis einen anderen, um denselben Raum zu beschreiben.

Mit jeder Bijektion vom Raum bis sich können zwei Koordinatentransformationen vereinigt werden:

• solch, dass die neuen Koordinaten des Images jedes Punkts dasselbe als die alten Koordinaten des ursprünglichen Punkts sind (sind die Formeln dafür, kartografisch darzustellen, das Gegenteil von denjenigen für die Koordinatentransformation)
• solch, dass die alten Koordinaten des Images jedes Punkts dasselbe als die neuen Koordinaten des ursprünglichen Punkts sind (sind die Formeln dafür, kartografisch darzustellen, dasselbe als diejenigen für die Koordinatentransformation)

Zum Beispiel, in 1D, wenn kartografisch darzustellen, eine Übersetzung 3 nach rechts, die ersten Bewegungen der Ursprung von 0 bis 3 ist, so dass die Koordinate jedes Punkts 3 weniger wird, während die zweiten Bewegungen der Ursprung von 0 bis-3, so dass die Koordinate jedes Punkts noch 3 wird.

Systeme allgemein verwendet

Einige Koordinatensysteme sind der folgende:

• Das Kartesianische Koordinatensystem (hat auch das "rechteckige Koordinatensystem" genannt), der, für zwei - und dreidimensionale Räume, zwei und drei Zahlen verwendet, die (beziehungsweise) Entfernungen vom Ursprung in drei gegenseitig rechtwinkligen Richtungen vertreten.
• Krummlinige Koordinaten sind eine Generalisation von Koordinatensystemen allgemein; das System basiert auf der Kreuzung von Kurven.
• Polarkoordinate-System vertritt einen Punkt im Flugzeug durch eine Entfernung vom Ursprung und einem Winkel, der von einer Bezugslinie gemessen ist, die den Ursprung durchschneidet.
• System der Klotz-Polarkoordinate vertritt einen Punkt im Flugzeug durch den Logarithmus der Entfernung vom Ursprung und einem Winkel, der von einer Bezugslinie gemessen ist, die den Ursprung durchschneidet.
• Zylindrisches Koordinatensystem vertritt einen Punkt im Drei-Räume-Verwenden zwei rechtwinkliger Äxte; Entfernung wird entlang einer Achse, während die andere Achse formes die Bezugslinie für eine Polarkoordinate-Darstellung der restlichen zwei Bestandteile gemessen.
• Kugelförmiges Koordinatensystem vertritt einen Punkt in drei Raum durch die Entfernung vom Ursprung und den zwei Winkeln, die von zwei Bezugslinien gemessen sind, die den Ursprung durchschneiden.
• Koordinaten von Plücker sind eine Weise, Linien im Euklidischen 3D-Raum mit einer sechs-Tupel-von Zahlen als homogene Koordinaten zu vertreten.
• Verallgemeinerte Koordinaten werden in der Behandlung von Lagrangian der Mechanik verwendet.
• Kanonische Koordinaten werden in der Behandlung von Hamiltonian der Mechanik verwendet.
• Parallele Koordinaten vergegenwärtigen sich einen Punkt im n-dimensional Raum als eine Polylinie, die Punkte auf n vertikalen Linien verbindet.
• Barycentric koordiniert (Mathematik), wie verwendet, für Ternary_plot

Es gibt Weisen, Kurven ohne Koordinaten mit inneren Gleichungen zu beschreiben, die invariant Mengen wie Krümmung und Kreisbogen-Länge verwenden. Diese schließen ein:

• Gleichung von Whewell verbindet Kreisbogen-Länge und tangentialen Winkel.
• Gleichung von Cesàro verbindet Kreisbogen-Länge und Krümmung.

Liste von orthogonalen Koordinatensystemen

In der Mathematik sind zwei Vektoren orthogonal, wenn sie rechtwinklig sind. Die folgenden Koordinatensysteme alle haben die Eigenschaften, orthogonale Koordinatensysteme zu sein, der die Koordinatenoberflächen ist, treffen sich rechtwinklig.

Siehe auch

• Aktive und passive Transformation
• Alphanumerischer Bratrost
• Bezugssystem
• Galiläische Transformation
• Koordinatenfreier
• Nomogram, grafische Darstellungen von verschiedenen Koordinatensystemen
• Geografisches Koordinatensystem
• Astronomische Koordinatensysteme
• Axt-Vereinbarung in der Technik

Links

• Sechseckiges Koordinatensystem