In der Mathematik, Logik und Informatik, ist Typ-Theorie einige von mehreren formellen Systemen, die als Alternativen zur naiven Mengenlehre oder die Studie solcher Formalismen im Allgemeinen dienen können. In der Programmiersprache-Theorie, einem Zweig der Informatik, kann sich Typ-Theorie auf das Design, die Analyse und die Studie von Typ-Systemen beziehen, obwohl einige Computerwissenschaftler die Bedeutung des Begriffes auf die Studie von abstrakten Formalismen solcher, wie getippt, λ-calculi beschränken.

Bertrand Russell hat die erste Typ-Theorie als Antwort auf seine Entdeckung erfunden, dass die Version von Gottlob Frege der naiven Mengenlehre mit dem Paradox von Russell gequält wurde. Diese Theorie von Typen zeigt prominent in Whiteheads Principia Mathematica und Russells. Es vermeidet das Paradox von Russell durch das erste Schaffen einer Hierarchie von Typen, dann jeden mathematisch (und vielleicht anderer) Entität zu einem Typ zuteilend. Gegenstände eines gegebenen Typs werden exklusiv von Gegenständen von vorhergehenden Typen gebaut (diejenigen sinken in der Hierarchie), so Schleifen verhindernd.

Alonzo Church, Erfinder der Lambda-Rechnung, hat sich entwickelt eine höherwertige Logik hat allgemein die Theorie von Church von Typen genannt, um das Kleene-Rosser Paradox zu vermeiden, das die ursprüngliche reine Lambda-Rechnung quält. Die Typ-Theorie von Church ist eine Variante der Lambda-Rechnung, in der Ausdrücke (auch genannt Formeln oder λ-terms) in Typen eingeteilt werden, und die Typen von Ausdrücken die Wege einschränken, auf die sie verbunden werden können. Mit anderen Worten ist es eine getippte Lambda-Rechnung.

Die Artikel-Kirchtyp-Theorie

in der Enzyklopädie von Stanford der Philosophie

wird diesem Thema gewidmet.

Heute sind viele andere solche Rechnungen im Gebrauch, einschließlich Pro die Typ-Theorie Intuitionistic von Martin-Löf, das System von Jean-Yves Girard F und die Rechnung von Aufbauten. In getippten Lambda-Rechnungen spielen Typen eine Rolle, die diesem von Sätzen in der Mengenlehre ähnlich ist.

Geschichte

1900 - 1927

Ursprung der Theorie von Russell von Typen: In einem Brief an Gottlob Frege (1902) hat Russell seine Entdeckung des Paradoxes im Begriffsschrift von Frege bekannt gegeben. Frege hat schnell geantwortet, das Problem anerkennend und eine Lösung in einer technischen Diskussion von "Niveaus" vorschlagend. Frege zu zitieren:

Er geht über die Vertretung, wie das arbeiten könnte, aber scheint, davon zurückzuziehen. Demzufolge dessen, was bekannt als das Paradox von Russell geworden ist sowohl mussten Frege als auch Russell Arbeiten schnell amendieren, die sie an den Druckern hatten. In einem Anhang B, dass Russell auf seinem 1903 Die Grundsätze der Mathematik geheftet hat, findet man seine "versuchsweise" "Theorie von Typen".

Die Sache hat Russell seit ungefähr fünf Jahren (1903-1908) geplagt. Willard Quine in seiner Einleitung Russell (1908a) Mathematische Logik, wie gestützt, auf der Theorie von Typen präsentiert eine historische Synopse des Ursprungs der Theorie von Typen und der "verzweigten" Theorie von Typen: Russell hat der Reihe nach mehrere Alternativen vorgeschlagen: (i) das Aufgeben der Theorie von Typen (1905) gefolgt von drei Theorien 1905: (ii.1) die zickzackförmige Theorie, (ii.2) Theorie der Beschränkung der Größe, (ii.3) die Theorie (1905-1906) ohne Klassen, dann (iii) das Wiederübernehmen der Theorie von Typen (1908ff)".

Quine bemerkt, dass die Einführung von Russell des Begriffs der "offenbaren Variable" das folgende Ergebnis hatte: "die Unterscheidung zwischen 'allen' und 'irgendwelchem': 'Alles' wird durch die bestimmte ('offenbare') Variable der universalen Quantifizierung ausgedrückt, die sich über einen Typ erstreckt, und 'irgendwelcher' durch die freie ('echte') Variable ausgedrückt wird, die sich schematisch auf jedes unangegebene Ding ohne Rücksicht auf den Typ bezieht". Quine weist diesen Begriff der "bestimmten Variable" als "sinnlos abgesondert von einem bestimmten Aspekt der Theorie von Typen" ab.

