In der Geometrie ist ein Ring (pl. Ringe) eine Oberfläche der erzeugten Revolution durch das Rotieren eines Kreises im dreidimensionalen Raum über eine Achse coplanar mit dem Kreis. Wenn die Achse der Revolution den Kreis nicht berührt, hat die Oberfläche eine Ringgestalt und wird einen Ringring oder einfach Ring genannt, wenn die Ringgestalt implizit ist.

Wenn die Achse Tangente zum Kreis ist, wird die resultierende Oberfläche einen Hornring genannt; wenn die Achse ein Akkord des Kreises ist, wird es einen Spindel-Ring genannt. Ein degenerierter Fall ist, wenn die Achse ein Diameter des Kreises ist, der einfach die Oberfläche eines Bereichs erzeugt. Der Ringring begrenzt einen als ein Toroid bekannten Festkörper. Der adjektivische toroidal kann auf Ringe, Toroide oder, mehr allgemein, jede Ringgestalt als in toroidal Induktoren und Transformatoren angewandt werden. Echte Weltbeispiele (ungefähr) toroidal Gegenstände schließen Krapfen, vadais, Schläuche, viele Rettungsringe, O-Ringe und Wirbelwind-Ringe ein.

In der Topologie ist ein Ringring homeomorphic zum Kartesianischen Produkt von zwei Kreisen: S × S, und die Letzteren wird genommen, um die Definition in diesem Zusammenhang zu sein. Es ist eine Kompakt-2-Sammelleitungen-von der Klasse 1. Der Ringring ist eine Weise, diesen Raum in den Euklidischen Raum einzubetten, aber eine andere Weise zu tun ist das das Kartesianische Produkt des Einbettens von S im Flugzeug. Das erzeugt einen geometrischen Gegenstand genannt den Ring von Clifford, die Oberfläche im 4-Räume-.

Der Wortring kommt aus dem lateinischen Wortbedeutungskissen.

Geometrie

Ein Ring kann parametrisch definiert werden durch:

wo

:u, v sind im Zwischenraum [0, 2π),

:R (oder A) ist die Entfernung vom Zentrum der Tube zum Zentrum des Rings,

:r (oder a) ist der Radius der Tube.

R und r sind auch bekannt als der "Hauptradius" und "geringe Radius" beziehungsweise. Das Verhältnis der zwei ist als das "Aspekt-Verhältnis" bekannt. Ein Krapfen hat ein Aspekt-Verhältnis 2 bis 3.

Eine implizite Gleichung in Kartesianischen Koordinaten für einen über die Z-Achse radial symmetrischen Ring ist

oder die Lösung, wo

Algebraisch das Beseitigen der Quadratwurzel gibt eine quartic Gleichung,

Die drei verschiedenen Klassen von Standardringen entsprechen den drei möglichen Verhältnisgrößen von r und R. Wenn R > r wird die Oberfläche der vertraute Ringring sein. Der Fall R = r entspricht dem Hornring, der tatsächlich ein Ring ohne "Loch" ist. Der Fall R < r beschreibt den sich selbstschneidenden Spindel-Ring. Wenn R = 0, der Ring zum Bereich degeneriert.

Die Fläche und das Innenvolumen dieses Rings werden mit dem centroid Lehrsatz von Pappus leicht geschätzt, der gibt

Diese Formeln sind dasselbe bezüglich eines Zylinders der Länge 2πR und Radius r, geschaffen durch den Ausschnitt der Tube und das Entrollen davon, indem sie der Linie in Ordnung gebracht wird, die das Zentrum der Tube umläuft. Die Verluste in der Fläche und dem Volumen auf der inneren Seite der Tube annullieren genau die Gewinne auf der Außenseite.

