Fläche ist das Gesamtgebiet der Gesichter und die gebogene Oberfläche eine feste Zahl. Die mathematische Beschreibung der Fläche wird beträchtlich mehr beteiligt als die Definition der Kreisbogen-Länge oder Polyeder (Gegenstände mit flachen polygonalen Gesichtern) die Fläche ist die Summe der Gebiete seiner Gesichter. Glatte Oberflächen, wie ein Bereich, sind zugeteilte Fläche mit ihrer Darstellung als parametrische Oberflächen. Diese Definition der Fläche basiert auf Methoden der unendlich kleinen Rechnung und schließt partielle Ableitungen und doppelte Integration ein.

Die allgemeine Definition der Fläche wurde von Henri Lebesgue und Hermann Minkowski am Ende des zwanzigsten Jahrhunderts gesucht. Ihre Arbeit hat zur Entwicklung der geometrischen Maß-Theorie geführt, die verschiedene Begriffe der Fläche für unregelmäßige Gegenstände jeder Dimension studiert. Ein wichtiges Beispiel ist der Inhalt von Minkowski einer Oberfläche.

Definition der Fläche

Während Gebiete von vielen einfachen Oberflächen bekannt gewesen sind, seit der Altertümlichkeit verlangt eine strenge mathematische Definition des Gebiets viel Sorge. Fläche ist eine Anweisung

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einer positiven reellen Zahl zu einer bestimmten Klasse von Oberflächen, die mehrere natürliche Voraussetzungen befriedigt. Das grundsätzlichste Eigentum der Fläche ist seine Additivität: Das Gebiet des Ganzen ist die Summe der Gebiete der Teile. Strenger, wenn eine Oberfläche S eine Vereinigung von begrenzt vielen Stücken S, &hellip ist; S, die außer an ihren Grenzen dann nicht überlappen

Flächen von flachen polygonalen Gestalten müssen mit ihrem geometrisch definierten Gebiet übereinstimmen. Da Fläche ein geometrischer Begriff ist, müssen Gebiete von kongruenten Oberflächen dasselbe sein, und Gebiet muss nur von der Gestalt der Oberfläche, aber nicht auf seiner Position und Orientierung im Raum abhängen. Das bedeutet, dass Fläche invariant unter der Gruppe von Euklidischen Bewegungen ist. Diese Eigenschaften charakterisieren einzigartig Fläche für eine breite Klasse von genanntem glattem piecewise der geometrischen Oberflächen. Solche Oberflächen bestehen aus begrenzt vielen Stücken, die in der parametrischen Form vertreten werden können

mit unaufhörlich differentiable Funktion wird Das Gebiet eines individuellen Stückes durch die Formel definiert

So wird das Gebiet von S durch die Integrierung der Länge des normalen Vektoren zur Oberfläche über das passende Gebiet D im parametrischen uv Flugzeug erhalten. Das Gebiet der ganzen Oberfläche wird dann durch das Hinzufügen zusammen der Gebiete der Stücke, das Verwenden der Additivität der Fläche erhalten. Die Hauptformel kann zu verschiedenen Klassen von Oberflächen, dem Geben, insbesondere den Formeln für Gebiete von Graphen z = f (x, y) und den Oberflächen der Revolution spezialisiert werden.

Eine der Subtilität der Fläche, wie verglichen, mit der Kreisbogen-Länge von Kurven, ist, dass Fläche einfach als die Grenze von Gebieten von polyedrischen Gestalten nicht definiert werden kann, die einer gegebenen glatten Oberfläche näher kommen. Es wurde von Hermann Schwarz demonstriert, dass bereits für den Zylinder verschiedene Wahlen, flachen Oberflächen näher zu kommen, zu verschiedenen Begrenzungswerten des Gebiets führen können.