1908 hat Theorie von Typen "verzweigt"

Quine erklärt die verzweigte Theorie wie folgt: "Es ist so genannt gewesen, weil der Typ einer Funktion sowohl von den Typen seiner Argumente als auch auf den Typen der offenbaren darin enthaltenen Variablen abhängt (oder in seinem expresion), im Falle dass diese die Typen der Argumente überschreiten". Stephen Kleene in seiner 1952-Einführung in Metamathematics beschreibt die verzweigte Theorie von Typen dieser Weg:

Primäre Gegenstände oder Personen von:The (d. h. die gegebenen Dinge, die nicht der logischen Analyse unterwerfen werden), werden einem Typ zugeteilt (sagen Sie Typ 0), die Eigenschaften von Personen zum Typ 1, Eigenschaften von Eigenschaften von Personen zum Typ 2, usw.; und keine Eigenschaften werden zugelassen, die in einen dieser logischen Typen nicht fallen (z.B, stellt das die Eigenschaften 'predicable' und 'impredicable'... außerhalb der blassen von der Logik). Eine ausführlichere Rechnung würde die zugelassenen Typen für andere Gegenstände als Beziehungen und Klassen beschreiben. Um dann impredicative Definitionen innerhalb eines Typs auszuschließen, werden die Typen über dem Typ 0 weiter in Ordnungen getrennt. So für den Typ 1 gehören Eigenschaften, die definiert sind, ohne jede Gesamtheit zu erwähnen, dem Auftrag 0, und das definierte Verwenden von Eigenschaften der Gesamtheit von Eigenschaften einer gegebenen Ordnung gehört der folgenden höheren Ordnung...., Aber diese Trennung in Ordnungen macht es unmöglich, die vertraute Analyse zu bauen, die wir oben gesehen haben, enthält impredicative Definitionen. Um diesem Ergebnis zu entkommen, hat Russell sein Axiom von reducibility verlangt, der behauptet, dass zu jedem Eigentum, das einer Ordnung über dem niedrigsten gehört, es ein koextensives Eigentum (d. h. ein besessener durch genau dieselben Gegenstände) vom Auftrag 0 gibt. Wenn, wie man betrachtet, nur definierbare Eigenschaften bestehen, dann bedeutet das Axiom, dass zu jeder impredicative Definition innerhalb eines gegebenen Typs es eine Entsprechung aussagend eine (Kleene 1952:44-45) gibt.

Das Axiom von reducibility und der Begriff "der Matrix"

Aber weil sich die Bedingungen der verzweigten Theorie erweisen würden (Quine zu zitieren), "lästig", Russell seinen 1908, würde Mathematische Logik, wie gestützt, auf der Theorie von Typen auch sein Axiom von reducibility vorschlagen. Vor 1910 würden Whitehead und Russell in ihrem Principia Mathematica weiter dieses Axiom mit dem Begriff einer Matrix - eine völlig Verlängerungsspezifizierung einer Funktion vermehren. Von seiner Matrix konnte eine Funktion durch den Prozess "der Generalisation" und umgekehrt abgeleitet werden, d. h. die zwei Prozesse sind - (i) Generalisation von einer Matrix bis eine Funktion (durch das Verwenden offenbarer Variablen) und (ii) der Rückprozess der Verminderung des Typs durch den Ersatz der Kurse Werte von Argumenten für die offenbare Variable umkehrbar. Durch diese Methode konnte impredicativity vermieden werden.

Wahrheitstabellen

Schließlich würde Emil Post (1921) Verschwendung zur "beschwerlichen" Theorie von Russell von Typen mit seinen "Wahrheitsfunktionen" und ihren Wahrheitstabellen legen. In seiner "Einführung" in seine 1921 Plätze von Post die Schuld auf dem Begriff von Russell der offenbaren Variable: "Wohingegen die ganze Theorie [Whiteheads und Russells (1910, 1912, 1913)] für die Ankündigung seiner Vorschläge echte und offenbare Variablen verlangt, die sowohl Personen als auch Aussagefunktionen von verschiedenen Arten vertreten, und infolgedessen die beschwerliche Theorie von Typen nötig macht, verwendet diese Subtheorie nur echte Variablen, und diese echten Variablen vertreten, aber eine Art der Entität, die die Autoren beschlossen haben, elementare Vorschläge zu nennen".