Da ein Ring das Produkt von zwei Kreisen ist, wird eine modifizierte Version des kugelförmigen Koordinatensystems manchmal verwendet. In traditionellen kugelförmigen Koordinaten gibt es drei Maßnahmen, R, die Entfernung vom Zentrum des Koordinatensystems, und und, vom Zentrum-Punkt gemessene Winkel. Da ein Ring, effektiv, zwei Zentrum-Punkte hat, werden die centerpoints der Winkel bewegt; misst denselben Winkel, wie er im kugelförmigen System tut, aber als die "toroidal" Richtung bekannt ist. Der Zentrum-Punkt dessen wird zum Zentrum von r bewegt, und ist als die "poloidal" Richtung bekannt. Diese Begriffe wurden zuerst in einer Diskussion des magnetischen Feldes der Erde gebraucht, wo "poloidal" verwendet wurde, um "die Richtung zu den Polen" anzuzeigen. Im modernen Gebrauch werden diese Begriffe allgemeiner gebraucht, um magnetische Beschränkungsfusionsgeräte zu besprechen.

Topologie

Topologisch ist ein Ring eine geschlossene als das Produkt von zwei Kreisen definierte Oberfläche: S × S. Das kann als das Lügen in C angesehen werden und ist eine Teilmenge des 3-Bereiche-S des Radius 2. Dieser topologische Ring wird auch häufig den Ring von Clifford genannt. Tatsächlich wird S von einer Familie von verschachtelten Ringen auf diese Weise (mit zwei degenerierten Kreisen), eine Tatsache ausgefüllt, die in der Studie von S als ein Faser-Bündel über S (das Bündel von Hopf) wichtig ist.

Die Oberfläche, die oben in Anbetracht der Verhältnistopologie von R beschrieben ist, ist homeomorphic zu einem topologischen Ring, so lange es seine eigene Achse nicht durchschneidet. Ein besonderer homeomorphism wird gegeben, indem er den topologischen Ring in R vom Nordpol von S stereografisch geplant wird.

Der Ring kann auch als ein Quotient des Kartesianischen Flugzeugs unter den Identifizierungen beschrieben werden

: (x, y) ~ (x+1, y) ~ (x, y+1).

Oder, gleichwertig, als der Quotient des Einheitsquadrats durch das Aufkleben der entgegengesetzten Ränder zusammen, beschrieben als ein grundsätzliches Vieleck.

Die grundsätzliche Gruppe des Rings ist gerade das direkte Produkt der grundsätzlichen Gruppe des Kreises mit sich:

Intuitiv das Sprechen, das bedeutet, dass ein geschlossener Pfad, der "das Loch" des Rings umkreist (sagen, ein Kreis, der eine besondere Breite verfolgt), und dann kreist, der "Körper" des Rings (sagen Sie, ein Kreis, der eine besondere Länge verfolgt) kann zu einem Pfad deformiert werden, der den Körper und dann das Loch umkreist. Also, 'ausschließlich längs gerichtete' und 'ausschließlich Breiten'-Pfade pendeln. Das könnte als zwei Schnürsenkel vorgestellt werden, die einander, dann das Abwickeln, dann Rückspulen durchführen.

Wenn ein Ring durchstochen und das Innere nach außen dann ein anderer Ring Ergebnisse, mit Linien der Breite und ausgewechselten Länge gedreht wird.

Die erste Homologie-Gruppe des Rings ist zur grundsätzlichen Gruppe isomorph (das folgt aus Lehrsatz von Hurewicz, da die grundsätzliche Gruppe abelian ist).

Zwei-sheeted Deckel

Die 2-Ringe-doppelten Deckel der 2-Bereiche-, mit vier Implikationspunkten. Jede conformal Struktur auf dem 2-Ringe-kann als ein zwei-sheeted Deckel des 2-Bereiche-vertreten werden. Die Punkte auf dem Ring entsprechend den Implikationspunkten sind die Punkte von Weierstrass. Tatsächlich wird der conformal Typ des Rings durch das Quer-Verhältnis der vier Punkte bestimmt.

N-Dimensional-Ring

Der Ring hat eine Generalisation zu höheren Dimensionen, dem n-dimensional Ring, häufig hat den N-Ring nach dem kurzen genannt. (Das ist eine von zwei verschiedenen Bedeutungen des Begriffes "N-Ring".)

Zurückrufend, dass der Ring der Produktraum von zwei Kreisen ist, ist der n-dimensional Ring das Produkt von n Kreisen.

