In der Mathematik bezieht sich Krümmung auf einige mehrerer lose zusammenhängender Konzepte in verschiedenen Gebieten der Geometrie. Intuitiv ist Krümmung der Betrag, durch den ein geometrischer Gegenstand davon abgeht, flach, oder gerade im Fall von einer Linie zu sein, aber das wird unterschiedlich abhängig vom Zusammenhang definiert. Es gibt eine Schlüsselunterscheidung zwischen der unwesentlichen Krümmung, die für Gegenstände definiert wird, die in einem anderen Raum (gewöhnlich ein Euklidischer Raum) in einem Weg eingebettet sind, der sich auf den Radius der Krümmung von Kreisen bezieht, die den Gegenstand und die innere Krümmung berühren, die an jedem Punkt in einer Sammelleitung von Riemannian definiert wird. Dieser Artikel befasst sich in erster Linie mit dem ersten Konzept.

Das kanonische Beispiel der unwesentlichen Krümmung ist das eines Kreises, der überall dem Gegenstück seines Radius gleiche Krümmung hat. Kleinere Kreise biegen sich schärfer, und haben folglich höhere Krümmung. Die Krümmung einer glatten Kurve wird als die Krümmung seines oskulierenden Kreises an jedem Punkt definiert.

In einem Flugzeug ist das eine Skalarmenge, aber in drei oder mehr Dimensionen wird es durch einen Krümmungsvektoren beschrieben, der die Richtung der Kurve sowie seiner Schärfe in Betracht zieht. Die Krümmung von komplizierteren Gegenständen (wie Oberflächen oder sogar gebogene n-dimensional Räume) wird durch kompliziertere Gegenstände von der geradlinigen Algebra wie der Krümmungstensor von General Riemann beschrieben.

Der Rest dieses Artikels, bespricht von einer mathematischen Perspektive, einigen geometrischen Beispielen der Krümmung: Die Krümmung einer Kurve, die in einem Flugzeug und der Krümmung einer Oberfläche im Euklidischen Raum eingebettet ist.

Sieh die Verbindungen unten für die weiterführende Literatur.

Krümmung von Flugzeug-Kurven

Cauchy hat das Zentrum der Krümmung C als der Kreuzungspunkt von zwei ungeheuer nahen normals zur Kurve, dem Radius der Krümmung als die Entfernung vom Punkt bis C und die Krümmung selbst als das Gegenteil des Radius der Krümmung definiert.

Lassen Sie C eine Flugzeug-Kurve sein (die genauen technischen Annahmen werden unten gegeben). Die Krümmung von C an einem Punkt ist ein Maß dessen, wie empfindlich seine Tangente-Linie zum Bewegen des Punktes zu anderen nahe gelegenen Punkten ist. Es gibt mehrere gleichwertige Weisen, wie diese Idee genau gemacht werden kann.

Ein Weg ist geometrisch. Es ist natürlich, die Krümmung einer Gerade zu definieren, um identisch Null-zu sein. Die Krümmung eines Kreises des Radius R sollte groß sein, wenn R klein und klein ist, wenn R groß ist. So wird die Krümmung eines Kreises definiert, um das Gegenstück des Radius zu sein:

:

In Anbetracht jeder Kurve C und eines Punkts P darauf gibt es einen einzigartigen Kreis oder Linie, die am nächsten der Kurve in der Nähe von P, dem oskulierenden Kreis an P näher kommt. Die Krümmung von C an P wird dann definiert, um die Krümmung dieses Kreises oder Linie zu sein. Der Radius der Krümmung wird als das Gegenstück der Krümmung definiert.

Eine andere Weise, die Krümmung zu verstehen, ist physisch. Nehmen Sie an, dass eine Partikel die Kurve mit der Einheitsgeschwindigkeit vorankommt. s als der Parameter für C Zeit in Anspruch nehmend, stellt das einen natürlichen parametrization für die Kurve zur Verfügung. Der Einheitstangente-Vektor T (der auch der Geschwindigkeitsvektor, seit ist, bewegt sich der Partikel mit der Einheitsgeschwindigkeit), hängt auch rechtzeitig ab. Die Krümmung ist dann der Umfang der Rate der Änderung von T. Symbolisch,

:

Das ist der Umfang der Beschleunigung der Partikel, und der Vektor ist der Beschleunigungsvektor. Geometrisch misst die Krümmung, wie schnell der Einheitstangente-Vektor zur Kurve rotiert. Wenn eine Kurve in der Nähe von derselben Richtung behält, ändert sich der Einheitstangente-Vektor sehr wenig, und die Krümmung ist klein; wo die Kurve eine dichte Umdrehung erlebt, ist die Krümmung groß.

