Combinatorics ist ein Zweig der Mathematik bezüglich der Studie von begrenzten oder zählbaren getrennten Strukturen. Aspekte von combinatorics schließen das Zählen der Strukturen einer gegebenen Art und Größe (enumerative combinatorics), das Entscheiden ein, wenn bestimmten Kriterien, und das Konstruieren und Analysieren von Gegenständen entsprochen werden kann, die den Kriterien (als in kombinatorischen Designs und matroid Theorie) entsprechen, "größte", "kleinste" oder "optimale" Gegenstände (extremal combinatorics und kombinatorische Optimierung) findend, und kombinatorische Strukturen studierend, die in einem algebraischen Zusammenhang entstehen, oder algebraische Techniken auf kombinatorische Probleme (algebraischer combinatorics) anwenden.

Kombinatorische Probleme entstehen in vielen Gebieten der reinen Mathematik, namentlich in Algebra, Wahrscheinlichkeitstheorie, Topologie und Geometrie, und combinatorics hat auch viele Anwendungen in der Optimierung, Informatik, ergodic Theorie und statistische Physik. Viele kombinatorische Fragen sind in der Isolierung historisch betrachtet worden, eine Ad-Hoc-Lösung eines Problems gebend, das in einem mathematischen Zusammenhang entsteht. Im späteren zwanzigsten Jahrhundert, jedoch, wurden starke und allgemeine theoretische Methoden entwickelt, combinatorics in einen unabhängigen Zweig der Mathematik in seinem eigenen Recht machend. Einer der ältesten und zugänglichsten Teile von combinatorics ist Graph-Theorie, die auch zahlreiche natürliche Verbindungen zu anderen Gebieten hat. Combinatorics wird oft in der Informatik verwendet, um Formeln und Schätzungen in der Analyse von Algorithmen zu erhalten.

Ein Mathematiker, der combinatorics studiert, wird einen combinatorialist genannt.

Geschichte

Grundlegende kombinatorische Konzepte und Enumerative-Ergebnisse sind überall in der alten Welt erschienen. Im 6. Jahrhundert BCE, Arzt Sushruta behauptet in Sushruta Samhita, dass 63 Kombinationen aus 6 verschiedenen Geschmäcken, genommen einer nach dem anderen, zwei gemacht werden können, auf einmal usw. so alle 2-1 Möglichkeiten schätzend. Römischer Historiker Plutarch bespricht ein Argument zwischen Chrysippus (das 3. Jahrhundert BCE) und Hipparchus (das 2. Jahrhundert BCE) eines ziemlich feinen enumerative Problems, das, wie man später zeigte, mit Zahlen von Schröder verbunden gewesen ist. In Ostomachion, Archimedes (das 3. Jahrhundert BCE)

denkt ein mit Ziegeln deckendes Rätsel.

Im Mittleren Alter hat combinatorics fortgesetzt, größtenteils außerhalb der europäischen Zivilisation studiert zu werden. Namentlich, ein Indianermathematiker Mahavira (c. 850) hat die allgemeinen Formeln für die Zahl von Versetzungen und Kombinationen zur Verfügung gestellt. Der Philosoph und Astronom Rabbi Abraham ibn Ezra (c. 1140) hat die Symmetrie von binomischen Koeffizienten gegründet, während eine geschlossene Formel später durch den talmudist und Mathematiker Levi ben Gerson (besser bekannt als Gersonides) 1321 erhalten wurde.

Das arithmetische Dreieck — ein grafisches Diagramm, Beziehungen unter den binomischen Koeffizienten zeigend — wurde von Mathematikern in Abhandlungen präsentiert, die schon zu Lebzeiten von das 10. Jahrhundert datieren, und würde schließlich bekannt als das Dreieck des Pascal werden. Später, im Mittelalterlichen England, hat Glockenkunde Beispiele dessen zur Verfügung gestellt, was jetzt als Zyklen von Hamiltonian in bestimmten Graphen von Cayley auf Versetzungen bekannt ist.