In ungefähr derselben Zeit hat Ludwig Wittgenstein kurze Arbeit der Theorie von Typen in seiner 1922-Arbeit Tractatus Logico-Philosophicus gemacht, in dem er auf den folgenden in Teilen 3.331-3.333 hinweist:

Wittgenstein hat die Wahrheitstabelle-Methode ebenso vorgeschlagen. In seinen 4.3 bis 5.101 nimmt Wittgenstein einen unbegrenzten Schlag von Sheffer als seine grundsätzliche logische Entität an und verzeichnet dann alle 16 Funktionen von zwei Variablen (5.101).

Der Begriff der Matrix als Wahrheitstabelle erscheint erst die 1940 1950er Jahre in der Arbeit von Tarski, z.B seine 1946 Indizes "Matrix, sehen: Wahrheitstabelle"

Die Zweifel von Russell

Russell in seiner 1920-Einführung in die Mathematische Philosophie widmet ein komplettes Kapitel "Dem Axiom der Unendlichkeit und logischen Typen", worin er seine Sorgen festsetzt: "Jetzt gehört die Theorie von Typen nachdrücklich dem beendeten und bestimmten Teil unseres Themas nicht: Viel von dieser Theorie ist noch inchoate, verwirrt und dunkel. Aber das Bedürfnis nach einer Doktrin von Typen ist weniger zweifelhaft als die genaue Form, die die Doktrin annehmen sollte; und im Zusammenhang mit dem Axiom der Unendlichkeit ist es besonders leicht, die Notwendigkeit von einer solcher Doktrin zu sehen".

Russell gibt das Axiom von reducibility auf: In der zweiten Ausgabe von Principia Mathematica (1927) erkennt er das Argument von Wittgenstein an. Am Anfang von seiner Einführung erklärt er, dass "es geben kann zweifellos..., dass es kein Bedürfnis nach der Unterscheidung zwischen echten und offenbaren Variablen gibt...". Jetzt umarmt er völlig den Matrixbegriff und erklärt, dass "Eine Funktion nur in einer Matrix durch seine Werte erscheinen kann" (aber Einwände in einem Kommentar:" Es nimmt den Platz (nicht ganz entsprechend) vom Axiom von reducibility"). Außerdem führt er einen neuen (abgekürzt, verallgemeinert) Begriff "der Matrix", diese einer "logischen Matrix ein... derjenige, der keine Konstanten enthält. So ist pq eine logische Matrix". So hat Russell das Axiom von reducibility eigentlich aufgegeben, aber in seinen letzten Paragrafen stellt er fest, dass von "unseren gegenwärtigen primitiven Vorschlägen" er "Beziehungen von Dedekindian und gut bestellte Beziehungen" nicht ableiten kann und bemerkt, dass, wenn es ein neues Axiom gibt, um das Axiom von reducibility zu ersetzen, "es muss, entdeckt zu werden".

Theorie von einfachen Typen

In den 1920er Jahren haben Leon Chwistek und Frank P. Ramsey das bemerkt, wenn man bereit ist, den Teufelskreis-Grundsatz, aufzugeben

die Hierarchie von Niveaus von Typen in der "verzweigten Theorie von Typen" (sieh die Geschichtsabteilung für mehr darauf), kann zusammengebrochen werden.

Die resultierende eingeschränkte Logik wird die Theorie von einfachen Typen oder, vielleicht allgemeiner, einfacher Typ-Theorie genannt. Ausführliche Formulierungen der einfachen Typ-Theorie wurden gegen Ende der 1920er Jahre und Anfang der 1930er Jahre veröffentlicht

R. Carnap, F. Ramsey, W.V.O. Quine und A. Tarski. 1940 hat Kirche von Alonzo (re) es als einfach getippte Lambda-Rechnung formuliert. und untersucht von Gödel seinen 1944. Ein Überblick über diese Entwicklungen wird in Collins (2012) gefunden.