Das ist:

Der Ring, der oben besprochen ist, ist der 2-dimensionale Ring. Der 1-dimensionale Ring ist gerade der Kreis. Ebenso für den 2-Ringe-kann der N-Ring als ein Quotient von R unter integrierten Verschiebungen in jeder Koordinate beschrieben werden. D. h. der N-Ring ist R modulo die Handlung des Gitters der ganzen Zahl Z (mit der Handlung, die als Vektor-Hinzufügung wird nimmt). Gleichwertig wird der N-Ring beim n-dimensional Hyperwürfel durch das Kleben der entgegengesetzten Gesichter zusammen erhalten.

Ein N-Ring in diesem Sinn ist ein Beispiel einer n-dimensional Kompaktsammelleitung. Es ist auch ein Beispiel eines kompakten abelian Liegen Gruppe. Das folgt aus der Tatsache, dass der Einheitskreis ein kompakter abelian ist, Liegen Gruppe (wenn identifiziert, mit den komplexen Einheitszahlen mit der Multiplikation). Die Gruppenmultiplikation auf dem Ring wird dann durch die koordinatenkluge Multiplikation definiert.

Gruppen von Toroidal spielen eine wichtige Rolle in der Theorie von Kompaktlüge-Gruppen. Das ist teilweise zur Tatsache erwartet, dass in irgendwelchem Kompaktlüge-Gruppe G man immer einen maximalen Ring finden kann; d. h. eine geschlossene Untergruppe, die ein Ring der größtmöglichen Dimension ist. Solche maximalen Ringe T haben eine Steuern-Rolle, um in der Theorie von verbundenem G zu spielen.

Automorphisms von T werden von automorphisms des Gitters Z leicht gebaut, die durch die integrierte matrices M der Größe n×n klassifiziert werden, die invertible mit dem integrierten Gegenteil sind; das ist gerade die integrierte M der Determinante +1 oder −1. Das Lassen die M R auf die übliche Weise folgen hat man den typischen toral automorphism auf dem Quotienten.

Die grundsätzliche Gruppe eines N-Rings ist eine freie abelian Gruppe der Reihe n. Die k-th Homologie-Gruppe eines N-Rings ist eine freie abelian Gruppe der Reihe n wählen k. Hieraus folgt dass die Eigenschaft von Euler des N-Rings 0 für den ganzen n ist. Die cohomology rufen H an (T, Z) kann mit der Außenalgebra über das Z-Modul Z identifiziert werden, dessen Generatoren der duals der n nichttrivialen Zyklen sind.

Konfigurationsraum

Da der N-Ring das n-fold Produkt des Kreises ist, ist der N-Ring der Konfigurationsraum von n bestellt, nicht notwendigerweise verschiedene Punkte auf dem Kreis. Symbolisch, Der Konfigurationsraum von nicht eingeordneten, sind nicht notwendigerweise verschiedene Punkte entsprechend der orbifold, der der Quotient des Rings durch die symmetrische Gruppe auf n Briefen (durch das Permutieren der Koordinaten) ist.

Weil der Quotient der Streifen von Möbius, der Rand entsprechend den Orbifold-Punkten ist, wo die zwei Koordinaten zusammenfallen. Weil dieser Quotient als ein fester Ring mit dem Querschnitt ein gleichseitiges Dreieck mit einer Drehung beschrieben werden kann; gleichwertig, als ein Dreiecksprisma, dessen Spitze und unterste Gesichter mit einer ⅓ Drehung (120 °) verbunden werden: Das 3-dimensionale Interieur entspricht den Punkten auf dem 3-Ringe-, wo alle 3 Koordinaten verschieden sind, entspricht das 2-dimensionale Gesicht Punkten mit 2 Koordinaten gleich und das 3. verschiedene, während der 1-dimensionale Rand Punkten mit allen 3 identischen Koordinaten entspricht.

Diese orbifolds haben bedeutende Anwendungen auf die Musik-Theorie in der Arbeit von Dmitri Tymoczko und Mitarbeitern gefunden (Felipe Posada und Michael Kolinas, u. a.), gepflegt, Musiktriaden zu modellieren.