Diese zwei Annäherungen an die Krümmung sind geometrisch durch die folgende Beobachtung verbunden. In der ersten Definition ist die Krümmung eines Kreises dem Verhältnis des Winkels eines Kreisbogens zu seiner Länge gleich. Ebenfalls ist die Krümmung einer Flugzeug-Kurve an jedem Punkt das Begrenzungsverhältnis dθ ein unendlich kleiner Winkel (in radians) zwischen Tangenten zu dieser Kurve an den Enden eines unendlich kleinen Segmentes der Kurve, zur Länge dieses Segmentes ds, d. h., dθ/ds. Wenn die Tangenten an den Enden des Segmentes durch Einheitsvektoren vertreten werden, ist es leicht zu zeigen, dass in dieser Grenze der Umfang des Unterschied-Vektoren d&theta gleich ist; der zum gegebenen Ausdruck in der zweiten Definition der Krümmung führt.

Genaue Definition

Nehmen Sie an, dass C zweimal unaufhörlich differentiable versenkte Flugzeug-Kurve ist, die hier bedeutet, dass dort parametrische Darstellung von C durch ein Paar von solchen Funktionen besteht, dass die ersten und zweiten Ableitungen von x und y sowohl bestehen als auch, und dauernd

sind:

überall im Gebiet. Für solch eine Flugzeug-Kurve, dort besteht ein reparametrization in Bezug auf die Kreisbogen-Länge s. Das ist ein parametrization von solchem C dass

:

Der Geschwindigkeitsvektor T (s) ist der Einheitstangente-Vektor. Die Einheit normaler Vektor N (s), die Krümmung κ (s), die orientierte oder unterzeichnete Krümmung k (s), und der Radius der Krümmung R (s) wird durch gegeben

:

Ausdrücke, für die Krümmung in willkürlichen Koordinatensystemen zu berechnen, werden unten gegeben.

Unterzeichnete Krümmung

Das Zeichen der unterzeichneten Krümmung k zeigt die Richtung an, in der der Einheitstangente-Vektor als eine Funktion des Parameters entlang der Kurve rotiert. Wenn die Einheitstangente gegen den Uhrzeigersinn, dann k> 0 rotiert. Wenn es im Uhrzeigersinn, dann k rotiert

wo sich Blüte auf Ableitungen in Bezug auf den Parameter t bezieht. Die unterzeichnete Krümmung k ist

:

Diese können auf eine koordinatenunabhängige Weise über ausgedrückt werden

:

Krümmung eines Graphen

Für den weniger allgemeinen Fall einer Flugzeug-Kurve gegeben ausführlich als, und jetzt das Verwenden der Blüte für Ableitungen in Bezug auf die Koordinate x ist die Krümmung

:

und die unterzeichnete Krümmung ist

:

Diese Menge ist in der Physik und Technik üblich; zum Beispiel, in den Gleichungen des Verbiegens in Balken, 1D Vibrieren einer angespannten Schnur, Annäherungen an die Flüssigkeitsströmung um Oberflächen (in der Luftfahrt), und die freien Oberflächengrenzbedingungen in Ozeanwellen. In solchen Anwendungen wird die Annahme fast immer gemacht, dass der Hang im Vergleich zur Einheit, so dass die Annäherung klein ist:

:

kann verwendet werden. Diese Annäherung gibt eine aufrichtige geradlinige Gleichung nach, die das Phänomen beschreibt.

Wenn eine Kurve in Polarkoordinaten als definiert wird, dann ist seine Krümmung

:

wo hier sich die Blüte jetzt auf die Unterscheidung in Bezug darauf bezieht.