Die 1940er Jahre - Gegenwart

Gödel 1944

Kurt Gödel in der mathematischen Logik von Russell seines 1944 hat die folgende Definition der "Theorie von einfachen Typen" in einem Kommentar gegeben:

:By die Theorie von einfachen Typen ich habe die Doktrin vor, die sagt, dass die Gegenstände des Gedankens (oder, in einer anderen Interpretation, den symbolischen Ausdrücken) in Typen nämlich geteilt werden: Personen, Eigenschaften von Personen, Beziehungen zwischen Personen, Eigenschaften solcher Beziehungen, usw. (mit einer ähnlichen Hierarchie für Erweiterungen), und das Sätze der Form: "Ein Haben des Eigentums φ" "b trägt die Beziehung R zu c", sind usw. sinnlos, wenn a, b, c, R, φ nicht Typen sind, die zusammen passen. Mischtypen (wie Klassen, die Personen und Klassen als Elemente enthalten) und deshalb auch, transfinite Typen (wie die Klasse aller Klassen von begrenzten Typen) werden ausgeschlossen. Dass die Theorie von einfachen Typen genügt, um zu vermeiden, dass auch die erkenntnistheoretischen Paradoxe durch eine nähere Analyse von diesen gezeigt werden. (Vgl Ramsey 1926 und Tarski 1935, p. 399). ".

Er hat (1) Theorie von einfachen Typen und (2) axiomatische Mengenlehre aufgehört, "erlauben Sie die Abstammung der modernen Mathematik und vermeiden Sie zur gleichen Zeit alle bekannten Paradoxe" (Gödel 1944:126); außerdem ist die Theorie von einfachen Typen "das System ersten Prinicipa [Principia Mathematica] in einer passenden Interpretation.... [Jedoch] zeigen viele Symptome nur zu klar jedoch, dass die primitiven Konzepte weitere Erläuterung" (Gödel 1944:126) brauchen.

Formulierungen der Typ-Theorie

ST von Mendelson

Das folgende System ist Mendelson (1997, 289-293) ST.

ST ist mit der verzweigten Theorie von Russell plus das Axiom von reducibility gleichwertig.

Das Gebiet der Quantifizierung wird in eine steigende Hierarchie von Typen, mit allen Personen zugeteilt ein Typ verteilt. Gemessene Variablen erstrecken sich über nur einen Typ; folglich ist die zu Grunde liegende Logik Logik der ersten Ordnung. ST ist (hinsichtlich der Typ-Theorie von Principia Mathematica) in erster Linie "einfach", weil alle Mitglieder des Gebiets und codomain jeder Beziehung desselben Typs sein müssen.

Es gibt einen niedrigsten Typ, dessen Personen keine Mitglieder haben und Mitglieder des zweiten niedrigsten Typs sind. Personen des niedrigsten Typs entsprechen dem urelements von bestimmten Mengenlehren. Jeder Typ hat einen folgenden höheren Typ, der dem Begriff des Nachfolgers in der Arithmetik von Peano analog ist. Während ST still ist betreffs, ob es einen maximalen Typ gibt, stellt eine transfinite Zahl von Typen keine Schwierigkeit auf. Diese Tatsachen, die an die Axiome von Peano erinnernd sind, machen es günstig und herkömmlich, um eine natürliche Zahl jedem Typ zuzuteilen, mit 0 für den niedrigsten Typ anfangend. Aber Typ-Theorie verlangt keine vorherige Definition des naturals.

Die ST eigenartigen Symbole sind primed Variablen und Infix. In jeder gegebenen Formel unprimed Variablen haben alle denselben Typ, während sich primed Variablen über den folgenden höheren Typ erstrecken. Die Atomformeln von ST sind zwei Formen, (Identität) und. Das Infix-Symbol deutet die beabsichtigte Interpretation, Satz-Mitgliedschaft an.

Alle Variablen, die in der Definition der Identität und in den Axiomen Extensionality und Comprehension erscheinen, erstrecken Sie sich über Personen von einem von zwei Konsekutivtypen. Nur Unprimed-Variablen (sich über den "niedrigeren" Typ erstreckend), können links von erscheinen'', wohingegen an seiner rechten Seite, nur primed Variablen (sich über den "höheren" Typ erstreckend), erscheinen kann. Die Formulierung der ersten Ordnung von ST schließt Quantitätsbestimmung über Typen aus. Folglich verlangt jedes Paar von Konsekutivtypen sein eigenes Axiom von Extensionality und des Verständnisses, das möglich ist, wenn Extensionality und Comprehension unten als Axiom-Diagramme genommen werden, "sich über" Typen erstreckend.