Flacher Ring

Der flache Ring ist ein spezifisches Einbetten des vertrauten 2-Ringe-in Euklidische höhere oder 4-Räume-Dimensionen. Seine Oberfläche hat Nullkrümmung von Gaussian überall. Seine Oberfläche ist in demselben Sinn "flach", dass die Oberfläche eines Zylinders "flach" ist. In 3 Dimensionen kann man eine flache Platte von Papier in einen Zylinder biegen, ohne das Papier zu strecken, aber Sie können diesen Zylinder in einen Ring nicht dann biegen, ohne das Papier zu strecken. In 4 Dimensionen kann man (mathematisch).

Ein einfaches 4-d Euklidisches Einbetten ist wie folgt:

sind Konstanten, die das Aspekt-Verhältnis bestimmen. Es ist diffeomorphic zu einem regelmäßigen Ring, aber nicht isometrisch. Es kann in den 3-Räume-Euklidischen nicht isometrisch eingebettet werden. Es in den 3-Räume-kartografisch darzustellen, verlangt, dass Sie es, in der "biegen"

Fall sieht es wie ein regelmäßiger Ring, zum Beispiel, die folgende Karte aus

Ein flacher Ring verteilt den 3-Bereiche-in zwei kongruente feste Ring-Teilmengen mit der oben erwähnten flachen Ring-Oberfläche als ihre allgemeine Grenze.

N-Fold-Ring

In der Theorie von Oberflächen hat der Begriff N-Ring eine verschiedene Bedeutung. Statt des Produktes von n Kreisen verwenden sie den Ausdruck, um die verbundene Summe von n 2-dimensionalen Ringen zu bedeuten. Um eine verbundene Summe von zwei Oberflächen zu bilden, entfernen Sie von jedem das Interieur einer Platte und "kleben Sie" die Oberflächen zusammen entlang den Grenzkreisen der Platten. Um die verbundene Summe von mehr als zwei Oberflächen zu bilden, summieren Sie zwei von ihnen auf einmal, bis sie alle verbunden werden. In diesem Sinn ähnelt ein N-Ring der Oberfläche von n Krapfen zusammengeklebt nebeneinander, oder ein 2-dimensionaler Bereich mit beigefügten N-Griffen.

Ein gewöhnlicher Ring ist ein 1 Ring, ein 2-Ringe-wird einen doppelten Ring, ein 3-Ringe-ein dreifacher Ring und so weiter genannt. Wie man sagt, ist der N-Ring "orientable Oberfläche" "der Klasse" n, die Klasse, die die Zahl von Griffen ist. Der 0-Ringe-ist der 2-dimensionale Bereich.

Der Klassifikationslehrsatz für Oberflächen stellt fest, dass jede verbundene Kompaktoberfläche irgendein ein Bereich, ein N-Ring mit n &gt ist; 0, oder die verbundene Summe von n projektiven Flugzeugen (d. h. projektiven Flugzeugen über die reellen Zahlen) mit n > 0.

Polyeder von Toroidal

Polyeder mit dem topologischen Typ eines Rings werden toroidal Polyeder genannt, und befriedigen eine modifizierte Version der Polyeder-Formel,

Der Begriff "toroidal polydron" wird auch für höhere Klasse-Polyeder und für Immersionen von toroidal Polyedern gebraucht.

Automorphisms

Die homeomorphism Gruppe (oder die Untergruppe von diffeomorphisms) des Rings wird in der geometrischen Topologie studiert. Seine kartografisch darstellende Klassengruppe (die Gruppe von verbundenen Bestandteilen) ist zur Gruppe GL (n, Z) der invertible ganzen Zahl matrices isomorph, und kann als geradlinige Karten auf dem universalen Bedeckungsraum begriffen werden, die das Standardgitter bewahren (das entspricht Koeffizienten der ganzen Zahl), und steigen Sie so zum Quotienten hinunter.

