In der axiomatischen Mengenlehre und den Zweigen der Logik, Mathematik und Informatik, die es verwenden, ist das Axiom von extensionality oder Axiom der Erweiterung, eines der Axiome der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre.

Formelle Behauptung

Auf der formellen Sprache der Zermelo-Fraenkel Axiome liest das Axiom:

oder in Wörtern:

:Given sind ein Satz A und ein Satz B, wenn für jeden Satz C, C ein Mitglied, wenn, und nur wenn C ein Mitglied von B ist, dann ist A B gleich.

(Es ist nicht wirklich notwendig, dass C hier ein Satz - aber in ZF ist, ist alles. Sieh Ur-Elemente unten dafür, wenn das verletzt wird.)

Das gegenteilige, dieses Axioms folgt aus dem Ersatz-Eigentum der Gleichheit.

Interpretation

Um dieses Axiom zu verstehen, bemerken Sie, dass die Klausel in Parenthesen in der symbolischen Behauptung oben einfach feststellt, dass A und B genau dieselben Mitglieder haben.

So was das Axiom wirklich sagt, ist, dass zwei Sätze gleich sind, wenn, und nur wenn sie genau dieselben Mitglieder haben.

Die Essenz davon ist:

:A-Satz wird einzigartig von seinen Mitgliedern bestimmt.

Das Axiom von extensionality kann mit jeder Behauptung der Form verwendet werden

wo P jedes unäre Prädikat ist, das A nicht erwähnt, um einen einzigartigen Satz zu definieren, dessen Mitglieder genau die Sätze sind, die das Prädikat befriedigen.

Wir können dann ein neues Symbol dafür einführen; es ist auf diese Weise, dass Definitionen in der gewöhnlichen Mathematik schließlich arbeiten, wenn ihre Behauptungen auf rein mit dem Satz theoretische Begriffe reduziert werden.

Das Axiom von extensionality ist in mit dem Satz theoretischen Fundamenten der Mathematik allgemein unverfänglich, und es oder eine Entsprechung erscheint in so etwa jeder Alternative axiomatisation von der Mengenlehre.

Jedoch kann es Modifizierungen zu einigen Zwecken als unten verlangen.

In der Prädikat-Logik ohne Gleichheit

Das Axiom, das oben gegeben ist, nimmt an, dass Gleichheit ein primitives Symbol in der Prädikat-Logik ist.

Einige Behandlungen der axiomatischen Mengenlehre ziehen es vor, ohne das auszukommen, und stattdessen die obengenannte Behauptung nicht als ein Axiom, aber als eine Definition der Gleichheit zu behandeln.

Dann ist es notwendig, die üblichen Axiome der Gleichheit von der Prädikat-Logik als Axiome über dieses definierte Symbol einzuschließen. Die meisten Axiome der Gleichheit folgen noch aus der Definition; der restliche ist

und es wird dieses Axiom, das das Axiom von extensionality in diesem Zusammenhang genannt wird.

In der Mengenlehre mit Ur-Elementen

Ein Ur-Element ist ein Mitglied eines Satzes, der nicht selbst ein Satz ist.

In den Zermelo-Fraenkel Axiomen gibt es keine Ur-Elemente, aber sie werden in eine Alternative axiomatisations von der Mengenlehre eingeschlossen.

Ur-Elemente können als ein verschiedener logischer Typ von Sätzen behandelt werden; in diesem Fall, hat keinen Sinn, wenn ein Ur-Element ist, so gilt das Axiom von extensionality einfach nur für Sätze.

Wechselweise, in der ungetippten Logik, können wir verlangen, um falsch zu sein, wann auch immer ein Ur-Element ist.

In diesem Fall würde das übliche Axiom von extensionality dann andeuten, dass jedes Ur-Element dem leeren Satz gleich ist.

Um diese Folge zu vermeiden, können wir das Axiom von extensionality modifizieren, um nur für nichtleere Sätze zu gelten, so dass es liest:

Das ist:

:Given jeder Satz A und jeder Satz B, wenn A ein nichtleerer Satz ist (d. h. wenn dort ein Mitglied C von A besteht), dann, wenn A und B genau dieselben Mitglieder haben, dann sind sie gleich.

Und doch soll eine andere Alternative in der ungetippten Logik sich definieren, um das einzige Element von zu sein

wann auch immer ein Ur-Element ist. Während diese Annäherung dienen kann, um das Axiom von extensionality zu bewahren, wird das Axiom der Regelmäßigkeit eine Anpassung stattdessen brauchen.

Siehe auch

• Extensionality für eine allgemeine Übersicht.
• Paul Halmos, Naive Mengenlehre. Princeton, New Jersey:D. Van Nostrand Company, 1960. Nachgedruckt vom Springer-Verlag, New York, 1974. Internationale Standardbuchnummer 0-387-90092-6 (Ausgabe des Springers-Verlag).
• Jech, Thomas, 2003. Mengenlehre: Die Dritte Millennium-Ausgabe, Revidiert und Ausgebreitet. Springer. Internationale Standardbuchnummer 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Mengenlehre: Eine Einführung in Unabhängigkeitsbeweise. Elsevier. Internationale Standardbuchnummer 0-444-86839-9.