• Identität, die dadurch definiert ist.
• Extensionality. Ein Axiom-Diagramm..

: Lassen Sie zeigen jede Formel der ersten Ordnung an, die die freie Variable enthält.

• Verständnis. Ein Axiom-Diagramm..

: Bemerkung. Jede Sammlung von Elementen desselben Typs kann einen Gegenstand des folgenden höheren Typs bilden. Verständnis ist in Bezug auf sowie zu Typen schematisch.

• Unendlichkeit. Dort besteht eine nichtleere binäre Beziehung über die Personen des niedrigsten Typs, der irreflexive, transitiv, und stark verbunden ist:.

: Bemerkung. Unendlichkeit ist das einzige wahre Axiom von ST und ist in der Natur völlig mathematisch. Es behauptet, dass das ein strenger Gesamtbezug mit einem zu seinem codomain identischen Gebiet ist. Wenn 0 dem niedrigsten Typ zugeteilt wird, ist der Typ dessen 3. Unendlichkeit kann nur zufrieden sein, wenn das (co) Gebiet dessen unendlich ist, so die Existenz eines unendlichen Satzes zwingend. Wenn Beziehungen in Bezug auf befohlene Paare definiert werden, verlangt dieses Axiom eine vorherige Definition des befohlenen Paares; die Definition von Kuratowski, die an ST angepasst ist, wird tun. Die Literatur erklärt nicht, warum das übliche Axiom der Unendlichkeit (dort besteht ein induktiver Satz), ZFC anderer Mengenlehren mit ST nicht verheiratet sein konnte.

ST offenbart, wie Typ-Theorie sehr ähnlich der axiomatischen Mengenlehre gemacht werden kann. Außerdem, die mehr wohl durchdachte Ontologie von ST, der darin niedergelegt ist, was jetzt die "wiederholende Vorstellung des Satzes genannt wird," macht für das Axiom (Diagramme), die viel einfacher sind als diejenigen von herkömmlichen Mengenlehren wie ZFC mit der einfacheren Ontologie. Mengenlehren, deren Ausgangspunkt Typ-Theorie ist, aber dessen sich Axiome, Ontologie und Fachsprache vom obengenannten unterscheiden, schließen Neue Fundamente und Scott-Töpfermengenlehre ein.

Formulierungen auf der Gleichheit gestützt

Die Typ-Theorie der Kirche ist von zwei der Studenten der Kirche, Leon Henkins und Peter B. Andrews umfassend studiert worden. Da ST eine höhere Ordnungslogik ist, und in der höheren Ordnungslogik man Satzbindewörter in Bezug auf die logische Gleichwertigkeit und quantifiers definieren kann, 1963 hat Henkin eine Formulierung von ST entwickelt, der auf der Gleichheit gestützt ist, aber in dem er Aufmerksamkeit auf Satztypen eingeschränkt hat. Das wurde später in diesem Jahr von Andrews in seinem vereinfacht

Theorie Q. In dieser Beziehung kann ST als eine besondere Art einer höherwertigen Logik gesehen werden, die von P.T. Johnstone in Skizzen eines Elefanten klassifiziert ist, als, eine Lambda-Unterschrift zu haben, die eine höherwertige Unterschrift ist, die keine Beziehungen enthält, und nur Produkte und Pfeile (Funktionstypen) als Typ-Konstrukteure verwendet. Außerdem, wie Johnstone gesagt hat, ist ST im Sinn "logikfrei", dass er keine logischen Bindewörter oder quantifiers in seinen Formeln enthält.

Erweiterungen

Typ polymorphism

Polymorphism ist eine Programmiersprache-Eigenschaft, die Werten verschiedener Datentypen erlaubt, mit einer gleichförmigen Schnittstelle behandelt zu werden. Das Konzept parametrischen polymorphism gilt sowohl für Datentypen als auch für Funktionen. Eine Funktion, die dazu bewerten oder auf Werte verschiedener Typen angewandt werden kann, ist als eine polymorphe Funktion bekannt. Ein Datentyp, der scheinen kann, eines verallgemeinerten Typs zu sein (z.B, eine Liste mit Elementen des willkürlichen Typs) wird polymorpher Datentyp wie der verallgemeinerte Typ benannt, von dem solche Spezialisierungen gemacht werden.