Beispiel

Denken Sie die Parabel. Wir können die Kurve einfach als parametrisieren. Wenn wir Blüte für Ableitungen in Bezug auf den Parameter t, dann verwenden

:Wenn Sie

vertreten und unnötige absolute Werte fallen lassen, bekommen Sie

:

Krümmung von Raumkurven

Als im Fall von Kurven in zwei Dimensionen ist die Krümmung einer regelmäßigen Raumkurve C in drei Dimensionen (und höher) der Umfang der Beschleunigung einer Partikel, die sich mit der Einheitsgeschwindigkeit entlang einer Kurve bewegt. So, wenn γ (s) der arclength parametrization C dann ist, wird der Einheitstangente-Vektor T (s) durch gegeben

:

und die Krümmung ist der Umfang der Beschleunigung:

:

Die Richtung der Beschleunigung ist die Einheit normaler Vektor N (s), der durch definiert wird

:

Das Flugzeug, das die zwei Vektoren T (s) und N (s) enthält, wird das oskulierende Flugzeug zur Kurve an γ (s) genannt. Die Krümmung hat die folgende geometrische Interpretation. Dort besteht ein Kreis in der oskulierenden Flugzeug-Tangente zu γ (s), dessen Reihe von Taylor zur zweiten Ordnung am Punkt des Kontakts mit der &gamma übereinstimmt; (s). Das ist der oskulierende Kreis zur Kurve. Der Radius des Kreises R (s) wird den Radius der Krümmung genannt, und die Krümmung ist das Gegenstück des Radius der Krümmung:

:

Die Tangente, die Krümmung und der normale Vektor beschreiben zusammen das Verhalten der zweiten Ordnung einer Kurve in der Nähe von einem Punkt. In drei Dimensionen wird das dritte Ordnungsverhalten einer Kurve durch einen zusammenhängenden Begriff der Verdrehung beschrieben, die das Ausmaß misst, für das eine Kurve dazu neigt, einen Korkenzieher im Raum durchzuführen. Die Verdrehung und Krümmung sind durch die Frenet-Serret Formeln (in drei Dimensionen) und ihre Generalisation (in höheren Dimensionen) verbunden.

Lokale Ausdrücke

Für eine parametrisch definierte Raumkurve in drei Dimensionen, die in Kartesianischen Koordinaten durch, gegeben sind

die Krümmung ist

:

wo die Blüte Unterscheidung in Bezug auf die Zeit t anzeigt. Das kann unabhängig vom Koordinatensystem mittels der Formel ausgedrückt werden

:

wo das Vektor-Kreuzprodukt ist. Gleichwertig,

:

Hier zeigt der t an, dass die Matrix umstellt. Diese letzte Formel ist auch für die Krümmung von Kurven in einem Euklidischen Raum jeder Dimension gültig.

Krümmung vom Kreisbogen und der Akkord-Länge

In Anbetracht zwei Punkte P und Q auf C, lassen Sie s (P, Q) die Kreisbogen-Länge des Teils der Kurve zwischen P sein, und Q und d (P, Q) zu lassen, zeigen die Länge des Liniensegmentes von P bis Q an. Die Krümmung von C an P wird durch die Grenze gegeben

:

wo die Grenze als der Punkt Q genommen wird, nähert sich P auf C. Der Nenner kann ebenso gut genommen werden, um d (P, Q) zu sein. Die Formel ist in jeder Dimension gültig. Außerdem, durch das Betrachten der Grenze unabhängig auf beiden Seiten P, kann diese Definition der Krümmung manchmal eine Eigenartigkeit an P anpassen. Die Formel folgt durch das Überprüfen davon für den oskulierenden Kreis.

Kurven auf Oberflächen

Wenn eine dimensionale Kurve auf einer zwei dimensionalen Oberfläche liegt, die in drei Dimensionen R eingebettet ist, sind weitere Maßnahmen der Krümmung

verfügbar, die den mit der Einheit normalen Vektoren der Oberfläche, u in die Rechnung nehmen. Das sind die normale Krümmung, geodätische Krümmung und geodätische Verdrehung.