Während der Renaissance, zusammen mit dem Rest der Mathematik und der Wissenschaften, hat combinatorics eine Wiedergeburt genossen. Arbeiten von Pascal, Newton, Jacob Bernoulli und Euler sind foundational im erscheinenden Feld geworden. In den modernen Zeiten haben die Arbeiten von J. J. Sylvester (gegen Ende des 19. Jahrhunderts) und Percy MacMahon (Anfang des 20. Jahrhunderts) das Fundament für enumerative und algebraischen combinatorics gelegt. Graph-Theorie hat auch eine Explosion von Interesse zur gleichen Zeit besonders im Zusammenhang mit dem vier Farbenproblem genossen.

In der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts hat combinatorics ein schnelles Wachstum genossen, das zu Errichtung von Dutzenden von neuen Zeitschriften und Konferenzen im Thema geführt hat. Teilweise wurde das Wachstum durch neue Verbindungen und Anwendungen auf andere Felder im Intervall von der Algebra zur Wahrscheinlichkeit von der Funktionsanalyse bis Zahlentheorie usw. gespornt. Diese Verbindungen verschütten die Grenzen zwischen combinatorics und Teilen der Mathematik und theoretischen Informatik, aber haben zur gleichen Zeit zu einer teilweisen Zersplitterung des Feldes geführt.

Annäherungen und Teilfelder von combinatorics

Enumerative combinatorics

Enumerative combinatorics ist das am meisten klassische Gebiet von combinatorics, und konzentriert sich auf das Zählen der Zahl von bestimmten kombinatorischen Gegenständen. Obwohl das Zählen der Zahl der Elemente in einem Satz ein ziemlich breites mathematisches Problem ist, haben viele der Probleme, die in Anwendungen entstehen, eine relativ einfache kombinatorische Beschreibung. Fibonacci-Zahlen sind das grundlegende Beispiel eines Problems in enumerative combinatorics. Der twelvefold Weg stellt ein vereinigtes Fachwerk zur Verfügung, um Versetzungen, Kombinationen und Teilungen aufzuzählen.

Analytischer combinatorics

Analytischer combinatorics betrifft die Enumeration von kombinatorischen Struktur-Verwenden-Werkzeugen von der komplizierten Analyse und Wahrscheinlichkeitstheorie. Im Vergleich mit enumerative combinatorics, der ausführliche kombinatorische Formeln und erzeugende Funktionen verwendet, die Ergebnisse zu beschreiben, zielt analytischer combinatorics darauf, asymptotische Formeln zu erhalten.

Teilungstheorie

Teilungstheorie studiert verschiedene Enumeration und asymptotische Probleme, die mit Teilungen der ganzen Zahl verbunden sind, und ist nah mit der Q-Reihe, den speziellen Funktionen und den orthogonalen Polynomen verbunden. Ursprünglich ein Teil der Zahlentheorie und Analyse, es wird jetzt als ein Teil von combinatorics oder einem unabhängigen Feld betrachtet. Es vereinigt die bijektive Annäherung und verschiedenen Werkzeuge in der Analyse, analytischen Zahlentheorie, und hat Verbindungen mit der statistischen Mechanik.

Graph-Theorie

Graphen sind grundlegende Gegenstände in combinatorics. Die Fragen erstrecken sich davon (z.B, die Zahl von Graphen auf n Scheitelpunkten mit k Rändern) zum strukturellen zu zählen (z.B, welche Graphen enthalten Zyklen von Hamiltonian) zu algebraischen Fragen (z.B, in Anbetracht eines Graphen G und zwei Nummern x und y, tut das Polynom von Tutte T (x, y) haben eine kombinatorische Interpretation?). Es sollte bemerkt werden, dass, während es sehr starke Verbindungen zwischen Graph-Theorie und combinatorics gibt, von diesen zwei manchmal als getrennte Themen gedacht wird.

Designtheorie

Designtheorie ist eine Studie von kombinatorischen Designs, die Sammlungen von Teilmengen mit bestimmten Kreuzungseigenschaften sind. Block-Designs sind kombinatorische Designs eines speziellen Typs. Dieses Gebiet ist einer der ältesten Teile von combinatorics, solcher als im 1850 vorgeschlagenen Schülerin-Problem von Kirkman. Die Lösung des Problems ist ein spezieller Fall eines Systems von Steiner, welche Systeme eine wichtige Rolle in der Klassifikation von begrenzten einfachen Gruppen spielen. Das Gebiet hat weitere Verbindungen zum Codieren der Theorie und geometrischen combinatorics.

