:For ein verschiedener Begriff der mit Sammelleitungen verbundenen Grenze, sieh diesen Artikel.

In der Topologie und Mathematik im Allgemeinen ist die Grenze einer Teilmenge S eines topologischen Raums X der Satz von Punkten, denen sowohl von S als auch von außen S genähert werden kann. Genauer ist es der Satz von Punkten im Verschluss von S, dem Interieur von S nicht gehörend. Ein Element der Grenze von S wird einen Grenzpunkt von S genannt. Notationen, die für die Grenze eines Satzes S verwendet sind, schließen bd (S), fr (S), und S ein. Einige Autoren (zum Beispiel Willard, in der allgemeinen Topologie) gebrauchen den Begriff Grenze statt der Grenze in einem Versuch, Verwirrung mit dem Konzept der Grenze zu vermeiden, die in der algebraischen Topologie und mannigfaltigen Theorie verwendet ist.

Ein verbundener Bestandteil der Grenze von S wird einen Grenzbestandteil von S genannt.

Allgemeine Definitionen

Es gibt mehrere üblich (und gleichwertig) Definitionen zur Grenze einer Teilmenge S von einem topologischen Raum X:

• der Verschluss von S ohne das Interieur von S: S = \S.
• die Kreuzung des Verschlusses von S mit dem Verschluss seiner Ergänzung: S = .
• der Satz von Punkten p X solch, dass jede Nachbarschaft von p mindestens einen Punkt von S und mindestens einen Punkt nicht von S enthält.

Beispiele

Denken Sie die echte Linie R mit der üblichen Topologie (d. h. die Topologie, deren Basissätze offene Zwischenräume sind). Man hat

•  (0,5) =  [0,5) =  (0,5] =  [0,5] = {0,5 }\
•  = 
• Q = R
•  (Q  [0,1]) = [0,1]

Diese letzten zwei Beispiele illustrieren die Tatsache, dass die Grenze eines dichten Satzes mit dem leeren Interieur sein Verschluss ist.

Im Raum von rationalen Zahlen mit der üblichen Topologie (die Subraumtopologie von R) ist die Grenze, wo vernunftwidrig zu sein, leer.

Die Grenze eines Satzes ist ein topologischer Begriff und kann sich ändern, wenn man die Topologie ändert. Zum Beispiel, in Anbetracht der üblichen Topologie auf R, ist die Grenze einer geschlossenen Platte Ω = {(x, y) | x + y  1} der Umgebungskreis der Platte:  Ω = {(x, y) | x + y = 1}. Wenn die Platte als ein Satz in R mit seiner eigenen üblichen Topologie, d. h. Ω = {(x, y, 0) | x + y  1} angesehen wird, dann ist die Grenze der Platte die Platte selbst:  Ω = Ω. Wenn die Platte als sein eigener topologischer Raum angesehen wird (mit der Subraumtopologie von R), dann ist die Grenze der Platte leer.

Eigenschaften

• Die Grenze eines Satzes wird geschlossen.
• Die Grenze eines Satzes ist die Grenze der Ergänzung des Satzes: S =  (S).

Folglich:

• p ist ein Grenzpunkt eines Satzes, wenn, und nur wenn jede Nachbarschaft von p mindestens einen Punkt im Satz und mindestens einen Punkt nicht im Satz enthält.
• Ein Satz wird geschlossen, wenn, und nur wenn er seine Grenze, und offen enthält, wenn, und nur wenn es von seiner Grenze zusammenhanglos ist.
• Der Verschluss eines Satzes kommt der Vereinigung des Satzes mit seiner Grenze gleich. = S  S.
• Die Grenze eines Satzes ist leer, wenn, und nur wenn der Satz sowohl geschlossen und (d. h. ein Clopen-Satz) offen wird.
• In R ist jeder geschlossene Satz die Grenze von einem Satz.

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:Conceptual-Venn-Diagramm, die Beziehungen unter verschiedenen Punkten einer Teilmenge S 'R zeigend. = Satz von Grenze-Punkten von S, B = Satz von Grenzpunkten von S, ist Gebiet grün = Satz von Innenpunkten von S allmählich übergegangen, Gebiet ist gelb = Satz von isolierten Punkten von S allmählich übergegangen, Gebiete sind schwarz = leere Sätze allmählich übergegangen. Jeder Punkt von S ist entweder ein Innenpunkt oder ein Grenzpunkt. Außerdem ist jeder Punkt von S entweder ein Anhäufungspunkt oder ein isolierter Punkt. Ebenfalls ist jeder Grenzpunkt von S entweder ein Anhäufungspunkt oder ein isolierter Punkt. Isolierte Punkte sind immer Grenzpunkte.

Grenze einer Grenze

Für jeden Satz S, S   S, mit der Gleichheit, die wenn, und nur hält wenn die Grenze von S keine Innenpunkte hat, die zum Beispiel der Fall sein werden, wenn S entweder geschlossen oder offen wird. Da die Grenze eines Satzes,  S =  S für jeden Satz S geschlossen wird. Der Grenzmaschinenbediener befriedigt so eine geschwächte Art von idempotence.

Im Besprechen von Grenzen von Sammelleitungen oder Simplexen und ihren simplicial Komplexen entspricht man häufig die Behauptung, dass die Grenze der Grenze immer leer ist. Tatsächlich ruht sich der Aufbau der einzigartigen Homologie kritisch auf dieser Tatsache aus. Die Erklärung für die offenbare Unangemessenheit besteht darin, dass die topologische Grenze (das Thema dieses Artikels) ein ein bisschen verschiedenes Konzept ist als die Grenze einer Sammelleitung oder eines simplicial Komplexes. Zum Beispiel ist die topologische Grenze einer geschlossenen als ein topologischer Raum angesehenen Platte leer, während seine Grenze im Sinne Sammelleitungen der Kreis ist, der die Platte umgibt.

Siehe auch

• Sieh die Diskussion der Grenze in der topologischen Sammelleitung für mehr Details.
• Der Dichte-Lehrsatz von Lebesgue, für die mit dem Maß theoretische Charakterisierung und Eigenschaften der Grenze