Jede nichtsinguläre Kurve auf einer glatten Oberfläche wird seinen Tangente-Vektoren T haben, in der Tangentialebene des orthogonalen Oberflächen-liegend

zum normalen Vektoren. Die normale Krümmung, k, ist die Krümmung der Kurve, die auf das Flugzeug geplant ist, das die Tangente der Kurve T und den normalen Oberflächenu enthält; die geodätische Krümmung, k, ist die Krümmung der auf den geplanten Kurve

die Tangentialebene der Oberfläche; und die geodätische Verdrehung (oder Verhältnisverdrehung), τ, messen die Rate der Änderung der um die Tangente der Kurve normalen Oberfläche.

Lassen Sie die Kurve eine Einheitsgeschwindigkeitskurve sein und t = u × T zu lassen, so dass T, u, t eine orthonormale Basis bilden: der Rahmen von Darboux. Die obengenannten Mengen sind verbunden durch:

:

\mathbf {T' }\\\

\mathbf {t' }\\\

\mathbf {u' }\

\end {pmatrix }\

\begin {pmatrix }\

0& \kappa_g&\kappa_n \\

- \kappa_g&0&\tau_r \\

- \kappa_n&-\

tau_r&0 \end {pmatrix }\\begin {pmatrix }\

\mathbf {T }\\\

\mathbf {t }\\\

\mathbf {u }\

\end {pmatrix }\</Mathematik>

Hauptkrümmung

Alle Kurven mit demselben Tangente-Vektoren werden dieselbe normale Krümmung haben, die dasselbe als die Krümmung der erhaltenen Kurve durch das Schneiden der Oberfläche mit dem Flugzeug ist, das T und u enthält. Die Einnahme aller möglichen Tangente-Vektoren

dann werden die maximalen und minimalen Werte der normalen Krümmung an einem Punkt die Hauptkrümmungen, k und k genannt, und die Richtungen der entsprechenden Tangente-Vektoren werden Hauptrichtungen genannt.

Zwei Dimensionen: Krümmung von Oberflächen

Krümmung von Gaussian

Im Gegensatz zu Kurven, die innere Krümmung nicht haben, aber wirklich unwesentliche Krümmung haben (haben sie nur eine Krümmung gegeben ein Einbetten), Oberflächen können innere Krümmung haben, die eines Einbettens unabhängig ist. Die Gaussian Krümmung, genannt nach Carl Friedrich Gauss, ist dem Produkt der Hauptkrümmungen, kk gleich. Es hat die Dimension 1/Länge und ist für Bereiche positiv, für die eine Platte hyperboloids und Null für Flugzeuge negativ. Es bestimmt, ob eine Oberfläche lokal ist (wenn es positiv ist), oder lokal Sattel (wenn es negativ ist).

Diese Definition der Krümmung von Gaussian ist darin unwesentlich es verwendet das Einbetten der Oberfläche in R, normalen Vektoren, Außenflugzeuge usw. Krümmung von Gaussian ist jedoch tatsächlich ein inneres Eigentum der Oberfläche, bedeutend, dass es vom besonderen Einbetten der Oberfläche nicht abhängt; intuitiv bedeutet das, dass Ameisen, die von der Oberfläche leben, die Krümmung von Gaussian bestimmen konnten. Zum Beispiel konnte eine Ameise, die von einem Bereich lebt, die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks messen und beschließen, dass es größer war als 180 Grade, andeutend, dass der Raum, den es bewohnt hat, positive Krümmung hatte. Andererseits würde eine Ameise, die von einem Zylinder lebt, keine solche Abfahrt von der Euklidischen Geometrie entdecken, insbesondere konnte die Ameise nicht entdecken, dass die zwei Oberflächen verschiedene Mittelkrümmungen (sieh unten) haben, der ein rein unwesentlicher Typ der Krümmung ist.

Formell hängt Krümmung von Gaussian nur von der Oberfläche metrischem Riemannian ab. Das ist Gauss hat Theorema Egregium gefeiert, den er, während betroffen, mit geografischen Überblicken und Kartografie gefunden hat.