Begrenzte Geometrie

Begrenzte Geometrie ist die Studie von geometrischen Systemen, die nur eine begrenzte Zahl von Punkten haben. Strukturen, die denjenigen analog sind, die in der dauernden Geometrie (Euklidisches Flugzeug, echter projektiver Raum, usw.) gefunden sind, aber kombinatorisch definiert sind, sind die studierten Hauptsachen. Dieses Gebiet stellt eine reiche Quelle von Beispielen für die Designtheorie zur Verfügung. Es sollte mit der Getrennten Geometrie (Kombinatorische Geometrie) nicht verwirrt sein.

Ordnungstheorie

Ordnungstheorie ist die Studie teilweise bestellter Sätze, sowohl begrenzt als auch unendlich. Verschiedene Beispiele von teilweisen Ordnungen erscheinen in der Algebra, Geometrie, Zahlentheorie und überall in combinatorics und Graph-Theorie. Bemerkenswerte Klassen und Beispiele von teilweisen Ordnungen schließen Gitter und Algebra von Boolean ein.

Theorie von Matroid

Theorie-Auszug-Teil von Matroid der Geometrie. Es studiert die Eigenschaften von Sätzen (gewöhnlich, begrenzten Sätzen) Vektoren in einem Vektorraum, die von den besonderen Koeffizienten in einer geradlinigen Abhängigkeitsbeziehung nicht abhängen. Nicht nur gehören die Struktur sondern auch enumerative Eigenschaften der matroid Theorie. Theorie von Matroid wurde von Hassler Whitney eingeführt und hat als ein Teil der Ordnungstheorie studiert. Es ist jetzt ein unabhängiges Studienfach mit mehreren Verbindungen mit anderen Teilen von combinatorics.

Extremal combinatorics

Extremal combinatorics studiert extremal Fragen auf Satz-Systemen. Die Typen von Fragen gerichtet sind in diesem Fall über den größtmöglichen Graphen, der bestimmte Eigenschaften befriedigt. Zum Beispiel ist der größte Graph ohne Dreiecke auf 2n Scheitelpunkte ein ganzer zweiteiliger Graph K. Häufig ist es sogar zu hart zu finden, dass die extremal auf f (n) genau antworten und man nur eine asymptotische Schätzung geben kann.

Theorie von Ramsey ist ein anderer Teil von extremal combinatorics. Es stellt fest, dass jede genug große Konfiguration eine Art Ordnung enthalten wird. Es ist eine fortgeschrittene Generalisation des Ablegefach-Grundsatzes.

Probabilistic combinatorics

In probabilistic combinatorics sind die Fragen vom folgenden Typ: Wie ist die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Eigentums für einen zufälligen getrennten Gegenstand wie ein zufälliger Graph? Zum Beispiel wie ist die durchschnittliche Zahl von Dreiecken in einem zufälligen Graphen? Methoden von Probabilistic werden auch verwendet, um die Existenz von kombinatorischen Gegenständen mit bestimmten vorgeschriebenen Eigenschaften zu bestimmen (für den ausführliche Beispiele schwierig sein könnten zu finden), einfach durch das Bemerken, dass die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen Gegenstand mit jenen Eigenschaften auszuwählen, größer ist als 0. Diese Annäherung (häufig gekennzeichnet als die probabilistic Methode) hat sich hoch wirksam in Anwendungen auf extremal combinatorics und Graph-Theorie erwiesen. Ein nah zusammenhängendes Gebiet ist die Studie von begrenzten Ketten von Markov besonders auf kombinatorischen Gegenständen. Hier wieder werden Probabilistic-Werkzeuge verwendet, um die sich vermischende Zeit zu schätzen.