Verschiedene Annäherungen an die allgemeine Definition der Fläche wurden im späten neunzehnten und der Anfang dem zwanzigsten Jahrhundert von Henri Lebesgue und Hermann Minkowski entwickelt. Während für piecewise glatte Oberflächen dort ein einzigartiger natürlicher Begriff der Fläche sind, wenn eine Oberfläche, oder rau sehr unregelmäßig ist, dann kann es nicht möglich sein, jedes Gebiet überhaupt ihm zuzuteilen. Ein typisches Beispiel wird durch eine Oberfläche mit der Spitze-Ausbreitung überall auf eine dichte Mode angeführt. Viele Oberflächen dieses Typs kommen in der Theorie von fractals vor. Erweiterungen des Begriffs des Gebiets, die teilweise seine Funktion erfüllen und sogar für sehr schlecht unregelmäßige Oberflächen definiert werden können, werden in der geometrischen Maß-Theorie studiert. Ein spezifisches Beispiel solch einer Erweiterung ist der Inhalt von Minkowski einer Oberfläche.

Allgemeine Formeln

Verhältnis von Flächen eines Bereichs und Zylinder desselben Radius und Volumens

Die obengenannten Formeln können verwendet werden, um zu zeigen, dass die Fläche eines Bereichs und der Zylinder desselben Radius und Höhe im Verhältnis 2 sind: 3, wie folgt.

Lassen Sie den Radius r und die Höhe sein, h sein (der 2r für den Bereich ist).

\text {Bereich-Fläche} & = 4 \pi r^2 & & = (2 \pi r^2) \times 2 \\

\text {Zylinderfläche} & = 2 \pi r (h + r) & = 2 \pi r (2r + r) & = (2 \pi r^2) \times 3

\end {Reihe} </Mathematik>

Die Entdeckung dieses Verhältnisses wird Archimedes kreditiert.

In der Chemie

Fläche ist in der chemischen Kinetik wichtig. Die Erhöhung der Fläche einer Substanz vergrößert allgemein die Rate einer chemischen Reaktion. Zum Beispiel wird das Eisen in einem feinen Puder combust, während in festen Blöcken es stabil genug ist, um in Strukturen zu verwenden. Für verschiedene Anwendungen kann eine minimale oder maximale Fläche gewünscht werden.

In der Biologie

Die Fläche eines Organismus ist in mehreren Rücksichten, wie Regulierung der Körpertemperatur und des Verzehrens wichtig. Tiere verwenden ihre Zähne, um Essen unten in kleinere Partikeln zu schleifen, die für das Verzehren verfügbare Fläche vergrößernd. Das epithelische Gewebe, das den Verdauungstrakt liniert, enthält microvilli, außerordentlich das für die Absorption verfügbare Gebiet vergrößernd. Elefanten haben große Ohren, ihnen erlaubend, ihre eigene Körpertemperatur zu regeln. In anderen Beispielen werden Tiere Fläche minimieren müssen; zum Beispiel werden Leute über ihre Brust wenn Kälte die Arme kreuzen, um Hitzeverlust zu minimieren.

Die Fläche zum Volumen-Verhältnis (SA:V) einer Zelle setzt obere Grenzen auf der Größe fest, weil das Volumen viel schneller zunimmt, als die Fläche tut, so die Rate beschränkend, an der sich Substanzen vom Interieur über die Zellmembran zu zwischenräumlichen Räumen oder zu anderen Zellen verbreiten. Tatsächlich eine Zelle als ein idealisierter Bereich des Radius vertretend, sind r, des Volumens und der Fläche, beziehungsweise, V = 4/3 π r; SA = 4 π r. Die resultierende Fläche zum Volumen-Verhältnis ist deshalb 3/r. So, wenn eine Zelle einen Radius von 1 μm hat, ist das SA:V Verhältnis 3; wohingegen, wenn der Radius der Zelle stattdessen 10 μm ist, dann wird das SA:V Verhältnis 0.3. Mit einem Zellradius 100 ist SA:V Verhältnis 0.03. So geht die Fläche steil mit dem zunehmenden Volumen zurück.

Links

• Fläche-Video an Thinkwell