Eine innere Definition der Krümmung von Gaussian an einem Punkt P ist der folgende: Stellen Sie sich eine Ameise vor, die an P mit einem kurzen Faden der Länge r gebunden wird. Sie umläuft P, während der Faden völlig gestreckt wird und die Länge C(r) einer ganzer Reise um P misst. Wenn die Oberfläche flach wäre, würde sie C(r) = 2πr finden. Auf gekrümmten Oberflächen wird die Formel für C(r) verschieden sein, und die Krümmung von Gaussian K am Punkt kann P durch den Lehrsatz von Bertrand-Diquet-Puiseux als geschätzt werden

:

Das Integral der Krümmung von Gaussian über die ganze Oberfläche ist nah mit der Eigenschaft von Euler der Oberfläche verbunden; sieh den Gauss-Häubchen-Lehrsatz.

Das getrennte Analogon der Krümmung, entsprechend der Krümmung, die an einem Punkt und besonders nützlich für Polyeder wird konzentriert, ist der (winkelige) Defekt; das Analogon für den Gauss-Häubchen-Lehrsatz ist der Lehrsatz von Descartes auf dem winkeligen Gesamtdefekt.

Weil Krümmung ohne Berücksichtigung eines Einbetten-Raums definiert werden kann, ist es nicht notwendig, dass eine Oberfläche in einem höheren dimensionalen Raum eingebettet wird, um gebogen zu werden. Solch eine wirklich gekrümmte zweidimensionale Oberfläche ist ein einfaches Beispiel einer Sammelleitung von Riemannian.

Mittelkrümmung

Die Mittelkrümmung ist der Hälfte der Summe der Hauptkrümmungen, (k+k)/2 gleich. Es hat die Dimension 1/Länge. Mittelkrümmung ist nah mit der ersten Schwankung der Fläche, insbesondere eine minimale Oberfläche wie ein Seife-Film verbunden, hat Mittelkrümmungsnull, und eine Seifenblase hat unveränderliche Mittelkrümmung. Verschieden von der Krümmung von Gauss ist die Mittelkrümmung unwesentlich und hängt vom Einbetten zum Beispiel ab, ein Zylinder und ein Flugzeug sind lokal isometrisch, aber die Mittelkrümmung eines Flugzeugs ist Null, während dieser eines Zylinders Nichtnull ist.

Die zweite grundsätzliche Form

Die innere und unwesentliche Krümmung einer Oberfläche kann in der zweiten grundsätzlichen Form verbunden werden. Das ist eine quadratische Form in der Tangentialebene zur Oberfläche an einem Punkt, dessen Wert an einem besonderen Tangente-Vektoren X zur Oberfläche der normale Bestandteil der Beschleunigung einer Kurve entlang der Oberflächentangente zu X ist; d. h. es ist die normale Krümmung zu einer Kurve-Tangente zu X (sieh oben). Symbolisch,

:

wo N die zur Oberfläche normale Einheit ist. Für Einheitstangente-Vektoren X nimmt die zweite grundsätzliche Form an, dass der maximale Wert k und das Minimum k schätzen, die in den Hauptrichtungen u und u beziehungsweise vorkommen. So, durch den Hauptachse-Lehrsatz, ist die zweite grundsätzliche Form

:

So verschlüsselt die zweite grundsätzliche Form sowohl die inneren als auch unwesentlichen Krümmungen.

Ein zusammenhängender Begriff der Krümmung ist der Gestalt-Maschinenbediener, der ein geradliniger Maschinenbediener von der Tangentialebene bis sich ist. Wenn angewandt, auf einen Tangente-Vektoren X zur Oberfläche ist der Gestalt-Maschinenbediener der tangentiale Bestandteil der Rate der Änderung des normalen Vektoren, wenn vorangekommen, eine Kurve auf der Oberflächentangente zu X. Die Hauptkrümmungen sind der eigenvalues des Gestalt-Maschinenbedieners, und tatsächlich haben der Gestalt-Maschinenbediener und die zweite grundsätzliche Form dieselbe Matrixdarstellung in Bezug auf ein Paar von orthonormalen Vektoren der Tangentialebene. Die Krümmung von Gauss ist so die Determinante des Gestalt-Tensor, und die Mittelkrümmung ist Hälfte seiner Spur.

Höhere Dimensionen: Krümmung des Raums

Durch die Erweiterung des ehemaligen Arguments kann ein Raum von drei oder mehr Dimensionen wirklich gebogen werden; die volle mathematische Beschreibung wird an der Krümmung von Sammelleitungen von Riemannian beschrieben. Wieder kann der gekrümmte Raum oder darf als nicht konzipiert werden, in einem hoch-dimensionalen Raum eingebettet werden.