Häufig vereinigt mit Paul arbeiten Erdős, wer den Pionier getan hat, am Thema, probabilistic wurde combinatorics als eine Reihe von Werkzeugen traditionell angesehen, um Probleme in anderen Teilen von combinatorics zu studieren. Jedoch, mit dem Wachstum von Anwendungen auf die Analyse von Algorithmen in der Informatik, sowie der klassischen Wahrscheinlichkeit, dem Zusatz und der probabilistic Zahlentheorie, ist das Gebiet kürzlich gewachsen, um ein unabhängiges Feld von combinatorics zu werden.

Algebraischer combinatorics

Algebraischer combinatorics ist ein Gebiet der Mathematik, die Methoden der abstrakten Algebra, namentlich Gruppentheorie und Darstellungstheorie in verschiedenen kombinatorischen Zusammenhängen verwendet und umgekehrt kombinatorische Techniken auf Probleme in der Algebra anwendet. Innerhalb des letzten Jahrzehnts oder so, ist algebraischer combinatorics gekommen, um mitteilsamer als das Gebiet der Mathematik gesehen zu werden, wo die Wechselwirkung von kombinatorischen und algebraischen Methoden besonders stark und bedeutend ist. Eines der schnellsten sich entwickelnden Teilfelder innerhalb von algebraischem combinatorics ist kombinatorische Ersatzalgebra.

Combinatorics auf Wörtern

Combinatorics auf Wörtern befasst sich mit formellen Sprachen. Es ist unabhängig innerhalb von mehreren Zweigen der Mathematik, einschließlich der Zahlentheorie, Gruppentheorie und Wahrscheinlichkeit entstanden. Es hat Anwendungen auf enumerative combinatorics, fractal Analyse, theoretische Informatik, Automaten-Theorie und Linguistik. Während viele Anwendungen neu sind, ist die klassische Hierarchie von Chomsky-Schützenberger von Klassen von formellen Grammatiken vielleicht das am besten bekannte Ergebnis im Feld.

Geometrischer combinatorics

Geometrischer combinatorics ist mit der konvexen und getrennten Geometrie in besonderem polyedrischem combinatorics verbunden. Es fragt zum Beispiel, wie viel Gesichter jeder Dimension ein konvexer polytope können haben. Metrische Eigenschaften von polytopes spielen eine wichtige Rolle ebenso, z.B der Lehrsatz von Cauchy auf der Starrheit von konvexem polytopes. Spezielle polytopes werden auch, wie permutohedra, associahedra und Birkhoff polytopes betrachtet. Wir sollten bemerken, dass kombinatorische Geometrie ein alter geformter Name für die getrennte Geometrie ist.

Topologischer combinatorics

Kombinatorische Analoga von Konzepten und Methoden in der Topologie werden verwendet, um das Graph-Färben, die schöne Abteilung, die Teilungen, die teilweise bestellten Sätze, die Entscheidungsbäume, die Kette-Probleme und die getrennte Morsezeichen-Theorie zu studieren. Es sollte mit der kombinatorischen Topologie nicht verwirrt sein, die ein älterer Name für die algebraische Topologie ist.

Arithmetik combinatorics

Arithmetik combinatorics ist aus dem Wechselspiel zwischen Zahlentheorie, combinatorics, ergodic Theorie und harmonischer Analyse entstanden. Es ist über kombinatorische Schätzungen, die mit arithmetischen Operationen (Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation und Abteilung) vereinigt sind. Zusatz combinatorics bezieht sich auf den speziellen Fall, wenn nur die Operationen der Hinzufügung und Subtraktion beteiligt werden. Eine wichtige Technik in der Arithmetik combinatorics ist die ergodic Theorie von dynamischen Systemen.

Infinitary combinatorics

Infinitary combinatorics oder kombinatorische Mengenlehre, ist eine Erweiterung von Ideen in combinatorics zu unendlichen Sätzen. Es ist ein Teil der Mengenlehre, ein Gebiet der mathematischen Logik, aber verwendet Werkzeuge und Ideen sowohl von der Mengenlehre als auch von extremal combinatorics.

Gian-Carlo Rota hat den Namen dauernder combinatorics verwendet, um Wahrscheinlichkeit und Maß-Theorie zu beschreiben, da es viele Analogien zwischen Zählen und Maß gibt.