Am Niveau von homotopy und Homologie kann die kartografisch darstellende Klassengruppe als die Handlung auf der ersten Homologie identifiziert werden (oder gleichwertig, der erste cohomology, oder auf der grundsätzlichen Gruppe, weil diese alle natürlich isomorph sind; bemerken Sie auch, dass die erste cohomology Gruppe die cohomology Algebra erzeugt):

Da der Ring ein Eilenberg-MacLane Raum K ist (G, 1), können seine homotopy Gleichwertigkeiten, bis zu homotopy, mit automorphisms der grundsätzlichen Gruppe identifiziert werden); dass das mit der kartografisch darstellenden Klassengruppe übereinstimmt, widerspiegelt, dass alle homotopy Gleichwertigkeiten durch homeomorphisms begriffen werden können - ist jede homotopy Gleichwertigkeit homotopic zu einem homeomorphism - und dass homotopic homeomorphisms tatsächlich isotopic (verbunden durch homeomorphisms, nicht nur durch homotopy Gleichwertigkeiten) sind. Mehr knapp ist die Karte (isomorph auf Pfad-Bestandteilen, auf die grundsätzliche Gruppe) 1-verbunden. Das ist "homeomorphism nimmt zu homotopy ab reduziert auf die Algebra" Ergebnis.

So die kurze genaue Folge der kartografisch darstellenden Klassengruppenspalte (eine Identifizierung des Rings weil gibt der Quotient dessen ein Aufspalten, über die geradlinigen Karten, als oben):

so ist die homeomorphism Gruppe des Rings ein halbdirektes Produkt,

Die kartografisch darstellende Klassengruppe von höheren Klasse-Oberflächen, ist und ein Gebiet der aktiven Forschung viel mehr kompliziert.

Das Färben eines Rings

Wenn ein Ring in Gebiete geteilt wird, dann ist es immer möglich, die Gebiete ohne mehr als sieben Farben zu färben, so dass benachbarte Gebiete verschiedene Farben haben. (Unähnlichkeit mit dem vier Farbenlehrsatz für das Flugzeug.)

Ausschnitt eines Rings

Ein Standardring (spezifisch, ein Ringring) können mit n Flugzeugen in am grössten Teil von geschnitten werden

:

\frac16

(n^3 + 3n^2 + 8n)

</Mathematik> Teile.

Die anfänglichen Begriffe dieser Folge für n, der von 1 anfängt, sind:

:2, 6, 13, 24, 40, ….

Siehe auch

• Algebraischer Ring
• Ringrohr (Mathematik)
• Ring von Clifford
• Komplizierter Ring
• Dupin cyclide
• Elliptische Kurve
• Vernunftwidriges Kabel auf einem Ring
• Verbinden Sie europäischen Ring
• Die Ring-Ungleichheit von Loewner
• Maximaler Ring
• Periode-Gitter
• Bereich
• Abteilung von Spiric
• Oberfläche
• Abteilung von Toric
• Vielfalt von Toric
• Toroid (Geometrie)
• Ring-Knoten
• Ring von Umbilic
• Kreise von Villarceau

Referenzen

• NOCIONES DE GEOMETRIA ANALITICA Y ALGEBRA LINEAL, internationale Standardbuchnummer 9789701065969, Autor: KOZAK ANA MARIA, POMPEYA PASTORELLI SONIA, VERDANEGA PEDRO EMILIO, Leitartikel: MCGRAW-HÜGEL, Ausgabe 2007, 744 Seiten, Sprache; spanischer
• Allen Hatcher. Algebraische Topologie. Universität von Cambridge Presse, 2002. Internationale Standardbuchnummer 0-521-79540-0.
• V.V. Nikulin, I.R.Shafarevich. Geometrie und Gruppen. Springer, 1987. Internationale Standardbuchnummer 3540152814, internationale Standardbuchnummer 9783540152811.
• http://www.mathcurve.com/surfaces/tore/tore.shtml
• "Ist (Begriff géométrique)" an Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables gerissen

Links

• Entwicklung eines Rings an der Knoten-Kürzung
• "4D Ring" Fliege - durch Querschnitte durch einen vier dimensionalen Ring.
• "Verwandtschaftsperspektivekarte" das Vergegenwärtigen hoher dimensionaler Daten mit dem flachen Ring.
• "Ring-Spiele" Freie herunterladbare Spiele für Windows und Mac OS X, die die Topologie eines Rings hervorheben.
• Polydos