Nachdem die Entdeckung der inneren Definition der Krümmung, die mit der nicht-euklidischen Geometrie, vielen Mathematikern und den Wissenschaftlern nah verbunden wird, infrage gestellt hat, ob gewöhnlicher physischer Raum gebogen werden könnte, obwohl der Erfolg der Euklidischen Geometrie bis zu dieser Zeit bedeutet hat, dass der Radius der Krümmung astronomisch groß sein muss. In der Theorie der allgemeinen Relativität, die Ernst und Kosmologie beschreibt, wird die Idee zur "Krümmung der Raum-Zeit" ein bisschen verallgemeinert; in der Relativitätstheorie ist Raum-Zeit eine Pseudo-Riemannian-Sammelleitung. Sobald eine Zeitkoordinate definiert wird, ist der dreidimensionale Raum entsprechend einer bestimmten Zeit allgemein eine gekrümmte Sammelleitung von Riemannian; aber da die Zeitkoordinatenwahl größtenteils willkürlich ist, ist es die zu Grunde liegende Raum-Zeit-Krümmung, die physisch bedeutend ist.

Obwohl ein willkürlich gekrümmter Raum sehr kompliziert ist, um zu beschreiben, wird die Krümmung eines Raums, der lokal isotropisch ist und homogener, durch eine einzelne Krümmung von Gaussian bezüglich einer Oberfläche beschrieben; mathematisch sind das starke Bedingungen, aber sie entsprechen angemessenen physischen Annahmen (alle Punkte, und alle Richtungen sind nicht zu unterscheidend). Eine positive Krümmung entspricht dem umgekehrten Quadratradius der Krümmung; ein Beispiel ist ein Bereich oder Hyperbereich. Ein Beispiel des negativ gekrümmten Raums ist Hyperbelgeometrie. Ein Raum oder Raum-Zeit mit der Nullkrümmung werden flach genannt. Zum Beispiel ist Euklidischer Raum ein Beispiel eines flachen Raums, und Raum von Minkowski ist ein Beispiel einer flachen Raum-Zeit. Es gibt andere Beispiele der flachen Geometrie in beiden Einstellungen, dennoch. Ein Ring oder ein Zylinder können beide flache Metrik gegeben werden, aber sich in ihrer Topologie unterscheiden. Andere Topologien sind auch für den gekrümmten Raum möglich. Siehe auch Gestalt des Weltalls.

Generalisationen

Der mathematische Begriff der Krümmung wird auch in viel allgemeineren Zusammenhängen definiert. Viele dieser Generalisationen betonen verschiedene Aspekte der Krümmung, wie sie in niedrigeren Dimensionen verstanden wird.

Eine solche Generalisation ist kinematisch. Die Krümmung einer Kurve kann als eine kinematische Menge natürlich betrachtet werden, die Kraft vertretend, die von einem bestimmten Beobachter gefühlt ist, der die Kurve vorankommt; analog kann die Krümmung in höheren Dimensionen als eine Art Gezeitenkraft betrachtet werden (das ist eine Denkart der Schnittkrümmung). Diese Generalisation der Krümmung hängt ab, wie in der Nähe Partikeln prüfen, weichen ab oder laufen zusammen, wenn ihnen erlaubt wird, sich frei im Raum zu bewegen; sieh Feld von Jacobi.

Eine andere breite Generalisation der Krümmung kommt aus der Studie des parallelen Transports auf einer Oberfläche. Zum Beispiel, wenn ein Vektor um eine Schleife auf der Oberfläche eines Bereichs bewegt wird, der parallel überall in der Bewegung hält, dann kann die Endposition des Vektoren nicht dasselbe als die anfängliche Position des Vektoren sein. Dieses Phänomen ist als holonomy bekannt. Verschiedene Generalisationen gewinnen in einer abstrakten Form diese Idee von der Krümmung als ein Maß von holonomy; sieh Krümmung sich formen. Ein nah zusammenhängender Begriff der Krümmung kommt aus der Maß-Theorie in der Physik, wo die Krümmung ein Feld vertritt und ein Vektor-Potenzial für das Feld eine Menge ist, die im allgemeinen Pfad-Abhängigen ist: Es kann sich ändern, wenn ein Beobachter eine Schleife bewegt.