Abhängige Typen

Abhängiger Typ ist ein Typ, der von einem Wert abhängt. Abhängige Typen spielen eine Hauptrolle in der intuitionistic Typ-Theorie und im Design von funktionellen Programmiersprachen wie A.T.S., Agda und Epigram.

Ein Beispiel ist der Typ von N-Tupeln von reellen Zahlen. Das ist ein abhängiger Typ, weil der Typ vom Wert n abhängt.

Praktischer Einfluss

Computerwissenschaft

Die offensichtlichste Anwendung der Typ-Theorie ist im Konstruieren von Datentypprüfungsalgorithmen in der semantischen Analyse-Phase von Bearbeitern für Programmiersprachen. Definitionen des Typ-Systems ändern sich, aber der folgende wegen Benjamin C. Pierces entspricht grob der aktuellen Einigkeit in der Programmiersprache-Theorie-Gemeinschaft:

Mit anderen Worten teilt ein Typ-System Programm-Werte in Sätze genannt Typen — das wird eine Typ-Anweisung genannt — und macht bestimmte Programm-Handlungsweisen ungesetzlich auf der Grundlage von den Typen, die so zugeteilt werden. Zum Beispiel kann ein Typ-System den Wert "hallo" als eine Schnur und der Wert 5 als eine Zahl klassifizieren, und dem Programmierer verbieten, "hallo" zu 5 gestützten auf dieser Typ-Anweisung beizutragen. In diesem Typ-System, das Programm

würde ungesetzlich sein. Folglich würde jedes durch das Typ-System erlaubte Programm vom falschen Verhalten nachweisbar frei sein, Schnuren und Zahlen hinzuzufügen.

Linguistik

Typ-Theorie ist auch weit im Gebrauch in formellen Theorien der Semantik von natürlichen Sprachen, besonders Grammatik von Montague und seine Nachkommen. Der allgemeinste Aufbau nimmt die grundlegenden Typen und für Personen und Wahrheitswerte beziehungsweise, und definiert den Satz von Typen rekursiv wie folgt:

• wenn und Typen sind, dann so ist.
• Nichts außer den grundlegenden Typen, und was von ihnen mittels der vorherigen Klausel gebaut werden kann, ist Typen.

Ein komplizierter Typ ist der Typ von Funktionen von Entitäten des Typs zu Entitäten des Typs. So hat man Typen, wie die als Elemente des Satzes von Funktionen von Entitäten bis Wahrheitswerte, d. h. charakteristischen Funktionen von Sätzen von Entitäten interpretiert werden. Ein Ausdruck des Typs ist eine Funktion von Sätzen von Entitäten zu Wahrheitswerten, d. h. (charakteristische Funktion von a) Satz von Sätzen. Dieser letzte Typ wird normal genommen, um der Typ der natürlichen Sprache quantifiers, wie jeder oder niemand (Montague 1973, Barwise und Cooper 1981) zu sein.

Sozialwissenschaften

Gregory Bateson hat eine Theorie von logischen Typen in die Sozialwissenschaften eingeführt; seine Begriffe von doppelten binden, und logische Niveaus basieren auf der Theorie von Russell von Typen.

Verbindungen zur konstruktiven Logik

Siehe auch

• Kategorie-Theorie
• Typ Data für konkrete Typen von Daten in der Programmierung
• Bereichstheorie
• Typ-System für eine praktischere Diskussion von Typ-Systemen für Programmiersprachen
• Typ (Mustertheorie)
• Mendelson, Elliot, 1997. Einführung in die Mathematische Logik, die 4. Hrsg. Chapman & den Saal.
• W. Bauer, Die sieben Vorteile der einfachen Typ-Theorie, Zeitschrift der Angewandten Logik, Vol. 6, Nr. 3. (September 2008), Seiten 267-286.

Weiterführende Literatur

• Polizist, Robert L., 2002, "Naive Rechenbetonte Typ-Theorie," in H. Schwichtenberg und R. Steinbruggen (Hrsg.). Beweis und Systemzuverlässigkeit: 213-259. Beabsichtigt als eine Typ-Theorie-Kopie von Paul Halmos (1960) Naive Mengenlehre
• Deckel-Typ-Theorie eingehend, einschließlich polymorpher und abhängiger Typ-Erweiterungen. Gibt kategorische Semantik.