Zusammenhängende Felder

Kombinatorische Optimierung

Kombinatorische Optimierung ist die Studie der Optimierung auf getrennten und kombinatorischen Gegenständen. Es hat als ein Teil von combinatorics und Graph-Theorie angefangen, aber wird jetzt als ein Zweig der angewandten Mathematik und Informatik angesehen, die mit der Operationsforschung, Algorithmus-Theorie und rechenbetonten Kompliziertheitstheorie verbunden ist.

Das Codieren der Theorie

Das Codieren der Theorie hat als ein Teil der Designtheorie mit frühen kombinatorischen Aufbauten von Fehlerkorrekturcodes angefangen. Die Hauptidee vom Thema ist, effiziente und zuverlässige Methoden der Datenübertragung zu entwerfen. Es ist jetzt ein großes Studienfach, ein Teil der Informationstheorie.

Getrennte und rechenbetonte Geometrie

Getrennte Geometrie (hat auch kombinatorische Geometrie genannt), hat auch einen Teil von combinatorics, mit frühen Ergebnissen auf konvexem polytopes und dem Küssen von Zahlen begonnen. Mit dem Erscheinen von Anwendungen der getrennten Geometrie zur rechenbetonten Geometrie haben sich diese zwei Felder teilweise verschmolzen und sind ein getrenntes Studienfach geworden. Dort bleiben Sie viele Verbindungen mit geometrischem und topologischem combinatorics, der selbst als Auswüchse der frühen getrennten Geometrie angesehen werden kann.

Combinatorics und dynamische Systeme

Kombinatorische Aspekte von dynamischen Systemen sind ein anderes erscheinendes Feld. Hier können dynamische Systeme auf kombinatorischen Gegenständen definiert werden. Sieh zum Beispiel

Graph dynamisches System.

Combinatorics und Physik

Dort vergrößern Wechselwirkungen zwischen combinatorics und Physik, besonders statistischer Physik. Beispiele schließen eine genaue Lösung des Modells von Ising und eine Verbindung zwischen dem Modell von Potts einerseits, und chromatisch und den Polynomen von Tutte andererseits ein.

Siehe auch

• Kombinatorische Biologie
• Kombinatorische Chemie
• Kombinatorische Datenanalyse
• Kombinatorische Spieltheorie
• Kombinatorische Gruppentheorie
• Phylogenetics
• Liste von combinatorics Themen

Zeichen

• Björner, A. und Stanley, R.P. ein kombinatorisches Gemisch
• Graham, R.L. Groetschel M., und Lovász L., Hrsg. (1996). Handbuch von Combinatorics, Bänden 1 und 2. Elsevier (Nordholland), Amsterdam, und MIT-Presse, Cambridge, Massachusetts. Internationale Standardbuchnummer 0 262 07169 X.
• Lindner, Charles C. und Christopher A. Rodger (Hrsg.). Designtheorie, CRC-Presse; 1. Ausgabe (am 31. Oktober 1997). Internationale Standardbuchnummer 0-8493-3986-3.
• Kombi-Scharpie, J.H. und Wilson, R.M. (2001). Ein Kurs in Combinatorics, 2. Ausgabe. Universität von Cambridge Presse. Internationale Standardbuchnummer 0-521-80340-3.
• Stanley, Richard P. (1997, 1999). Enumerative Combinatorics, Bände 1 und 2. Universität von Cambridge Presse. Internationale Standardbuchnummer 0-521-55309-1, internationale Standardbuchnummer 0-521-56069-1.
• Kombinatorische Analyse - ein Artikel in der Encyclopædia Britannica Elften Ausgabe
• Riordan, John (1958). Eine Einführung in Combinatorial Analysis, Wiley & Sons, New York (neu veröffentlicht).

Außenverbindungen

• Combinatorics, ein Artikel MathWorld mit vielen Verweisungen.
• Combinatorics, von MathPages.com Portal.
• Das Hyperbuch von Combinatorics, eine Sammlung von Matheartikel-Verbindungen.
• Die Zwei Kulturen der Mathematik durch W. T. Gowers, Artikel über das Problem-Lösen gegen die Theorie, die baut