Noch zwei Generalisationen der Krümmung sind die Skalarkrümmung und Krümmung von Ricci. In einer gekrümmten Oberfläche wie der Bereich unterscheidet sich das Gebiet einer Scheibe auf der Oberfläche vom Gebiet einer Scheibe desselben Radius im flachen Raum. Dieser Unterschied (in einer passenden Grenze) wird durch die Skalarkrümmung gemessen. Der Unterschied im Gebiet eines Sektors der Scheibe wird durch die Krümmung von Ricci gemessen. Jede der Skalarkrümmung und Krümmung von Ricci wird auf analoge Weisen in drei und höhere Dimensionen definiert. Sie sind in der Relativitätstheorie besonders wichtig, wo sie beide auf der Seite der Feldgleichungen von Einstein erscheinen, die die Geometrie der Raum-Zeit vertritt (dessen andere Seite die Anwesenheit der Sache und Energie vertritt). Diese Generalisationen der Krümmung, unterliegen zum Beispiel, dem Begriff, dass Krümmung ein Eigentum eines Maßes sein kann; sieh Krümmung eines Maßes.

Eine andere Generalisation der Krümmung verlässt sich auf die Fähigkeit, einen gekrümmten Raum mit einem anderen Raum zu vergleichen, der unveränderliche Krümmung hat. Häufig wird das mit Dreiecken in den Räumen getan. Der Begriff eines Dreiecks hat Sinne in metrischen Räumen, und das verursacht computerunterstütztes Testen (k) Räume.

Siehe auch

• Die Krümmungsform für den passenden Begriff der Krümmung für den Vektoren macht sich davon und Hauptbündel mit der Verbindung.
• Krümmung eines Maßes für einen Begriff der Krümmung in der Maß-Theorie.
• Die Krümmung von Riemannian vervielfältigt für Generalisationen der Krümmung von Gauss zu hoch-dimensionalen Sammelleitungen von Riemannian.
• Krümmungsvektor und geodätische Krümmung für passende Begriffe der Krümmung von Kurven in Sammelleitungen von Riemannian, jeder Dimension.
• Kurve.
• Grad der Krümmung.
• Die Differenzialgeometrie von Kurven für eine volle Behandlung von Kurven in einem Euklidischen Raum der willkürlichen Dimension eingebettet.
• Dioptrie ein Maß der Krümmung in der Optik verwendet.
• Gauss-Häubchen-Lehrsatz für eine elementare Anwendung der Krümmung.
• Karte von Gauss für mehr geometrische Eigenschaften der Krümmung von Gauss.
• Der Grundsatz des Hertz von kleinster Krümmung ein Ausdruck des Grundsatzes von Kleinster Handlung.
• Mittelkrümmung einmal auf einer Oberfläche.
• Minimale Eisenbahn biegt Radius.
• Radius der Krümmung.
• Die zweite grundsätzliche Form für die unwesentliche Krümmung von Hyperoberflächen im Allgemeinen.
• Verdrehung einer Kurve.

Referenzen

• Coolidge, J.L. "Die Unbefriedigende Geschichte der Krümmung". Der Amerikaner Mathematisch Monatlich, Vol. 59, Nr. 6 (Juni - Juli 1952), Seiten 375-379
• Morris Kline: Rechnung: Eine Intuitive und Physische Annäherung. Dover 1998, internationale Standardbuchnummer 978-0-486-40453-0, p. 457-461
• A. Albert Klaf: Rechnungserfrischung. Dover 1956, internationale Standardbuchnummer 978-0-486-20370-6, p. 151-168
• James Casey: Das Erforschen der Krümmung. Vieweg+Teubner Verlag 1996, internationale Standardbuchnummer 978-3-528-06475-4

Links

• Schaffen Sie Ihre eigenen belebten Illustrationen, Frenet-Serret-Rahmen und Krümmung (Ahorn-Arbeitsblatt) zu bewegen
• Die Geschichte der Krümmung
• Krümmung, die inner und an MathPages unwesentlich

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