• Stellt einen historischen Überblick über die Entwicklungen der Theorie von Typen mit einem Fokus im Abstieg der Theorie als ein Fundament der Mathematik im Laufe der vier Jahrzehnte im Anschluss an die Veröffentlichung der zweiten Ausgabe von 'Principia Mathematica' zur Verfügung.
• Cardelli, Luca, 1997, "Typ-Systeme," in Allen B. Tucker, Hrsg., Der Informatik und dem Technikhandbuch. CRC Presse: 2208-2236.
• Thompson, Simon, 1991. Typ-Theorie und Funktionelle Programmierung. Addison-Wesley. Internationale Standardbuchnummer 0-201-41667-0.
• J. Roger Hindley, Grundlegende Einfache Typ-Theorie, Universität von Cambridge Presse, 2008, internationale Standardbuchnummer 0-521-05422-2 (auch 1995, 1997). Eine gute Einführung in die einfache Typ-Theorie für Computerwissenschaftler; das beschriebene System ist nicht genau der STT der Kirche dennoch. Buchbesprechung
• Enzyklopädie von Stanford der Philosophie: Typ-Theorie" - durch Thierry Coquand.
• Fairouz D. Kamareddine, Twan Laan, Rob P. Nederpelt, Eine moderne Perspektive auf der Typ-Theorie: von seinen Ursprüngen bis heute, Springer, 2004, internationale Standardbuchnummer 1-4020-2334-0
• José Ferreirós, José Ferreirós Domínguez, Irrgarten des Gedankens: eine Geschichte der Mengenlehre und seiner Rolle in der modernen Mathematik, der Ausgabe 2, dem Springer, 2007, internationale Standardbuchnummer 3-7643-8349-6, Kapitel X "Logik und Typ-Theorie in der Zwischenkriegsperiode"

Quellen für die Geschichtsabteilung

• Bertrand Russell (1903) Die Grundsätze der Mathematik: Vol. 1, Cambridge an der Universitätspresse, hat Cambridge, das Vereinigte Königreich, als ein googlebook neu veröffentlicht.
• Bertrand Russell (1920) Einführung in die Mathematische Philosophie (die zweite Ausgabe), Dover Publishing Inc., New York NY, internationale Standardbuchnummer 0-486-27724-0 (pbk).
• Alfred Tarski (1946) Einführung in die Logik und in die Methodik von Deduktiven Wissenschaften, neu veröffentlichter 1995 durch Dover Publications, Inc., New York, NY internationale Standardbuchnummer 0 486 28462 X
• Jean van Heijenoort (1967, 3. Druck-1976), Von Frege bis Godel: Ein Quellbuch in der Mathematischen Logik, 1879-1931, Universität von Harvard Presse, Cambridge, Massachusetts, internationale Standardbuchnummer 0-674-32449-8 (pbk)
• Bertrand Russell (1902) Brief an Frege mit dem Kommentar von van Heijenoort, Seiten 124-125. Worin Russell seine Entdeckung eines "Paradoxes" in der Arbeit von Frege bekannt gibt.
• Gottlob Frege (1902) Brief an Russell mit dem Kommentar von van Heijenoort, Seiten 126-128.
• Bertrand Russell (1908a) Mathematische Logik, wie gestützt, auf der Theorie von Typen, mit dem Kommentar von Willard Quine, Seiten 150-182.
• Emil Post (1921) Einführung in eine allgemeine Theorie von elementaren Vorschlägen, mit dem Kommentar von van Heijenoort, Seiten 264-283.
• Alfred North Whitehead und Bertrand Russell (1910-1913, 1927 2. Ausgabe hat 1962 nachgedruckt), Principia Mathematica zu *56, Cambridge an der Universitätspresse, London das Vereinigte Königreich, keine internationale Standardbuchnummer oder die US-Kartei-Zahl.
• Ludwig Wittgenstein (neu veröffentlichter 2009) Hauptarbeiten: Ausgewählte Philosophische Schriften", HarperCollins, New York. Internationale Standardbuchnummer 978-0-06-155024-9. Wittgenstein (1921 in Englisch) Seiten 1-82 von Tractatus Logico-Philosophicus.

Links

• Typ-Projekt hält Zeichen von Sommerkursen 2005-2008 Vorlesungen
• Der 2005-Sommerkurs hat einleitende Vorträge
• [ftp://ftp.cs.cornell.edu/pub/nuprl/doc/book.ps.gz das Nuprl-Buch]: "Einführung in die Typ-Theorie."